Essais & Simulations n°115

Dossier
Incertitudes de mesure
Résistance-contrainte
Influence de la propagation des incertitudes
paramétriques sur la probabilité de défaillance
par interaction entre deux lois de Weibull
Dans le cadre de la méthode « résistance-contrainte » basée sur l’interaction probabiliste entre deux
lois de Weibull, nous étudions la variabilité induite sur la probabilité de défaillance par les incertitudes
paramétriques du facteur de sécurité. Le caractère multiplicatif du modèle de propagation conduit directement
à des résultats simples et interprétables. On montre la sensibilité importante de la probabilité
de défaillance aux valeurs moyennes de la résistance et de la contrainte.
1. INTRODUCTION
Dans le cadre de la méthode « résistance-contrainte
», le modèle
d’interaction probabiliste entre deux
lois de Weibull offre une meilleure
souplesse d’adaptation que ceux
faisant intervenir des couples de lois
normale ou lognormale.
Considérons deux lois de Weibull,
représentatives des distributions de
la contrainte et de la résistance, notées
respectivement
Wc
[ η
c
, β
c
] et Wr
[ η
r
, β
r
]
ayant pour fonction de répartition :
(1) F w
x,
η,
β = 1−
exp−
x η
Expression dans laquelle η est le paramètre
d’échelle et β le paramètre
de forme.
Pour des composants mécaniques
suffisamment fiables, on a montré antérieurement
que la solution de l’intégrale
de convolution qui détermine la
probabilité de défaillance peut s’écrire
sous forme explicite, à partir d’un développement
limité [PIE-92]:
Abstract
In the framework of the « stress-strength » method based on the probabilistic
interaction between two Weibull distributions, we study the variability induced
on the failure probability by the parametric uncertainties of the safety
factor. The multiplicative character of the propagation model leads directly
to simple and interpretable results. We show the dramatic sensitivity of the
failure probability relating to the stress and strength mean values.
Key-words : “Stress-Strength” method, probabilistic interaction, Weibull
distribution, failure probability, multiplicative model, lognormal distribution,
uncertainty propagation, parametric sensitivity;
( ) ( ) β
( ) [ ( )]
βr
(2) Pd
≈ ηc
ηr
⋅ Γ 1+
β
r
βc
Il s’agit d’une approximation du premier
ordre qui majore la solution
exacte d’autant moins que la probabilité
de défaillance est faible (environ 1%
pour P d
≈ 10 -2 ).
Le rapport des paramètres d’échelle
(η r
/η c
), assimilable à un coefficient
près au facteur de sécurité, est nécessairement
supérieur à l’unité. Les paramètres
de forme déterminent la variabilité
des distributions : en général le
coefficient de variation de la contrainte
est inférieur à 100%, ce qui correspond
à une loi exponentielle (β c
≡1),
alors que celui de la résistance est nettement
plus faible, pratiquement compris
dans la plage 2.5% à 12% (soit :
50