Alg`ebre combinatoire et effective : des graphes aux alg ... - Sage

40 2. COMBINATOIRE POUR LA THÉORIE DES REPRÉSENTATIONS1⊗1111⊗1111⊗1111⊗1111 01 010101⊗1122⊗1111⊗1122⊗1111⊗1122⊗1111⊗1122⊗1111 01 01 011011 01 01⊗1222⊗1121⊗1222⊗1121⊗1222⊗1121⊗1222⊗1121 01 010 110 11 01 01⊗2222⊗1221⊗2222⊗1221⊗2222⊗1221⊗2222⊗1221 01 010102⊗2222⊗2222⊗2222⊗222(aa) (ab) (ba) (bb)Figure 9. Les quatre graphes cristallins affines associés au graphe cristallinclassique B(1) ⊗ B(3) de type A 1 . Le graphe cristallin B 1,1 ⊗ B 3,1 correspond à(bb). Les autres ne proviennent pas de U q (ŝl 2)-modules.exploration informatique de rechercher systématiquement tous les opérateurs de promotion,et j’ai pris en charge l’algorithmique et la programmation de cette part. Dans l’état actueldes connaissances, cette recherche ne peut se faire que par recherche exhaustive, mais enutilisant des heuristiques de coupe de branches (séparation et évaluation), avec propagation decontraintes liées aux propriétés des opérateurs cristallins et exploitation partielle des symétries.Par exemple, pour le cas difficile de B(1) ⊗4 en type A 2 , où l’espace de recherche est a prioride taille 144473849856000, avec 2!3!3! = 72 symétries, l’algorithme explore 115193 branchesen 5 heures et 26 minutes (sur un PC Linux à 2 GHz ), utilisant 16Mo de mémoire. Au final,on obtient 8 opérateurs de promotion connexes isomorphes : 9 symétries sur les 72 ont pu êtreexploitées pour réduire l’espace de recherche. Encore une fois, l’explosion combinatoire estimportante; le rôle de ce travail a été de rendre possible (éventuellement au prix de quelquessemaines de calcul) l’étude d’exemples non triviaux, sans lesquels nous n’aurions pas établila conjecture 2.2. Par la suite, et une fois rentré dans le sujet, j’ai apporté quelques clefsessentielles de la démonstration. Étant familier avec les graphes et les problèmes d’isomorphie,j’ai de plus pu simplifier ou abstraire certains passages techniques.3. Algèbres de Kac et treillis de sous-facteurs3.1. Sous-facteurs. Ma collaboration avec Marie-Claude David a commencé à mon arrivéeà Orsay en 2004, grâce aux mots clefs « tours d’algèbres », « diagrammes de Bratelli » et« calculs dans les algèbres de Hopf ». Marie-Claude David s’intéresse aux inclusions de facteursde type II 1 obtenus via l’action d’une algèbre de Kac (Hopf-von Neumann) de dimension finie.Un facteur est une algèbre de von Neumann dont le centre est trivial. Les facteurs ontété classifiés par Murray et von Neumann (1943), Connes (1976), et finalement Haagerup. Endimension finie n, il existe à isomorphisme près un unique facteur : M n (C), et un uniquementplongement de ce facteur dans lui-même. De même, il existe un unique facteur R dit hyperfinide type II 1 ; on peut le construire comme limite d’une tour d’algèbres M n (C) emboîtées, oucomme algèbre du groupe S ∞ des permutations de N à support fini. En revanche, ce facteurde type II 1 admet de multiples plongements dans lui-même.L’étude des inclusions N ⊂ M d’indice fini, où N et M sont des facteurs hyperfinis detype II 1 et M est un module de dimension finie sur N a connu un essor considérable [JS97]depuis les articles fondateurs [Jon83, Jon85]. Dans ceux-ci, Vaughan Jones développe les