simulation numerique de la combustion diphasique - cerfacs

égion, même si les gouttes sont considérées comme des particules ponctuelles et indéformables.
On adopte donc une approche statistique afin de résoudre la phase disperée avec les équations
des milieux continus.
On décrit brièvement dans cette partie le cadre mathématique du modèle eulérien à deux fluides.
Les développements présentés ci-dessous ont été proposés par Gray, Howes et Whitaker ([5], [8],
[26] et [27]) et analysés par Simonin [21].
1.2.1 Fonction caractéristique de phase
Définition
Le système local est composé de deux phases distinctes. Les différentes phases sont des fluides
purs non miscibles. On identifie chaque phase φ par la fonction caractéristique χ φ telle que :
χ φ (M, t) = 1 si le point M est dans la phase φ à l’instant t
= 0 sinon (cf. figure 1.1)
Fig. 1.1 – Schéma de définition de la fonction caractéristique de phase : cas d’une phase continue
(φ = c) contenant des inclusions dispersées (φ = d).
Relations de commutation avec la dérivation
On démontre la commutativité de l’opérateur de moyenne avec la dérivation pour une fonction
f dérivable (cf. Kaufmann [9]) :
( )
D
D
Dt (χ φf) =
Dt f χ φ + (w i,φ − u i,φ )n i,φ δ ξ,φ f (1.4)
( )
∂
∂
∂t (χ φf) =
∂t f χ φ + w i,φ n i,φ δ ξ,φ f (1.5)
∂
∂x i
(χ φ f) =
( ∂
∂x i
f
- w i,φ est la vitesse de l’interface dans la direction i,
- u i,φ la vitesse de la phase φ dans la direction i,
- δ ξ,φ la fonction de Dirac sur la surface ξ de la phase φ.
)
χ φ − n i,φ δ ξ,φ f (1.6)
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