Alg`ebre combinatoire et effective : des graphes aux alg ... - Sage

1. INVARIANTS ALGÉBRIQUES DE GRAPHES ET RECONSTRUCTION 19Question 1.3 (Pouzet [Pou77, Pou79]). Pour n ≥ 3, les polynômes invariants sont-ils tousalgébriquement reconstructibles?Une réponse positive entraînerait une réponse positive à la conjecture de Ulam. Prudence,donc. Faute de moyens d’investigation, cette question était restée vierge (à part pour n = 3pour lequel on se ramène facilement aux polynômes symétriques usuels). L’apparition au débutdes années 90 d’outils effectifs de calcul dans les invariants [Kem93, Stu93] a motivé montravail de thèse : Étudier, tant d’un point de vue théorique que par l’exploration, l’algèbre desinvariants sur les graphes (série de Hilbert, systèmes générateurs, etc.), et évaluer ce que lathéorie des invariants peut dire sur les problèmes d’isomorphie et de reconstruction de graphe,et en particulier sur la question 1.3.1.2. Reconstruction algébrique de graphes. Commençons par l’aspect reconstruction.Pour une vue synthétique, voir la figure 4.J’ai montré que la réponse est positive pour n ≤ 5 (et très probablement pour n = 6), j’aiquelque peu étendu la liste des invariants classiques de graphes algébriquement reconstructibles,et donné des propriétés générales sur l’algèbre des invariants algébriquement reconstructibles.De ces dernières, on déduit que pour 11 ≤ n ≤ 18 et très certainement au delà, la réponseà la question 1.3 est négative. Cette approche est-elle donc vaine? Sans le dire, nous avonsfait ci-dessus un choix : considérer l’algèbre des invariants polynomiaux sur C afin de pouvoirappliquer les résultats de la théorie des invariants. Cet objet est plus gros que nécessaire;comme les graphes sont simples, x {i,j} ne prend que les valeurs 0 et 1. Il aurait d’abord étépossible de travailler modulo 2, mais alors la théorie des invariants devient nettement plusardue. Une autre option aurait été de considérer à la place l’algèbre des graphes simples, obtenueen quotientant par x 2 {i,j} = x {i,j}. C’est ce qu’avaient fait avant moi Kocay [Koc82]et Mnukhin [Mnu92] (voir aussi [Cam96]); c’est aussi la direction reprise par la suite parBuchwalder et Mikkonen [MB07]. Au final, leurs résultats sont pour l’instant de la mêmeteneur que les miens : le problème est ardu, et une fois obtenue la reconstruction de quelquesinvariants explicites, des remarques simples autour des graphes non connexes et des bornespassablement lâches, on ne peut guère aller au delà. Il y a cependant deux différences importantes: d’une part, Mnukhin a démontré que, dans l’algèbre des graphes simples, l’analoguede la question 1.3 est équivalent à la conjecture de Ulam [Mnu92]. En revanche, on perd lagraduation, un outil essentiel en théorie des invariants.Il reste un endroit pour lequel je suis convaincu que la reconstruction algébrique a sonmot à dire : une conjecture de Kocay sur la reconstructibilité du nombre d’arbres couvrantsd’un type donné [Koc82, Conjecture 5.1]. On est ici au seuil du connu, les arbres étant lesplus petits graphes connexes. D’ailleurs, les différentes variantes de l’algèbre coïncident pourl’essentiel à cet endroit là. J’ai obtenu quelques résultats partiels dans cette direction, et je nerésiste pas à mentionner ici ma conjecture préférée issue de cette recherche :Conjecture 1.4. Soit M n la matrice d’incidence (m f,a ) f,a dont les lignes sont indexées parles forêts étiquetées f à n sommets et n −2 arêtes, et les colonnes sont indexées par les arbresa à n sommets (et donc n − 1 arêtes) avec m f,a = 1 si f est un sous-graphe de a. Alors, M nest de rang maximal, ses lignes étant linéairement indépendantes.Même conclusion dans le cas non étiqueté, en prenant pour m f,a le nombre d’occurrencesde f dans a (voir figure 5). Ce deuxième point est un corollaire du premier.J’ai vérifié cette conjecture sur machine jusqu’à n = 19 dans le cas non étiqueté. Laconstruction des matrices, très creuses, a été faite en utilisant Nauty et un script Perl. Lerang a été calculé par Jean-Guillaume Dumas à l’aide de Linbox [DV02]. Pour n = 19 celadonne une matrice de dimension 241029 × 317955, occupant environ 20 Mo de mémoire; lecalcul a duré cinq jours sur un PC à 1 GHz. Cette série de matrices a été utilisée comme banc