Alg`ebre combinatoire et effective : des graphes aux alg ... - Sage

48 3. ∗-Combinat, BOÎTE À OUTILS POUR L’EXPLORATION INFORMATIQUENous pouvons aussi juste compter ces arbres, une opération beaucoup plus rapide 2 :>> trees::count(6)42Voici un arbre aléatoire. L’affichage en ASCII 2D est loin d’être parfait, mais la structure dedonnées interne, elle, est robuste.>> trees::random(50)o|// \ \|/ | \/ \|// \ \| /// //\\\\\/\|||/ \/ \/ \/|\/|\ ||| ||Les algorithmes sous-jacents ne sont pas spécifiques aux arbres. Ils s’appliquent à touteautre famille d’objets pouvant être définis récursivement par une grammaire. Voici par exemplela relation de récurrence pour le nombre d’arbres binaires. Elle est calculée automatiquementà partir de la grammaire pour ces arbres, et est exploitée pour faire du comptage efficace :>> r := binaryTrees::grammar::recurrenceRelation():>> assume(n>0):>> u(n) = factor(op(solve(r, u(n)),1))2 u(n - 1) (2 n - 1)u(n) = --------------------n + 1On reconnaît bien évidement la récurrence usuelle des nombres de Catalan.2.2. Graphes cristallins. Nous allons maintenant manipuler des graphes cristallins, commeceux de la section 2. Ce sont encore des classes combinatoires, avec des opérations algébriquessupplémentaires. Nous définissons deux graphes cristallins de Kirillov-Reshetikhin de typeA (1)2 :>> C1 := crystals::kirillovReshetikhin(2,2,["A",2,1]):>> C2 := crystals::kirillovReshetikhin(1,1,["A",2,1]):Leurs éléments sont des tableaux semi-standard :>> C1::list()-- +---+---+ +---+---+ +---+---+ +---+---+ +---+---+ +---+---+ --| | 2 | 2 | | 2 | 3 | | 2 | 3 | | 3 | 3 | | 3 | 3 | | 3 | 3 | || +---+---+ +---+---+ +---+---+ +---+---+ +---+---+ +---+---+ || | 1 | 1 |, | 1 | 1 |, | 1 | 2 |, | 1 | 1 |, | 1 | 2 |, | 2 | 2 | |-- +---+---+ +---+---+ +---+---+ +---+---+ +---+---+ +---+---+ --sur lesquels agissent des opérateurs montants e i et descendants f i :>> x := C1::list()[3]+---+---+| 2 | 3 |+---+---+| 1 | 2 |+---+---+>> x::e(0), x::e(1), x::e(2), x::f(0), x::f(1), x::f(2)2. En tout cas pour n grand ; mais alors, on n’obtient pas d’information fondamentale sur l’univers.