Alg`ebre combinatoire et effective : des graphes aux alg ... - Sage

IntroductionCe mémoire fait la synthèse de presque quinze années de recherche, afin d’en dégager lesperspectives. Ces années ont été pour moi une période de grande liberté, pendant laquellej’ai pris le temps de me forger une voie et une démarche personnelle, à mi-chemin entrel’informatique et les mathématiques.Ce qui m’a attiré vers la combinatoire algébrique, c’est l’ouverture vers d’autres disciplines,en mathématiques, en informatique, ou en physique théorique. Ma démarche est en effet deme construire, petit à petit, une boîte à outils, en élargissant progressivement mon champ derecherches et en tissant un réseau de collaborateurs dans des communautés variées : théoriedes invariants, des graphes, des groupes, combinatoire algébrique ou non, calcul formel, etc.Lorsque, au fil des rencontres scientifiques et des séjours, j’envisage d’aborder un nouveausujet de recherche, je me pose deux questions : « Ma boîte à outils actuelle me donne-t-elle unpoint de vue original, m’offrant une chance de voir ce que d’autres n’ont pas encore vu? »; et« Quels outils et concepts vais-je apprendre, qui seraient susceptibles de déclencher des progrèssur des sujets en suspens? ».Pour aborder un nouveau sujet, je travaille systématiquement en collaboration. Mon oumes partenaires sont les garants de l’intérêt et de l’originalité dans un domaine où je n’aipas forcément encore de recul. En retour, j’apporte des outils et une expertise. Mon fondsde commerce est l’exploration de domaines relativement vierges : construire et étudier desexemples, repérer des conjectures. Et surtout, chercher le bon point de vue où les énoncés et,idéalement, les démonstrations s’expriment simplement.Le langage forme souvent une barrière de communication entre domaines éloignés. C’estpourquoi, dans ma démarche, la combinatoire joue un rôle essentiel pour modéliser simplement,et souvent de manière effective, des problèmes en les abstrayant de leur contexte. Cela permetde nouer de nouvelles collaborations sur des problèmes concrets et précis. Pour la même raison,ma question favorite est : « Comment cela se calcule? ». Si je suis capable de retranscrire leproblème dans un ordinateur, c’est qu’aucune subtilité ne m’a échappé; les deux parties sontbien sur la même longueur d’onde. La compréhension du contexte et des motivations, le plussouvent essentielle pour parvenir à une solution, vient ensuite naturellement au fur et à mesurede l’échange qui se met en place.La figure 1 résume les sujets de recherche que j’ai abordés et leurs interconnexions. Deuxthèmes principaux se dégagent. Au cœur du premier on trouve les problèmes d’isomorphismeen combinatoire et leur algébrisation. Dans le second, les modèles combinatoires deviennent unoutil pour étudier des représentations d’algèbre. Un troisième thème essentiel de mon travail,sous-tendant les deux autres, est le développement d’outils pour l’exploration informatique, enparticulier dans le cadre du projet logiciel international ∗-Combinat que j’ai fondé en 2000.1. Algèbres commutatives et isomorphisme en combinatoireLe premier volet de mes recherches, présenté au chapitre 1, concerne les problèmes d’isomorphismeen combinatoire. Ces problèmes sont notoirement difficiles, l’isomorphisme de grapheétant en quelque sorte l’instance phare. Ainsi, la fameuse conjecture de reconstruction degraphes de Ulam n’est toujours pas résolue malgré un demi-siècle de recherches intenses. Lefil directeur de ce volet est : est-ce que l’encodage algébrique des problèmes d’isomorphismepeut aider à mieux les comprendre?11