MECHANIKA - MSc

Bojtár Imre
MECHANIKA - MSc
Elektronikusan letölthető előadásvázlat építőmérnök hallgatók
számára.
http://www.epito.bme.hu/me/htdocs/oktatas/oktatas.php
Kiadó: BME Tartószerkezetek Mechanikája Tanszék
Budapest, 2010
ISBN 978-963-313-009-4

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
BEVEZETÉS
Ez az előadásvázlat a BME Építőmérnöki Karán az MSc képzésben oktatott
Mechanika-MSc című tantárgy előadásainak anyagát tartalmazza, követve a 14 hetes
képzésben elhangzott legfontosabb tudnivalókat. Célja, hogy a hallgatók számára
vezérfonalat nyújtson a tárgy alapjainak elsajátításához.
Az anyag összeállításánál a szakmai tárgyak igényeit tekintettem a legfontosabbnak.
A modern szerkezettervezési eljárásoknak az építőmérnöki gyakorlatban is egyre
inkább szükségük van a nemlineáris viselkedés leírására alkalmas numerikus
módszerekre, ezek használatához pedig a mechanikai háttér ismerete szükséges.
Ebben a jegyzetben a nemlineáris feladatok vizsgálatához szükséges elméleti alapok
összefoglalása található. Ismertetem a nagy alakváltozások követéséhez szükséges
alakváltozási- és feszültségtenzorokat, bemutatok néhány fontos anyagmodellt,
részletesen tárgyalom az alapvető mechanikai egyenletek erős- és gyenge alakját és a
kétféle felírási mód közötti kapcsolatot. Az erő- és elmozdulásmódszer alapelveinek
bemutatása után a feszültségfüggvények használatán alapuló számítási mód
segítségével a pontosan megoldható alapfeladatok családját tárgyalom, majd ezt
követően részletesen bemutatom a hajlított gerendák, lemezek és héjak különböző
változatainak alapvető egyenleteit.
Köszönöm a Tartószerkezetek Mechanikája Tanszék minden dolgozójának szíves
tanácsát és megjegyzését. Külön köszönet illeti dr. Tarnai Tibort, dr. Gáspár
Zsoltot, dr. Bagi Katalint, dr. Kovács Flóriánt és Bibó Andrást fontos és hasznos
észrevételeikért. Fontos megemlíteni azt is, hogy a rajzokat Vilmos Zoltán
építőmérnök hallgató készítette.
Mottó:
Wir müssen wissen.
Wir werden wissen.
/Tudnunk kell, tehát tudni fogunk./
David Hilbert
10.06.20. 2

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
1. Előadás: Matematikai és mechanikai alapok
A jegyzet anyagának megértését segíti, ha az egyes mechanikai tartalmú részek
tanulmányozása előtt áttekintjük, hogy milyen matematikai eszköztárra lesz szükségünk. Az
előadásvázlat anyagának tanulása előtt nyomatékosan javasoljuk a jegyzet Függelékének
tanulmányozását.
Fontosságuk miatt külön is felhívjuk a figyelmet három olyan matematikai műveletre
illetve tételre, amelyekre az egész anyagban gyakran lesz szükségünk Ezek a következők:
alapműveletek tenzorokkal, gradiensképzés, Gauss integráltétele.
Mechanikai alapfogalmak
A legfontosabb matematikai alapfogalmakra történt hivatkozás után a nemlineáris
mechanikai feladatok vizsgálatához szükséges fogalmak tárgyalását kezdjük el.
Mivel általános esetben tetszőleges jellegű mozgások leírását kell majd megoldanunk, ezért a
mechanikai alapfeltételek rögzítése után először a mechanikai mozgások követésére alkalmas
leírási módokat kell majd megismernünk.
Alapfeltevések
Egy mérnöki szerkezet vizsgálatának módját alapvetően befolyásolja anyagának
modellezése. A valóságban minden anyag atomok (molekulák) halmazából áll, és szilárdsági
tulajdonságait végső soron az dönti el, hogy ezek az elemi részecskék milyen erősen és
milyen térbeli rendezettséggel kapcsolódnak egymáshoz. Egy harmadik alapvető tényező a
mikroszerkezetben lévő hibák száma és eloszlása. Ez azt jelenti, hogy igazán pontos
információink csak akkor lesznek egy anyag mechanikai viselkedéséről, ha a külső hatásokra
adott választ az anyag elemi részecskéinek szintjén keressük.
Tudásunk – és numerikus lehetőségeink - mai szintjén azonban ezt a módszert nem tudjuk
alkalmazni gyakorlati feladatok megoldására. Éppen ezért olyan egyszerűsítést kell
alkalmaznunk, ami a lehetőségek szerint megpróbálja legalább közelítőleg figyelembe venni
az elemi struktúra jellegzetességeit. Ma a leggyakrabban alkalmazott ilyen közelítés a
„kontinuum-modell”, éppen ezért a következőkben mi is ezt fogjuk alkalmazni. Ennek a
modellezésnek az a célja, hogy az anyag (szilárd test vagy folyadék) makroszintű
viselkedéséről adjon a lehetőségek szerint pontos leírást.
A kontinuummechanika legfontosabb alapfeltevése az, hogy a mechanikai vizsgálat tárgyát
képező testet (akár szilárd anyag, akár folyadék) kontinuum-számosságú pontok („anyagi
részecskék”, „anyagi pontok”) halmaza alkotja. A test minden mechanikai jellemzője (tömeg,
fizikai jellemzők, stb.) leírható a kontinuumot alkotó ponthalmaz térben és időben folytonos
függvényeivel. A kontinuumnak tekintett test belsejében vagy peremén csak véges számú
geometriai vagy szilárdságtani diszkontinuitást (repedés, lyuk, zárvány, stb.) engedünk meg,
ezek a kontinuummechanika szokásos eljárásaival még kezelhetők.
A kontinuummechanika időbeli változásokat vizsgál. A jellegzetes állapotok definiálásához
példaként tekintsünk egy olyan (tetszőleges dimenziójú) testet 1 , amelyet a t = 0
1 Ez lehet egy valóban szilárd test, de lehet egy adott térfogatú folyadék is.
10.06.20. 3

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
időpillanatban Ω
0 állapotú belső tartománnyal és Γ
0 peremmel jellemezhetünk (lásd az 1.1.
ábrát):
1.1. ábra: Kiindulási és pillanatnyi állapot
A test Ω0-lal jellemzett (t = 0 időhöz tartozó) helyzetét a továbbiakban kezdeti állapotnak
(vagy „kiindulási konfiguráció”-nak) fogjuk nevezni.
A mechanikai egyenletek megfogalmazásához feltétlenül szükségünk lesz egy olyan
helyzetre is, amihez viszonyítva fel tudjuk írni azokat. Ezt hívják a mechanikában hivatkozási
állapotnak (vagy más néven „referencia konfiguráció”-nak). Ebben a jegyzetben – hacsak
külön fel nem hívjuk a figyelmet az ettől való eltérésre – az egyszerűség kedvéért
feltételezzük, hogy a kezdeti (kiindulási) és a hivatkozási (referencia) állapot mindig
megegyezik!
Egy harmadik rendszert alkothatunk annak feltételezésével, hogy általános esetben a vizsgált
anyagi test deformálatlan 2 állapota különbözik mind az időbeli folyamatokat jellemző
kezdeti, mind az alapegyenletekhez szükséges hivatkozási állapottól. A vizsgálatok
egyszerűsítése miatt most ettől a különbségtételtől is eltekintünk, a deformálatlan állapotot
szintén azonosnak tekintjük a kezdeti konfigurációval.
A test mechanikai állapotának a külső hatások miatt bekövetkező változása az időben
lejátszódó folyamat. Egy tetszőleges t időpontbeli állapothoz tartozó helyzetet jellemeztünk a
fenti ábrán Ω jellel. Természetesen a hozzá tartozó perem is változott, ezt jelöltük most Γ -
val. Ezt a helyzetet hívják a mechanikában pillanatnyi állapotnak (egyes szerzők deformált
állapotként említik).
2 A deformálatlan állapot létének feltételezése természetesen erős egyszerűsítés, hiszen egy testnek
soha nincs ilyen helyzete a valóságban. Ennek ellenére mechanikai modelljeinkben elfogadjuk ezt,
mert a vizsgálni kívánt külső hatások okozta változásokat mindig jelentősebbnek gondoljuk az
eredetileg is meglévő deformációkhoz képest.
10.06.20. 4

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
A kezdeti és a pillanatnyi konfigurációhoz tartozó anyagi pontok koordinátáit az ábrán
jelképesen X és x koordinátákkal jelöltük. A két állapot közötti változást (magának a testnek
x =Φ X,t függvény jellemzi.
az u elmozdulás-függvénnyel leírható időbeli mozgását) az ( )
A továbbiakban ezeknek a változóknak az értelmezésével foglalkozunk.
Euler 3 - és Lagrange 4 -koordináták
Mechanikai feladatok jellemzésére a kezdeti és pillanatnyi konfigurációkban kétféle
koordináta-rendszert használunk. Az egyiket a kezdeti, a másikat a pillanatnyi állapothoz
rögzítjük, úgy ahogy az előbbi pontban láttuk.
a./ Az X = X i e i rendszer a továbbiakban az anyagi pont helyzetét jelöli a kezdeti
(hivatkozási) állapotban, értéke nem változik az időben. A mechanikában ezt anyagi vagy
más néven Lagrange-koordinátáknak nevezik.
b./ Az x = x i
e i rendszer jelzi az anyagi pont helyzetét a pillanatnyi állapotban. Ennek
térbeli vagy más néven Euler-koordináta a neve.
A mozgás jellemzésére a két bázis közötti kapcsolatot leíró függvényt kell megadnunk. Erre a
célra szolgál az
x = Φ( X,t)
(1.1)
összefüggés, amely a test (a test pontjainak) transzformálását végzi a hivatkozási állapotból a
pillanatnyi állapotba.
A kétféle koordináta-rendszer és a közöttük felírható transzformáció illusztrálására
bemutatunk egy egyszerű példát. Legyen egy deformált 3D test metszetének alakja az ábrán
látható paralelogramma. A kezdeti alak egy L1 × L2× 1 oldalhosszúságú téglatest volt, ennek
2D metszetét vékony vonallal ábrázoltuk.
1.2. ábra: Koordinátatranszformáció
3 Leonhard Euler (1707 – 1783) svájci származású matematikus, a legnagyobb tudósok egyike.
Életéről lásd a tanszéki honlapon levő életrajzot: „Euler és a kihajlás vizsgálata”.
4 Joseph Louis Lagrange (eredeti nevén Giuseppe Lodovico Lagrangia, 1736 - 1813) olasz
származású, de élete nagy részében Franciaországban élő kiváló matematikus.
10.06.20. 5

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
A (síkbeli) változást az időfüggő θ ( t)
= ω t szögváltozás okozza, itt ω az ismertnek (és
konstansnak) feltételezett szögsebesség, t pedig az idő. Az eredetileg vízszintes szálak az
elmozdulás során is vízszintesek és változatlan hosszúságúak maradnak. A harmadik
irányban a méret változatlan marad.
Határozzuk meg egy X∈ Ω
0 pont időfüggő helyzetét t =π / 4 és ω = 1 esetén. Legyenek a
vizsgált pont koordinátái t = 0-nál a következők: [ / 2 / 2 1]
L L .
1 2
A keresett térbeli (Euler) koordináták:
x = X + tg θ X = ( L + L ) / 2,
1P 1P 2 P 1 2
x = X = L
x
2 P 2 P 2
= X = 1.
3 P 3P
A mechanikai folyamatok modellezésének különböző lehetőségei
/ 2,
(1.2)
A nemlineáris mechanikai jelenségek matematikai leírására alapvetően két különböző
lehetőségünk van.
Ha egyenleteinkben a független változók az anyagi koordináták és az idő függvényei, akkor
anyagi vagy más néven Lagrange-féle leírási módról beszélünk, ha pedig a független
változók a térbeli koordináták és az idő, akkor térbeli vagy más néven Euler-féle leírási
módot használunk. A kétféle leírási mód elméletileg teljesen egyenértékű, a gyakorlati
számításoknál (például a végeselemes modellezésnél) azonban jelentős különbségek
adódhatnak a kétféle technika között. Bár éles határt megszabni nem lehet, mert sokféle
szempontot kell figyelembe venni a választásnál, de a szilárd testek nemlineáris feladatainál
többnyire a Lagrange-, míg áramlástani problémáknál legtöbbször az Euler-féle leírásmódot
használják 5 .
Elmozdulás, sebesség és gyorsulás
A következőkben megadjuk azokat az alapvető összefüggéseket, amelyek segítségével a
testek mozgásának mechanikai jellemzői számíthatók. Elsőként az elmozdulás függvényének
számítását mutatjuk be. Az elmozdulásokat az egyes anyagi pontoknál a kétféle bázis
koordinátáinak a különbsége fogja megadni (megadjuk indexes alakban is):
u = x- X = Φ( X, t) − Φ( X,0), u X, t = u e , u =φ ( X , t)
− X . (1.3)
( )
i i i i j i
Az elmozdulások ismeretében a sebesség függvénye is számítható. Anyagi (Lagrange)
leírásmód esetén a transzformáló függvény idő szerinti deriválása egyszerűen végrehajtható,
mivel a Lagrange-koordináták nem függnek az időtől. Ezt a műveletet az anyagi változók idő
szerinti deriválásának, vagy rövidebben anyagi idő szerinti deriválásnak (vagy más néven
anyagi deriválásnak) nevezzük.
∂Φ( X, t) ∂u( X, t)
v( X, t) = uɺ = = .
(1.4)
∂t
∂t
5 Létezik olyan numerikus technika is, amely mindkettőt egyszerre használja, mi azonban az MSc
képzésben ezzel nem foglalkozunk, ez a későbbi PhD-tanfolyamok témája.
10.06.20. 6

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
A következő mozgásjellemző a gyorsulás függvénye. Ha itt is az anyagi idő szerinti deriváltat
használjuk, akkor az eredmény a következő:
2
∂v( X, t) ∂ u( X, t)
a( X, t)
= vɺ = = . (1.5)
2
∂t
∂t
A gyorsulás-függvény számítását megadjuk arra az esetre is, amikor a sebességfüggvényt
térbeli koordinátákkal fejezték ki.
Ilyen esetben a térbeli koordinátákkal felírt v( x,t ) sebességfüggvényt először a Lagrangekoordináták
segítségével kell megadni, ehhez pedig az x =Φ( X,t ) transzformáló függvényt
használjuk. Így az új alak: v ( Φ ( X , t ),
t ) , és most már alkalmazhatjuk az anyagi idő szerinti
deriválást, figyelembe véve a láncszabály szerinti deriválást:
Dv
i ( x , t) ∂v i ( x, t) ∂v i ( x, t) ∂Φ
j ( X , t)
∂v i
∂v i
= + = + v
Dt ∂t ∂x ∂t ∂t ∂x
j
j
j
, (1.6)
A ∂v
/ ∂ t tagot hívják térbeli idő szerinti deriváltnak. Tenzor alakban is felírjuk ugyanezt a
deriválást:
i
( ) ∂ ( )
Dv x, t v x, t ∂v
= + v⋅∇ v = + v⋅( grad v)
T
. (1.7)
Dt ∂t ∂t
Példaként megadjuk a sebességfüggvény (bal) gradiensének tenzorát kétdimenziós esetre
részletesen is (háromdimenziós esetre ugyanilyen módon számítható):
T ⎡vx, x vy,
x ⎤
∇ v = ( grad v)
= ⎢ ⎥ .
(1.8)
⎢⎣
vx, y vy,
y ⎥⎦
Megjegyezzük, hogy ez a számítási módszer általánosítható: ha például egy térbeli
f x, t skalár, vagy egy (ugyancsak Euler-változókat használó)
koordinátákkal felírt ( )
σ ( x, t)
tenzor deriválását kell elvégezni, az anyagi idő szerinti deriváltak a következők
i j
lesznek:
Df ∂f ∂f ∂f ∂f
= + vi
= + v ⋅∇ f = + v ⋅grad f ,
Dt ∂t ∂x ∂t ∂t
i
Dσ i j ∂ σ i j i j σ
σ
v
∂ σ
= + k = ∂ + v ⋅∇ σ = ∂ + v ⋅grad σ.
Dt ∂t ∂x ∂t ∂t
Deformációgradiens 6 -tenzor:
k
(1.9)
(1.10)
A nemlineáris mechanika alakváltozás- és feszültségtenzorainak előállításához szükségünk
lesz a Lagrange- és az Euler-koordináták közötti differenciális kapcsolatra. Ezt az
összefüggést
∂Φ
∂x
T
F = = = ( ∇
0Φ) = grad Φ
(1.11)
∂X
∂X
alakban szokták megadni, ahol a nabla operátor „nulla” indexe az anyagi koordináták szerinti
deriválásra utal 7 . Az F tenzort deformációgradiens-tenzornak hívják, matematikailag ez a
6 Egyes könyvekben alakváltozás-gradiensnek is nevezik.
10.06.20. 7

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Φ ( X,t ) mozgásfüggvény Jacobi 8 -mátrixa. Ez a nemlineáris mechanika egyik legfontosabb
tenzora. Megjegyezzük, hogy igen gyakori alkalmazása miatt a továbbiakban sokszor röviden
csak „gradiens-tenzor” néven említjük. Ez az elnevezés matematikailag természetesen nem
pontos, de eléggé elterjedt.
Ha egy hivatkozási állapotot leíró rendszerben a dX hosszúságú elemi vonaldarab új hosszát
a pillanatnyi koordináta-rendszerben kívánjuk meghatározni, akkor erre a célra a gradienstenzort
használva az alábbi összefüggést kapjuk:
dx = F ⋅ dX
. (1.12)
Fontossága miatt a deformáció-gradiens tenzort részletesen is felírjuk. Derékszögű
koordináta-rendszerben elemei a következők:
⎡ ∂x
∂x
∂x
⎤
⎢∂X
∂Y
∂Z
⎥
⎢ ∂y
∂y
∂y
⎥
F = ⎢
⎥ . (1.13)
⎢∂X
∂Y
∂Z
⎥
⎢ ∂z
∂z
∂z
⎥
⎢
⎣∂X
∂Y
∂Z
⎥
⎦
Ugyanez hengerkoordináta-rendszerben:
⎡ ∂r 1 ∂r ∂r
⎤
⎢ ∂R R ∂Θ ∂Z
⎥
⎢
⎥
∂β r ∂β ∂β
F = ⎢r
r ⎥
. (1.14)
⎢ ∂R R ∂Θ ∂Z
⎥
⎢
⎥
⎢
∂z 1 ∂z ∂z
⎥
⎢⎣
∂R R ∂Θ ∂Z
⎥⎦
A gradiens-tenzor determinánsát J-vel jelöljük a továbbiakban, mechanikai számításokban
többnyire Jacobi-determináns néven fogunk rá hivatkozni:
J = det(F) . (1.15)
Erre a determinánsra például akkor is szükség lesz, amikor a kétféle rendszerben számított
(például térfogati, területi) integrálok közötti kapcsolatot kell megteremtenünk:
f dΩ = f J dΩ
∫ ∫
. (1.16)
0
Ω
Ω0
Megjegyezzük, hogy a Jacobi-determináns anyagi idő szerinti deriváltját is használni
fogjuk a mechanikai alapegyenletek átalakításakor. A láncszabályt alkalmazva:
DJ ∂J
= J&
= : F & (1.17)
Dt ∂ F
A determináns gradiens-tenzor szerinti deriválásánál felhasználjuk a Függelék (F.53) alatti
∂ J
T
képletét: =
−
J F . Ezt behelyettesítve és felhasználva a Függelék (F.24)-es képletét:
∂F
7 Megjegyezzük, hogy ebben az előadásvázlatban a bal gradienst fogjuk használni, de tudnunk kell,
hogy a szakirodalom ebben nem egységes.
8 Carl Gustav Jacob Jacobi (1804 – 1851) német matematikus. Elsősorban lineáris algebrával és
függvénytannal foglalkozott.
10.06.20. 8

