De la dynamique des populations aux dynamiques adaptatives

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2.2 MODÈLE DE CROISSANCE LOGISTIQUE Pour rendre le modèle malthusien un peu plus réaliste, on peut y incorporer de la compétition entre individus de la population en limitant les ressources. Autrement dit : plus il y a d’individus, moins il est facile de survivre. Cette compétition se manifeste par des processus de densité dépendance. Pour le taux de natalité b pas de changements, il est toujours constant b(N) = b. La compétition intra-spécifique se manifeste au niveau du taux de mortalité. On suppose que ce taux dépend de l’effectif de la population n. Si on note d(N) le taux de mortalité densité-dépendant et d le taux de mortalité intrinsèque, on a : d(N) = d + α N d Si la population est petite (N tend vers 0), d(N) ≈ d. En revanche, si la population est grande, la mortalité augmente beaucoup du fait de la compétition. Avec cette définition du taux de mortalité, le taux d’accroissement est : r(N) = r − α N (2.5) avec r = b − d où r est le taux d’accroissement intrinsèque de la population. Soit : Classiquement, on écrit r(N) = r 1 − N K avec K = r d α La dynamique de la densité de la population (N) est donnée par l’équation d N d t d N d t = r = N × r(N) = G(N) (2.6) 1 − N N = G(N) (2.7) K Dès 1954, GAUSE avec ses travaux sur les micro-organismes a montré qu’une population de paramécies en culture avait une croissance logistique (figure 2.3). Trouver l’équilibre A l’équilibre les effectifs de la population ne varient plus. autrement dit : d N d t = G(N) = 0 (2.8) Cela peut se résoudre graphiquement si on trace la fonction G en fonction de N. Les points d’équilibre sont les points où G(N) coupe l’axe des abscisses, c’est-à-dire où G(N) s’annule (figure 2.4). D’après l’équation 2.7, on a deux équilibres : soit N eq = 0, soit si N > 0 et K > 0 on a N eq = K. C’est pourquoi K est souvent définie comme "l’effectif à l’équilibre". 9
FIG. 2.3 – Dynamique d’une population de Paramecium caudatum, GAUSE (1934) On part de deux individu sur un mileu riche en bactéries (proies) et pendant 25 jours on renouvelle l’apport en bactéries. GAUSE conclut que la croissance de la population est limitée et que la taille maximale K dépend de la quantité de bactéries injectées dans le milieu. G(N) 4 2 -2 -4 2 4 6 8 10 12 14 FIG. 2.4 – Equilibre pour une croissance logisitque Les équilibres sont accentués par des points. Les valeurs de paramètres sont r = 1 et K = 10. Stabilité d’un équilibre K Instable Stable Bistable FIG. 2.5 – Représentation des conditions de stabilité, instabilité, bistabilité Attention : équilibre n’implique pas stabilité (figure 2.5). Connaissant une valeur d’équilibre N eq , on peut voir s’il est localement stable ou instable. Il suffit de connaître le signe de la fonction G(N) quand N est proche de N eq . On voit ainsi si on converge ou non vers l’équilibre. Plus rapidement, on peut aussi regarder le signe de la dérivée seconde de N(t) (donc celui de la dérivée de G(N)) pour des valeurs de N proche de N eq . Si : – si G ′ (N eq ) > 0 : l’équilibre est localement instable – si G ′ (N eq ) < 0 : l’équilibre est localement stable 10 N
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