De la dynamique des populations aux dynamiques adaptatives

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En remplaçant N1 dans l’expression de N2, puis celle de N2 dans N3 et ainsi de suite, on trouve : Nt+1 = λ t N0 (2.3) Si t est grand (mettons t → ∞), alors l’état de la population à t dépend du taux d’accroissement. – si λ = 1 : ∀t ∈ N ∗ Nt = N0, ce qui signifie que l’effectif de la population reste constant au cours du temps – si λ < 1 : l’effectif de la population tend vers 0 car alors limt→∞λ t = 0 – si λ > 1 : on a une croissance infinie de la population car alors limt→∞λ t = +∞ (cf. figure 2.1) FIG. 2.1 – Croissance exponentielle de faisans, d’après LACK (1954) En 1937, 8 faisans (2 mâles et 6 femelles) furent introduits dans un île près de Washington. Durant les 5 années suivantes, la population fut en croissance exponentielle. En 1943 des militaires s’installèrent sur l’île et tuèrent les faisans. Il est en temps discret, ce qui signifie qu’on ne sait pas ce qui se passe entre deux instants t et t + 1. Ce type de modèle est souvent utilisé en biologie à cause des rythmes saisonniers des populations. Il est pratique pour les populations dont les générations ne se chevauchent pas (certains Insectes, des plantes annuelles). 2.1.2 Modèle en temps continu Le contraire du modèle discret est le modèle en temps continu, qui revoit à des populations qui ont une croissance continue dans un environnement non saisonnier (par exemple des bactéries en culture) ou pour des populations qui ont des générations chevauchantes. On passe du modèle discret précédent à un modèle en temps continu (ce qui permet de connaître à tout moment l’effectif de la population) en supposant que l’on regarde la variation de la population entre deux instants très porches (t et t + dt). Cette variation est notée dN. Comme précédemment, dN = proba. de naissance pendant dt × N(t) − proba. de mort pendant dt × N(t) Si la probabilité de naissance pendant dt est b × dt et si celle de mourir pendant dt est d × dt, on a : dN = b × dt × N(t) − d × dt × N(t) dN = (b − d) × N(t) × dt On définit le taux d’accroissement intrinsèque de la population r, tel que r = b − d. Alors : En intégrant, on trouve : dN dt = r × N N(t) = N(0) × exp(r t) (2.4) On retrouve les mêmes résultats qu’avec le modèle continu (avec r = ln(λ)) : – si r = 0 : l’effectif de la population reste constant au cours du temps – si r < 0 : l’effectif de la population tend vers 0 – si r > 0 : on a une croissance infinie Dans les deux types de modèle malthusiens (discret ou continu), on trouve que soit les populations ont une croissance exponentielle, soit elles disparaissent. 7
N(t) 2 1.5 1 0.5 A) 1 2 3 4 t N(t) 50 40 30 20 10 B) 1 2 3 4 t N(t) C) 1 2 3 4 FIG. 2.2 – Influence du taux d’accroissement r dans un modèle malthusien A) Cas où r = 0, B) Cas où r = 1, C) Cas où r = −1. Dans les trois cas, N(0) = 1. 2.1.3 Croissance maltusienne des ressources MALTHUS considère que, au maximum, les ressources ne peuvent augmenter que de leur valeur initiale tous les 25 ans. On note Rt les ressources à l’instant t (t ∈ {0, 25, 50, . . .}) et R0 la production initiale. On a donc une suite arithmétique dont la raison est le premier terme. donc Rt+25 = Rt + R0 Rt = (t + 25) R0 2.1.4 Liens du modèle malthusien avec la théorie de l’évolution Dans la théorie de MALTHUS, les être vivants ont une croissance géométrique et croissent plus vite que les ressources qui n’ont une croissance arithmétique. Cela le conduit à prôner des principes de restriction des naissances, dans un but bien peu philanthropique (cf. l’Annexe C pour plus de détails sur cette dérives d’application de théories de l’écologie et de l’évolution à l’Homme). DARWIN est influencé par les idées de MALTHUS qu’il applique aux animaux et aux plantes pour formuler sa théorie de sélection naturelle en 1859 dans L’origine des espèces. C’est parce que les populations ont une croissance exponentielle et parce que les ressources deviennent limitantes qu’il existe une compétition pour avoir des descendants. 2.1.5 Les limites du modèle malthusien Il semble évident que le modèle de Malthus ne s’applique pas car sinon toutes les populations devraient exploser ou s’éteindre ou avoir des tailles constantes (cf. les cycles entre les lynx et les lièvres sur la figure 1.2). Dans son modèle, MALTHUS néglige plusieurs points : – il existe une hétérogénéité des paramètres entre différentes classes d’individus : les juvéniles ne se reproduisent pas, les individus âgés ont un taux de mortalité plus élevé, etc.On peut prendre en compte la spécificité des cycles de vie des espèces avec les modèles structurés en classe d’âge – il existe même une hétérogénéité entre les individus d’une même classe. On la prend en compte en introduisant de la stochasticité dans les processus démographiques. – on peut avoir des effets environnementaux externes liés à une hétérogénéité spatiale ou temporelle de l’environnement – enfin, on peut avoir des effets environnementaux internes liés aux interactions individuelles intraspécifiques (compétition, coopération) ou interspécifiques (prédation, mutualisme) 8 1 0.8 0.6 0.4 0.2 t
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