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
DJ
−T −T −T T
= J&
= J F : F= & J F : LF = JF F : L = J I:grad
v=
Dt
(1.18)
∂ ⎛ ∂Φ( X,
t) ⎞
−1 −1
= J tr ( grad v)
= J div v, ahol L = ⎜ ⎟F = FF & .
∂t
⎝ ∂X
⎠
Megjegyezzük, hogy az 1.3 alatti képlet felhasználásával a deformáció-gradiens tenzor
számítása kicsit másképpen is felírható:
u = x - X ⇒ x = u + X = Φ( X, t)
(1.19)
Ezt figyelembe véve:
∂x
F = = grad ( X + u( X, t) ) = I + grad u = I + H . (1.20)
∂X
Az ebben az egyenletben szereplő H tenzort elmozdulás-gradiens tenzornak szokás nevezni
(I az egységtenzort jelenti).
A deformáció-gradiens tenzor használatára bemutatunk egy egyszerű kétdimenziós példát.
Legyen a kétfajta bázis közötti kapcsolat (a transzformációs függvény) a következő:
3 1
x1 = 4 − 2 X
1
− X
2, x
2
= 2 + X
1
− X
2
.
2 2
Az Ω
0
tartományt a következő ábrán látható, egységoldalú négyzet jelenti. A vázlaton
feltüntettük az Ω tartományt is. A kezdeti konfigurációban egy egységnyi hosszúságú a
0
, a
pillanatnyi konfigurációban pedig egy ugyancsak egységnyi hosszúságú b vektort vettünk
⎡ 1 1 ⎤
fel: ( a
0
= ⎢ ⎥ , b = [ 1 0 ] ).
⎣ 2 2 ⎦
1.3. ábra: Gradiens-tenzor alkalmazása
10.06.20. 9

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Határozzuk meg a gradiens-mátrixot és inverzét, valamint a pillanatnyi konfigurációban a, a
kezdeti konfigurációban pedig b
0
vektorának értékét. Mátrixjelöléseket fogunk használni.
Az (1.13) képlet felhasználásával a következőt kapjuk:
⎡ 1 2 ⎤
⎡−2 −1
⎤ ⎢
−
1 5 5 ⎥
F = ⎢
3 1
⎥ , F − = ⎢ ⎥ .
⎢ − ⎥ ⎢ 3 4 ⎥
⎣ 2 2 ⎦ − −
⎢⎣
5 5 ⎥⎦
Az egyes vektorok:
⎡−2 −1
⎤ ⎡ 1/ 2 ⎤ 1 ⎡−3⎤
1/ 2
a = F a0
= ⎢
3 1
⎥ = , a = 5 .
⎢ ⎥ ⎢ 1/ 2
⎥ ⎢
2 1
⎥
− ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
⎣ 2 2⎦ ⎣ ⎦
⎡ 1 2 ⎤
1/ 2
⎢
−
1 5 5 ⎥
−
⎡1⎤ 1 ⎡1⎤ ⎛ 2 ⎞
b0 = F b = ⎢ ⎥ , b
0
.
3 4
⎢
0
⎥ = − =
5
⎢
3
⎥ ⎜ ⎟
⎢ 5
− − ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠
⎢⎣
5 5 ⎥⎦
Nanson 9 -képlet
A későbbiekben a feszültségtenzorok számításánál lesz szükségünk az anyagi és a pillanatnyi
rendszerben vizsgált elemi területhez tartozó normálisok közötti kapcsolat felírására. Ezt az
összefüggést hívják Nanson-képletnek:
−1
n dA= J n ⋅ F dA
(1.21)
0
Bizonyításához rendeljünk vektorokat az elemi tartományokhoz:
dA = n dA, dA 0 = n 0 dA 0 . (1.22)
Egy elemi térfogat a két különböző bázisban:
dV = dA⋅ dx = J dV = J dA ⋅ dX
(1.23)
10.06.20. 10
0 .
0 0
.
Mivel dx = F ⋅ dX
, így
ndAF dX= J n0dA0
d X.
(1.24)
Innen rendezés után adódik a Nanson-képlet.
A mechanikai mozgás vizsgálatához szükséges feltételek:
A mozgások vizsgálatához kapcsolódó legfontosabb alapfogalmak bemutatása után
összefoglaljuk a transzformáló függvény lényeges tulajdonságait:
- A Φ( X,
t)
függvény minden esetben folytonosan differenciálható kell, hogy legyen,
így a függvény egyértelmű kapcsolatot teremt a referencia és a pillanatnyi állapot
között (fizikai jelentés: nincsenek szakadások),
- A Jacobi-determinánsnak mindig pozitív ( J > 0 ) értékűnek kell lennie (fizikai
jelentés: véges térfogat nem tűnik el).
Merevtestszerű forgás és eltolódás
9 Edward John Nanson (1850 – 1936) angol matematikus.

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Egy test mozgásának különleges esete az az állapot, amikor a testben a mozgás során
semmilyen megnyúlás vagy szögtorzulás nem keletkezik. Ezt a mozgásváltozatot hívjuk
merevtestszerű helyváltoztatásnak. A mechanikai modellezésben mindig két hatás
kombinációjaként vizsgáljuk, egy merevtestszerű eltolódás és egy hasonló fizikai tartalmú
elfordulás összegeként:
x( X, t) = R( t) ⋅ X + x T
( t)
(1.25)
ahol az x T
vektor a merevtestszerű eltolódást, míg az R( t)
⋅ X tag a merevtestszerű
elfordulást jelzi. Az ortogonális R tenzort
T
R R=I (1.26)
a nagy mozgásokhoz tartozó forgató (vagy rotációs) tenzornak nevezik. A forgató tenzorok
segítségével írható le két – egymáshoz képest elforgatott – bázis közötti transzformáció.
Például egy tenzor oda-vissza történő transzformálása a következőképpen hajtható végre:
ˆ T , ˆ T
D= R DR D= R DR (1.27)
Szögsebesség
A forgó mozgás hatásának leírásához szükségünk lesz a szögsebesség definiálására is. Ehhez
a szögsebességtenzort fogjuk használni, azt pedig az alábbi módon definiáljuk. A
merevtestszerű mozgás idő szerinti deriválását felírva:
x& ( X , t ) = R&
( t)
⋅ X+x& T
( t)
, (1.28)
és ebbe a képletbe behelyettesítve a Lagrange-koordináták helyébe az Euler-változókat, az
alábbi egyenlethez jutunk:
v=x & = R&
⋅R T ⋅( x − xT ) + x& T
= Ω ⋅( x − xT ) + x&
T ,
(1.29)
ahol Ω a – ferdén szimmetrikus – szögsebességtenzor.
1.1 Példa
Egy háromszög három sarokpontjának mozgásegyenletei a következők („a” és „b” ismert
állandók):
1.4. ábra: Háromszög elforgatása
Az első ábra a t = 0, a második a t = 1 időponthoz tartozó állapotot mutatja.
π t
π t
x1 ( t) = y1( t) = 0, x2( t) = 2(1 + at) cos , y2( t) = 2(1 + at)sin ,
2 2
10.06.20. 11

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
π t
π t
x3( t) = − (1 + bt)sin , y3( t) = (1 + bt) cos ;
2 2
Számítsuk ki a deformáció-gradiens tenzort, és vizsgáljuk meg, hogy milyen „a” és
„b” mellett lesz pozitív a Jacobi-determináns:
Írjuk fel először az elem egy belső pontjának pillanatnyi koordinátáit a háromszög
területkoordinátáinak 10 A
segítségével ( ξ
i
i
= ):
A
x = x ( t) ξ + x ( t) ξ + x ( t) ξ , y = y ( t) ξ + y ( t) ξ + y ( t) ξ .
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
1.2 Példa
A kezdeti konfigurációnál (t = 0 pillanatban):
X = X ξ + X ξ + X ξ , Y = Y ξ + Y ξ + Y ξ
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 .
Helyettesítsük be ide a deformálatlan konfiguráció koordinátáit:
X = X = 0, X = 2, Y = Y = 0, Y = 1. A két kifejezésből azt kapjuk, hogy:
1 3 2 1 2 3
1
X = 2 ξ2 , Y = ξ3 → ξ2 = X , ξ3
= Y .
2
Helyettesítsük be ezeket (és a mozgásegyenleteket is) az általános pont koordinátáit
meghatározó kifejezésekbe:
π t
π t
x( X, t) = X (1 + at) cos − Y (1 + bt)sin ,
2 2
π t
π t
y( X , t) = X (1 + at)sin + Y (1 + bt) cos .
2 2
A deformációgradiens-tenzor mátrixa innen már számítható:
⎡ ∂x ∂x ⎤ ⎡ π t π t ⎤
⎢ (1 + at)cos − (1 + bt)sin
∂X
∂Y
⎥ ⎢ 2 2 ⎥
F = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ .
⎢ ∂y ∂y ⎥ ⎢ π t π t
(1 + at)sin (1 + bt) cos ⎥
⎢⎣
∂X
∂Y
⎥⎦
⎣⎢ 2 2 ⎦⎥
A determináns: J = det( F ) = (1 + at)(1 + bt).
Ha a>0 és b>0, akkor a determináns
mindig pozitív. Ha a=b=0, akkor J = 1, ez a deformáció nélküli forgás esete. Ha
b = − a /(1 + at) , akkor J szintén konstans marad (ekkor a mechanikai változást
izochor 11 -nak nevezik).
Vizsgáljunk meg az origó körül állandó ω szögsebességgel forgó elemet. Határozzuk meg a
gyorsulásvektort anyagi és térbeli leírásmóddal, valamint számítsuk ki a deformációgradiens
mátrixát!
⎡x⎤ ⎡cosω
t −sinω
t⎤ ⎡X
⎤
x( t) = R( t) X ⇒ ⎢ .
y
⎥ = ⎢
sin t cos t
⎥ ⎢
Y
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ω ω ⎦ ⎣ ⎦
⎡vx
⎤ ⎡ x&
⎤ ⎡−sinω
t − cosω
t⎤ ⎡ X ⎤
A sebességvektor: ⎢ ω
.
v
⎥ = ⎢
y y
⎥ = ⎢
cosω
t −sinω
t
⎥ ⎢
Y
⎥
⎣ ⎦ ⎣ & ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
A gyorsulásvektor anyagi koordinátákkal:
10 Lásd például a végeselemes technikában használt lokális koordinátarendszereket.
11 Állandó térfogatú.
10.06.20. 12

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
⎡ax
⎤ ⎡v&
x ⎤
2 ⎡−
cosω
t sinω
t ⎤ ⎡ X ⎤
⎢ ω
.
a
⎥ = ⎢
y
v
⎥ = ⎢
y −sinω
t − cosω
t
⎥ ⎢
Y
⎥
⎣ ⎦ ⎣
&
⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Ha a sebességet térbeli koordinátákkal kívánjuk megadni, akkor először az X és Y
anyagi koordinátákat ki kell fejeznünk x és y térbeli koordináták segítségével:
⎡vx
⎤ ⎡−sinω t − cosω t⎤ ⎡ cosω t sinωt ⎤ ⎡x⎤ ⎡−
y⎤
⎢ ω
ω .
v
⎥ = ⎢ =
y cosωt −sinωt ⎥ ⎢
−sinω t cosω
t
⎥ ⎢
y
⎥ ⎢
x
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Az idő szerinti derivált a gyorsuláshoz:
Dv ∂v ⎡∂vx / ∂t ⎤ ⎡∂vx / ∂x ∂vy
/ ∂x⎤
= + v ⋅∇ v = ⎢ + ⎡vx
v ⎤
y
=
Dt t ∂vy / ∂t ⎥ ⎣ ⎦ ⎢
∂vx / ∂y ∂vy
/ ∂y
⎥
∂ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ 0 ω⎤
= [ 0 0 ] + ⎡
⎣vx v ⎤
y ⎦ ⎢ = ω ⎡−vy v ⎤
x
.
−ω
0
⎥ ⎣ ⎦
⎣ ⎦
Ha a sebességekre előbb kapott összefüggést ide behelyettesítjük, akkor az
⎡ax
⎤
2 ⎡x⎤
⎢ ω
a
⎥ = − ⎢
y y
⎥ eredményt kapjuk, ami a centripetális gyorsulás vektora.
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
A deformáció-gradiens:
∂ x ⎡cosω
t −sinω
t⎤
F = = .
∂ X ⎢
sinω
t cosω
t ⎥
⎣ ⎦
Felhasznált irodalom:
1./ Holzapfel, G. A.: Nonlinear Solid Mechanics, Wiley 2001.
2./ Fung, Y. C.: Foundation of Solid Mechanics, Prentice Hall, 1965, 1994, 2007.
3./ Mang, H. – Hofstetter, G. : Festigkeitslehre, Springer, 2000.
4./ Belytschko, T. – Liu, W.K. – Moran, B. : Nonlinear finite elements for continua and structures,
John Wiley, 2000.
5./ Wriggers, P. : Nonlinear Finite Element Methods, Springer, 2008.
6./ Ibrahimbegovic, A. : Nonlinear Solid Mechanics, Springer, 2009.
10.06.20. 13

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
2. Előadás: Az alakváltozás fogalma, kis és nagy alakváltozások,
alakváltozás-tenzorok
Az alakváltozás fogalmának definiálása
Az alakváltozások a mérnöki munka legfontosabb paraméterei közé tartoznak. Kiemelkedő
jelentőségüket elsősorban az okozza, hogy az összes mérnöki változó közül ezeket lehet a
legkönnyebben és legpontosabban laboratóriumi mérésekkel ellenőrizni, hiszen nagyságukat
a próbatesteken vagy akár valós mérnöki szerkezeten hosszmérések segítségével meg lehet
állapítani.
Laboratóriumi 1D húzókísérletek segítségével egyszerűen lehet mérni például a próbatest
adott irányban történő megnyúlását 12 . A méretváltozás segítségével definiálható alakváltozást
az l 0
eredeti (x irányú) hossz segítségével a következőképpen számítjuk:
l
λ
x
= ,
(2.1)
l
0
ahol l = l0 + ∆l , ∆ l pedig a mért x irányú hosszváltozás. A λ
x
-et az „x” irányú nyúlásnak
nevezzük (angol neve „stretch”), és főleg a polimerek, kompozitok és bioanyagok
mechanikájában használatos mérőszám olyan esetek vizsgálatánál, amikor a létrejövő
nyúlások jelentősek, összevethetők akár a szerkezet eredeti méreteivel is. A λ
nyúlásparaméter abszolút értéke mindig egynél nagyobb, dimenziója – lévén egyszerű arány
– nincs.
Másféle 1D alakváltozások
A klasszikus építő- és gépészmérnöki gyakorlatban az előző pontban használt nyúlás helyett
inkább annak eggyel csökkentett értékével szokás dolgozni. Jelölésére szintén görög kisbetűt,
az ε -t használják a mérnökök:
∆l
ε
x
= λ
x
− 1= . (2.2)
l
Ennek a paraméternek a neve: mérnöki alakváltozás. Olyankor használják, amikor értéke
egynél kisebb, a ∆ l > l esetben inkább az előbb bemutatott λ nyúlással dolgoznak a
mérnökök.
Megjegyezzük, hogy néha szükség lehet az úgynevezett logaritmikus 13 (vagy más néven
valódi, vagy természetes) alakváltozás használatára is. Ezt az elemien kicsiny szálak
12 Megjegyezzük, hogy nagy alakváltozásoknál a felhasznált és/vagy vizsgált anyagok fizikai
természete miatt többnyire valóban csak megnyúlást vizsgálnak, összenyomódást nagyon ritkán, és
ezért a mi szóhasználatunk is ehhez alkalmazkodik.
13 Fogalmát Paul Ludwik német gépészmérnök (1838 – 1934) vezette be 1909-ben (lásd: Ludwik, P.:
„Elemente der Technologischen Mechanik”, Springer, Berlin, 1909). Később a magyar származású
amerikai tudós, Nádai Árpád (1883 – 1963) is sokat foglalkozott alkalmazásának különböző
lehetőségeivel, ő nevezte el „természetes” alakváltozásnak (Nadai, A.: „Plastic Behavior of Metals
in the Strain-Hardening Range”. Part I. J. Appl. Phys., Vol. 8, pp. 205-213, 1937). A német
Heinrich Hencky (1885 – 1951) háromdimenziós változatát is kidolgozta („Über die Form des
Elastizitätsgesetzes bei ideal elastischen Stoffen”. Zeit. Tech. Phys., Vol. 9, pp. 215-220, 1928), ez
azonban nem terjedt el a mérnöki gyakorlatban.
x
x
10.06.20. 14

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
hosszváltozására alkalmazott „mérnöki” alakváltozás hossznövekményre vett integrálja
segítségével számítják:
l
dl dl l
dex = ⇒ e
x
= ln ln
x
l
∫ = = λ . (2.3)
l l
l0 0
A logaritmikus alakváltozást elsősorban a nagy méretváltozások, illetve az anyagok
határteherbíráshoz közeli állapotainak leírására használják. Megjegyezzük, hogy ha az
alakváltozások kicsik (a határ körülbelül: ε < 0,02 ), akkor a mérnöki és a valódi
alakváltozás jó közelítéssel egyenlőnek tekinthető 14 :
2 3
l l − l
ε
0
x
ε
x
e
x
= ln = ln(1 + ) = ln(1 + ε
x
) = ε
x
− +
l0 l0
2 ! 3 !
− .... , (2.4)
vagyis ha ε → 0 , akkor e → ε .
2.1 Példa
x x x
Az egyetlen irányban mért alakváltozások önmagukban sokszor nem elegendőek
többdimenziós feladatok helyes modellezésére. Ezt illusztrálja a következő feladat. Az ábrán
látható 1∗ 1 –es méretű, négyzet alakú 2D próbatestet x irányban húzzuk, y irányban nyomjuk,
a terhelés hatására létrejött új mérete így: 2∗
0,5 . A megváltozott alak szintén az ábrán
látható. Vizsgáljuk meg az átló x′ tengely irányú alakváltozását különböző típusú 1D
alakváltozás paraméterekkel!
2.1. ábra: 2D alakváltozás vizsgálata
2,062
a./ Mérnöki alakváltozás használatával: ε
x ′ = − 1 = 0,4577 ;
1, 414
A koordinátatengelyek irányában a mérnöki alakváltozások:
2
ε
x
= − 1 = 1,0 ,
1
0,5
ε
y
= − 1 = − 0,5; Ha ezt a két nyúlást egy 2 x 2-es mátrixba helyezzük és a
1
Függelék (F.45)-ös képletében megadott transzformáció segítségével kiszámítjuk az
átló nyúlását ( l x′ x
és a többi hasonló paraméter az iránykoszinuszokat jelöli), akkor a
következőt kapjuk (most csak egyetlen elem fontos számunkra):
14 Ez tulajdonképpen a természetes alakváltozás függvényének érintő egyenessel való közelítését
jelenti.
10.06.20. 15

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
⎡ε%
T x
0 lx x
lx y x
0 l
x
x x
l
′ ∗⎤ ⎡ε
⎤ ⎡ ′ ′ ⎤ ⎡ε
⎤ ⎡ ′ xy′
⎤
⎢ ⎥ = T ⎢ T
0
⎥ = ⎢
y
lxy′ l
⎥ ⎢
y′ y
0
⎥ ⎢ ⇒
y
lx′ y
l
⎥
⎣ ∗ ∗⎦ ⎣ ε ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ε ⎦ ⎣ y′
y ⎦
2 2 1 1
% ε
x′ = lx′ x
ε
x
+ lx′
y
ε
y
= 1 + ( − 0,5) = 0,25 (eredeti szögekkel számítva),
2 2
2 2
⎛ 2 ⎞ ⎛ 0,5 ⎞
ˆ ε
x ′ = ⎜ 1 + ( − 0,5) = 0,91137
2,062
⎟ ⎜
2,062
⎟
(pillanatnyi konfiguráció
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
szögeivel számítva).
Ezek a transzformációk nem adtak jó eredményt.
2,062
b./ Logaritmikus alakváltozás használatával: e
x ′ = ln = 0,377 .
1, 414
A tengelyirányú logaritmikus nyúlások segítségével kiszámított transzformált
alakváltozások:
1 1
e %
x ′ = ln(2) + ln(0,5) = 0 , (eredeti szögekkel),
2 2
2 2
⎛ 2,0 ⎞ ⎛ 0,5 ⎞
e ˆx
′ = ⎜ ln(2) + ln(0,5) = 0,61116
2,062
⎟ ⎜
2,062
⎟
(megváltozott szögekkel).
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Ezekkel a transzformációkkal sem kaptunk helyes eredményt.
c./ Az eltérések oka az, hogy nagy alakváltozásoknál az eddig bemutatott változók
már nem használhatók transzformációra (nem tenzormennyiségek). Ha az eredetileg
négyzet alakú tárcsa oldalainak elmozdulása kicsiny lenne, akkor az átló közelítő
⎡εx
0 ⎤
alakváltozása transzformációval is számítható, az ⎢
0
⎥ tenzor jól jellemezné a
⎣ ε
y ⎦
tárcsa deformációit.
3D alakváltozás-tenzorok
Az 1D alakváltozások bevezetésénél a logaritmikus jellemző kivételével véges méretű
kezdeti l hosszak változását vizsgáltuk. Két- illetve három dimenzióban ettől eltérően az
elemi hosszak ( dx, dX ,...) megváltozása segítségével definiálják az alakváltozásokat. Kicsiny
alakváltozások esetén egyféle, nagy alakváltozások esetén többféle alakváltozás-tenzor
használatos. Az alakváltozás-tenzorokkal szemben támasztott legfontosabb követelmény,
hogy ha a test csak merevtestszerű eltolódást és/vagy elfordulást végez, akkor az
alakváltozás-tenzor valamennyi elemének zérusnak kell lennie!
A továbbiakban először a tetszőlegesen nagy alakváltozások esetén használható tenzorokat
mutatjuk be.
Green-Lagrange-féle 15 alakváltozás-tenzor (E)
A nagy alakváltozások vizsgálatára numerikus számításokban talán leggyakrabban használt
tenzor egy elemi hosszúságú anyagi vektor ( d X ) hossznégyzetének megváltozását méri.
15 Egyes – főleg francia – munkákban néha Green-Saint Venant-féle tenzorként is említik. Adhémar
Jean Claude Barre de Saint-Venant (1797 – 1886) kiváló francia tudós volt, ő foglalta össze először
a szilárdságtan különböző tételeit összefüggő rendszerré.
10.06.20. 16

