De la dynamique des populations aux dynamiques adaptatives

Etape 2 : trouver la condition d’équilibre de la sous-population résidente
Le mutant est très rare par rapport au résident (c’est à dire que N ′ ≪ N), on peut donc supposer que
N + N ′ ≈ N. Cela permet de simplifier l’équation 4.5 en :
d N
= r 1 −
d t N
N
K(x)
A l’équilibre,
Si Neq > 0, alors,
d N
d t = 0, donc si Neq est la taille de la population résident à l’équilibre,
r
1 − Neq
K(x)
Neq = 0
Etape 3 : calculer le taux d’accroissement d’un mutant rare
Neq = K(x) (4.7)
On rappelle que le taux d’accroissement d’une population de taille N est donné par la formule 1
N
Le taux d’accroissement de la sous-population mutante est donc :
1
N ′
d N ′
d t
=
r 1 − N ′ + N
K(x ′
)
Comme le mutant est très rare par rapport au résident, on peut simplifier l’équation précédente en :
1
N ′
d N ′
d t
=
r 1 − N
K(x ′
)
Le taux d’accroissement d’un mutant rare est identique à la valeur sélective. On peut donc écrire :
s(x, x ′ ) =
r 1 − N
K(x ′
)
Etape 4 : injecter la condition d’équilibre du résident trouvée à l’étape 1
La sous-population résidente n’est pas affectée par l’apparition du mutant et elle reste à l’équilibre, donc
N = Neq. En remplaçant N par Neq dans l’équation 4.8 on obtient :
s(x, x ′
) = r 1 − K(x)
K(x ′
(4.9)
)
Ceci est l’expression du taux d’accroissement d’un mutant rare. C’est aussi l’expression de la valeur sélective du
mutant.
20
d N
d t .
(4.8)