Alg`ebre combinatoire et effective : des graphes aux alg ... - Sage

34 2. COMBINATOIRE POUR LA THÉORIE DES REPRÉSENTATIONSCette même construction géométrique définit aussi une action de niveau zéro des opérateursπ 0 , . . .,π n de la 0-algèbre de Hecke H(W)(0) sur le groupe de Weyl classique ˚W. Maiscontrairement à ce qui se passe pour le groupe, cl(H(W)(0)) est plus gros que H(˚W)(0), carl’opérateur π 0 ne s’exprime pas en fonction de π 1 , . . .,π n . La dégénérescence de l’algèbre deHecke affine via l’action de niveau zéro est non triviale.On retrouve alors le même lemme combinatoire qu’en type A.Théorème 1.8 (S. T. 2008 [HST09]). Les opérateurs π 0 , . . .,π n agissent transitivement surle groupe de Weyl classique ˚W.Nous avons donné au cas par cas des algorithmes récursifs de tri-antitri pour les types classiquesdans le même esprit qu’en type A. Nous avons aussi vérifié sur ordinateur, pour tous lestypes exceptionnels, l’existence d’un algorithme utilisant le même schéma de récurrence. PourE 7 et E 8 , il a fallu utiliser astucieusement la structure des classes à droite; vérifier directementla forte connexité du graphe de l’action des opérateurs n’était évidemment pas souhaitable (696729 600 sommets). Enfin, nous avons donné une démonstration géométrique indépendante dutype. Les idées sous-jacentes s’inspirent de notes privées de Kashiwara [Kas08] sur les représentationsde dimensions finies des groupes quantiques, réinterprétées dans le contexte deschemins d’alcôves. La figure 7 illustre cette démonstration pour tous les groupes de Weyl derang 2.On réobtient comme conséquence de ce théorème un fait connu de Kashiwara :Corollaire 1.9. Les graphes cristallins affines finis (tels que ceux étudiés plus loin dans lasection 2) sont fortement connexes.1.3.4. Représentations de série principale de l’algèbre de Hecke affine. La fin de la démonstrationdu théorème 1.5, pour q générique, est une généralisation directe du type A. Pourréduire aux petites racines de l’unité les valeurs de q exceptionnelles, nous avons utilisé, sur lasuggestion d’Arun Ram, une autre approche.Le point de départ est que w 0 dans C˚W est un vecteur propre pour le tore commutatifC[Y α i] de l’algèbre de Hecke affine engendré par les opérateurs de Cherednic Y α i. On peutalors utiliser une construction classique, due elle aussi à Cherednic, qui permet de construirede nouveaux vecteurs propres grâce aux opérateurs d’entrelacement τ i (des déformations desT i qui commutent presque avec les Y j ). Cela revient à utiliser un graphe de Yang-Baxter pourun bon choix de paramètres spectraux (voir [Las03, section 10.7]).Nous avons alors montré que, lorsque q n’est pas une petite racine de l’unité, les valeurspropres sont suffisamment différentes (représentation calibrée) pour garantir que l’on a diagonalisésimultanément l’action des Y i sur CW. Plus précisément, la représentation de niveauzéro de l’algèbre de Hecke affine est un cas particulier de représentation de série principaleM(t) (voir par exemple [Ram03, section 2.5]), pour le caractère t : Y λ∨ ↦→ q − ht(λ∨) . La vérificationde la surjectivité du morphisme cl se fait alors grâce à un simple calcul de dimension;celui-ci relie le nombre de vecteurs propres où s’annulent les opérateurs τ 2 i avec la combinatoiredes descentes de ˚W.1.4. Exploration informatique. Dans cette recherche, l’ordinateur a été principalementun outil d’exploration : où y a-t-il de la structure? Quelles conjectures faire? Sur quellespropriétés s’appuyer? Quel est le bon point de vue? Par exemple, la vérification de l’existenced’un algorithme de tri-antitri récursif pour tous les types exceptionnels a fortement motivéla recherche d’une démonstration géométrique. Au final, la plupart des démonstrations sontélémentaires. Par exemple, il n’est pas difficile de dérouler la théorie des représentations del’algèbre de Hecke groupe, une fois que l’on a vu que la combinatoire sous-jacente est celle desdescentes dans le groupe de Coxeter. Ce travail a été aussi pour moi l’occasion, et c’était l’un