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Legyen definíció szerint E az a tenzor, amely bármely dX-re megadja a hossznégyzet
változását a következő módon:
2 2
ds − dS = 2 dX⋅E⋅ dX
.
(2.5)
A képletben dS az eredeti, ds pedig a pillanatnyi állapotban számított hosszat jelenti.
Meghatározása a gradiens-tenzor segítségével történik (a (2.6/a képletben a negyedik és
ötödik tagot mátrix alakban írtuk fel):
2
ds = dx⋅dx = ( F⋅dX) ⋅( F⋅ dX ) = (FdX) T (FdX) = d X T F T F d X = dX⋅( F T ⋅F)
⋅ dX
, (2.6/a)
2
dS = dX⋅dX = dX⋅I⋅dX→ dX⋅( F T ⋅F - I) ⋅ dX= 2 dX⋅E⋅ dX
,
(2.6/b)
így az alakváltozás-tenzor definíciója:
1
E= ( F T ⋅ F -I ) .
(2.7)
2
A Green-Lagrange-tenzor mindig szimmetrikus.
A fentiekben elmondott transzformációk megértését segíti a következő ábra vázlata:
2.2. ábra: Transzformáció az anyagi rendszerből a pillanatnyi állapotba
A Green-Lagrange-tenzor számítása közvetlenül az elmozdulásokból
Az u eltolódásfüggvény segítségével kapott összefüggések a nagy alakváltozásokra
érvényes geometriai egyenleteket szolgáltatják. A gradiens-tenzor és az elmozdulásfüggvény
közötti összefüggést felhasználva E és u kapcsolata (a második felírási módnál
felhasználjuk az első fejezet 1.20-as képletében megadott elmozdulás-gradiens tenzort):
1 T T 1
T T
E= (( ∇
0u) +∇0u + ∇0u⋅( ∇
0u) ) = ( H + H + H ⋅ H)
.
(2.8/a)
2 2
Gyakorlásul megadjuk a tenzor számításának indexes felírási módját is:
10.06.20. 17

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
1⎛
∂u i
∂u j
∂u k
∂u
⎞
k
E
i j
= 2
⎜ + + . (2.8/b)
⎜∂X j
∂X i
∂X i
∂X
⎜⎝
j ⎠⎟
A másodrendű tenzor hat darab független skalár eleme a definíció figyelembevételével:
2 2 2 2 2 2
∂ u 1 ⎡⎛ ∂ u ⎞ ⎛ ∂ v ⎞ ⎛ ∂ w ⎞ ⎤ ∂ 1
E11 , E
v ⎡⎛ ∂ u ⎞ ⎛ ∂ v ⎞ ⎛ ∂ w ⎞ ⎤
= + ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ 22
= + ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ , (2.9)
∂X 2 ⎢⎣ ⎝ ∂X ⎠ ⎝ ∂X ⎠ ⎝ ∂X ⎠ ⎥⎦ ∂Y 2 ⎢⎣ ⎝ ∂Y ⎠ ⎝ ∂Y ⎠ ⎝ ∂Y
⎠ ⎥⎦
2 2 2
∂w 1 ⎡⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂v ⎞ ⎛ ∂w
⎞ ⎤ 1 ⎛ ∂u ∂v ∂u ∂u ∂v ∂v ∂w ∂w
⎞
E33
= + ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ , E12
= ,
∂Z 2 ⎢⎣
⎝ ∂Z ⎠ ⎝ ∂Z ⎠ ⎝ ∂Z
⎜ + + + + ⎟
⎠ ⎥⎦
2 ⎝ ∂Y ∂X ∂X ∂Y ∂X ∂Y ∂X ∂Y
⎠
1 ⎛ 1
E
∂u ∂w ∂u ∂u ∂v ∂v ∂w ∂w ⎞ ⎛
13
, E
∂v ∂w ∂u ∂u ∂v ∂v ∂w ∂w
⎞
= ⎜ + + + + ⎟ 23
= ⎜ + + + + ⎟.
2 ⎝ ∂Z ∂X ∂X ∂Z ∂X ∂Z ∂X ∂Z ⎠ 2 ⎝ ∂Z ∂Y ∂Y ∂Z ∂Y ∂Z ∂Y ∂Z
⎠
A Green-Lagrange-tenzor teljesíti az alakváltozás-tenzorokra a bevezetőben előírt feltételt,
hiszen elemei zérussá válnak az
x = R⋅ X + x T
(2.10)
merevtestszerű mozgás esetén. Mivel ilyenkor F = R , az alakváltozás tenzor zérus lesz:
1 1
E= ( R T ⋅ R -I) = ( I -I) = 0.
(2.11)
2 2
Megjegyezzük, hogy egydimenziós esetben a Green-Lagrange-tenzor E
11
eleme kifejezhető
az 1D elemhosszakkal, illetve a korábban már bemutatott egydimenziós alakváltozás
jellemzőivel:
2 2
l −l0
1 1 2
E11 = = ε (1 ) ( 1).
2 x
+ ε
x
= λx
− (2.12)
2l
2 2
Az Almansi 16 -Hamel 17 -féle alakváltozási tenzor
0
Ha az elemi szál hossznégyzetének változását a pillanatnyi (euleri) rendszer segítségével
fejezzük ki, akkor a Green-Lagrange-tenzor „párjaként” az Almansi-Hamel-féle
alakváltozás-tenzort definiáljuk (Euler-Almansi-féle alakváltozás-tenzornak is nevezik):
2 2 1 −T
−1
ds − dS = 2dx⋅e⋅ dx → e = ⎡I -F ⋅F
⎤
2 ⎣ ⎦ .
(2.13)
Látható, hogy itt is a gradiens-tenzort használjuk alapvető változóként, csak most az
inverzére van szükségünk. Az elmozdulások segítségével felírható geometriai egyenletek:
1 T
T
e = ⎡( ∇ u) +∇u-( ∇u) ⋅( ∇u)
⎤
2 ⎣ ⎦ . (2.14)
Ez a tenzor is szimmetrikus.
Egydimenziós állapotban az Almansi-Hamel-tenzor eleme is kifejezhető a klasszikus 1D
jellemzőkkel:
16 Emilio Almansi (1869 – 1948) olasz matematikus és mechanikus, elsősorban a nemlineáris
rugalmasságtan különböző feladataival foglalkozott.
17 Georg Karl Wilhelm Hamel (1877 – 1954) német matematikus és mechanikus, főleg az elméleti
mechanika és az áramlástan különböző kérdéseinek vizsgálatáról ismert.
10.06.20. 18

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
l
−l
1
ε (1 + ε )
2 2 x
x
0 2 −2
11
= = = (1 − λ ) .
2 2 2
x
2 l (1 + ε
x
) 2
e
1
(2.15)
Ennek az „inverz” transzformációval előállított tenzornak a megértéséhez nyújt segítséget a
következő ábra:
2.2. Példa
2.3. ábra: Transzformáció a pillanatnyi bázisból az anyagi rendszerbe
Egy a − b − h méretekkel rendelkező tárcsát ( h〈〈 ( a és b)
) az alábbi mozgásegyenletekkel
deformálunk ( e 0
adott paraméter):
e0 e0
x = X + Y , y = Y + X , z = Z ;
b
a
ab a e0
be0
ab
Az inverz alak: X = x − y , Y = − x + y , Z = z ;
2
2
2
2
ab − e ab −e
ab − e ab −e
0
0
Határozzuk meg a Green-Lagrange- és az Almansi-Hamel-féle alakváltozástenzor zérustól
különböző elemeit!
0
0
10.06.20. 19

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
2.4. ábra: Deformációs tenzor elemeinek számítása
A három, egymásra merőleges irányú eltolódás:
e0
e0
u = x − X = Y , v = y −Y
= X , w=
z − Z = 0;
b
a
A zérustól különböző alakváltozás-komponensek a két tenzor esetén:
2
Green-Lagrange: 1 ⎛ e0
⎞ 1 ⎛ e0
⎞ e0
e
E ,
,
0
11
= ⎜ ⎟ E22
= ⎜ ⎟ E12
= + ;
2 ⎝ a ⎠ 2 ⎝ b ⎠ 2b
2a
2
2 2 2
2
2 2 2
e 1 ⎡
0
e0
( e0
+ b ) ⎤ e 1 ⎡
0
e0
( e0
+ a ) ⎤
Almansi-Hamel: e
11
=− −
;
22
,
2 ⎢
2 2 ⎥ e =− −
2 ⎢
2 2 ⎥
ab−e0
2 ⎣ ( ab−e0
) ⎦ ab−e0
2 ⎣ ( ab−e0
) ⎦
3
e0
( a + b)
e0
( a + b)
e12
= + ;
2
2 2
ab −e
( ab−e
)
További alakváltozás-tenzorok
0
0
Az eddig említett – és az építőmérnöki nemlineáris feladatoknál is gyakran használt –
alakváltozás-tenzorok mellett másféle változatokat is alkalmaznak a mechanikában. Ilyen
például az úgynevezett jobb Cauchy 18 -Green-féle alakváltozás-tenzor:
T
C = F ⋅ F . (2.16)
Az elnevezés onnan származik, hogy a képletben itt az F tenzor a szorzat jobb oldalán
szerepel. Az „alakváltozás-tenzor” helyett találóbb elnevezés a „deformációs” (vagy
„nyúlási”) tenzor név, hiszen a tenzor elemei többnyire egynél nagyobb számok. Egyes
művekben szokás jobb Cauchy-tenzorként, vagy Green-tenzorként is említeni. C inverzét
Piola 19 -féle alakváltozási tenzornak hívják és B-vel jelölik:
T
−
( ) 1
−1 −1
−T
2
B=C = F F = F F
(2.17)
Megjegyezzük, hogy C használatával is felírható az E Green-Lagrange-féle alakváltozástenzor:
1
E= ( C-I ) .
(2.18)
2
Az E és C tenzorok közös neve a mechanikában: anyagi alakváltozás-tenzorok.
Egy másik változat a bal Cauchy-Green-féle (vagy Finger 20 -féle) alakváltozás-tenzor 21 :
b = F F T ⋅ . (2.19)
18 Augustin Louis Cauchy (1789 – 1857) világhírű francia matematikus, a mechanika nagyon sokat
köszönhet tudományos eredményeinek. Az ő életéről is olvasható életrajz („Cauchy és az egyensúlyi
egyenletek”) a tanszéki honlapon.
19 Gabrio Piola (1794 – 1850) olasz fizikus. Elsősorban szilárdságtani kutatásairól ismert.
20 Josef Finger (1841 – 1925) kiváló osztrák matematikus.
21 Megjegyezzük, hogy egyes szerzők b helyett B-vel jelölik, ez sajnos gyakran okoz zavart a Piolatenzorral
való összecserélhetősége miatt.
10.06.20. 20

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
A képletben az F tenzor a szorzat bal oldalán szerepel. Itt is pontosabb név a „deformációs”
tenzor. A b tenzor használatával az e Almansi-Hamel-tenzor az alábbi formát ölti:
1 1
e= ( I -b − ) . (2.20)
2
Az e és b közös neve: térbeli alakváltozás-tenzorok. Megjegyezzük, hogy az itt bemutatott
változatokat elsősorban a polimerek mechanikájában és a biomechanikában alkalmazzák.
Kis alakváltozások
Kis alakváltozások esetén az alakváltozások másodrendű tenzorát ε -nal jelölik. Ez a tenzor
az eddigiekből a legegyszerűbben a Green-Lagrange-tenzor másodrendű elemeinek
elhanyagolásával állítható elő. Mivel kis alakváltozások esetén a Lagrange-koordináták
megegyeznek az Euler-koordinátákkal, az egyszerűség kedvéért ebben az esetben nagy X
helyett általában kis x szimbólumot használunk.
A tenzor főátlóbeli elemei a fajlagos mérnöki nyúlásokat, az alsó- és felső háromszög elemei
pedig a mérnöki szögtorzulásokat jelölik. A 2.21 alatti egyenletnél a második mátrixban
minden egyes elemet a hozzá rendelhető geometriai egyenlettel adtunk meg (összevetve
ezeket a korábban hasonló módon bemutatott Green-Lagrange-tenzor elemeivel, azonnal
észrevehető a másodrendű hatások elhanyagolása):
⎡
1 1
∂u 1 ⎛ ∂u ∂v ⎞ 1 ∂u ∂w
⎤
⎡ ⎤
⎛ ⎞
⎢
⎜ + ⎟ ⎜ + ⎟⎥
⎢ ε
x
γ
x y
γ
x z
2 2 ⎥ ⎢
∂x 2 ⎝ ∂y ∂x ⎠ 2 ⎝ ∂z ∂x
⎠⎥
⎢ ⎥
1 1 ⎢ 1 ⎛ ∂v ∂u ⎞ ∂v 1 ⎛ ∂v ∂w
⎞⎥
ε = ⎢ γ
y x
ε
y
γ ⎥
y z
= ⎢ ⎜ + ⎟ ⎜ + ⎟⎥
. (2.21/a)
⎢ 2 2 ⎥ ⎢ 2 ⎝ ∂x ∂y ⎠ ∂y 2 ⎝ ∂z ∂y
⎠⎥
⎢
1 1
⎥ ⎢ ⎥
⎢ γ 1 w u 1 w v w
z x
γ ⎥ ⎛ ∂ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ∂ ⎞ ∂
z y
ε
z ⎢
⎥
⎣⎢ 2 2 ⎦⎥ ⎜ + ⎟ ⎜ +
⎢ ⎟
⎣ 2 ⎝ ∂x ∂z ⎠ 2 ⎝ ∂y ∂z ⎠ ∂z
⎥
⎦
Ugyanez az összefüggés az elmozdulások (illetve az elmozdulás-gradiens tenzor)
segítségével tömörebb alakban:
1 T 1
T
ε = (( ∇ u) +∇ u ) = ( H + H ).
(2.21/b)
2 2
Megjegyezzük, hogy az építőmérnöki feladatok nagy részében a kis alakváltozások
megfelelő közelítést jelentenek, ezért ezt a tenzort sokszor használjuk különféle mechanikai
számításokban. Néhány (részben emlékeztető jellegű) megjegyzés:
- A tenzor egyes elemeinek mechanikai jelentésével már a BSc Szilárdságtanban
4 alatt említett tankönyv vonatkozó részeit).
foglalkoztunk (lásd a [ ]
- Az ε tenzor komponenseit gyakran másféleképpen jelölik. A szakirodalomban
szokásos, és egyes fejezetekben általunk is használt egyéb felírási módok:
⎡ε xx
ε
x y
ε ⎤ ⎡
x z
ε
11
ε
12
ε ⎤
13
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
ε = ⎢ε y x
ε
y
ε
y z ⎥ = ⎢ε 21
ε
22
ε
23 ⎥ .
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ε z x
ε
z y
ε
z ⎦ ⎣ε 31
ε
32
ε
33 ⎦
A különböző jelölési módok egymás közötti cseréjekor a szögtorzulásoknál
mindig ügyelnünk kell az ½-es szorzó figyelembevételére, a Voigt-féle
kinematikus szabály (lásd a Függeléket) pontosan ennek betartására születetett.
10.06.20. 21

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
2.3. Példa
Vizsgáljunk meg néhány elemi mechanikai változást és számítsunk ki néhány alapvető
alakváltozás-tenzort.
a./ Tiszta nyúlás: x = λ
1
X , y = λ
2
Y , z = λ
3
Z , ahol λ
i
a tengelyirányú nyúlásokat
jelenti. Számítsuk ki a jellemző alakváltozási tenzorokat!
A feladathoz tartozó gradiens-tenzor:
⎡λ1
0 0 ⎤
F =
⎢
0
2
0
⎥
⎢
λ
⎥
.
⎢⎣
0 0 λ ⎥
3⎦
A Green-Lagrange-féle alakváltozás-tenzor és az Almansi-Hamel-féle alakváltozástenzor:
⎡1
2
⎤ ⎡1 ⎢ ( λ1
−1)
0 0
2
⎥ ( 1
−2
⎤
⎢
− λ1
) 0 0
2
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
1 2
E= ⎢ 0 ( 2
−1)
0 ⎥
1 −2
λ
, e = ⎢ 0
⎢ 2
⎥
( 1−
λ2
) 0 ⎥ .
⎢
2
⎥
⎢
⎥
⎢
1
⎢
2
0 0 ( λ3
−1)
⎥
1
⎥
−2
⎢ 0 0 ( 1−
λ3
) ⎥
⎢⎣
2 ⎥⎦
⎢⎣
2 ⎥⎦
b./ Tiszta nyírás egy egységnyi oldalélű kockán (lásd a 2.5. ábrát):
x = X + k Y , y = Y , z = Z .
2.4. Példa
2.5. ábra: Tiszta nyírás vizsgálata
A deformáció-gradiens tenzor, a jobb Cauchy-tenzor és az Almansi-Hamel-féle
tenzor:
2
⎡1 k 0⎤ ⎡1 k 0⎤
⎡1 + k k 0⎤
2
F =
⎢
0 1 0
⎥
, C =
⎢ ⎢
⎥
k 1+ k 0
⎥
, b = k 1 0 .
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢⎣ 0 0 1⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 1⎥⎦ ⎢ 0 0 1⎥
⎣ ⎦
10.06.20. 22

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Vizsgáljuk meg, hogy a 2.1 példában szereplő, négyzet alakú tárcsánál hogyan használható
fel a Green-Lagrange-féle alakváltozás-tenzor az átló alakváltozásának számítására!
Legyenek a mozgásegyenletek az alábbi alakúak:
x = X (1 + t) , y = Y (1 − t / 2) .
Vizsgáljuk a pillanatnyi konfigurációt a t = 1 pillanatban. A gradiens tenzor most
2∗2
-es méretű lesz:
⎡2
0 ⎤
F = ⎢ .
0 0,5
⎥
⎣ ⎦
Az alakváltozás-tenzor:
1 ⎛⎡4
0 ⎤ ⎡1
0⎤⎞
⎡1,5
0 ⎤
E = ⎜
⎟
.
2
⎢
=
0 0,25
⎥ − ⎢
0 1
⎥
⎢
0 0,375
⎥
⎝⎣
⎦ ⎣ ⎦⎠
⎣ − ⎦
Ellenőrizzük, mit ad eredményül E használata a két koordináta-tengely, illetve az átló
irányában, ha a hossznégyzetek különbségeit számoljuk (mindig az eredeti bázisban
adott vektor-koordinátákkal dolgozunk!):
2 2
⎡1,5
0 ⎤ ⎡1⎤
x irány: 2 − 1 = 3 ⇔ 2[ 1 0] ⎢
3
0 0,375
⎥ ⎢
0
⎥ = ;
⎣ − ⎦ ⎣ ⎦
2 2
⎡1,5
0 ⎤ ⎡0⎤
y irány: 0,5 − 1 = − 0,75 ⇔ 2[ 0 1] ⎢
0, 75
0 0,375
⎥ ⎢
1
⎥
⎣ − ⎦ ⎣ ⎦
= − ;
x ) irány (átló):
2 2
2
⎡1,5
0 ⎤ ⎡1⎤
(2 + 0,5 ) −( 2) = 2,25 ⇔ 2[ 1 1] ⎢
2,25 ;
0 0,375
⎥ ⎢
1
⎥
⎣ − ⎦ ⎣ ⎦
=
A tenzor mindhárom esetben pontosan követi a változásokat.
Vizsgáljuk meg most, hogy a főátló irányába transzformált tenzor használata milyen
eredményt ad (itt is fontos megjegyzés, hogy a szögeknél mindig az eredeti
konfigurációt kell használni, hiszen a Green-Lagrange-tenzor ehhez az állapothoz
kapcsolt!!). Csak az 1,1 indexű elemet számoljuk ki, mert a többi elemre most nincsen
szükség.
⎡ 2 2 ⎤
⎡ 2 2 ⎤
1,5 0
⎡2,25
⎤
⎢
−
2 2 ⎥ ⎡ ⎤ ⎢ 2 2 ⎥ ∗
= ⎢ 4 ⎥ ;
⎢ 2 2 ⎥ ⎢
0 0,375
⎥
⎣ − ⎦
⎢ 2 2 ⎥
⎢ ⎥
2 2
2 2
⎣ ∗ ∗
⎢
⎥
⎢−
⎣
⎦
⎣
⎥⎦
⎦
Az „x’ „ irányt most bázisiránynak tekintjük, és ennek megfelelően írjuk fel a dX
vektort:
⎡
[ ] 2,25 ∗⎤
⎡ 2⎤
4 ,25−
2=
2,25 ⇔ 2 2 0 ⎢ 4 ⎥ ⎢ ⎥ = 2,25 ;
⎢⎣
∗ ∗⎥⎦
⎣ 0 ⎦
Alakváltozás-sebesség tenzor (D)
Az alakváltozások megváltozásának jellemzésére használják. Számításához először az L
betűvel jelölt másodrendű sebességgradiens-tenzort kell meghatározni:
∂v
T
L = = ( ∇ v) = grad v, dv = L⋅dx,
(2.22)
∂x
10.06.20. 23

