Alg`ebre combinatoire et effective : des graphes aux alg ... - Sage

3. PROFIL ET ALGÈBRES D’ÂGE DES STRUCTURES RELATIONNELLES 25La stratégie est de mettre à jour des liens entre propriétés combinatoires de la structurerelationnelle et propriétés algébriques de l’algèbre d’âge. Par exemple, Maurice Pouzet a démontré,suite à une conjecture de Peter Cameron [Cam97] dans le cadre des groupes, quel’algèbre d’âge est essentiellement toujours intègre [Pou08]. Il s’ensuit alors, même si celan’est pas la démonstration la plus courte, que le profil est une fonction non décroissante.3.3. Décomposition monomorphe finie. Nous nous intéressons principalement à unnouveau cadre, celui des structures relationnelles admettant une décomposition monomorphefinie. Cette condition est suffisamment large pour couvrir la plupart des exemples mentionnésci-dessus (sont exclus l’algèbre des arbres ainsi que les fonctions quasi-symétriques et leursvariantes sur un alphabet infini, car leur croissance est exponentielle). Dans ce cas :Proposition 3.1 (Pouzet, T. [PT05, PT08b]). Soit R une structure relationnelle admettantune décomposition monomorphe finie. Alors, l’algèbre d’âge Q.A(R) se plonge dans lespolynômes en un nombre fini de variables (ou un quotient trivial de ceux-ci).Notre premier résultat principal donne des informations très précises sur le profil.Théorème 3.2 (Pouzet, T. [PT05, PT08a, PT08b]). Soit R une structure relationnelleadmettant une décomposition monomorphe finie avec k composantes infinies. Alors, l’âge estun langage rationnel, et le profil de la relation est une fraction rationnelle de la forme suivante :P(Z)(2)(1 − Z) · · ·(1 − Z k ) ,avec P ∈ Z[Z] et P(1) ≠ 0. En particulier ϕ R (n) ≈ n k−1 .Ce théorème confirme en particulier la conjecture 1.1 dans ce cadre.Le résultat précédent serait essentiellement trivial si l’algèbre d’âge était toujours finimentengendrée. C’est loin d’être le cas, et notre deuxième résultat principal est une caractérisationcombinatoire de ce fait.Théorème 3.3 (Pouzet, T. [PT05, PT08a, PT08b]). Soit R une structure relationnelleadmettant une décomposition monomorphe finie. Alors, l’algèbre d’âge est finiment engendréesi et seulement si la décomposition monomorphe est récursivement minimale. Dans ce cas,l’algèbre est un module de type fini sur une sous-algèbre jouant un rôle similaire à celle despolynômes symétriques.Plus généralement, notre objectif est d’étudier jusqu’à quel point il est possible de généraliserchacun des théorèmes et outils que j’ai utilisés en théorie des invariants (voir table 1).Les démonstrations reposent essentiellement sur des généralisations des techniques d’algèbresde Stanley-Reisner utilisées dans [GS84, Thi00a] pour étudier les invariants de groupesde permutations, sur les ordres d’élimination et sur la théorie de Ramsey.Cette recherche est basée sur l’exploration d’une multitude d’exemples. C’est toute larichesse des structures relationnelles : il y a une grande souplesse et, selon les contraintes quel’on se fixe, on peut construire toutes sortes d’exemples exotiques. Le prix à payer est qu’il n’ya pas de bonne structure de données générique pour représenter une structure relationnelle;en dehors de cas particuliers, le calcul sur machine est impuissant. De ce fait, en dehors dequelques calculs élémentaires de séries, l’exploration a été réalisée entièrement au tableau noir.3.4. Perspectives. Une des approches favorites du Phalanstère est de réaliser les algèbresde Hopf étudiées comme quotients ou sous-algèbres de l’algèbre des mots non-commutatifs.La combinatoire sous-jacente devient alors habituellement simple, ce qui permet de donnerdes démonstrations élémentaires de la plupart des propriétés algébriques. Cette approche secomplète bien avec l’approche opéradique de Jean-Louis Loday consistant en particulier àcasser les opérations (produit, coproduits) en plusieurs sous-opérations (algèbre dendriforme