Alg`ebre combinatoire et effective : des graphes aux alg ... - Sage

Cdim 142 2. COMBINATOIRE POUR LA THÉORIE DES REPRÉSENTATIONSI 2 I 1 I 0 I 3 I 4dim 2L 3 L 1 L 5dim 3J 0 J 2 J 4 J 3 J 5 J 1 J 20dim 4K 42 K 41 K 1 K 21 K 22 K 23 K 24 K 25 K 26dim 6K 0 K 02 K 01dim 8K 4 K 3 K 2dim 12KD(6)dim 24Figure 10. Exemple de treillis de coidéaux : KD(6)petit pour pouvoir vérifier sur machine. Même à la machine, les calculs sont difficiles. Ils nécessitenttout d’abord une réflexion algorithmique. De fait, la construction des treillis de coïdéauxest encore loin d’être automatisée. Ils nécessitent aussi une infrastructure d’un haut niveaud’abstraction (voir les exemples en section 2.4). L’effort de développement que j’ai consentià cette occasion a permis de compléter considérablement l’algorithmique et l’infrastructurepour les algèbres de Hopf et la théorie des représentations des algèbres de dimension finie dans∗-Combinat; cela a déjà trouvé d’autres applications.3.4. Perspectives. L’étape suivante, que nous entreprenons avec Leonid Vainerman etson étudiante en thèse Camille Mével, est l’étude des exemples plus généraux venant de groupoïdesquantiques, qui correspondent à des inclusions non irréductibles. Cela permettra d’obtenir,pour de petites tailles, tous les treillis provenant d’inclusions d’indice fini et de profondeurfinie; celles-ci peuvent en effet toujours être réalisées comme inclusions intermédiaires d’inclusionsde profondeur 2, en général non irréductibles.De manière générale, les domaines environnants sont pratiquement vierges d’exploration informatique.Cela ouvre la porte à une multitude de problèmes intrinsèquement simples, non résolusjusqu’ici faute de moyens techniques appropriés, et posant des problèmes d’algorithmiqueou de modélisation intéressants. Une mine d’or potentielle, en particulier pour des étudiantsaimant à la fois les mathématiques et l’informatique. Par exemple : Leonid Vainerman m’ademandé comment déterminer le groupe d’automorphismes d’une certaine algèbre obtenue parproduit croisé de deux algèbres déformées du groupe symétrique S n . Pour n = 2, le résultatest trivial, les groupes étant commutatifs. Résoudre n = 3 (dimension 36) a de bonnes chancesde suggérer la solution pour tout n. Pour cela, il faudrait trouver un algorithme de complexitéraisonnable pour calculer tous les isomorphismes entre deux algèbres de Hopf (ou de Kac) dedimension finie. De même, il serait urgent de tester ce que les outils de géométrie algébrique