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
vagy ugyanez indexes jelöléssel:
L
∂v
i
= ,
∂x
dv = L dx
i j i i j j
j
. (2.23)
A sebesség gradiens tenzor szimmetrikus és ferdén szimmetrikus részre osztható:
1 T 1 T 1 1
L = ( L + L ) + ( L − L ) , Li j = ( Li j + L j i) + ( Li j − L j i ). (2.24)
2 2
2 2
Az alakváltozás-sebesség tenzor az L tenzor szimmetrikus része:
1
D ( L L T 1 ⎛ ∂v
i
∂v
⎞
j
= + ) , Di j
= 2
2
⎜ + . (2.25)
⎜∂x
j
∂x
⎜⎝
i ⎠⎟
A ferdén szimmetrikus tag neve spin 22 tenzor:
1
W ( L - L T 1 ⎛ ∂v
i
∂v
⎞
j
= ) , Wi j
= 2
2
⎜ − . (2.26)
⎜∂x
j
∂x
⎜⎝
i ⎠⎟
Az alakváltozás-sebesség tenzor egy elemi anyagi szakasz hossznégyzetének változási
sebességét méri 23 :
∂ 2 ∂
( ds ) = ( dx( X, t) ⋅ dx( X, t))
=
(2.27)
∂t
∂t
∂v
T T T
= 2dx⋅ dv = 2dx⋅ ⋅ dx = 2dx⋅L⋅ dx = dx ⋅ ( L + L + L-L ) ⋅ dx = dx⋅ ( L + L ) ⋅ dx
=
∂x
= 2 dx⋅D⋅
dx
.
Merevtestszerű mozgás esetén természetesen:
D= 0, W = Ω .
Az alakváltozás-sebesség tenzor és a Green-Lagrange-tenzor
növekményének kapcsolata
A tenzor eredeti definícióját felhasználva:
∂v ∂v ∂X
L = = ⋅
∂x ∂X ∂ x
. (2.28)
Ezt a képletet átalakíthatjuk, mivel:
( X,
) v
F& ∂ ⎛ ∂Φ
t ⎞ ∂
= ⎜ ⎟ = ,
(2.29)
∂t
⎝ ∂X
⎠ ∂X
és így végül:
−1
L = F & ⋅F
.
(2.30)
Az alakváltozás-sebesség tenzor a sebesség-gradiens tenzor szimmetrikus része, így ide
behelyettesíthetjük ezt a képletet, hogy megkapjuk a D és F közötti kapcsolatot:
1 T 1 −1
−T T
D= ( L + L ) = ( F& ⋅ F + F ⋅F& ) . (2.31)
2 2
A Green-Lagrange-féle alakváltozás-tenzor idő szerinti deriváltja pedig:
1
1
E& D T
T
= ( F ⋅ F -I) = ( F ⋅ F&
T
+ F&
⋅ F).
(2.32)
2 Dt 2
Ugyanez az alak kapható D jobbról-balról történő beszorzásával:
22 Impulzus-momentum.
23 T
A levezetésnél felhasználtuk, hogy L − L = 2W és dx ⋅ W ⋅ dx = 0 .
10.06.20. 24

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Így végül:
az inverz forma pedig:
T 1 T T
F ⋅D⋅ F = ( F ⋅ F& + F& ⋅F)
.
(2.33)
2
E & = F
T ⋅ D ⋅ F , Eɺ F D F . (2.34)
− T
ɺ −1
,
D = F ⋅ E ⋅ F
T
i j
=
k i k l l j
−T
−1
i j i k k l l j
D = F Eɺ F . (2.35)
2.5.Példa
Számítsuk ki E és D tenzorát egy kombinált nyújtás-elforgatás hatására!
A mozgásegyenletek („a” és „b” ismert konstansok, mindkettő pozitív szám):
π t
π t
x( X, t) = (1 + at) X cos − (1 + bt) Y sin ,
2 2
π t
π t
y( X, t) = (1 + at) X sin + (1 + bt) Y cos .
2 2
Egyszerűsítsük a jelöléseket, majd vizsgáljuk meg a t=0 és a t=1 időpillanatokat:
πt
πt
A( t) = A= 1 + at , B( t) = B = 1 + bt , c = cos , s = sin ;
2 2
A deformáció-gradiens tenzor:
⎡ ∂x
∂x
⎤
⎢∂X
∂Y
⎥ ⎡ Ac −B s⎤
F = ⎢ ⎥ =
.
y y
⎢
A s B c
⎥
⎢ ∂ ∂ ⎥ ⎣ ⎦
⎢⎣
∂X
∂Y
⎥⎦
A Green-Lagrange-tenzor:
2 2
1
1 ⎛ ⎡ Ac As⎤ ⎡Ac −Bs⎤ ⎡1 0⎤⎞ 1 ⎡2at + a t 0 ⎤
E= ( F T ⋅ F -I)
= ⎜ .
2 2
2
2
⎢
Bs Bc
⎥ ⎢
As Bc
⎥ − ⎢ =
0 1
⎥⎟ ⎢ ⎥
⎝ ⎣− ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎠
2 ⎣ 0 2bt + b t ⎦
A t = 0 pillanatban E = 0, t=1-nél pedig:
2
⎡ + / 2 0
E= a a ⎤
⎢
.
2 ⎥
⎣ 0 b+
b / 2⎦
A deformáció-sebesség tenzor számításához először határozzuk meg a sebességeket,
mint anyagi idő szerinti deriváltakat:
⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞
π ⎛ π ⎞
vx
= ⎜ ac − As ⎟ X − ⎜bs + Bc ⎟Y
, vy
= ( as + Ac) X + ⎜bc − Bs ⎟Y
.
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
2 ⎝ 2 ⎠
A t =0 pillanatban x=X, y=Y, c=1, s=0, A = B = 1 és így D értéke:
⎡ π ⎤
T
⎢
a −
2 ⎥ ⎡a
0⎤ π ⎡0 −1⎤
L = ( ∇ v)
= ⎢ ⎥ → D = , W = .
π
⎢
0 b
⎥
2
⎢
1 0
⎥
⎢ b ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎢⎣
2 ⎥⎦
A t = 1 pillanathoz használjuk a deformáció-gradiens tenzort:
10.06.20. 25

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
2.6. Példa
⎡ π
π ⎤
ac − As −b s − Bc
−1 1 ⎡ Bc Bs ⎤ ⎢ 2 2 ⎥
F = , F & =
,
AB
⎢
As Ac
⎥ ⎢ ⎥
⎣−
⎦ ⎢ π π
a s + Ac b c − Bs ⎥
⎢⎣
2 2 ⎥⎦
2 2
L = F&
1 ⎡Bac + Abs cs( Ba − Ab)
⎤ π ⎡0 −1⎤
⋅ F −1 = = ⎢ .
2 2 ⎥ +
AB cs( Ba Ab)
Bas Abc 2
⎢
1 0
⎥
⎣ − + ⎦ ⎣ ⎦
A két mátrixból az első (szimmetrikus) tag lesz a deformáció-sebesség tenzor, míg a
második (ferdén szimmetrikus) mátrix az úgynevezett spin tenzor.
A keresett pillanatban D értéke:
D=
1
1 ⎡a
+ ab 0 ⎤
.
+ a + b + ab
⎢
0 b + ab
⎥
⎣ ⎦
Egy rögzített pont körül Θ szöggel elforgatunk egy kétdimenziós testet. Vizsgáljuk meg, mi
történik, ha meghatározzuk meg a kicsiny (lineáris) alakváltozások értékét az anyagi
koordináta-rendszer segítségével és elemezzük a számítás hibájának értékét!
A mozgás egyenlete:
⎡x⎤ ⎡cos Θ −sin Θ⎤ ⎡X ⎤ ⎡ux
⎤ ⎡cos Θ −1 −sin
Θ ⎤ ⎡X
⎤
x=R⋅X→ ⎢ , .
y
⎥ = ⎢ ⎢
sin cos Y u
⎥ =
Θ Θ
⎥ ⎢ ⎥ ⎢
y sin Θ cos Θ −1
⎥ ⎢
Y
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2.7. Példa
Az alakváltozások jelen esetben:
∂u
∂u
y
1 ⎛
x
∂u
∂u
x y ⎞
ε
x
= = cos Θ− 1, ε
y
= = cos Θ− 1 , γ
x y
= ⎜ + ⎟=
0 .
∂X ∂Y 2 ⎝ ∂Y ∂X
⎠
Ha Θ értéke nagy, akkor ennél a modellnél a nyúlások zérustól jelentősen
különbözők lesznek annak ellenére, hogy most csak merevtestszerű elfordulást végez
a test 24 !
Numerikus számításoknál egyébként gyakori kérdés, mekkora lehet maximum az
elfordulás, hogy a mérnöknek még ne kelljen áttérnie nemlineáris analízisre (nagy
alakváltozásokra)
Vizsgáljuk ε − et Taylor-sorba fejtve:
x
2 2
Θ
4 Θ
ε x
= cos Θ − 1= 1 − + O( Θ ) −1 ≈ − .
2 2
A hiba az elfordulások négyzetével arányos. Ha pl.
2
10 − nagyságrendű
alakváltozásokkal dolgozunk és 1%-os a hibahatárunk (ez gyakori mérnöki
2
alaphelyzet), akkor az elfordulásoknak szintén max. 10 − rendűeknek kell lenniük.
24 Természetesen a nagy alakváltozások Green-Lagrange-tenzora zérus
2 2
( )
(például: ( )
E
11
= cosΘ− 1+ 0,5 cosΘ− 1 + sin Θ = 0, stb.).
10.06.20. 26

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Egy 2D tárcsaelem az ábrán látható változás-sorozaton megy keresztül. Határozzuk meg D
értékét az egységnyi időlépcsőkkel eltérő különböző fázisokban!
a./ Az első fázisból a másodikba (nyírás):
⎡1 at⎤ ⎡0 a⎤ −1
⎡1
−at⎤
F = ⎢ , F = , F
;
0 1
⎥ & ⎢ =
0 0
⎥ ⎢
0 1
⎥ x
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
( X , t ) = X + atY , y ( X , t ) = Y 0 ≤t
≤ 1 .
2.6. ábra: Összetett alakváltozási folyamat vizsgálata
-1 0 1 0
L =F&
⎡ a⎤ ⎡ a⎤
⋅ F = ⎢ D= .
0 0
⎥ →
2
⎢
a 0
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Számítsuk ki most a Green-Lagrange-féle alakváltozás-tenzort is:
1 T 1 ⎡ 0 at ⎤
E = ( F ⋅ F-I) = .
2 2
2 2 ⎢
at a t ⎥
⎣ ⎦
Ennek időbeli változása:
1 0
E= & ⎡ a ⎤
.
2
2
⎢
a 2a t
⎥
⎣ ⎦
Megjegyzendő, hogy E & 22
nem zérus, jóllehet D
2 2
értéke nulla.
b./ Második fázisból a harmadikba:
x( X, t) = X + aY , y( X, t) = (1 + bt) Y , 1 ≤ t ≤ 2 , t = t − 1 .
Határozzuk meg itt is D mellett a Green-Lagrange-féle tenzort és változását.
⎡1 a ⎤ 0 0
1 1 1
F = , F&
⎡ ⎤ ⎡
, F
+ bt − a⎤
⎢ = − =
,
0 1+ bt
⎥ ⎢
0 b
⎥
1+
bt
⎢
0 1
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1 1 0 0
L =F&
− ⎡ ⎤ 1 ⎡0 0⎤
⋅ F = ,
1+ bt
⎢
0 b
⎥ D=
.
⎣ ⎦ 1+ bt
⎢
0 b
⎥
⎣ ⎦
1 T 1 ⎡0 a ⎤ 1 ⎡0 0 ⎤
E= ( F ⋅ F-I) = , E= &
.
2
2 2 ⎢
a a + bt( bt + 2) ⎥
2 ⎢
0 2 b( bt + 1) ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
c./ Harmadik fázisból a negyedikbe:
10.06.20. 27

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
x( X, t) = X + a(1 − t) Y , y( X, t) = (1 + b) Y , 2 ≤ t ≤ 3 , t = t − 2 .
⎡1 a(1 − t) ⎤ 0
1 1 1 ( 1)
F = , F & ⎡ − a⎤ − ⎡ + b a t − ⎤ 1 ⎡0
−a⎤
⎢ = , F =
,
0 1+ b
⎥ ⎢
0 0
⎥
1+
b
⎢
0 1
⎥ L =
,
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 1+ b
⎢
0 0
⎥
⎣ ⎦
1 ⎡ 0 −a⎤
D=
2(1 + b)
⎢
−a
0
⎥
⎣ ⎦ ,
1 ⎡0 a ⎤ 1 0 0
E= , E= & ⎡ ⎤
2
2
⎢
a a + bt( bt + 2)
⎥
2
⎢
0 2 b( bt + 1)
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
d./ Negyedik fázisból az ötödikbe:
x( X, t) = X , y( X, t) = (1 + b − bt) Y , 3 ≤ t ≤ 4 , t = t − 3 .
⎡1 0 ⎤ 0 0
1 1 1 0 1 0 0
F = , F & ⎡ ⎤ ⎡
= , F + b − bt ⎤ ⎡ ⎤
⎢ − =
, L =
0 1+ b − bt
⎥ ⎢
0 −b ⎥
1+ b − bt
⎢
0 1
⎥
1+ b − bt
⎢
0 −b
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
D = L .
A Green-Lagrange-féle alakváltozás-tenzor az ötödik konfigurációban zérus lesz,
mivel itt ( t = 4− nél ) F = I .
Érdekes kiszámítani a deformáció-sebesség tenzor idő szerinti integrálját a teljes
sorozatot figyelembe véve:
4
1 ⎡0 a⎤ ⎡0 0 ⎤ 1 ⎡ 0 −a⎤ ⎡0 0 ⎤
∫ D( t ) dt =
2
⎢
a 0
⎥ + ⎢ + + =
0 ln(1 + b) ⎥
2(1 + b)
⎢
−a 0
⎥ ⎢
0 − ln(1 + b)
⎥
0
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
ab ⎡0 1⎤
=
2(1 + b)
⎢
1 0
⎥
⎣ ⎦ .
Az integrál zérustól különböző, pedig az ötödik fázis az eredeti állapottal megegyező,
vagyis D nem pontos jellemzője a teljes deformációnak.
Az F gradienstenzor szorzat alakú (poláris) felbontása
Nagy alakváltozásokkal járó egyes folyamatokban – különösen akkor, ha jelentős forgási
hatások is vannak – sokszor célszerű a gradiens tenzort szorzat alakban felbontani. Ezt a
következőképpen hajtják végre:
F = R ⋅ U ,
(2.36)
ahol
-1
T
T
R = R és U = U . (2.37)
Amikor az euleri bázisban óhajtjuk kiszámítani egy vonaldarab hosszát, akkor ezzel a
felbontással az alábbi módon adhatjuk meg egy elemi szakasz hosszát:
dx = R⋅U⋅ dX
, (2.38)
ahol a szimmetrikus U a nyúlási alakváltozásokat jellemzi (megjegyezzük, hogy az U – I
másodrendű tenzort Biot 25 -féle alakváltozási tenzornak nevezik), R pedig a merevtestszerű
elfordulásokat jellemzi. A két vonalelem, dx és dX kapcsolatának leírásához a pillanatnyi és
25 Maurice Anthony Biot (1905 – 1985) belga-amerikai fizikus. A pórusokkal lazított, de egyébként
rugalmas (poroelasztikus) anyagokban lezajló folyamatok modellezésének kiváló kutatója volt,
továbbá viszkoelasztikus anyagokkal és irreverzibilis termodinamikával is sokat foglalkozott.
Magyarul is megjelent Kármán Tódorral együtt írt kiváló könyve: Matematikai módszerek, Műszaki
Könyvkiadó, 1967.
10.06.20. 28

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
referencia konfigurációkban nem szükséges a merevtestszerű eltolódás ismerete (ha csak
ilyen hatásunk lenne, akkor F=I és dx=dX).
A szorzat alakú felbontás egyes komponenseinek számítása (mátrix jelöléseket is
felhasználva):
T
( ) ( ) ( ) 1
2
F T ⋅ F = = = = → U = F ⋅F R =F⋅
U
T T T T -1
RU R U U R R U U U UU , .
(2.39)
Megjegyezzük, hogy U segítségével például a jobb Cauchy-Green-, vagy a Green-Lagrangeféle
tenzorok is egyszerűen megadhatók:
1
C = U 2 , E = ( U 2 − I)
) . (2.40)
2
2.8. Példa
A poláris felbontásra mutatunk példát. Vizsgáljuk meg az előző előadás 1.1-es feladatában
már látott háromszögelemet, ahol az egyes csomópontok mozgásai a következő
függvényekkel írhatók le:
x1 ( t) = a + 2 at , y1 ( t) = 2 at , x2 ( t) = 2 at , y2
( t) = 2a − 2 at , x3 ( t) = 3 at , y3( t) = 0 .
Számítsuk ki U és R elemeit a t=1 és a t=0,5 pillanatban!
Használjuk fel ismét a ξ
i
területkoordinátákat:
x ξ, t x ( t) ξ x ( t) ξ x ( t)
ξ y ξ, t = y ( t) ξ + y ( t) ξ + y ( t) ξ .
( ) =
1 1
+
2 2
+
3 3, ( ) 1 1 2 2 3 3
A t = 0 pillanatban ezek megegyeznek a Lagrange-koordinátákkal:
x ξ, t X X ξ X ξ X ξ aξ
, y ξ, t = Y = Yξ + Y ξ + Y ξ = 2 aξ
.
( ) = =
1 1
+
2 2
+
3 3
=
1 ( ) 1 1 2 2 3 3 2
A t = 1 időpillanatban:
⎛ X Y ⎞ Y
x( X, 1) = 3aξ1 + 2aξ 2
+ 3aξ
3
= 3X + Y + 3a ⎜1− − ⎟ = 3a
−
⎝ a 2a
⎠ 2
y X,1 = 2aξ + 0ξ + 0ξ
= 2 X .
( ) 1 2 3
Innen a deformáció-gradiens tenzor:
⎡0 −0,5⎤ 1
T
( )
2
⎡4 0 ⎤ ⎡2 0 ⎤
F = ⎢ U = F F
.
2 0
⎥ → ⋅ = ⎢ =
0 0, 25
⎥ ⎢
0 0,5
⎥ Az R rotációs tenzor:
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1 ⎡0 −0,5⎤ ⎡0,5 0⎤ ⎡0 −1 ⎤
R = F⋅ U − = ⎢ .
2 0
⎥ ⎢ =
0 2
⎥ ⎢
1 0
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Vizsgáljuk meg most a t = 0,5 pillanatot:
X Y X Y
x( X, t) = 2aξ1 + aξ 2
+ 1,5aξ
3
= 2a + a + 1,5 a(1 − − ) = 1,5a + 0,5X − 0,25 Y,
a 2a a 2a
X Y
y( X,0,5) = aξ1 + aξ 2
+ 0ξ
3
= a + a = X + 0,5 Y .
a 2a
A deformáció –gradiens tenzor:
1
0,5 −0, 25 1 2
2
1,25 0,375 1,0932 0,2343
→ ⋅ = =
.
⎡ ⎤ T ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
F = ⎢ U = ( F F)
1 0,5
⎥ ⎢
0,375 0,3125
⎥ ⎢
0, 2343 0,5076
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
10.06.20. 29
1 2

