Alg`ebre combinatoire et effective : des graphes aux alg ... - Sage

30 2. COMBINATOIRE POUR LA THÉORIE DES REPRÉSENTATIONSd’antitri et de tri à bulle :13854627 13854627 13854627s 2 s 6 π 2 π 6 π 2 π 6(3)18354267 18354627 13854267s 2 s 6 π 2 π 6 π 2 π 613854627 18354627 13854267De manière générale, l’algèbre de (Iwahori)-Hecke générique H(W)(q 1 , q 2 ), engendrée pardes opérateurs T i satisfaisant les relations de tresses ainsi que la relation quadratique (T i −q 1 )(T i − q 2 ) = 0, peut être construite par interpolation par : T i := (q 1 + q 2 )π i − q 1 s i .De la sorte, on a réalisé simultanément sur le même espace les représentations régulières àdroite de toutes les algèbres de Hecke de W, ce qui permet de les recoller.Définition 1.1 (Algèbre de Hecke groupe [HT08]). L’algèbre de Hecke groupe est la sousalgèbrede End(CW) engendrée par les opérateurs s i et π i , pour i dans S.Cette définition originelle n’est pas très informative. Elle a cependant le mérite de permettrequelques calculs sur machine. Ceux-ci suivis d’une recherche sur l’encyclopédie dessuites d’entiers [Se03] suggèrent une combinatoire sous-jacente forte : la dimension de cettealgèbre compterait le nombre de paires d’éléments de W sans descentes communes (suiteA000275 en type A : 1, 3, 19, 211, . . .), tandis que la dimension du quotient semi-simple parle radical serait donnée par la somme des carrés des tailles des classes de descentes (suiteA060350 : 1, 2, 10, 88, . . .).Afin de démontrer ces propriétés, nous avons besoin d’une description plus conceptuelle decette algèbre. Commençons par le rang 1. On montre facilement que la sous-algèbre paraboliqueC[π i , π i , s i ] de HW est de dimension 3 et que les relations sont données par :s i π i = π i , s i π i = π i ,(4)π i π i = π i , π i π i = π i ,π i s i = π i , π i s i = π i ,π i + π i = 1 + s i .En particulier, on peut prendre comme générateurs n’importe quel choix de deux opérateursdans {π i , π i , s i }. De plus, on peut prendre {1, s i , π i } comme base. Enfin, on note que la droite〈1 − s i 〉 de CW est stabilisée par l’action de l’algèbre.Notre premier résultat est une généralisation de ces remarques, qui, comme prévu, faitintervenir les classes de descentesThéorème 1.2 (H.,T. [HT08]). Une base de HW est donnée par{ wπ w ′ | w, w ′ ∈ W et D R (w) ∩ D L (w ′ ) = ∅} ,où D L (w) et D R (w) désignent respectivement l’ensemble des descentes à gauche et à droited’un élément w de W.HW est l’algèbre des opérateurs de End(CW) préservant les antisymétries à gauche. Satransposée HW ∗ est l’algèbre des opérateurs de End(CW) préservant les symétries à gauche.La forme de la base suggère une démonstration par règle de redressement. De fait, nousavons une conjecture sur les relations de cette algèbre, mais nous n’avons pas de preuve determinaison pour le système de réécriture associé (mais cela a-t-il un intérêt?).En fait, ce théorème donne avant tout une définition alternative plus conceptuelle de l’algèbreHW. C’est la découverte de cette définition, via l’exploration informatique, qui a permis