Alg`ebre combinatoire et effective : des graphes aux alg ... - Sage

1. INVARIANTS ALGÉBRIQUES DE GRAPHES ET RECONSTRUCTION 215 1 . . . .. 1 . . 1 .. 3 2 4 1 .. . 2 . . 2. . 1 . 2 2. . . 1 1 1Figure 5. Matrice d’incidence des arbres versus les forêts à 4 arêtes, pour n = 6 sommetsd’essai de matrices très creuses pour Linbox, confirmant en particulier une analyse théoriquesur des matrices aléatoires de la pertinence de l’algorithme de Wiedemann pour ce type dematrices [DV02, DSW03].Dans le cas étiqueté, j’ai démontré une borne minimale sur le rang qui permet de conclurejusqu’à n = 7. Ironiquement, le calcul sur machine s’arrête au même endroit (il y a n n−2 arbresétiquetés!).1.3. Algèbre des invariants de graphes. Les quelques résultats de reconstruction quej’ai obtenus justifient-ils cinq ans d’efforts et 300 pages de thèse? Comme je l’ai dit, la conjecturede Ulam était surtout un cas test, un angle d’attaque, pour étudier l’algèbre I n desinvariants de graphes. Les résultats de cette étude sont présentés dans ma thèse, dans [Thi99],et sont repris dans [DK02]. J’ai donné des propriétés générales sur l’algèbre I n , ainsi que desrésultats obtenus par exploration informatique pour n petit. Cela a suggéré plusieurs conjectures(système de paramètres de petit degré, unimodalité) que j’étudie en détail. Je fais aussiun tour d’horizon de variantes de I n , obtenant par exemple un système générateur très simplepour le corps des fractions invariantes et infirmant à l’occasion un lemme de Grigoriev [Gri79,Lemma I].L’exploration informatique s’est révélée beaucoup plus ardue que prévu. Illustrons ce point;pour n ≤ 3, I n est une algèbre libre, en fait une algèbre de polynômes symétriques. Letraitement de n = 4, à la main avait donné lieu à la publication [ACG96]. Les logicielsexistants en 1999 [Kem99] permettaient aussi de traiter n = 4 par le calcul en une seconde,mais ne donnaient aucune information pour n ≥ 5. Le système générateur minimal que j’aiobtenu pour I 5 est constitué de 57 polynômes en 10 variables de degrés jusqu’à 10. Traitern = 6 complètement est encore hors de portée.1.4. Conclusions de cette étude. I n est très loin d’une algèbre libre. À la différencedes polynômes symétriques, elle semble dépourvue de description combinatoire riche (multiplesbases dont de Schur, liens avec la théorie des représentations, etc.). Elle est aussi beaucouptrop grosse pour espérer des applications (en particulier algorithmique) à des problèmes d’isomorphie.La théorie des invariants donne rapidement des informations structurelles (engendrementfini, borne sur les degrés, structure de Cohen-Macaulay, etc.), mais ces informations généralesrestent très grossières en pratique. Ainsi, pour I 5 , la borne théorique est de 42 au lieu de 10.