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Megjegyezzük, hogy egy mátrix négyzetgyökének kiszámításához az alábbi lépések
szükségesek:
a./ Határozzuk meg az
T
F
⋅F
mátrix sajátértékeit és sajátvektorait.
b./ A λ
i
sajátértékeknek vegyük a négyzetgyökét s helyezzük el őket egy
diagonál mátrixba: H % = λ1 , λ
2
.
c./ A sajátvektorokat oszloponként helyezzük el egy A mátrixba.
d./ A nyúlási tenzor ezek segítségével:
%
T
U = A ⋅ H ⋅ A .
2.9. Példa:
Ennél a feladatnál:
⎡−0,9436 0,3310 ⎤ 1,1754 0
A =
, H%
⎡ ⎤
⎢ =
.
−0,3310 −0,9436 ⎥ ⎢
0 0,42539
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Végül a szintén meghatározandó rotációs mátrix:
−1 ⎡0,5 −0, 25⎤ ⎡1,0932 0,2343⎤ ⎡0,6247 −0,7809 ⎤
R = FU = ⎢ .
1 0,5
⎥ ⎢ =
0,2343 0,5076
⎥ ⎢
0,7809 0,6247
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡c − as ac − s⎤
Legyen egy mechanikai feladatnál a gradiens-tenzor mátrixa adott: F = ⎢
,
s + ac as + c
⎥
⎣
⎦
ahol c = cos Θ , s = sin Θ és a konstans. Határozzuk meg a nyúlási és rotációs tenzort, ha
a= 0,5 és Θ = π .
2
0,5 1
Az adott értékekkel: F = ⎡−
−
⎢
⎤ .
1 0,5
⎥
⎣ ⎦ Legyen most T ⎡1,25 1 ⎤
C=F ⋅F = ⎢ .
1 1,25
⎥
⎣ ⎦
1
A C mátrix sajátértékei és sajátvektorai: λ
1
= 0, 25 , y T
1
= [ 1 −1 ] , λ
2
= 2, 25,
2
1 0,5 0
y T 2
= [ 1 1 ] . Innen: H% = ⎡ ⎤
⎢ .
2
0 1,5 ⎥ A nyúlási tenzor értéke:
⎣ ⎦
1 ⎡ 1 1⎤ ⎡0,5 0 ⎤ 1 ⎡1 −1⎤ 1 ⎡2 1⎤
U = A⋅H%
⋅ A T = ⎢ = .
2 −1 1
⎥ ⎢
0 1,5
⎥ ⎢
2 1 1
⎥
2
⎢
1 2
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1 ⎡−0,5 −1⎤ 2 ⎡ 2 −1⎤ ⎡0 −1⎤
A rotációs mátrix: R = F⋅ U − = ⎢ .
1 0,5
⎥
3
⎢ =
−1 2
⎥ ⎢
1 0
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Felhasznált irodalom:
1./ Holzapfel, G. A.: Nonlinear Solid Mechanics, Wiley 2001.
2./ Fung, Y.: Foundation of Solid Mechanics, Prentice Hall, 1965, 1994.
3./ Thomas, G. B. – Weir, M. D. – Hass, J. – Giordano, F. R. : Thomas-féle kalkulus I-III.
Typotex, 2006.
4./ Kaliszky S. – Kurutzné K. M. – Szilágyi Gy.: Szilárdságtan, Egyetemi Tankönyv, 2000.
−1
10.06.20. 30

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
5./ Belytschko, T. – Liu, W.K. – Moran, B. : Nonlinear finite elements for continua and structures,
John Wiley, 2000.
3. Előadás: Az alakváltozások főértékei, az alakváltozások felbontása
fizikai tartalmuk alapján. A kis alakváltozásokhoz kapcsolódó
alapvető tételek
Főnyúlások, fajlagos főalakváltozások:
A test minden egyes pontjában található három olyan (egymásra merőleges) tengely, amely
tengelyekhez nem tartoznak nyírási alakváltozások. Ezeket a tengelyeket alakváltozási
főirányoknak, a velük megegyező irányú nyúlásokat pedig deformációs tenzorok esetében
főnyúlásoknak, alakváltozás tenzoroknál pedig fajlagos főalakváltozásnak nevezzük 26 .
Vizsgáljunk meg például egy-egy vonalelemet a kezdeti és a pillanatnyi bázisban, jelölje ezek
irányvektorát n0
és n . Legyen t0
és t ezekre merőleges, de egyébként tetszőleges irányú
vektor. A két eredeti irányvektor akkor esik egybe a főirányokkal, ha (most E tenzort
használva példaként):
n0 ⋅E⋅n0 ≠ 0 és n0 ⋅E⋅ t0
= 0 ,
(3.1)
illetve n⋅e⋅n ≠ 0 és n⋅e⋅
t = 0 .
Az alakváltozás-tenzorokra felírt egyenletekből következik, hogy E és C, valamint e és b −1
főirányai megegyeznek. Ha például a deformációs tenzorokat a főtengelyek irányába vetítjük,
akkor ugyanazt az értéket kell kapnunk, mintha a főnyúlások négyzetét szoroznánk az adott
normálvektorral:
2 1 2
n0 C=
0
n0
és n b − −
⋅ λ ⋅ = λ n .
(3.2)
Innen kapjuk a főnyúlások meghatározására szolgáló sajátérték-feladatokat:
2
2
C- λ I ⋅ n = 0 és b -λ I ⋅n = 0.
(3.3)
( 0 ) 0 ( )
A sajátérték-feladatokhoz tartozó karakterisztikus egyenletek általános alakja:
ˆ3 ˆ2
− λ + I λ − I ˆ λ + I = 0 ,
(3.4)
1 2 3
ahol az I
i
együtthatók a feladat invariánsai. Például a deformációs tenzorok esetében:
1 2 2
1 2 2
I1 = trC vagy I1= tr b , I2 = ⎡( tr C) − tr C ⎤ vagy I2
= ⎡( tr b)
− tr b ⎤ ,
2 ⎣ ⎦ 2 ⎣ ⎦
I3 = det( C) vagy I3
= det( b) .
(3.5)
Ugyanezek az invariánsok természetesen a sajátértékek segítségével is számíthatók. Például a
Green-Lagrange-tenzor főértékeivel 27 :
I1 = 3+ 2( E1 + E2 + E3 ),
I2 = 3+ 4( E1 + E2 + E3 ) + 4 ( E1E2 + E2E3 + E3E1
) ,
(3.6)
I = 1+ 2E 1+ 2E 1+
2 E .
( )( )( )
3 1 2 3
26 A mérnöki gyakorlatban az egyszerűség kedvéért gyakran mindkét esetben ugyanazt a „főnyúlás”
elnevezést használják.
27 Az átalakításnál a C = I + 2E
kapcsolati összefüggést vettük figyelembe.
10.06.20. 31

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
A 3.4 alatti karakterisztikus egyenletben szereplő " λ ˆ " jelölés arra utal, hogy az egyenlet
általános alakú, alkalmas bármelyik sajátérték számítására. Megjegyezzük, hogy ha a (3.4)-es
egyenlettel nem a deformációs tenzorok, hanem valamelyik alakváltozás-tenzor főértékeit
kívánjuk meghatározni, akkor nem a főnyúlások négyzeteit, hanem a fajlagos
főalakváltozásokat kapjuk eredményként.
A 3.2 alatti sajátérték-feladatok karakterisztikus egyenleteinek megoldásából adódik a 3-3
darab főnyúlás (vagy fajlagos főalakváltozás), majd ezek segítségével a 3-3 darab főirány
vektor. Megjegyezzük, hogy a főnyúlások segítségével a Green-Lagrange- és az Almansi-
Hamel-féle tenzorok főértékei (fajlagos főalakváltozásai) is számíthatók ( λ a b tenzor, λ
pedig a C tenzor sajátértékeinek négyzetgyökét jelöli):
1 2 1 2
Ei = ( λ
0 i
− 1) és ei = ( 1 − λ −
i ) .
(3.7)
2 2
A főértékek és főirány vektorok felhasználásával felépíthetők az alakváltozás tenzorok is
(emlékezzünk a Függelékben a spektrál-felbontásról leírtakra):
C= λ 2 n ⊗ n + λ 2 n ⊗ n + λ 2
n ⊗n
b = λ 2 n ⊗ n + λ 2 n ⊗ n + λ 2
n ⊗ n (3.8)
01 01 01 02 02 02 03 03 03 ,
1 1 1 2 2 2 3 3 3 ,
E= E n ⊗ n + E n ⊗ n + E n ⊗n , e= e n ⊗ n + e n ⊗ n + e n ⊗n
.
1 01 01 2 02 02 3 03 0 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3
Abban az esetben, ha az alakváltozások kicsik, a „főalakváltozások” elnevezés helyett
elfogadottabb a „főnyúlás” név használata. Az ε tenzor sajátértékei ebben az esetben ezeket a
főnyúlásokat jelentik, értéküket pedig (elsősorban más mechanikai számításokhoz való
kapcsolódásuk miatt) szokás matematikai nagyságuk szerinti sorrendbe rendezni:
ε ≥ ε ≥ ε (3.9)
3.1 Példa
1 2 3
Határozzuk meg a második előadás 2.3/b példájában szereplő nyírási feladatnál a
deformációs tenzorokhoz tartozó főnyúlásokat és a főirányokat!
A gradiens-tenzort, valamint a C és b tenzorokat már a 2.3-as példában kiszámítottuk:
2
⎡1 k 0⎤ ⎡1 k 0⎤
⎡1 + k k 0⎤
2
F =
⎢
0 1 0
⎥
, C =
⎢ ⎢
⎥
k 1+ k 0
⎥
, b = k 1 0 .
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢⎣ 0 0 1⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 1⎥⎦ ⎢ 0 0 1⎥
⎣ ⎦
A sajátérték-feladatokhoz tartozó determinánsok a C és b tenzor esetében:
2 2 2
1− λ k 0 1+ k − λ k 0
0
k 1+ k − λ 0 = 0, k 1− λ 0 = 0 .
2 2 2
0
2 2
− λ0
− λ
0 0 1 0 0 1
A karakterisztikus egyenlet felírásából azonnal észrevehető, hogy a két sajátértékfeladat
ugyanazokat a sajátértékeket szolgáltatja, mivel az invariánsok értéke megegyezik:
2 2
I = I = 3 + k , I = I = 3 + k , I = I = 1.
0,1 1 0,2 2 0,3 3
Ennek figyelembevételével:
2 2
λ
0,i
= λ
i
.
A főnyúlások (most már csak egyféle módon jelölve őket):
i
0i
10.06.20. 32

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
2 2 2
λ 1 1
1,2
= 1+ k ± k 1 + k , λ
3
= 1.
2 4
A főirányok már különbözőek lesznek. A sajátértékfeladat felhasználásával adódó
koordináták a kezdeti és a pillanatnyi állapotban:
⎛ 1 1 ⎞
2
e1 + ⎜ k ± 1+
k ⎟e2
2 4
n0,(1,2) =
⎝
⎠
, n0,(3) = e3,
1 2 1 2
2 + k ± k 1+
k
2 4
⎛ 1 1 ⎞
2
e1 + ⎜ − k ± 1+
k ⎟e2
2 4
n(1,2) =
⎝
⎠
, n(3) = e3
.
1 2 1 2
2 + k m k 1+
k
2 4
Az eltérés nagyságrendjének érzékeltetésére k=0,5-nél megadjuk a behelyettesítés után kapott
numerikus értékeket:
λ = 1, 28 , λ = 0,781 ,
n
n
1 2
= 0,615e + 0,788 e , n = 0,788e − 0,615 e ,
0,(1) 1 2 0,(2) 1 2
= 0,788e + 0,615 e , n = 0,615e − 0,788 e .
(1) 1 2 (2) 1 2
3.2 Példa
Egy egységnyi oldalú kocka pontjai az x tengellyel párhuzamosan tolódnak el:
u = k y e 1 .
Határozzuk meg az ε és E tenzorokat, a lineáris rotációs tenzort, a „z” tengely körül 45
fokkal elforgatott rendszerben számított E tenzort, valamint a lineáris alakváltozás-tenzor
főértékeit és főirányait!
3.4. ábra: Nyírási hatások
a./ A kis alakváltozások tenzorai:
⎡ k ⎤ ⎡ k ⎤
⎢
0 0 0 0
0 0 0
2 ⎥ ⎢ 2 ⎥
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
k
−k
∇
0u = k e2 ⊗ e1
=
⎢
k 0 0
⎥ ⎢ 0 0 ⎥ , R ⎢ 0 0 ⎥
⎢ ⎥
→ε = =
.
⎢ 2 ⎥ ⎢ 2 ⎥
⎢⎣
0 0 0⎥⎦
⎢
0 0 0
⎥ ⎢
0 0 0
⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦
10.06.20. 33

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
b./ A Green-Lagrange-féle alakváltozás tenzor (a ( ∇0u) ⋅(
∇0u)
bővíteni):
⎡ k ⎤
⎢
0 0
2 ⎥
⎢ 2 ⎥
⎢
k k
E = 0⎥
.
⎢2
2 ⎥
⎢0
0 0⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Az elforgatáshoz szükséges vektorok az új bázisban:
1
T 1
T
T
e
1
= [ 1 1 0] , e2
= [ −1
1 0] , e3
= [ 0 0 1] .
2
2
Az elforgatás elemenként:
⎡0
k 0⎤
⎡1⎤
2
1 1 2 1 k k
E
11
= e
1
⋅E⋅
e1
= [ 1 1 0] ⎢
k k 0
⎥ ⎢
1
⎥
= + ,
2 2 ⎢ ⎥ 2 ⎢ ⎥ 2 4
⎢⎣
0 0 0⎥⎦
⎢⎣
0⎥⎦
2
2
k k
k
E
2 2
= e
2
⋅E⋅
e2
= − + , E12
= e1
⋅ E⋅
e2
= , stb.
2 4
4
T
taggal kell
c./ A lineáris alakváltozás-tenzorhoz tartozó sajátérték-feladat determinánsa:
k
−ε 0
2
2
k
2 k
−ε 0 = 0 → − ε( −ε + ) = 0 .
2 4
0 0 −ε
Innen:
k k
ε
1
= , ε
3
= − , ε
2
2 2
= 0 .
A főirányok:
1 1
n0 1
= [ 1 1 0 ] , n0 3
= [ − 1 1 0 ] , n
0 2
2 2
= [ 0 0 1 ] .
Alakváltozás-tenzorok felbontása fizikai hatások alapján
A Függelékben a matematikai összefoglalónál már említettük, hogy minden másodrendű
tenzor felbontható két speciális tenzor összegére:
A = αI + dev A,
(3.10)
1
ahol α = tr
3 A . Az első tag neve: gömbi tenzor, a másodiké deviátor tenzor.
Alakváltozás-tenzorokra alkalmazva a fentieket:
E = E + E , ε = ε + ε , D = D + D , stb. (3.11)
g d g d g d
A gömbi tag a test adott pontjában létrejövő bázisirányú átlagos nyúlásokat, a deviátoros rész
pedig a pontban létrejövő nyírási alakváltozásokat (szögtorzulásokat) jellemzi. A gömbi
tagot mechanikai tartalma alapján hidrosztatikus alakváltozás tenzornak is nevezik.
10.06.20. 34

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Fontos tudnunk, hogy egyes esetekben (pl. rugalmasan összenyomhatatlan vagy képlékeny
anyagoknál) az alakváltozás-tenzorok ilyen típusú felbontása nem alkalmas különleges
állapotok (pl. az izochor – magyarul térfogatállandó – mozgás) leírására (a változást leíró
növekmény tenzoroké ( E & , D ) azonban igen!), ezért ilyenkor szorzatalakú felbontást
használnak 28 . Például (itt J a gradiens-tenzor determinánsa):
g
d
1 1
3 3
d
J −
.
F= F ⋅F
, ahol F = J I , F = F
(3.12)
g
Alakváltozás-tenzorok és geometriai egyenletek különböző típusú
közelítések esetén
a./ Nagy alakváltozások (most csak a Lagrange-leírásmódot használjuk a továbbiakban):
1
( (
0 )
T
0 0 (
0 )
T
E= ∇ u +∇ u + ∇ u⋅ ∇ u ) .
(3.13)
2
b./ Kis elmozdulások és kis alakváltozások:
Szokásos feltétel a „kicsi” jelzőre az alakváltozásoknál és elmozdulásoknál:
Ilyenkor
1
1
E = ( E: E) 2 ≤ 0, 01 , = ( R : R) 2 ≤ ,01, ∇ u

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
c./ Kis alakváltozások, tetszőleges elmozdulások
Az a.) és b.) pontban említett változatok határeseteket jelentenek, a kettő között azonban
más gyakorlati változatok is előfordulhatnak. Ha például az alakváltozások kicsik, de az
eltolódások és elfordulások tetszőlegesek, az alakváltozás tenzorra és így a geometriai
egyenletekre különböző típusú közelítések adhatók. Például kiindulva a „pontos” Green-
Lagrange-tenzorból, írjuk fel azt a következőképpen (lásd még az (1.20)-as képletet):
1 T 1
E= ε + H H=ε+ ( ε−R) ⋅ ( ε+ R)
, (3.19)
2 2
ahol R a „b” pontban felírt lineáris rotációs tenzor. Figyelembe véve az ε ⋅ ε

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
2
2 2 2
2 2 2
2 2
∂ γ
x y ∂ ε ∂ ε
y
, ∂ γ
x
x z ∂ ε
x
∂ ε ∂ γ
y z
∂ ε
z
y ∂ ε
z
= +
= + , = + .
(3.25)
2 2
2 2
2
∂x
∂y
∂y
∂x
∂x
∂z
∂z
∂x
∂y
∂z
∂z
∂y
2
2
2
∂ ⎡∂γ y z
∂γ
z x
∂γ ⎤ ⎡
x y
∂γ
z x
∂γ
x y
∂γ ⎤
z
y z ∂ ε ∂
∂ εx
+ − = 2 , + − = 2 ,
∂z ⎢ x y z ⎥ x y x ⎢ y z x ⎥
⎣ ∂ ∂ ∂ ⎦ ∂ ∂ ∂ ⎣ ∂ ∂ ∂ ⎦ ∂y ∂z
2
∂ ⎡∂γ x y
∂γ
y z
∂γ ⎤
z x
∂ ε
y
+ − = 2 .
∂y ⎢ z x y ⎥
⎣ ∂ ∂ ∂ ⎦ ∂z ∂x
Ezek az egyenletek azt fejezik ki, hogy az alakváltozások függvényei között szigorú
matematikai kapcsolat létezik. Ha például egy háromdimenziós testnél az alakváltozások
meghatározása során a gondolatban végtelen sok kis elemi hasábra felosztott tartománynál a
hat alakváltozási komponenst egymástól függetlenül határozzuk meg, akkor az egyes (ezen
alakváltozások hatására deformálódott) hasábokból nem tudunk „összerakni” egy folytonosan
deformálódott tömör testet, számtalan „hézag” vagy éppen „átfedés” fog jelentkezni a
csatlakozó felületek között. A kompatibilitási egyenletek éppen ennek az ellentmondásnak a
kiküszöbölésére születtek.
Megjegyezzük, hogy a gyakorlatban ezeket az egyenleteket elsősorban a különböző
mechanikai megoldási technikák (erőmódszer, feszültségfüggvényes eljárások) bemutatásakor
fogjuk majd használni.
Alakváltozás-tenzorok előállítása hengerkoordináta-rendszerben
Írjuk fel először a Green-Lagrange-féle változatot, majd utána a kicsiny alakváltozásokhoz
tartozó tenzort.
A számításhoz használt hengerkoordináta-rendszert láthatjuk a 3.1-es ábrán. Az egyes
változók közötti kapcsolat:
r = R + u, ϑ = θ + α , z = Z + w, (3.26)
ahol u az R irányban, w pedig a Z irányban létrejövő eltolódás, α pedig a szög változása.
10.06.20. 37

