Alg`ebre combinatoire et effective : des graphes aux alg ... - Sage

2. THÉORIE DES INVARIANTS EFFECTIVE 23de groupes de permutations. Je décris maintenant un projet que j’ai à l’esprit depuis 2004, etqui fait l’objet de la thèse de mon étudiant Nicolas Borie.Le théorème fondamental de la théorie des invariants, démontré par Hilbert, est l’existencede systèmes finis de générateurs pour l’algèbre des invariants C[x 1 , . . .,x n ] d’un sous-groupe finide GL(n). La démonstration originale était non constructive. La théorie des invariants effectives’est développée depuis une quinzaine d’années [Kem93, DK02, Kin07], avec pour objectifd’obtenir des algorithmes (et des implantations) efficaces pour la théorie des invariants; leproblème typique étant le calcul d’un système minimal de générateurs. L’application premièreest l’exploration informatique d’exemples.La stratégie usuelle utilise la décomposition de Hironaka de l’algèbre comme modulelibre sur les invariants primaires Θ 1 , . . .,Θ n pour se ramener à calculer dans le quotientC[x 1 , . . .,x n ] G /〈Θ 1 , . . .Θ n 〉 qui est de dimension finie. Pour calculer dans ce quotient, une optionest de calculer une base de Gröbner de l’idéal engendré par Θ 1 , . . .,Θ n dans C[x 1 , . . .,x n ].C’est par exemple ce qui est implanté dans Magma. Pour des groupes de matrices avec n petit,cela se révèle très efficace. En revanche, dès que le nombre de variables grandit (ce quiest souvent le cas pour des applications en combinatoire; par exemple l’algèbre I 5 requiert10 variables), ce calcul devient inabordable. Le problème central est que le calcul de la basede Gröbner casse les symétries, et force à travailler dans l’algèbre C[x 1 , . . .,x n ] tout entière,laquelle est de grande dimension dès que l’on monte en degré.Dans le cas des groupes de permutations, il est possible d’utiliser une variante des bases deGröbner qui préserve les symétries (bases SAGBI-Gröbner) [Thi01]. Cela permet de calculerun système générateur de I 5 en quelques minutes; mais vérifier que ce système est effectivementgénérateur reste inabordable sans manipulations spécifiques. En effet le calcul completnécessite toujours de l’algèbre linéaire dans essentiellement toute l’algèbre des invariants endegré 22 (dimension 174403 à comparer à 20160075 pour les polynômes, et 1 pour le quotient).Il apparaît ainsi clairement que les techniques actuelles de calcul d’invariants butent sur leslimites intrinsèques de l’élimination.Aussi paraît-il judicieux d’introduire d’autres points de vue. L’objectif est d’évaluer unenouvelle stratégie, dans le cas des groupes de permutations, et de manière plus générale dessous-groupes de groupes de réflexions. L’idée est de spécialiser les variables aux racines del’unité (transformée de Fourier) : cela élimine de facto deux des obstacles principaux actuels :calculs de produits sur les monômes (convolution sur le groupe) et calculs dans le quotientpar les invariants primaires (ici, les polynômes symétriques). Ainsi, le nombre de points d’évaluationsest exactement la dimension du quotient. Ainsi, pour le problème précédent, on estdirectement ramené à des calculs dans une algèbre de dimension 30240. Qui plus est, cettealgèbre est munie du produit de Hadamard qui est rapide et préserve les structures creuses.La première étape est de rédiger une démonstration complète de la validité de la stratégie,et d’en obtenir une implantation grossière. Ceci afin de tester concrètement l’approche pardes bancs d’essais comparatifs avec les implantations existantes. Il faudra aussi comparer avecd’autres approches par évaluation [Col97, GST06, DSW08].Une fois la stratégie validée, le champ d’optimisations est très ouvert : comment choisirdes invariants dont la transformée de Fourier est creuse, est-il judicieux de représenter les invariantspar SLP, peut-on réduire, par filtration, le nombre de points d’évaluations lorsque l’ons’intéresse uniquement aux invariants d’un degré donné, etc. Les progrès viendront principalementde l’étude théorique, sachant que cette approche fait naturellement apparaître des objetscombinatoires intéressants comme les spécialisations principales des polynômes de Schur et de1Schubert sur un alphabet de la forme (voir par exemple [Lit06, BD08]). Cette spécialisationprincipale joue aussi un rôle naturel dans les descriptions des polynômes de Macdonald1−qet de Schubert par leurs propriétés d’évaluation [Las07].