Alg`ebre combinatoire et effective : des graphes aux alg ... - Sage

36 2. COMBINATOIRE POUR LA THÉORIE DES REPRÉSENTATIONSdes objectifs, de comprendre et d’implanter les systèmes de racines, groupes de Coxeter et deWeyl. Des outils préexistaient pour les premiers, principalement dans le cas fini, par exempledans GAP ou Maple. L’algorithmique en est fortement inspirée. La conception en revanche estcomplètement nouvelle. Elle permet de manipuler simultanément et de manière naturelle lesdifférentes réalisations classiques du réseau des racines ou des poids. De plus, la majorité ducode est complètement générique; il ne dépend que des données de la matrice de Cartan. Dece fait, il s’applique aussi, lorsque cela fait sens, aux cas affine ou de Kac-Moody, et à termeau cas non cristallographique. Cela a fourni une base solide pour l’implantation des cristaux,chemins d’alcôves et algèbres de Hecke affines.1.5. Perspectives. La structure riche de l’algèbre de Hecke groupe est maintenant biencomprise. L’existence de trois définitions équivalentes (par générateurs, comme algèbre d’opérateurspréservant certaines (anti)symétries, par quotient de l’algèbre de Hecke affine) en faitun objet naturel, qui éclaire les liens entres les représentations de la 0-algèbre de Hecke et del’algèbre de Hecke affine. En dehors de cela, est-elle utile? Nous pensons qu’elle est susceptiblede fournir un modèle combinatoire simple (via les classes de descentes de ˚W) pour mieux comprendrecertaines représentations de dimension | ˚W | de l’algèbre de Hecke affine (coinvariants,harmoniques pour l’algèbre de Steenrod, etc.).Nous présentons ici plusieurs projets de recherche en cours qui dans cette direction, outendent à généraliser la structure de l’algèbre de Hecke groupe à des algèbres et monoïdesproches.1.5.1. Algèbres de Hecke affines aux racines de l’unité. L’énoncé du théorème 1.5 soulèveimmédiatement le problème suivant.Problème 1.10. Déterminer l’ensemble des racines de l’unité q pour lesquelles le morphismecl : H(W)(q) ↦→ H˚W n’est pas surjectif.Au printemps dernier, j’ai donné l’exploration informatique de ce problème comme sujetde Master 2 à Nicolas Borie. Les calculs sont lourds; par exemple, traiter S n nécessite defaire de l’algèbre linéaire sur des vecteurs qui sont des matrices n! × n!, le tout sur uneextension algébrique des rationnels. L’essentiel de son travail a été d’élaborer des stratégiesmathématiques pour exploiter au mieux les résultats partiels.À l’instant, il semble que la borne du théorème 1.5 soit assez précise : la plupart des petitesracines de l’unité, mais pas toutes, semblent donner lieu à un morphisme non surjectif. C’esten particulier toujours le cas pour q = −1. Parallèlement au sujet principal de thèse que jelui ai confié, Nicolas Borie va continuer à étudier ce problème. La résolution de difficultéstechniques dans Sage devrait permettre de mener les calculs suffisamment loin pour établirune conjecture exacte. D’un autre côté, le cas q = −1 doit pouvoir être démontré, et celadevrait donner une idée plus fine de la difficulté du cas général.1.5.2. Monoïde des fonctions décroissantes de type C. Lorsque nous avions étudié la théoriedes représentations de HS n , nous disposions depuis peu d’un outil, mis au point par FlorentHivert, calculant automatiquement la théorie des représentations des premiers étages d’unetour d’algèbres. Pour expérimenter, nous avions alors considéré quelques tours d’algèbres jouetscomme l’algèbre C[NDF n ] (resp. C[NDPF n ]) du monoïde des fonctions (resp. fonctions deparking) croissantes. À notre grande surprise, celles-ci se sont naturellement intégrées dans undiagramme. Cela nous a permis de définir des représentations de (HS n ) n et (H n (q)) n sur lespuissances extérieures de la représentation naturelle, et de retrouver comme cas particulier latour d’algèbres de Temperley-Lieb (TL n ) n :