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
3.1. ábra: A hengerkoordináta-rendszer alapvető paraméterei
Az anyagi rendszerben levő P pont környezetének elemien kicsiny távolságban levő bármely
tetszőleges Q pontjánál az elemi szál hossznégyzete az alábbi módon számítható:
2 2 2 2 2
dS = dR + R dθ + dZ . (3.27)
Ugyanezt a számítást megismételhetjük a pillanatnyi konfigurációban is p környezetét
figyelembe véve:
2 2 2 2 2
ds = dr + r dϑ + dz . (3.28)
Figyelembe véve, hogy (most indexes jelöléssel):
∂u
⎛
i
∂u
⎞
i
dxi = dX
i
+ dX
j
= δ
i j
+
dX
j
, (3.29)
∂X
⎜
j
∂X
⎟
⎝
j ⎠
az egyes növekmények az Euler-féle rendszerben a következőképpen írhatók fel:
⎛ ∂u ⎞ ∂u ∂u
dr = ⎜1 + ⎟dR + dθ + dZ,
⎝ ∂R
⎠ ∂θ ∂Z
∂α ⎛ ∂α ⎞ ∂α
dϑ = dR + ⎜1 + ⎟ dθ + dZ,
(3.30)
∂R
⎝ ∂θ ⎠ ∂Z
∂w ∂w ⎛ ∂w
⎞
dz = dR + dθ + ⎜1 + ⎟dZ
.
∂R
∂θ ⎝ ∂Z
⎠
Helyettesítsük be ezeket a tagokat az előző egyenletbe, ahol az elemi hossz távolságát az
euleri rendszerben számítottuk, és határozzuk meg a két rendszerben kapott értékek
különbségét, rögtön egyenlővé téve ezt a kifejezést a Green-Lagrange-tenzor
komponenseivel:
2 2 2 2 2 2
ds − dS = 2Ei jdX i
dX
j
= 2( E
R RdR + E
θ θR dθ + E
Z ZdZ
+
(3.31)
+ 2( E dR R dθ + E Rdθ dZ + E dZ dR)).
R θ
θ Z Z R
A Green-Lagrange-féle alakváltozás-tenzor egyes elemei ennek megfelelően:
2 2 2
∂u 1 ⎡⎛ ∂u ⎞ 2 ⎛ ∂α ⎞ ⎛ ∂w
⎞ ⎤
E
R R
= + ⎢⎜ ⎟ + ( R + u)
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ ,
∂R 2 ⎢⎣
⎝ ∂R ⎠ ⎝ ∂R ⎠ ⎝ ∂R
⎠ ⎥⎦
(3.32)
E
θθ
u ⎛ u ⎞ ∂α
= + ⎜1+ ⎟ +
R ⎝ R ⎠ ∂θ
2
2
2 2 2 2
1 ⎧⎪
u 1 ⎡⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂w ⎞ ⎤ ⎛ u ⎞ ⎛ ∂α ⎞ ⎫⎪
+ ⎨ + 1 ,
2 2 ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ + ⎜ + ⎟ ⎜ ⎟ ⎬
2 ⎪⎩
R R
⎣⎢
⎝ ∂θ ⎠ ⎝ ∂θ ⎠ ⎦⎥
⎝ R ⎠ ⎝ ∂θ ⎠ ⎪⎭
2 2
∂w 1 ⎡⎛ ∂u ⎞ 2 ⎛ ∂α ⎞ ⎛ ∂w
⎞ ⎤
E
Z Z
= + ⎢⎜ ⎟ + ( R + u)
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ ,
∂Z 2 ⎢⎣
⎝ ∂Z ⎠ ⎝ ∂Z ⎠ ⎝ ∂Z
⎠ ⎥⎦
1 ⎧∂u 2 ∂α ⎡ ∂u ∂u 2 ∂α ∂α ∂w ∂w⎤⎫
E
Rθ
= ⎨ + ( R + u) + + ( R + u)
+ ⎬
2R ∂θ ∂R ⎢
⎣∂R ∂θ ∂R ∂θ ∂R
∂θ ⎥
⎩ ⎦⎭ ,
1 ⎧ 2 ∂α ∂w ⎡∂u ∂u 2 ∂α ∂α ∂w ∂w⎤⎫
EθZ
= ⎨( R + u) + + + ( R + u)
+ ⎬
2R ∂Z ∂θ ⎢
⎣∂θ ∂Z ∂θ ∂Z ∂θ ∂Z
⎥
⎩ ⎦⎭ ,
1 ⎧ ∂u ∂w ⎡ ∂u ∂u ( ) 2 ∂α ∂α ∂w ∂w⎤⎫
E
Z R
= ⎨ + + + R + u + ⎬
2R ∂Z ∂R ⎢
⎣∂Z ∂R ∂Z ∂R ∂Z ∂R
⎥
⎩ ⎦⎭ .
10.06.20. 38

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Ha most is végrehajtjuk azt a linearizálást, amit a derékszögű koordinátarendszerben felírt ε
tenzornál már elvégeztünk, vagyis
R → r, θ → ϑ,
Z → z , (3.33)
tovább tekintetbe vesszük, hogy a ϑ irányú v eltolódásfüggvény segítségével
v
α = , (3.34)
r
akkor a kis alakváltozások tenzorának elemei a hengerkoordináta-rendszerben a következők
lesznek:
∂ u 1
r
, u ∂ v ∂
ε = ε ,
w
ϑ
= + ε
z
=
∂r r r ∂ϑ ∂ z
, (3.35)
1 ⎛ 1 ∂u ∂v v ⎞ 1 ⎛ ∂v 1 ∂w ⎞ 1 ⎛ ∂w ∂u
⎞
ε
r ϑ
= ⎜ + − ⎟, ε
ϑ z
= ⎜ + ⎟, ε
z r
= ⎜ + ⎟.
2 ⎝ r ∂ϑ ∂r r ⎠ 2 ⎝ ∂z r ∂ϑ ⎠ 2 ⎝ ∂r ∂z
⎠
Abban a különleges esetben, amikor – kis alakváltozásokat feltételezve – az alábbi feltételek
is fennállnak:
∂u
∂v
w = 0, = 0, = 0, (3.36)
∂z
∂z
az egyszerű sík alakváltozási állapothoz jutunk. Ilyenkor a kis alakváltozások tenzorának
független elemei a következők lesznek:
∂u u 1 ∂v
ε
r
= , ε
ϑ
= + , ε
z
= 0,
(3.37)
∂r r r ∂ϑ
1 ⎛ 1 ∂u ∂v v ⎞
ε , 0, 0.
r ϑ
= ⎜ + − ⎟ ε
ϑ
= ε =
2 ⎝ r ∂ϑ ∂r r ⎠
z z r
Egy másik speciális változathoz jutunk forgásszimmetrikus mechanikai feladatok esetében.
Ilyenkor a feltételek:
∂u
∂w
v = 0, = 0, = 0 . (3.38)
∂ϑ ∂ϑ
Ezt figyelembe véve az alakváltozás-komponensek:
∂u u ∂w
ε
r
= , ε
ϑ
= , ε
z
= ,
(3.39)
∂r r ∂z
1 ⎛ ∂w
∂u
⎞
ε
r ϑ
= 0, ε
ϑ z
= 0, ε
z r
= ⎜ + ⎟.
2 ⎝ ∂r
∂z
⎠
A gyakorlás kedvéért megadjuk a hengerkoordináta rendszerben számítható kis
alakváltozások tenzorának egy másik számítási módját is:
Számítsuk ki először a sugár-és érintő irányú egységvektorokat transzformálás segítségével:
er
( ϑ ) = e1 cosϑ + e2 sin ϑ , eϑ
= −e1 sin ϑ + e2 cos ϑ , ez
= e3
. (3.40)
A szükséges deriváltak:
∂er
∂eϑ
= −e1 sin ϑ + e2 cos ϑ = eϑ
, = −e1 cos ϑ −e 2 sin ϑ = −e
r
∂ϑ
∂ϑ
. (3.41)
Hengerkoordináta-rendszerben az elmozdulásvektor és a ∇ operátor az egységvektorok
segítségével:
∂ 1 ∂ ∂
u = urer + uϑ eϑ + uz ez , ∇ = er + eϑ
+ ez
. (3.42)
∂r r ∂ϑ ∂z
10.06.20. 39

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Innen (a deriválásoknál a tömörség kedvéért az indexes jelölésmódot használjuk):
⎡
ur, r u , r u ⎤
ϑ
z,
r
1 1 1
∇ u
= ur, u u , ur u
( ϑ − ϑ) ( ϑ ϑ + ) z,
ϑ
r r r
ur, z u , z u
⎢
ϑ
z,
z
⎣
⎥⎦
Ennek felhasználásával az
⎡
ε
= r εr ϑ εr z
⎤
⎢
⎥
ε ( ∇u
+ ( ∇u)
) = ⎢
εϑ r εϑ εϑ
z ⎥
2
⎢
⎥
⎢⎣
ε z r ε z ϑ ε z ⎥⎦
.
(3.43)
(3.44)
alakváltozás-tenzor egyes elemei:
ε = u r , ; ε = 1 1 ⎡
1
⎤
( u r + u , ); ε u z , ; ε ε
( u , ) ,
;
2
u u
r
= ϑ = ϑ = ⎢ r
− ϑ + ϑ r ⎥
⎣
⎦
ε ϑ z = ε z ϑ = 1 ⎡
1 ⎤
1
u z 2 , ϑ + u ϑ , z ; ε r z = ε z r = ( u r
⎢⎣
r
⎥⎦
2
, z + u
z ,
r
) .
(3.45)
A kis alakváltozások tenzorának előállítása 2D polárkoordinátarendszerben
Hengerkoordináták esetében matematikailag általánosabb előállítási módot alkalmaztunk,
most azonban – a két dimenzió adta egyszerűsítések miatt – az elemi hasábok elmozdulási
képét felhasználva állítjuk elő a tenzor elemeit.
10.06.20.
40

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
3.2. ábra: Alakváltozások polárkoordináta-rendszerben
Megjegyezzük, hogy az alakváltozás-tenzorra itt kapott elemeket természetesen az előző
pontban felírt eredmények további egyszerűsítésével is számíthatjuk, de most inkább a
grafikus alapú „szemléletesebb” módszert választottuk.
Az ábrák vázlatait felhasználva:
( ∂v
∂u
( + ) Θ − Θ ) dΘ
u v r u d rd
1 ∂
ε = , ε = ε + ε =
+
∂Θ u v
r Θ Θ Θ
= +
∂r
rdΘ
rdΘ
r r ∂Θ
,
(3.46)
( ∂u ) dΘ u v
∂v v 1 ∂u ∂v v
εr Θ = γ r Θ = γ rΘ + γ rΘ
= ∂Θ + − = + − .
r dΘ ∂r r r ∂Θ ∂r r
Mivel most nincs z irányú változás, az összes többi tenzorkomponens zérus.
A kis alakváltozások tenzorának előállítása gömbkoordináta-rendszerben
Tartályok, héjak és más különleges szerkezetek vizsgálatánál szükség lehet ilyen típusú
leírásmódra.
Csak a kis alakváltozások tenzorának számítását mutatjuk be az ábrán látható r, α,
θ
bázisban 32 a levezetés részleteinek mellőzésével (u, v, és w a három bázisiránynak megfelelő
eltolódásfüggvényeket jelentik):
3.3. ábra: Gömbkoordináta-rendszer
2 2
32 2 2 2 2 2
Egy elemi szál hossznégyzete ebben a rendszerben: dS dr r sin ( d ) r ( d )
= + θ α + θ .
10.06.20. 41

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
∂u 1 ∂v u 1 ∂v u cotg θ
ε
r
= , ε
θ
= + , ε
α
= + + w ,
∂r r ∂θ r r sin θ ∂α r r
1 ⎛ 1 ∂u v ∂v ⎞ 1 ⎛ 1 ∂u w ∂w
⎞
ε
r α
= ⎜ − + ⎟, ε
r θ
= ⎜ − + ⎟,
2 ⎝ r sin θ ∂α r ∂r ⎠ 2 ⎝ r ∂θ r ∂r
⎠
1 ⎛ 1 ∂v v cotg θ 1 ∂w
⎞
ε
αθ
= ⎜ − + ⎟ .
2 ⎝ r ∂θ r r sin θ ∂α ⎠
(3.47)
Kis alakváltozások számítása általános görbevonalú koordinátarendszerben
Az ábrán látható teljesen általános, görbevonalú (de ortogonális) koordinátarendszerben
felvett s 1
, s 2
, s 3
tengelyeknek megfelelő i i
egységvektorokra is igaz az alábbi állítás:
3.4. ábra: Görbevonalú koordinátarendszer
i
⋅ i = δ . (3.48)
j k j k
Ha ezt a kifejezést deriváljuk, akkor a következő azonosságokat kapjuk:
∂i j
∂i j ∂i
k
⋅ i
j
= 0, ⋅ ik = − ⋅i
j
. (3.49)
∂s ∂s ∂s
m m m
Részletesen felírva az egyes egységvektorok s 1
, s 2
, s 3
irányú deriváltjait, a következőt kapjuk:
⎡i1 ⎤ ⎡i1 ⎤ ⎡i1 ⎤ ⎡i1 ⎤ ⎡i1 ⎤ ⎡i1
⎤
∂ ⎢
i
⎥
2
K
⎢
i
⎥ ∂
1 2
,
⎢
i
⎥
2
K
⎢
i
⎥ ∂
2 2
,
⎢
i
⎥
2
K
⎢
i
⎥
3 2
.
s ⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
1
s ⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
2
s ⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
(3.50)
∂ ∂ ∂
3
⎢⎣ i ⎥
3 ⎦ ⎢⎣ i ⎥
3 ⎦ ⎢⎣ i ⎥ ⎢
3 ⎦ ⎣i ⎥ ⎢
3 ⎦ ⎣i ⎥ ⎢
3 ⎦ ⎣i
⎥
3 ⎦
Az egyes mátrixok a következő elemeket tartalmazzák (az indexekben a vesszők utáni tagok
az adott változók szerinti parciális deriválásokra utalnak):
10.06.20. 42

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
⎡i1, s
⋅i 1 1
i1, s
⋅i 1 2
i1, s
⋅i ⎤ ⎡
1 3
i1, s
⋅i 2 1
i1, s
⋅i 2 2
i1, s
⋅i
⎤
2 3
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
K =
1
⎢i2, s
⋅i 1 1
i2, s
⋅i 1 2
i2, s
⋅ i
1 3 ⎥ , K =
2
⎢i2, s
⋅i 2 1
i2, s
⋅i 2 2
i2, s
⋅i
2 3 ⎥ ,
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣
i3, s
⋅i 1 1
i3, s
⋅i 1 2
i3, s
⋅i 1 3 ⎦ ⎣
i3, s
⋅i 2 1
i3, s
⋅i 2 2
i3, s
⋅i
2 3 ⎦
(3.51/a)
⎡i1, s
⋅i 3 1
i1, s
⋅i 3 2
i1, s
⋅i
⎤
3 3
⎢
⎥
K = i
3
⎢ 2, s
⋅i 3 1
i2, s
⋅i 3 2
i2, s
⋅i
3 3 ⎥ ,
⎢⎣
i3, s
⋅i 3 1
i3, s
⋅i 3 2
i3, s
⋅i
3 3 ⎥⎦
vagy tömörebb jelöléssel (a mátrix sorszámára és a „kimaradó” indexre utaló számozással):
⎡ 0 k13 −k12 ⎤ ⎡ 0 k23 −k22 ⎤ ⎡ 0 k33 −k32
⎤
K =
⎢
k
1 13
0 k
⎥
11
, K
⎢
k
2 23
0 k
⎥
21
, K
⎢
3
k33 0 k
⎥
⎢
−
⎥
=
⎢
−
⎥
=
⎢
−
31 ⎥
. (3.51/b)
⎢⎣ k12 −k11 0 ⎥⎦ ⎢⎣ k22 −k21 0 ⎥⎦ ⎢⎣ k32 −k31
0 ⎥⎦
Ezeket a tenzorokat hívják az adott bázis görbületi tenzorainak. Segítségükkel végezhető el
minden – az adott bázishoz tartozó – fontos mechanikai művelet, így például az
alakváltozások számítása az eltolódásokból. Mielőtt tovább folytatnánk ezek meghatározását,
gyakorlásul megadjuk a korábbiakban már vizsgált hengerkoordináták esetén ezen görbületi
tenzorok értékét:
∂ s = ∂r, ∂ s = r∂ϑ,
∂ s = ∂z
1 2 3
i = sin ϑ i + cos ϑ i , i = cos ϑi − sin ϑ i , i = i .
1 x y 2 x y 3 z
⎡ 0 1/ r 0⎤
K = K
1 3
= 0, K =
⎢
1/ r 0 0
⎥
.
2 ⎢
−
⎥
(3.52)
⎢⎣
0 0 0⎥⎦
Természetesen a számítás gömbkoordináta-rendszer esetén is hasonló módon végezhető el,
de ennek részleteire most nem térünk ki.
Folytassuk az alakváltozás-komponensek számítását. Deriváljuk most az
u = u1i1 + u2i2 + u3i3
(3.53)
alakban megadható elmozdulásvektort az egyes koordináták szerint:
∂ u ∂u1 ∂u2
∂u
=
3
i1 + i2 + i3 + i1 ( u3k12 − u2k13 ) + i2 ( u1k13 − u3k11 ) + i3 ( u2k11 − u1k12
),
∂s ∂s ∂s ∂s
1 1 1 1
∂ u ∂u1 ∂u2
∂u
=
3
i1 + i2 + i3 + i1 ( u3k22 − u2k23 ) + i2 ( u1k23 − u3k21 ) + i3 ( u2k21 − u1k
22 ),
(3.54)
∂s2 ∂s2 ∂s2 ∂s2
∂ u ∂u1 ∂u2
∂u
=
3
i1 + i2 + i3 + i1 ( u3k32 − u2k33 ) + i2
( u1 33 3 31 ) 3 ( 2 31 1 32 )
∂s3 ∂s3 ∂s3 ∂s
k − u k + i u k − u k .
3
Az alakváltozások most már egyszerűen számolhatók:
10.06.20. 43

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
∂u ∂u1
ε
11
= ⋅ i
1
= + u3k12 − u2k13,
∂s1 ∂s1
1 ⎛ ∂u
∂u
⎞ 1 ⎛ ∂u2 ∂u
⎞
1
ε
12
= ⎜ ⋅ i2 + ⋅ i1 ⎟ = ⎜ + + u1k13 − u3k11 + u3k22 − u2k23
⎟,
2 ⎝ ∂s1 ∂s2 ⎠ 2 ⎝ ∂s1 ∂s2
⎠
1 ⎛ ∂u
∂u
⎞ 1 ⎛ ∂u3 ∂u
⎞
1
ε
13
= ⎜ ⋅ i3 + ⋅ i1 ⎟ = ⎜ + + u2k11 − u1k12 + u3k32 − u2k33
⎟,
2 ⎝ ∂s1 ∂s3 ⎠ 2 ⎝ ∂s1 ∂s3
⎠
∂u ∂u
ε = ⋅ i = + −
2
22 2
u1k 23
u3k21,
∂s2
∂s2
1 ∂u
∂u
1 ∂u3 ∂u2
23
i3 i2 u2k21 u1k22 u1k33 u3k31
2 ∂s2 ∂s3 2 ∂s2 ∂s3
∂u ∂u3
33 i
3
u2k31 u1k32
.
∂s3 ∂s3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
ε = ⎜ ⋅ + ⋅ ⎟ = ⎜ + + − + − ⎟,
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ε = ⋅ = + −
(3.55)
Felhasznált irodalom:
1./ Sokolnikoff, I. S. : Mathematical Theory of Elasticity, McGraw Hill, New York, 1956.
2./ Mang, H. – Hofstetter, G.: Festigkeitslehre, Springer, Wien, 2000.
3./ Taber, L. A. : Nonlinear Theory of Elasticity, World Scientific, New Jersey, 2004.
4./ Bezuhov, N. I. : Bevezetés a rugalmasságtanba és képlékenységtanba, Tankönyvkiadó, Budapest,
1952.
5./ Nayfeh, A. H. – Pai, P. F. : Linear and Nonlinear Structural Mechanics, Wiley, 2004.
10.06.20. 44

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
4. Előadás: A különböző feszültségtípusok definíciói, főfeszültségek
A leggyakrabban használt feszültségtípusok definíciói
Az alakváltozások mellett a mechanikai számítások másik fontos paramétere a feszültség.
Fogalmát Cauchy francia matematikus vezette be 1822-ben, majd őt követően Piola,
Kirchhoff 33
és sokan mások is definiáltak feszültség-tenzorokat tenzorokat (megjegyezzük, hogy a
sokféleség itt is csak a nagy változások tartományát jellemzi, kis alakváltozású testeknél csak
egyetlen tenzortípust használunk).
A feszültség fogalmát a fontosabb feszültségtípusoknál az anyag belsejében keletkező
megoszló erőrendszerhez kapcsolják valamilyen lyen határátmenet segítségével. A kapcsolat
felírásakor felhasználják a Cauchy által bevezetett összefüggést:
Emlékeztetőül 34 : az egyensúlyban lévő test tetszőleges metszeténél az egyensúlyt
biztosító megoszló erőrendszernek egy elemi területre vonatkozó határátmenetéből
∆
definiáltuk az n normálishoz tartozó t feszültségvektor fogalmát:
lim f d
t = =
f .
∆A→0
∆A
dA
Ennek felhasználásával javasolta bevezetni Cauchy a feszültségtenzor fogalmát,
amely tenzor a test terhelési folyamatának egy pillanatnyi állapotában egy tetszőleges,
n normálisú dA elemi síkon működő df elemi erővektor és a pont környezetének
feszültségállapotát leíró feszültségtenzor között teremt összefüggést :
n ⋅ σ
= σ ⋅ n
= σ n =σi j
n
j
⇒ n⋅ σ dA = d f =t
dA (4.1)
A (4.1) egyenletben megismételt kifejezést felhasználva tekintsük át a műszaki
számításokban használt fontosabb feszültség-változatokat:
4.1. ábra. Feszültségek definíciójának értelmezése
33
Gustav Robert Kirchhoff (1824 – 1887). Kiváló német fizikus. Sokat foglalkozott mechanikai
kérdésekkel, például a vékony lemezek elméletével. Piola olasz matematikus (lásd a 2. hét
előadását) munkáját folytatva születettek meg a kettőjük nevéhez kapcsolódó feszültségtenzor-
definíciók.
34 További részletekről lásd a [77 -ben tanult alapvető összefüggéseket.
]
10.06.20.
45

