Alg`ebre combinatoire et effective : des graphes aux alg ... - Sage

32 2. COMBINATOIRE POUR LA THÉORIE DES REPRÉSENTATIONSEn type A, on peut calculer explicitement les règles d’induction et de restriction pour latour d’algèbre (HS n ) n . Les structures d’algèbres et de cogèbres correspondantes sur groupesde Grothendieck obtenus redonnent des bases connues et des nouvelles bases des fonctionssymétriques non commutatives. Cependant ces structures d’algèbres et de cogèbres ne sont pascompatibles, de sorte que l’on obtient pas de nouvelle algèbre de Hopf comme nous l’espérionsà l’origine [HT08].1.3. Algèbres de Hecke groupe et algèbres de Hecke affines. Le dernier point duthéorème 1.4 établit un lien clair entre les représentations de l’algèbre de Hecke groupe, etcelles de la 0-algèbre de Hecke. Pour clore le problème 2.1, il reste à établir un lien entrel’algèbre de Hecke groupe et l’algèbre de Hecke affine. C’est l’objet du résultat suivant : unedescription alternative, dans le cas des groupes de Weyl, de l’algèbre de Hecke groupe commequotient naturel de l’algèbre de Hecke affine. Il s’ensuit que les modules simples de l’algèbre deHecke groupe sont aussi les modules simples de la spécialisation centrale principale de l’algèbrede Hecke affine.Théorème 1.5. Soit W un groupe de Weyl affine (éventuellement tordu), et ˚W le groupede Weyl classique associé. Soit cl : H(W)(q 1 , q 2 ) → H˚W le morphisme défini par l’action deniveau zéro de W sur ˚W. Supposons que q 1 , q 2 ≠ 0 et que q := − q 1q 2n’est pas une racine k-ièmede l’unité avec k ≤ 2 ht(θ ∨ )). Alors, le morphisme cl est surjectif et fait de l’algèbre de Heckegroupe H˚W un quotient de l’algèbre de Hecke affine H(W)(q 1 , q 2 ).De plus, le morphisme cl factorise par la spécialisation centrale principale de l’algèbre deHecke affine.La signification de l’action de niveau zéro sera précisée plus loin; quant à la borne ht(θ ∨ ),nous nous contenterons de préciser qu’elle est linéaire en le rang de W avec une petite constante.Par ailleurs, le rôle particulier des racines de l’unité n’est pas surprenant dans le contexte desalgèbres de Hecke.La démonstration de ce théorème pour q générique repose sur un lemme combinatoire quenous allons d’abord présenter en type A. L’identification ultérieure de la représentation deniveau zéro avec une certaine représentation calibrée de série principale permet de réduire auxpetites racines de l’unité les valeurs de q exceptionnelles.1.3.1. Type A : transitivité du tri à bulle circulaire. Nous avons vu que les opérateurs π iagissent par antitri à bulle élémentaire. En particulier, partant d’une permutation quelconque,par exemple 51432, on peut par tri à bulle la transformer en la permutation maximale 54321.Cela revient à descendre dans le permutohèdre. Par contre, l’opération inverse est impossible;on ne peut pas remonter.Écrivons maintenant la permutation 54321 sur un cercle :15423Cela introduit naturellement une nouvelle position où l’on peut agir, entre la dernière lettreet la première. Y appliquant la même règle que pour les autres positions, nous obtenons :51423