Alg`ebre combinatoire et effective : des graphes aux alg ... - Sage

2. COMBINATOIRE POUR LA THÉORIE DES REPRÉSENTATIONS 131.3. Algèbres d’âge. En parallèle, j’ai élargi mes recherches, de nouveau avec MauricePouzet, aux algèbres d’âges des structures relationnelles. Ici, les objets combinatoires, introduitspar Rolland Fraïssé, sont les restrictions finies d’une structure relationnelle infinie R (parexemple les sous-graphes finis d’un graphe infini), considérés à isomorphie près. La collectionde ces objets est appelée âge. La fonction qui les compte par taille est le profil φ R (n). En dépitde la simplicité et de la grande généralité du cadre, le comportement du profil semble trèscontraint.Conjecture 1.1 (Pouzet). Sous des hypothèses faibles, la série génératrice du profil ϕ R (n)est une fraction rationnelle dès lors que la croissance de ϕ R (n) est sous-exponentielle.L’encodage algébrique est donné par l’algèbre d’âge de Peter Cameron. Cet encodage permetd’exploiter la richesse des âges comme modèles combinatoires. Nous avons montré que l’onpeut réaliser, comme algèbres d’âge, outre les invariants de groupes de permutations, de nombreusesalgèbres combinatoires commutatives au cœur de travaux récents : en premier plan lespolynômes quasi-symétriques et de nombreuses variantes.Notre objectif est d’obtenir des informations sur le profil en utilisant l’algèbre d’âge (dontil donne la série de Hilbert). Ainsi, nous démontrons la conjecture 1.1 sous certaines conditionsincluant tous les exemples précités. Plus généralement, nous cherchons à établir un dictionnaireentre propriétés combinatoires de l’âge et propriétés de l’algèbre (engendrement fini, Cohen-Macaulay, etc.). Pour cela, nous tentons de généraliser les théorèmes et outils que j’avais utilisésen théorie des invariants. Les résultats ont été annoncés au fur et à mesure à FPSAC’05 [PT05],CGCS’07 1 , et font l’objet de deux publications en fin de préparation [PT08a, PT08b].2. Combinatoire pour la théorie des représentationsCe premier volet de ma recherche relève principalement de la combinatoire algébrique ausens strict : l’objectif est d’algébriser des objets et problèmes combinatoires pour mieux lescomprendre. Dans le deuxième volet, présenté au chapitre 1, la tendance s’inverse. Le leitmotivest la recherche de modèles combinatoires simples (mais cependant riches!) pour décrire desstructures algébriques et leur représentations. En ce sens, il s’agit plutôt d’algèbre combinatoire.On fait le pari que beaucoup de problèmes d’algèbre ne sont difficiles qu’en apparence; la clefest alors de trouver le bon point de vue, le bon modèle dans lequel la démonstration devientcourte et élémentaire. L’exploration informatique joue donc un rôle inestimable pour essayerrapidement de nombreux points de vue. En filigrane apparaissent les algèbres de Hopf, lestours d’algèbres non commutatives, les groupes quantiques, les graphes de représentations, lessystèmes de racines (affines) et les algèbres de Hecke associées.2.1. Algèbres de Hecke groupes. Dans cette thématique, mon sujet principal estl’étude d’un nouvel objet, l’algèbre de Hecke groupe associée à un groupe de Coxeter (section1). Pour comprendre son intérêt, il faut d’abord en situer le contexte.Un thème récurrent du Phalanstère de combinatoire de Marne-la-Vallée est l’interprétationdes algèbres de Hopf combinatoires comme groupes de Grothendieck des tours d’algèbres dedimension finie [KT97, BHT04, HNT06]. L’exemple originel, dû à Frobenius, est l’algèbrede Hopf des fonctions symétriques (cf. [Mac95, Zel81]), les fonctions de Schur étant lescaractères des représentations irréductibles du groupe symétrique.Dans le cas général de tours d’algèbres non-semi-simples, il faut distinguer entre représentationssimples et projectives. Cela donne une paire d’algèbres en dualité. Ainsi, le rôle centraljoué par la paire d’algèbres duales Fonctions Symétriques Non Commutatives / FonctionsQuasi-symétriques vient en particulier du fait qu’elles encodent la théorie des représentations1. International Combinatorics, Geometry and Computer Science Conference