Alg`ebre combinatoire et effective : des graphes aux alg ... - Sage

44 2. COMBINATOIRE POUR LA THÉORIE DES REPRÉSENTATIONS(1) La dimension des q-harmoniques est au moins n!.(2) La dimension des 1-harmoniques est au plus n!.Jusqu’ici, la conjecture avait été testée complètement jusqu’à n = 3. La méthode brutalepour tester la conjecture nécessite de faire de l’algèbre linéaire sur les polynômes de degré( n(2), ce qui fait un espace de dimension(n )2)+n−1n−1 . L’exploitation des symétries pour décomposerl’espace des polynômes en petits sous-espaces (composantes de Garnir) nous a permisde mener une exploration informatique complète jusqu’à n = 5, et partielle jusqu’à n = 9.Cela a confirmé la conjecture pour q = 1, et en fait pour tout q sauf pour quelques rationnelsde la forme − a avec a et b petits. Mais la suite ne s’est pas déroulée comme prévu : mêmebsi nous avons obtenu quelques résultats dans des cas particuliers (par exemple en petit degré),la conjecture a résisté à tous nos efforts, toutes les techniques du cas usuel se révélantinapplicables [HT04a].En 2006, Adriano Garsia (grand spécialiste des polynômes harmoniques) trouva cetteconjecture magnifique lorsque nous la lui avons exposée. Il s’y est depuis intéressé avec FrançoisBergeron et Nolan Wallach. Ceux-ci ont obtenu des résultats partiels supplémentaires, commeune borne supérieure sur la dimension du sous-espace des solutions. Ils ont aussi découvert quela fameuse ex-conjecture de n! concernant les harmoniques pour l’action diagonale de S n surdeux jeux de paramètres semblait aussi admettre une généralisation de type Steenrod. Celarenforce l’idée que la conjecture de Reg Wood n’est pas un accident isolé.Nous avons nous-mêmes mis de côté cette conjecture en attendant que l’étude d’un autreproblème nous apporte le bon éclairage. Nous restons en effet convaincus que cette conjecturen’est pas intrinsèquement difficile et qu’il suffira de poser la bonne question à l’ordinateur pourdérouler une preuve élémentaire et constructive.