Alg`ebre combinatoire et effective : des graphes aux alg ... - Sage

CHAPITRE 1Algèbres commutatives graduéeset problèmes d’isomorphisme en combinatoireLe fil directeur de ce chapitre est l’encodage de familles d’objets combinatoires munies d’unerelation d’isomorphisme par des algèbres commutatives graduées. Dans un premier temps (section1), les objets combinatoires sont les (multi)graphes étiquetés, et l’algèbre est une algèbrede polynômes invariants pour une certaine action par permutation du groupe symétrique. Parla suite, le cadre est généralisé à un groupe de permutation fini quelconque (section 2), puisaux âges des structures relationnelles (section 3).La construction est toujours le même : les objets à un isomorphisme près forment la basede l’algèbre, la graduation étant donnée par la taille des objets. Le produit traduit alors toutesles manières de combiner deux objets pour en construire un plus gros; dans certains cas, uncoproduit traduit réciproquement comment un objet peut se décomposer en objets plus petits.L’objectif premier est d’appliquer des outils algébriques à cette construction pour obtenirdes informations sur les problèmes d’isomorphisme sous-jacent. Mais en retour cetteconstruction donne des modèles combinatoires riches sur lesquels certaines propriétés algébriquespeuvent être lues. Enfin la question de calcul efficace dans ces algèbres, et donc surces modèles combinatoires, est centrale, en particulier pour l’exploration informatique.1. Invariants algébriques de graphes et reconstruction1.1. Conjecture de reconstruction de graphes de Ulam. Le point de départ dema thèse est la fameuse conjecture de reconstruction de graphes de Ulam. Elle peut êtreexpliquée en quelques minutes à un non mathématicien. À cet effet, j’ai eu pendant des annéesen permanence dans ma poche le jeu de cartes (transparentes!) présenté dans la figure 3.Considérons un graphe simple (pas de boucles, pas d’arêtes multiples) non étiqueté commecelui à 5 sommets de la figure. Les cartes en dessous sont obtenues en supprimant à chaquefois un unique sommet du graphe original. Les graphes sont considérés à isomorphie près; enparticulier, on ne tient pas compte ici de la disposition géométrique des graphes. De ce fait lescartes 1 et 3 sont considérées comme identiques. L’ordre des cartes n’est pas significatif, maison tient cependant compte de leurs répétitions.Figure 3. Un graphe simple et le jeu de cartes associé17