De la dynamique des populations aux dynamiques adaptatives

2.2 MODÈLE DE CROISSANCE LOGISTIQUE
Pour rendre le modèle malthusien un peu plus réaliste, on peut y incorporer de la compétition entre
individus de la population en limitant les ressources. Autrement dit : plus il y a d’individus, moins il est facile de
survivre. Cette compétition se manifeste par des processus de densité dépendance.
Pour le taux de natalité b pas de changements, il est toujours constant b(N) = b.
La compétition intra-spécifique se manifeste au niveau du taux de mortalité. On suppose que ce taux dépend
de l’effectif de la population n. Si on note d(N) le taux de mortalité densité-dépendant et d le taux de mortalité
intrinsèque, on a :
d(N) = d + α N d
Si la population est petite (N tend vers 0), d(N) ≈ d. En revanche, si la population est grande, la mortalité
augmente beaucoup du fait de la compétition.
Avec cette définition du taux de mortalité, le taux d’accroissement est :
r(N) = r − α N (2.5)
avec r = b − d
où r est le taux d’accroissement intrinsèque de la population.
Soit :
Classiquement, on écrit
r(N) = r
1 − N
K
avec K = r
d α
La dynamique de la densité de la population (N) est donnée par l’équation
d N
d t
d N
d t
= r
= N × r(N) = G(N)
(2.6)
1 − N
N = G(N) (2.7)
K
Dès 1954, GAUSE avec ses travaux sur les micro-organismes a montré qu’une population de paramécies en
culture avait une croissance logistique (figure 2.3).
Trouver l’équilibre
A l’équilibre les effectifs de la population ne varient plus. autrement dit :
d N
d t
= G(N) = 0 (2.8)
Cela peut se résoudre graphiquement si on trace la fonction G en fonction de N. Les points d’équilibre sont
les points où G(N) coupe l’axe des abscisses, c’est-à-dire où G(N) s’annule (figure 2.4).
D’après l’équation 2.7, on a deux équilibres : soit N eq = 0, soit si N > 0 et K > 0 on a N eq = K. C’est
pourquoi K est souvent définie comme "l’effectif à l’équilibre".
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