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
a./ Cauchy-féle (vagy más néven „igazi” vagy „fizikai”) feszültségtenzor:
Jelölése:σ . Definíciója a feszültségvektor és a feszültségtenzor közötti kapcsolatot
leíró klasszikus Cauchy-összefüggés segítségével történik (lásd a fenti ábrát):
n⋅ σ dA= df =t dA . (4.2)
A tenzor szimmetrikus, a számításához szükséges változókat mindig a pillanatnyi
konfigurációban írjuk fel. A tenzor szimmetriája a pillanatnyi állapotban a pont körül
felvett elemi hasáb nyomatéki egyensúlyából következik, a tenzor elemeinek valós
fizikai tartalmuk van.
b./ Nominális (vagy más néven „első Piola-Kirchhoff-”) feszültségtenzor:
Jelölése: P. Definíciója:
n ⋅ P dA = df =t dA . (4.3)
0 0 0 0
A P tenzor meghatározása szintén a pillanatnyi állapothoz tartozó df erővektort veszi
alapul, azonban a kiindulási állapothoz tartozó felületet és normálvektort alkalmazza,
ezért a tenzor nem szimmetrikus, és általában elemeinek nincs valós fizikai
jelentése. Ezt a tenzort mindig a Lagrange-bázis változóinak segítségével
értelmezzük 35 .
Megjegyezzük, hogy egyes könyvek a transzponáltját hívják első Piola-Kirchhofftenzornak,
sajnos a rá vonatkozó jelölésrendszer nem egységes. Ebben a vázlatban az
egyszerűség kedvéért vegyesen fogjuk használni mindkét elnevezést.
c./ Második Piola-Kirchhoff-feszültségtenzor:
Jelölése: S. Ennek a tenzornak sincs fizikai tartalma. Definiálására többféle változat
5 alatti
is található a szakirodalomban. Egyes szerzők szerint (lásd például a [ ]
irodalmat) a Jacobi-determinánssal megszorzott Cauchy-féle feszültségtenzor (lásd az
ún. Kirchhoff-féle tenzort néhány sorral lejjebb) segítségével állítható elő, ilyenkor a
gradienstenzor inverzének segítségével végrehajtott transzformáció megtartja az
eredeti feszültségtenzor szimmetrikus jellegét, de az új feszültségtenzor most már a
kezdeti konfigurációhoz köthető:
−1
−
S= J F σ F T . (4.4/a)
Más szerzők szerint (lásd például [ 6]
-ot) a második Piola-Kirchhoff-féle tenzor azért
jött létre, mert a mérnökök az első Piola-Kirchhoff-féle tenzor nemszimmetrikus
jellegének módosítását akarták elérni. Megtartották az a és b pontokban alkalmazott
Cauchy-féle feszültségi összefüggést, csak az erővektort módosították a
gradienstenzor inverzével, így érve el az eredeti konfigurációhoz való kapcsolódást:
-1 -1
n ⋅ S dA = F ⋅df = F ⋅t dA
(4.4/b)
0 0 0 0
Még egyszer hangsúlyozzuk azt a fontos különbséget a nominális tenzorhoz képest,
hogy ez a tenzor szimmetrikus.
35 A matematikusok P-t (a deformációgradiens-tenzorhoz hasonlóan) az úgynevezett kétponttenzorok
csoportjába sorolják, mivel két különböző állapot (a pillanatnyi és a kiindulási
konfiguráció) változóit kapcsolja össze.
10.06.20. 46

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Kis alakváltozások esetén a fenti feszültségtenzorok jó közelítéssel azonosnak tekinthetők.
Ilyenkor (külön jelzős név nélkül) a feszültségtenzor elnevezést és a σ szimbólumot szokás
használni:
σ ≅ P ≅ S . (4.5)
A feszültségtenzor egyes elemeinek mechanikai jelentése (a fizikai tartalommal bíró
változatokra (a Cauchy-tenzorra, vagy a kis alakváltozásoknál használt feszültségtenzorra
használják) az alábbi módon fogalmazható meg:
4.2. ábra.
Feszültségvektor felbontása
A feszültségtenzor segítségével egy n normálisú felületelemhez rendelt elemi
feszültségvektort gyakorlati okokból két komponensre szokás bontani. A normális irányú
összetevőt normálfeszültségnek:
σ = n⋅
t n
= n⋅
σ ⋅ n ⇒ normálfeszültség, (4.6)
míg a felület síkjába eső másik komponenst nyírófeszültségnek nevezzük:
τ = m⋅t
n
= m ⋅ σ ⋅n
⇒ nyírófeszültség. (4.7)
A (4.7)-es képletben szereplő m vektor valamilyen előre rögzített irányt jelöl. Az egyes –
fizikai tartalmú – tenzoroknál ennek megfelelően a főátlóban lévő elemeket
normálfeszültségi, míg a többit nyírófeszültségi komponensnek tekintjük. Szokásos jelöléseik
ennek megfelelően:
⎡σx τxy τ ⎤ ⎡
xz
σxx σxy σ ⎤
xz ⎡σ11 σ12 σ13
⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
σ = τyx σy τyz σyx σyy σ
⎢
yz
σ21 σ22 σ
⎥
⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ =
23
. (4.8)
⎢ ⎥
⎢τzx τzy σ ⎥ ⎢
z
σzx σzy σ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ zz ⎦
⎢⎣
σ31 σ32 σ ⎥
33 ⎦
Az itt szereplő elemek fizikai tartalma ugyanaz, csupán többféle – egyaránt szokásos –
jelölési móddal tüntettük fel őket.
A feszültségek közötti transzformáció
A korábban ismertetett Nanson-képlet segítségével adhatjuk meg a szükséges
transzformációkat. Például a Cauchy-, illetve a nominális feszültségek közötti kapcsolatot a
df vektor felírásával adhatjuk meg:
df = n⋅ σ dA = n ⋅ P dA . (4.9)
Írjuk be ide n értékét a Nanson-képlet segítségével:
−1 −1
J n0 ⋅F ⋅ σ dA0 = n
0⋅PdA0 → P = J F ⋅ σ ,
(4.10)
illetve:
1
σ = F⋅ P . (4.11)
J
A nominális feszültségtenzor és a második Piola-Kirchhoff-tenzor közötti kapcsolat:
0
0
t n
10.06.20. 47

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
df
= F
, (4.12/a)
T
T
⋅(n0 ⋅S ) dA0 = F ⋅(S
⋅n0
) dA0
= F⋅S
⋅n0
dA0
T
T
0
⋅P
dA0 = P ⋅n0
dA0
= F⋅S
⋅n0
dA0
df
= n
. (4.12/b)
Ezek felhasználásával a többi összefüggés:
T 1 T −1
−T
P = S⋅ F , σ = F⋅S⋅ F , S = J F ⋅σ⋅ F . (4.13)
J
Mechanikai számításokban használt egyéb feszültségtenzorok
Nemlineáris feladatok vizsgálatánál néha találkozhatunk másféle feszültségtenzor-típusokkal
is:
a./ Korotációs tenzor
Úgynevezett „együttforgó” feszültségtenzor (nagy elfordulásokat végző rendszereknél
használatos szimmetrikus tenzor, amit a Cauchy-tenzor elforgatásával állítanak elő:
T
ˆσ = R ⋅σ ⋅ R . (4.14)
b./ Kirchhoff-feszültségtenzor
Igen nagy rugalmas vagy képlékeny alakváltozások esetén használatos, szimmetrikus
tenzor. Szintén a Cauchy-tenzorból származtatják, azt szorozzák a gradiens-tenzor
determinánsával:
τ = J σ . (4.15)
c./ Mandel 36 -feszültségtenzor
Képlékeny anyagoknál használatos, nem szimmetrikus:
Σ =C⋅S ,
(4.16)
ahol C a jobb Cauchy-Green alakváltozás-tenzor.
d./ Biot-feszültségtenzor:
T B
= R
T ⋅P
= U⋅S
, (4.17)
ahol U és R az F gradiens-tenzor poláris felbontásából kapott tenzorok. A Biot-tenzor
nem szimmetrikus.
A fontosabb feszültségtenzorok közötti transzformációk összefoglaló táblázata (U és R a
gradiens-tenzor poláris felbontásából származtatott tenzorok):
36 Leonard Mandel (1927 – 2001) német származású amerikai fizikus.
10.06.20. 48

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
4.1 Példa
Vizsgáljuk meg a (4.3)-as ábrán látható 2D elemi hasábot, ahol adottak egy pillanatnyi
állapothoz tartozó Cauchy-feszültségtenzor értékei.
Forgassuk a hasábot adott ω szögsebességgel, és tegyük fel, hogy a feszültségek
„befagyasztott” állapotban vannak, fizikailag mindig ugyanazt a hatást fejtik ki az elemi
hasábra. Ezek után vizsgáljuk meg a különböző feszültségtenzorokat a t =0 helyzetből
kiindulva a t = π
pillanatban (itt ω a forgatás szögsebessége):
2 ω
4.3. ábra. Elforgatott testen működő feszültségek.
Legyen a kezdeti állapot tenzora:
σ t = 0
=
0
⎡σ
0 ⎤
x
⎢ .
0 ⎥
⎢⎣
0 σ
y ⎥⎦
A kiindulási állapotban F= I, így
S = P = σˆ
= σ =
0
⎡σ
⎤
x
0
⎢ ⎥ .
0
⎢⎣
0 σ
y ⎥⎦
A deformált állapotban először számítsuk ki a
deformációs gradienst:
t = π
2ω
pillanathoz tartozó
⎡cosπ/
2 − sin π / 2⎤
⎡0
−1⎤
F = ⎢
.
sin / 2 cos / 2
⎥ ⎢
1 0
⎥
⎣ π π ⎦
=
⎣ ⎦
A determináns: J = det ( F ) = 1 . Mivel a feszültség értéke fizikailag nem változott, az
új állapotban a Cauchy-féle feszültség:
σ =
0
⎡σ
0 ⎤
y
⎢ .
0 ⎥
⎣ 0 σ
x ⎦
A többi (gyakorlati szempontból fontos) feszültségtenzor:
P = J
0
0
−1
⎡ 0 1⎤
⎡σ
0 ⎤ ⎡ 0 σ
y
F σ = ⎢ ⎢ 0 ⎥ =
x
⎤
⎢ 0
1 0
⎥
⎥ ,
⎣−
⎦ ⎣ 0 σ ⎦ ⎢⎣
− σ
x
y
0 ⎥⎦
S = P ⋅F
illetve (mivel R= =F):
−T
⎡ 0
= ⎢
⎢⎣
− σ
T
y
σ ˆ = S .
0
σ ⎤
x ⎡0
⎥
0
⎢
⎥⎦
⎣1
−1⎤
0
⎥ =
⎦
0
⎡σ
x
⎢
⎢⎣
0
0 ⎤
,
0 ⎥
σ
y ⎥⎦
10.06.20.
49

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
4.2 Példa
Vizsgáljuk az ábrán látható húzott rúdelem feszültségállapotát leíró tenzorokat!
Legyenek a koordináták közötti kapcsolatok a következők:
l a b
x = X , y = Y , z = Z .
l a b
0
0
0
4.4. ábra. Húzott oszlop vizsgálata
⎡ l 0 0
⎤
⎢ l0
⎥
A gradiens-tenzor: F =
⎢
0 a 0
⎥
⎢
.
a0
⎥
⎢
⎥
⎢
0 0 b
⎣
b ⎥
0 ⎦
A determináns és az inverz tenzor:
⎡l0
0 0
⎤
⎢ l
⎥
abl −1
J =
⎢ a ⎥
, F =
a0b0l
⎢
0
0
0
a ⎥
.
0
⎢
b0
⎥
⎢
0 0
⎣
b ⎥⎦
⎡σ
x
0 0⎤
Az egyes feszültségtenzorok:
⎢ ⎥
σ =
⎢
0 0 0
⎥
,
⎢⎣
0 0 0⎥⎦
⎡l0
0 0
⎤
⎡abσ
x ⎤
0 0
⎢ l
⎥ ⎡σ 0 0 ⎢
⎥
x ⎤ a0b0
abl ⎢ a
⎢
⎥
P = 0
0
0
⎥ ⎢
0 0 0
⎥
⎥
= ⎢ 0 0 0⎥
.
a
⎢
0b0l
⎢ a ⎥
0
⎢
b
0 0
0
⎥ ⎢⎣
0 0 0⎥⎦
⎢ 0 0 0⎥
⎢⎣
b ⎥⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
Az egyetlen nemzérus elem kapcsolata a Cauchy-tenzor első elemével:
ab A
P = σ .
11 x
= σ A második Piola-Kirchhoff-tenzorból csak az első ((1,1)
a
x
0b0
A0
l0
A
indexű) elemet adjuk meg: S = 11
x
lA σ .
0
10.06.20. 50

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
A feszültségtenzorok felbontása deviátoros és hidrosztatikus (gömbi)
komponensekre
Ez a művelet elsősorban a fizikai tartalommal bíró változatoknál hasznos (lásd a matematikai
alapokat a Függelékben a másodrendű tenzorok felbontásáról).
Például a Cauchy-tenzornál:
⎡σátl
0 0 ⎤
σ = σhid
+ σdev
, ahol σ =
⎢
0 0
⎥
átl
,
átl
(
x y z
) / 3
hid ⎢
σ
⎥
σ = σ + σ + σ (4.18/a)
⎢⎣
0 0 σ ⎥
átl ⎦
⎡ S x τxy τxz
⎤
⎢
⎥
σ = S = yx S y yz , S x x átl , S y y átl , S
dev ⎢τ τ ⎥ = σ − σ = σ − σ z = σz − σátl
. (4.18/b)
⎢
⎥
⎢⎣
τzx τzy Sz
⎥⎦
A felbontás első komponensét hidrosztatikus, vagy gömbi (vagy pedig néha átlagos)
feszültségtenzornak nevezik. Ez a tenzor a vizsgált pont környezetének átlagos
normálfeszültségét adja meg.
A második komponens neve deviátor (vagy deviátoros) tenzor (számítási módja: eredeti
feszültségtenzor mínusz hidrosztatikus feszültségtenzor), egy térbeli pont átlagos
nyírófeszültségi viszonyairól ad információt.
Megjegyezzük, hogy kis alakváltozású testeknél a deviátoros tenzort s szimbólummal
jelöljük.
A feszültségtenzor sajátértékei és sajátvektorai: főnormálfeszültségek,
főirányok.
Az alakváltozástenzor vizsgálatánál elmondottakhoz hasonlóan számíthatók a
feszültségtenzorok sajátértékei (lásd még: matematikai alapok, Függelék). Az általánosított
sajátérték-feladat a Cauchy-tenzorra felírva:
(σ − σI)
⋅ n = 0.
(4.19)
Karakterisztikus egyenlete:
3 2
σ − I
1
σ + I
2
σ− I
3
= 0 .
(4.20)
Az egyenlet 3 gyöke a három sajátérték, amelyeket mechanikai tartalmuk alapján főnormálfeszültségnek,
vagy rövidebben főfeszültségnek nevezünk:
σ
1
≥ σ
2
≥ σ3
.
(4.21)
A karakterisztikus egyenlet együtthatói a feszültségtenzor invariánsai:
2 2
I1
= σ1
+ σ
2
+ σ3
= tr σ , I 1
2
= ((tr σ ) − tr( σ )) = σ
2
1σ
2
+ σ1σ3
+ σ2σ3
, (4.22)
I
3
= σ1σ2σ3
= detσ .
A főirányokat a sajátvektorok adják, számításuk a szokásos matematikai lépésekkel oldható
meg. A sajátvektorok – a főirányok – homogén izotrop anyagnál megegyeznek a megfelelő
alakváltozás-tenzor főirányaival.
Megjegyezzük, hogy mechanikai szempontból a főfeszültségek olyan síkokhoz tartozó
normálfeszültségek, mely síkoknál nincs nyírófeszültségi komponens.
10.06.20. 51

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Maximális nyírófeszültségek
A normálfeszültségek szélsőértékeinek kiszámítása mellett ugyanilyen fontos az anyagban
keletkező maximális nyírófeszültségek meghatározása is, hiszen egyes esetekben – például
képlékeny vizsgálatoknál – ezek szerepe alapvető fontosságú.
A nyírófeszültségek szélsőértékének meghatározásához írjuk fel a főfeszültségek terében egy
adott „n” normálisnál a nyírófeszültségek négyzetét az „n” normálisú síkhoz tartozó teljes
feszültség illetve a normálfeszültség segítségével.
Legyen most mindhárom főfeszültség egymástól különböző:
2 2 2 2 2 2 2
t n
= σ1
n1
+σ2n2
+ σ3n3
,
(4.23)
és mivel
2 2 2 2 2 2
σn = σ1n1 + σ2n2 + σ3n3
és τn = t
n
− σn
, (4.24)
továbbá felhasználva az iránykoszinuszokra ismert
2 2 2
n1 + n2 + n3
= 1
(4.25)
összefüggést, a nyírófeszültségekre az alábbi képletet kapjuk:
( ) ( ) ⎡( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
τn = σ1 − σ3 n1 + σ2 − σ3 n2 + σ3 − ⎣ σ1 − σ3 n1 + σ2 − σ3 n2 + σ ⎤
3 ⎦ . (4.26)
Ez a képlet azt mutatja, hogy a nyírófeszültség csak két koordináta ( n1,
n
2 ) értékétől függ. A
szélsőérték feltételei:
2
∂τn
2 2 2 2
a) = 2{ ( σ1 − σ3 ) n1 − ⎡( σ1 − σ3 ) n1 + ( σ2 − σ3 ) n2 + σ ⎤
3
2n1 ( σ1 − σ3
)}
=
∂n
⎣
⎦
(4.27)
1
{( ) ⎡( ) (( ) ( ) ) }
2 2 ⎤
1 3 1 1 3 1 3 1 2 3 2
= 2 σ − σ n
⎣
σ − σ − 2 σ − σ n + σ − σ n
⎦
= 0 .
Hasonlóan:
b)
2
∂τn
2 2
= 2{ ( σ2 − σ3 ) n ⎡
2 ( σ2 σ3 ) 2( ( σ1 σ3 ) n1 ( σ2 σ3 ) n2
) ⎤}
0
n
⎣
− − − + −
⎦
= .
∂
2
(4.28)
Keressük a nyírófeszültségeket az egyes koordinátasíkokban.
( ) 2 2
Legyen n = 0, n ≠ 0, ekkor "b" alapján ⇒ σ − σ (1 − 2 n ) = 0.
1 2 14243 2 3 2
ha≠0
1 1
2
(4.29)
Innen: n2 =± n3
=± , (4.30)
2 2
és így egy lehetséges szélsőérték:
2 1
τ ( ) 2
n = σ 2 σ 3 τ n
4
− ⇒ 1
= σ 2 − σ
2
3 . (4.31)
( ) 2 2
Legyen n = 0, n ≠ 0, akkor "a" alapján ⇒ σ − σ (1 − 2 n ) = 0 . (4.32)
2 1 14243 1 3 1
ha≠0
1 1
Innen: n1 =± n3
=± , (4.33)
2 2
és így egy másik lehetséges szélsőérték:
2 1
τn ( σ1 σ3
) 2 1
= − ⇒ τ n = σ 1 − σ 3
4
2
. (4.34)
Hasonlóan a harmadik változat:
10.06.20. 52

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
(4.35)
1 1
n1 = n2 = ± n3 = 0 ⇒ τn = σ1 − σ2
.
2
2
Mindezek alapján a nyírófeszültség maximuma (figyelembe véve a főfeszültségek között
szokásos matematikai sorrendet):
1
τmax = σ1 − σ3
. (4.36)
2
A feszültségdeviátor-tenzor invariánsai
Nemlineáris feladatoknál (különösen a képlékenységtanban) gyakran van szükség a torzulási
hatásokat mérő deviátoros tenzor egyes invariánsaira is. Ezeket elvileg a feszültségdeviátortenzor
sajátérték-feladatának karakterisztikus egyenletéből származtatjuk 37 :
3 2
s − J1s − J2s − J3 = 0 , (4.37)
ahol az egyes invariánsok:
J = 0 , J = dets .
(4.38)
1 3
A mechanikai szerepe miatt fontos J
2
invariáns részletesen:
J2
=
1 ⎡ ( )
2 ( )
2 ( )
2 2 2 2
σx −σ y + σy −σ z + σ ⎤
z −σ x + τ x y + τ y z + τ z x
6
⎢⎣
⎥⎦
=
1
2
2
2
= [(
σ1 − σ2
) + ( σ2
− σ3)
+ ( σ3
− σ1)
].
6
Ez a változó a képlékenységtan egyik legfontosabb paramétere.
Az oktaéderes feszültségek
(4.39)
4.5. ábra.
Oktaéder lapjain
működő feszültségek.
Ha a főfeszültségek terében felveszünk egy oktaédert (lásd a 4.5. ábrát), akkor annak lapjain
működő normál- és nyírófeszültségeket az alábbi módon lehet meghatározni:
2 2 2 1
1
σ
okt
=σ1n1
+ σ2n2
+ σ3n3
= ( σ1
+ σ2
+ σ3)
= I1
, (4.40)
3
3
37 Fontos tudnunk, hogy a második deviátoros invariáns a karakterisztikus egyenletben alkalmazott
előjelváltás miatt mindig pozitív
10.06.20. 53

