Alg`ebre combinatoire et effective : des graphes aux alg ... - Sage

2. COMBINATOIRE POUR LA THÉORIE DES REPRÉSENTATIONS 15groupe de Coxeter fini. La théorie des représentations reste essentiellement inchangée : danstous les cas, elle est Morita-équivalente à celle de l’algèbre du treillis booléen [HT08].Nous avons finalement résolu le problème 2.1 avec Anne Schilling.Théorème 2.2 (Hivert, Schilling, T. [HST08, HST09]). Pour tout groupe de Weyl fini, etsauf pour quelques racines de l’unité, l’algèbre de Hecke groupe est le quotient naturel de laq-algèbre de Hecke affine via son action de niveau zéro.Ce quotient est de plus compatible avec la spécialisation centrale principale, et les modulessimples associés de l’algèbre de Hecke affine donnent, par restriction, les modules projectifs dela 0-algèbre de Hecke.Il reste maintenant plusieurs pistes à explorer ou en cours d’exploration : le comportementdu quotient de l’algèbre de Hecke affine par son action de niveau zéro lorsque q est une racinede l’unité, les liens avec les polynômes de Macdonald non symétriques, la généralisation à touttype du lien avec les fonctions de parking croissantes, etc. Surtout, il reste à répondre à laquestion : la richesse de la structure des algèbres de Hecke groupes est-elle intrinsèque, ousimplement une ombre portée des algèbres de Hecke affines?2.2. Opérateurs de promotion sur les graphes cristallins affines. En marge dusujet que je viens de décrire, j’ai participé à trois projets de recherche. Le premier, présenté ensection 2, s’y rattache directement via les outils utilisés (groupes de Weyl affines, actions deniveau zéro, graphes combinatoires). En effet, ceux-ci jouent un rôle essentiel dans l’étude desgraphes cristallins provenant des représentations de dimension finie des groupes quantiques affines.Une problématique importante, faisant l’objet d’une conjecture de Masaki Kashiwara, estla caractérisation de ces derniers comme produits tensoriels de graphes cristallins de Kirillov-Reshetikin. Avec Anne Schilling et Jason Bandlow nous étudions le type A (1)n . La combinatoiresous-jacente est celle des tableaux. Nous pensons que le cœur du problème est de montrer que,sur les produits tensoriels de k tableaux, le seul opérateur de promotion est induit par celuidéfini sur les tableaux par Schützenberger au moyen du jeu de taquin. La démonstration pourk = 2 fait l’objet d’un article de 31 pages [BST08].2.3. Algèbres de Kac. L’étude de tours d’algèbres et d’algèbres de Hopf m’a naturellementamené au deuxième projet de recherche (section 3), en collaboration avec Marie-ClaudeDavid, autour des algèbres de Kac de dimension finie. Cette catégorie d’algèbres de Hopfcontient simultanément les algèbres de groupe et leurs duales, et le point de vue est prochede celui de la théorie des groupes et de la théorie de Galois. Les questions centrales sont,par exemple, la détermination du groupe d’automorphismes et surtout du treillis des sousstructures.Ce dernier point est principalement motivé par l’existence d’une correspondancede Galois entre ce treillis et celui des facteurs intermédiaires de certaines inclusions de facteursde type II 1 . L’étude de deux familles infinies d’exemples fait l’objet d’une publication de 80pages [DT08].2.4. Polynômes harmoniques pour les opérateurs de Steenrod. Le dernier projetde recherche que je présente dans ce mémoire (section 4) est à l’intersection de mes deux voletsde recherche. Il concerne une conjecture de Reg Wood venant de topologie algébrique et faisantintervenir l’algèbre de Steenrod. On peut la formuler comme suit :Conjecture 2.3 (Reg Wood [Woo97], Hivert, T. [HT04a]). Le sous-espace des polynômesp de Q[x 1 , . . ., x n ] satisfaisant pour tout k l’équation aux dérivées partielles linéaire :(( )∂ ∂k( )∂ ∂k )1 + x 1 + · · · + 1 + x n p = 0∂x 1 ∂x 1 ∂x n ∂x nest isomorphe à la représentation régulière graduée du groupe symétrique. En particulier, ilest de dimension n!.