Essais & Simulations n°115

Dossier
Essais et Modelisation
de mettre en œuvre une séquence de
calculs algébriques assez fastidieuse
qui ne permet pas d’appréhender
clairement l’influence des approximations
successives impliquées dans ce
processus. En outre, elle fournit une
solution approximative d’autant moins
précise que la non linéarité du modèle
est prononcée, ce qui est le cas d’une
fonction puissance telle que celle apparaissant
dans (2).
2.2. Approche multiplicative
La structure du modèle (2) suggère une
approche plus pertinente : alors que la
propagation de distributions normales
est intrinsèquement adaptée aux modèles
linéaires de type additif (ce qui
n’est pas le cas ici), la propagation de
distributions lognormales l’est dans le
cas de modèles multiplicatifs [PIE-13].
Plusieurs avantages en découlent :
d’une part si les distributions des paramètres
d’entrée sont lognormales,
celle de la probabilité de défaillance
l’est aussi, d’autre part la solution correspondante
est formellement exacte
et peut être obtenue plus directement.
Le choix d’incertitudes paramétriques
distribuées suivant des lois lognormales
est tout aussi justifié que le choix
de lois normales, car dans ce dernier
cas la distribution de l’incertitude affectant
la probabilité de défaillance est assimilée
abusivement à une loi normale.
A la limite, les deux approchese se rejoignent
puisque la loi lognormale tend
vers une normale lorsque son coefficient
de variation est suffisamment
faible (son asymétrie positive s’atténue).
Nous faisons donc l’hypothèse
que les paramètres d’échelle sont
des variables aléatoires lognormales
notées LN c
[µ c
,σ c
] et LN r
[µ r
,σ r
] dont les
deux paramètres [µ i
,σ i
] sont ceux de la
loi normale parente dont découle la loi
lognormale par une transformation exponentielle
[PAP-84]. Dans ces conditions,
la probabilité de défaillance est
distribuée suivant une loi lognormale
notée LN d
[µ d
,σ d
] dont les deux paramètres
s’écrivent directement :
(3)
(4)
En théorie, la connaissance de ces
deux moments permet d’obtenir explicitement
toutes les caractéristiques
statistiques utiles qui caractérisent
la probabilité de défaillance : valeur
moyenne m d
, coefficient de variation γ d
,
et quantile X q
associé à une probabilité
Ϥ correspondant à un quantile Z q
de la
loi normale standardisée.
(5)
(6)
(7)
Cette approche permet de définir des
intervalles de confiance classiques bilatéraux
(associés par exemple à un
niveau de confiance de 90 %) ou une
mesure plus pertinente en terme de
risque (par exemple une probabilité de
dépassement de 1 % associée à une
probabilité de défaillance assignée).
3. SOLUTION APPROCHEE
Bien que les expressions précédentes
fournissent une solution complète et
explicite au problème posé, leur exploitation
en vue d’une analyse de
sensibilité paramétrique n’est pas
suffisamment simple. C’est pourquoi
il est souhaitable de les formuler différemment
et d’y introduire quelques
simplifications.
A cet effet, l’introduction des coefficients
de variation et du facteur de sécurité
(terme plus général que le coefficient
de garantie) est compatible avec
la formulation adoptée dans le cadre de
la méthode « résistance-contrainte »
[NFX-13], ce qui facilite l’analyse et
l’interprétation des résultats.
En ce qui concerne les caractéristiques
statistiques de la loi lognormale,
un développement limité de la relation
(6) montre qu’il est possible d’assimiler
le coefficient de variation µ d
à l’écarttype
σ d
. Ce dernier est un majorant tel
que pour σ d
≤ 20%, l’erreur commise
est inférieure à 1%. Dans les relations
(4 à 7) on peut donc valablement substituer
les coefficients de variation aux
écart-types correspondants.
Il reste à exprimer les paramètres
(µ c
,µ c
) intervenant dans la définition
des lois lognormales en fonction des
valeurs moyennes assignées à la résistance
et à la contrainte, dont le rapport
s’identifie au facteur de sécurité.
A partir de (5,6) on obtient sans approximation
:
(8)
En notant S 0
= (m r
/m c
) le facteur de
sécurité relatif aux valeurs moyennes
déterministes de la résistance et de
la contrainte (en l’absence d’incertitudes),
on constate en tenant compte
de (5) et (8), que l’introduction des incertitudes
relatives caractérisées par
(γ c
,γ r
) se traduit par une légère perturbation
telle que :
(9)
Pour des incertitudes relatives inférieures
à 15 %, une telle correction
peut être valablement négligée, ce qui
permet d’assimiler la variabilité des
paramètres d’échelle à celle des valeurs
moyennes de la résistance et de
la contrainte correspondantes. Alors,
compte tenu de (4) et (6), on peut exprimer
le coefficient de variation affectant
la probabilité de défaillance sous
une forme très simple :
(10)
On constate que la sensibilité de la
probabilité de défaillance aux incertitudes
susceptibles d’affecter les valeurs
moyennes de la résistance et de
Essais & Simulations • OCTOBRE 2013 • PAGE 58