Codes sur des anneaux nis et r eseaux arithm ... - Alexis Bonnecaze

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28 CHAPITRE 1. PRELIMINAIRES MATHEMATIQUES Remarque. Les mots de poids 16 dans G 24 forment un5; (24 16 78) design. La presence du mot 1 dans le code donnant une certaine symetrie. Les mots de poids 12 ou dodecades forment aussi un 5-design (5 ; (24 12 48), voir [MS77], chap 2). Comme tout code residu quadratique, le code de Golay G 24 est laisse invariant parle groupe lineaire special PSL 2(q) avec ici q = 23 (C'est un sous groupe distingue du groupe lineaire des automorphismes de determinant 1). Soit = f0 1::: 22 1g l'ensemble des etiquettes representant les coordonnees du code. La derniere coordonnee contenant lesymbole de parite. Soit Q l'ensemble constitue de 0 et des residus quadratiques et N son complementaire sur la ligne projective. Q = f0 1 2 3 4 6 8 9 12 13 16 18g N = f1 5 7 10 11 14 15 17 19 20 21 22g: Le cardinal de ces deux ensembles est 12. Le code de Golay peut se de nir de maniere plus \ensembliste". Considerons la permutation de : : x ! x +1 (mod 23): En appliquant , l'ensemble N produit 23 12-uplets N 1N 2:::N 12 ou Ni contient les nombres de la forme n + i (n 2 N): A partir de ces ensembles et en prenant leur di erence symetrique, on obtient 2 12 ensembles que l'on appelle des C-ensembles (Csets en anglais). Si on remplace chaque ensemble par sa fonction caracteristique, alors les C-ensembles correspondent aux mots du Golay etendu. Puisque N 1 + N 2 + :::N 12 = (la notation + signi ant ici la di erence symetrique), est lui-mêmeunC-ensemble, et les C-ensembles arrivent en paires complementaires. En fait, les C-ensembles comprennent l'ensemble vide et son complementaire 759 octades et leurs complementaires (les 16-uplets), ainsi que 2576 dodecades. Le groupe PSL 2(23) a pour ordre 6072 et est engendre par les trois permutations suivantes de : S : i ! i +1 V : i ! 2i T : i !; 1 i : En d'autres termes, S = (1)(0 1 2 ::: 22) V = (1)(0)(1 2 4 8 16 9 18 13 3 6 12) (5 10 20 17 11 22 21 19 15 7 14) T = (1 0)(1 22)(2 11)(3 15)(4 17)(5 9)(6 19) (7 13)(8 20)(10 16)(12 21)(14 18): De nition 1.8 Le groupe de Mathieu M24 est le groupe engendre par S V T et W , ou W est de ni de la maniere suivante W : 8 >< >: 1!0 0 !1 i !;( 1 2 i)2 si i 2 Q i ! (2i) 2 si i 2 N
1.2. LE CODE DE GOLAY BINAIRE 29 Remarque. W peut aussi s'ecrire W = (1 0)(3 15)(1 17 6 14 2 22 4 19 18 11) (5 8 7 12 10 9 20 13 21 16): Theoreme 1.8 M 24 est le groupe de toutes les permutations de qui laissent xes les octades du code de Golay G 24: Le groupe de Mathieu est 5-transitif et transitif sur les octades de G 24. Son cardinal est 759:322560 = 244823040 . Remarque. Le code de Golay [23, 11] peut aussi être decrit a l'aide de la fonction trace. Soit une racine 23 ieme de 1 sur F 2. L'ordre multiplicatif de 2 modulo 23 est 11. Il existe donc une racine primitive de F 2 11 telle que = 89 (car 2 11 ; 1=89:23). On peut ecrire x 23 ; 1=(x ; 1)m (x)m 5(x) ou m et m 5 designent respectivement le polynôme minimal de et 5 . Le code de Golay [23, 11] a pour polynôme generateur . Ses mots peuvents'ecrire x 23 ;1 (x;1)m c(a) =(tr(a i )) pour i 2f0:::22g et a 2 F 2 11 et ou trrepresente la fonction trace de F 2 11 sur F 2. Le groupe de Mathieu M 23 est alors l'ensemble des automorphismes vectoriels de F 2 11 qui conservent l'ensemble des racines 23 iemes de l'unite. 1.2.3 Le MOG La meilleure facon de travailler avec les mots de G 24 est de les mettre sous la forme d'un tableau 6 4, appele Miracle Octad Generator, ou MOG. L'inventeur du MOG, R. T. Curtis [Cur73] et [Cur76], avait besoin d'un outil pratique pour ses recherches sur le groupe de Mathieu. L'introduction de l'hexacode par Norton [Nor80] puis Conway [Con81] facilita grandement les calculs sur le groupe de Mathieu. Le MOG permet de visualiser les mots du Golay. Il permet en outre de trouver toutes les octades du Golay, retrouver une octade a partir de 5 points donnes, veri er si un mot appartient auGolay, decoder le Golay. Nous decrivons dans un premier temps la construction de l'hexacode et du MOG, puis nous donnons quelques exemples permettant de comprendre l'utilisation du MOG. Considerons le corps F 4 = f0 1!!g, muni des relations 1 + ! = ! 1+! = ! ! + ! = !! =1 ! 2 = ! ! 2 = ! ! 3 =1:
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