Essais & Simulations n°115

Mesures et Methodes de Mesure
Simulation
Couplage mesure de champs / simulation numérique
pour l'identification de loi comportement
en mécanique des solides
Le développement récent des techniques de mesure de champs offre la possibilité d'accéder à un nombre
de données extrêmement important. Partant de ce constat, un certain nombre de techniques d'identification
de paramètres de loi de comportement en mécanique des solides ont été développées afin de tirer partie de
cette richesse. On peut citer la référence [1] pour une revue de ces techniques. Plus récemment, certains
auteurs [2,3] (se référer à l'encadré en bas de l'article) ont proposé d'utiliser des descriptions basées sur
les Éléments Finis pour la mesure de champs de déplacement par corrélation d'images numériques. Outre
une amélioration des performances métrologiques de la mesure, on peut envisager grâce à cette avancée
de coupler directement la mesure de champs par corrélation d'images numériques avec la simulation numérique
par Éléments Finis.
Dans la référence [4], les auteurs proposent
une régularisation mécanique
du problème de corrélation d'image
dans le cadre de la mécanique de la
rupture. Dans [5], cette régularisation
est utilisée à des fins d'identification
de paramètres de loi de comportement
(élasticité et endommagement). Nous
nous proposons ici d'en détailler les
points clés de cette approche et de
donner un exemple montrant ses potentialités
pour l'identification de paramètres
de loi de comportement non-linéaire.
Identification à partir de corrélation
d'images régularisée
La corrélation d'images est une méthode
d'identification de champs de
déplacement basée sur la conservation
des niveaux de gris. On suppose
que les modifications subit par l'image
entre deux instants sont dues uniquement
à l'advection passive de la texture
de l'image :
f (⃗x)=g(⃗x+⃗u(⃗x))
Ici, f est l'image de référence g l'image
déformée et u le champ de déplacement
à mesurer. Habituellement, on
procède par maximisation d'un coefficient
de corrélation entre une vignette
l'image de référence et cette même
vignette dont la position a été corrigée
par le déplacement recherché dans
l'image déformée. Ceci implique que le
déplacement est obtenu indépendamment
pour chaque point de mesure (les
centres des vignettes). Dans la suite,
on supposera comme dans [2,3] que le
champ de déplacement est décrit par
des fonctions de forme Éléments Finis
s'appuyant sur un maillage de la région
à étudier. On procède alors à une résolution
par moindres carrés non-linéaire
en essayant de minimiser l'écart quadratique
global entre l'image de référence
et l'image déformée corrigée par
le champ de déplacement.
Le champ de déplacement recherché
s'appuyant sur un maillage Éléments
Finis, il est assez immédiat d'augmenter
le problème de corrélation par des
considérations mécaniques. En l'absence
de forces de volume (type gravité),
le vecteur force interne calculé au
sens des Éléments Finis doit voir s'annuler
ses composantes pour les degrés
de liberté s'appuyant sur les nœuds
sans conditions aux limites. La régularisation
mécanique proposée dans [4]
est obtenue en ajoutant aux termes de
moindres carrés non-linéaires de la corrélation,
une pénalisation par la norme
quadratique des composantes du vecteur
force interne qui sont sensées
s'annuler. On obtient ainsi un champ de
déplacement vérifiant les équations de
la corrélation d'images mais ayant été
passé au filtre des équations d'équilibre
de la mécanique. Formulé autrement,
cela permet d'effectuer une simulation
Figure 1 : Comparaison des champs de
déplacement en pixel dans la direction de
traction obtenus par corrélation d'images
uniquement et par la méthode proposée.
numérique pilotée par des images sans
avoir besoin de conditions aux limites.
Le filtre mécanique ainsi introduit fait
intervenir une loi de comportement et
ses paramètres. On peut alors essayer
de minimiser l'écart quadratique entre
l'image de référence et l'image déformée
corrigée par le champ de déplacement
non seulement par rapport aux
inconnues en déplacement mais aussi
par rapport aux paramètres de la loi
de comportement intervenant dans la
régularisation mécanique [5]. On peut
montrer que la méthode d'identification
ainsi élaborée est optimale d'un point
de vue de la sensibilité au bruit de mesure.
De plus, dans les cas considérés
on montre que les résultats obtenus
sont quasiment indépendants du maillage.
Pour des lois de comportement
non-linéaire plus complexes (plasticité
par exemple), on peut envisager de
faire intervenir les forces extérieures
appliquées à l'échantillon. De plus, il
s'avère nécessaire de traiter une série
d'images prises au cours de la sollicitation.
Ainsi la quantité à minimiser
s'écrit :
1 T
∫
m 0
∬[f (⃗x ,t )−g(⃗x+P(⃗u (⃗x,t ),t))] 2 dSdt+ 1 1
∫ T
o
k o
p
0 dU T
(F e
(t )−F i (U (t )))dt
Essais & Simulations • OCTOBRE 2013 • PAGE 15