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
2 1 2 2 2 1
2
τ
okt
= ( σ
1
+ σ
2
+ σ3) − ( σ
1
+ σ
2
+ σ
3)
= (4.41)
3 9
= 1 ( )
2 ( )
2 ( )
2
9 ⎡ ⎣ σ − σ + σ − σ + σ − σ ⎤
1 2 2 3 3 1 ⎦ ,
2 2
1
2
2
τ
okt
= J
2
= ( I1
− 3I
2
) . (4.42)
3 3
Ezeket a változókat főleg a képlékenységtanban használják, de más nemlineáris feladatoknál
is gyakran találkozunk velük.
Haigh 38 -Westergaard 39 -tér
Nemlineáris feladatok megoldásánál sokszor kell olyan számításokat végeznünk, ahol egyes
függvények a főfeszültségeket mint alapváltozókat használják. Haigh és Westergaard azt
σ , σ , σ értékek helyett fizikai
javasolta, hogy ilyen feladatoknál sokszor előnyös a ( 1 2 3)
tartalmú koordinátákkal dolgoznunk, ezért a ( 1, 2,
3)
hidrosztatikus és egy deviátoros összetevő kombinációjaként előállítani.
Az alábbiakban bemutatjuk ennek a számításnak a részleteit 40 .
P σ σ σ pontot célszerűbb egy
4.6. ábra. A Haigh-Westergaard-tér
38 Bernard Parker Haigh (1884-1940) angol mérnök, rugalmasságtannal és törésmechanikával
foglalkozott.
39 Harald Malcolm Westergaard (1888 – 1950), dán származású, de élete nagy részében Amerikában
élő mechanikus. Jelentős műveket alkotott a törésmechanikában és az elméleti rugalmasságtanban.
40 Megjegyezzük, hogy az origón átmenő deviátoros síkot π -síknak hívják.
10.06.20. 54

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Az ábrán látható módon először felveszünk két alapvető geometria jellemzőt. Ezek közül az
egyik az úgynevezett hidrosztatikus tengely, a másik pedig a deviátoros sík lesz. A
hidrosztatikus tengely azon pontok mértani helye, ahol:
σ
1
= σ
2
= σ3
,
(4.43)
a deviátoros sík pedig az alábbi módon írható fel:
σ
1
+ σ2
+ σ3
= 3 c ,
(4.44)
ahol „c” az origótól mért távolság, futó paraméterként kezelve az egyenletben.
Egy P ( σ
1,
σ
2,
σ3)
pont új koordinátái ( ξ, ρ, Θ ) ennek a két geometriai helynek a
segítségével az alábbi módon adhatók meg:
1 1 1
ξ = ON
= OP⋅ n
= ( σ1, σ2, σ3) ⋅ ( , , )
=
(4.45)
3 3 3
1 I1
= ( σ
1
+ σ
2
+ σ
3 ) = = 3 σ
átl .
3 3
Ez a koordináta a hidrosztatikus hatást jellemzi. A másik koordinátához először
meghatározzuk az NP vektort:
NP = OP
-ON = ( σ1,
σ2
, σ3
) −(
σ
átl
, σ
átl
, σ
átl
) = ( s1,
s2
, s 3) .
(4.46)
Ennek segítségével a nyírási (deviátoros) hatásokat jellemző másik koordináta:
ρ=
NP =
A harmadik koordinátát ( t)
1
2 2 2 2
( s1 + s2
+ s3
) = 2J
2
= 3 τokt
.
θ − tartalmazó tag a deviátoros síkra a hidrosztatikus tengely
irányában vetített főfeszültségi koordináta-tengelyek képe alapján:
(4.47)
1 1 3
ρ cos θ= ( s 1 , s 2 , s 3 ) ⋅ (2, − 1, − 1) = (2 s 1 − s 2 − s 3 ) = s
1
.
(4.48)
6 6
2
4.7. ábra: A koordinátatengelyek képe a deviátoros síkon.
Innen:
10.06.20.
55

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
3 s
θ= (4.49)
2 J
1
cos .
Trigonometriai átalakítással:
3 3 J3
π
cos3θ= , 0≤ θ ≤ . (4.50)
3
2 J 2 3
2
Az új koordináta-hármassal jellemezhető teret hívják alkotói neve után Haigh-Westergaardtérnek.
Ezt az új koordináta-változatot sokszor előnyösen használják a numerikus képlékenységtani
számításokban.
Objektív mértékek megadása a feszültségtenzoroknál
Nagy elfordulásokat végző rendszerek nemlineáris vizsgálatánál néha szükség van
különleges feszültségfogalmak alkalmazására. Ilyen változatok bevezetésének indoklásához
vizsgáljuk meg az alábbi kis feladatot.
Tételezzük fel, hogy egy olyan anyagmodellt 41 kívánunk használni, ahol a feszültségek
időbeli változása lineáris függvénye az alakváltozás-sebességeknek (gyakorlásul feltüntetjük
az indexes alakot is):
Dσ Dσ
i j
C
σ D
: D,
σ D
= = C
i j k l
Dk l
. (4.51)
Dt
Dt
A képletben szereplő C σ D tenzor a feszültségek időbeli változását és az alakváltozássebességeket
összekötő, ismertnek feltételezett anyagmodell képleteit tartalmazza.
Vizsgáljuk meg, hogy ez az összefüggés valóban betölti-e az anyagmodell szerepét, vagyis
mindig egyértelműen megadja-e a két tenzor kapcsolatát. A következő ábra bal oldali képén
egy kezdeti konfigurációban σ
x
=σ
0
feszültséggel rendelkező rúdelem látható (minden más
feszültségkomponens zérus).
2
4.8. ábra. Forgó rúd állandó belső feszültséggel
Tételezzük fel, hogy a külső hatások következtében a rúd 90 fokkal elfordul, de a hossza nem
változik meg (D = 0), benne ugyanaz a feszültség van, mint a kezdeti állapotban. Ez a
feszültség (most σ
y
=σ
0
) azonban egy rögzített koordináta-rendszerben megadott
feszültség-tenzornál már változást jelent, így a tenzor anyagi idő szerinti deriváltja nem lesz
41 Az anyagmodellekkel részletesen majd csak később foglalkozunk, most elegendő annyit tudni
róluk, amit a BSc-Szilárdságtanban tanultunk: a mechanikai anyagmodellek az energiaértelemben
megfelelően párt alkotó feszültség és alakváltozástenzorok összekapcsolását biztosítják.
10.06.20. 56

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
zérus. Az előbbi anyagmodellnél tehát a jobb oldalon szereplő alakváltozás-sebesség tenzora
nulla, de Dσ
/ Dt nem az, vagyis így az egyenlet nem megfelelő, mindenképpen korrigálni
kell.
Az előbb bemutatott σ ε kapcsolattal tehát az az alapvető gond, hogy valamilyen módon
figyelembe kell vennünk benne a nagy elfordulások hatását. A nemlineáris mechanikában ezt
a feladatot a feszültségtenzor objektív sebességének (vagy más, tömörebb elnevezéssel egy
objektív feszültség-tenzornak) a bevezetésével oldják meg. Sokféle ilyen objektív változat
létezik, mi csak néhányat mutatunk be közülük.
a./ Jaumann 42 -sebességtenzor
Jaumann a következő objektív modellt javasolta (indexes jelöléssel is megadjuk):
J Dσ
D σ
∇ T ∇ J i j
T
σ = − W ⋅σ − σ ⋅ W , σ
i j
= −Wi kσ k j
− σ
i kWk j
, (4.52)
Dt
Dt
ahol W a (2.26) egyenletben definiált ferdén szimmetrikus spin tenzor. A bal oldalon
szereplő tenzor felső indexében a ∇ jel az objektív sebességre utal, a J betű pedig
Jaumann nevének szimbóluma. Ezt az objektív tenzort kell ezek után az anyagmodell
egyenletébe helyettesíteni:
∇
σ J σ
C J ∇
: D,
J σ
= σ = C
D D . (4.53)
i j i j k l k l
A két egyenlet összevetéséből:
Dσ σ
∇ J +W σ +σ W T =C
σ
= ⋅ ⋅ J : D+W ⋅ σ+σ ⋅ W
T . (4.54)
Dt
A második egyenlőség utáni első tag a tényleges anyagi viselkedést, a második és
harmadik pedig együttesen az elfordulás hatását modellezi.
b./ Truesdell 43 -sebességtenzor
Truesdell javaslata a következő:
D
i j
v
k
vi v
∇T D σ
σ ∂ ∂ ∂
T ∇T
j
σ = + div( v) σ − L ⋅σ − σ ⋅L , σ
i j
= + σ
i j
− σ
k j
− σi k
.
Dt Dt ∂x ∂x ∂x
k k k
(4.55)
A képletben szereplő L tenzor a sebességgradiens-tenzor, korábban a (2.22) képlettel
definiáltuk, v pedig a sebességek vektora.
c./ Green-Naghdi 44 -féle sebességtenzor
G Dσ
D σ
∇ T ∇G i j
T
σ = − Ω⋅σ − σ ⋅Ω
, σ
i j
= − Ω
i kσ k j
− σi kΩ k j
, (4.56)
Dt
Dt
ahol az Ω tenzort a rotációs tenzor segítségével számíthatjuk (a jobb oldal első
tagjánál idő szerinti deriváltat kell figyelembe vennünk):
Ω=R& ⋅R T . (4.57)
42 Gustav Jaumann (1863 – 1924) magyarországi születésű osztrák fizikus. Sokat foglalkozott
kontinuummechanikai vizsgálatokkal és a tenzorszámítás különböző kérdéseivel.
43
Clifford Ambrose Truesdell (1919 – 2000) amerikai matematikus. Sokat tett a modern
termodinamikai elméletek mechanikai alkalmazásának bevezetéséért.
44 Paul M. Naghdi (1924 – 1994) amerikai gépészmérnök, élete nagy részében a Berkeley Egyetem
tanára. Főleg áramlástannal és anyagmodellezéssel foglalkozott.
10.06.20. 57

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Egyszerű összehasonlítással kimutatható, hogy például a Truesdell- és a Jaumann-sebességek
megegyeznek, ha az anyagban nincs deformáció. Alakváltozások jelenlétében azonban a két
érték eltérő lehet, így a fizikai alapokon megkövetelhető azonosság csak akkor biztosítható a
kétféle modell között, ha különböző anyagmodelleket használunk a kétféle sebesség-
modellben.
4.3 Példa
Vizsgáljunk meg egy testet, amely az x-y síkban az origó körül ω szögsebességgel forog és
nézzük meg, hogyan alkalmazható rá például a Jaumann-féle sebességmodell, hogyan lehet
kiszámítani a fizikai feszültségek tenzorát.
A test kezdeti konfigurációját a következő ábra bal oldali képén láthatjuk:
4.9. ábra. Elforduló test vizsgálata
Az elfordulást a következő tenzorok jellemzik (lásd az 1.2 példát):
⎡x⎤ ⎡cosω
t −sinω
t⎤ ⎡X
⎤
x ( t
) = R ( t
) X
⇒ ⎢ .
y
⎥ = ⎢
sin t cos t
⎥ ⎢
Y
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ω ω ⎦ ⎣ ⎦
⎡vx
⎤ ⎡x&
⎤ ⎡−sinω
t −cosω
t⎤ ⎡X
⎤
A sebességvektor: ⎢ v
⎥ = ⎢ ω
y y
⎥ = ⎢
cosω
t sinω
t
⎥ ⎢
Y
⎥.
⎣ ⎦ ⎣ & ⎦ ⎣ − ⎦ ⎣ ⎦
A gyorsulásvektor anyagi koordinátákkal:
⎡ ax
⎤ ⎡ v&
x
⎤
2 ⎡−cosω
t sinω
t ⎤ ⎡X
⎤
⎢ = = ω
a
⎥ ⎢
y
v
⎥ ⎢
y
−sinω
t −cosω
t
⎥ ⎢
Y
⎥ .
⎣ ⎦ ⎣
&
⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
A gradiens-tenzor, valamint inverze és idő szerint deriváltja a következőképpen
adható meg:
∂x
⎡ cosω
t −sinω
t ⎤ −1
⎡ c s ⎤ ⎡−s −c⎤
F = R = = ∂ X
sin
cos
, F = , F&
⎢ , ahol
ω t ω t
⎥ ⎢ s c
⎥ = ω ⎢ c s
⎥
⎣ ⎦ ⎣−
⎦ ⎣ − ⎦
c = cos ω
t , s =
sin ω
t
.
A sebesség-gradiensgradiens tenzor az F tenzor segítségével számítható:
−1 ⎡−s −c⎤ ⎡ c s⎤ ⎡ −
⎤
L=F& 0 1
⋅ F = ω ⎢ =ω
c −s ⎥ ⎢
−s c
⎥ ⎢
1 0
⎥ .
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Innen a spin-tenzor:
1
⎡0 −1⎤
W = ( L − L T ) =ω
2
⎢
1 0 ⎥
⎣ ⎦ .
10.06.20.
58

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
A Jaumann-féle modell most a következő lesz (mivel D = 0, az alakváltozásokat
jellemző rész hiányzik):
Dσ
W σ + σ W T
Dt = ⋅ ⋅ .
Helyettesítsük be ide a már kiszámított mátrixokat:
D σ ⎡0 −1⎤ ⎡ σx τ
x y ⎤ ⎡ σx τ
x y ⎤ ⎡0 −1⎤
⎡ −2τ x y
σ
x
− σ
y ⎤
= ω
Dt
⎢
1 0
⎥ ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ ω ⎢ = ω
y x y y x y 1 0
⎥ ⎢
x y
2
⎥ .
⎣ ⎦ ⎣
τ σ
⎦ ⎣
τ σ
⎦ ⎣ ⎦ ⎣
σ − σ τ
x y ⎦
A számítás eredményeként három darab közönséges differenciálegyenletet kaptunk
σ − re, σ − ra és τ − ra :
x
4.4 Példa
y
x y
dσ x
dσ y
dτ
x y
= −2 ωτ
x y, = 2 ωτ
x y
, = ω( σ
x
− σ
y
) .
dt dt dt
A figyelembe veendő kezdeti feltételek:
0
σ (0) = σ , σ (0) = 0, τ (0) = 0 .
x x y x y
Ha ezt a három differenciálegyenletet külön-külön megoldjuk, akkor a következő
eredményt kapjuk az időfüggő feszültségtenzorra:
2
0
⎡c
c s⎤
σ =σ
x ⎢ 2 ⎥ .
⎣c s s ⎦
Ellenőrizzük a bal felső elemet:
2
( cos ωt)
dσ d
x
=σ
0 0
x = σ
x ω ( − 2cos ω t sin ω t)
= − 2 ωτ
x y ,
dt dt
vagyis a megoldás helyes volt.
Ezt az eredményt egyébként ebben esetben (sokkal egyszerűbben) úgy is
megkaphattuk volna, ha egy
0
⎡σ
0⎤
x
σˆ
= ⎢ ⎥
⎣ 0 0⎦
korotációs feszültségtenzorból kiindulva a Cauchy-feszültségeket a
σ = R ⋅σˆ
⋅ R T
összefüggéssel számoljuk. Megjegyezzük még, hogy ha csak merevtest-szerű
elfordulásokat vizsgálunk, akkor a Jaumann-, Truesdell-, Green-Naghdi- és a korotációs
feszültségváltozások azonosak lesznek.
Vizsgáljuk meg az ábrán látható nyírt test viselkedését a háromféle bemutatott
sebességmodellel.
Használjunk egy egyszerű, rugalmas izotrop anyagmodellt 45 , az elem mozgásáról pedig
tételezzük fel, hogy az alábbi egyenleteknek megfelelően történik:
45 Szilárdságtanból tanultuk, hogy ebben az esetben két anyagállandóra lesz szükségünk. Ezek ebben
a példában a nyírási rugalmassági modulus (G) és a Lamé-paraméter ( λ) lesznek, lásd a Kaliszky-
Kurutzné-Szilágyi-féle „Szilárdságtan” tankönyvet. Maga az anyagmodell a közismert Hookemodell
azon változata, amikor az alakváltozásokat a hidrosztatikus és deviátoros hatások
összegeként adjuk meg.
10.06.20. 59

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
x = X + tY , y = Y
4.10. ábra. Nyírt test vizsgálata
A gradiens-tenzor:
⎡1 t⎤ ⎡0 1⎤ −1
⎡1
−t⎤
F = ⎢ , F , F
0 1
⎥ & = ⎢ =
0 0
⎥ ⎢
0 1
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
.
A sebesség-gradiens tenzor illetve szimmetrikus és ferdén szimmetrikus két
komponense a következők lesznek:
−1 ⎡0 1⎤ 1 ⎡0 1⎤ 1 ⎡ 0 1⎤
L = FF & = ⎢ , D , W
0 0
⎥ =
2
⎢ =
1 0
⎥
2
⎢
−1 0
⎥ .
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
A Jaumann-modell egyenlete a rugalmas anyagmodell felhasználásával a következő
lesz (a J index a Jaumann-modellhez illesztett anyagi paraméterekre utal):
σ & = λ J tr D I + 2G
J D + W ⋅ σ + σ ⋅ W
T .
( )
Írjuk fel részletesen ezt az egyenletet és vegyük figyelembe véve, hogy tr D = 0:
⎡ σ & τ & ⎤ 0 1 1 0 1 1
0 1
x x y J ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡
G
σ τ ⎤ ⎡ σ τ ⎤
x x y x x y ⎡ ⎤
⎢ = + +
τ
y x
σ
⎥ ⎢
y 1 0
⎥
2
⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
−1 0
⎥ σ
y x
σ
y 2 σ ⎢
y x
σ
y −1 0
⎥ .
⎣
& &
⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Most is három differenciálegyenletet kaptunk:
dσ x
dσ y
dτ
x y J 1
= τ
x y, = −τ
x y
, = G ( σ
x
− σ
y
) .
dt dt dt 2
A Jaumann-modellhez tartozó megoldások:
J
J
σ = − σ = G (1 − cos t), τ = G sin t .
x y x y
Vizsgáljuk meg most a Truesdell-modellt. Ebben az esetben:
σ & = λ T tr D + 2 G
J D + L ⋅ σ + σ ⋅L T − (tr D) σ .
Részletesen kifejtve:
⎡ σ & τ & ⎤ 0 1 0 1 0 0
x x y T ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡
G
σ τ ⎤ ⎡ σ τ ⎤
x x y x x y ⎡ ⎤
⎢ = + +
τ
y x
σ
⎥ ⎢
y 1 0
⎥ ⎢
0 0
⎥ ⎢
σ
⎥ ⎢ ⎥
y x
σ ⎢
y
σ
y x
σ
y 1 0
⎥ .
⎣
& &
⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
A differenciálegyenletek:
dσ x
dσ y
dτ
x y T
= 2 τ
x y, = 0, = G − σ
y
.
dt dt dt
A Truesdell-modellhez tartozó megoldások (az új indexek új anyagi változókra
utalnak):
T 2 T
σ = G t , σ = 0, τ = G t .
x y x y
A Green-Naghdi-modellhez először a poláris felbontás segítségével meg kell
határoznunk az R forgató tenzort. A 2.8 példában már bemutattuk az ehhez szükséges
lépéseket (mátrix diagonizálása, sajátértékek, stb.), most itt csak az eredményeket
közöljük ( µ a sajátértékeket jelöli):
i
10.06.20. 60

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
2 2
⎡1 t ⎤ 2 + t ± t 4 + t
F T F = ⎢ , µ , ( 1,2)
2 i
= i =
t 1 t
⎥
.
⎣ + ⎦
2
Megadjuk a zárt formában 46 felírt megoldást 47 :
G
2
σ = − σ = 4G
cos 2β ln cosβ+βsin 2β −sin β ,
x
y
( )
G
t
τ
x y
= 2G
cos 2β( 2β − 2 tg 2β ln cosβ − tg β)
, tg β = .
2
A következő ábrán az idő függvényében ábrázoltuk a háromféle modell által
szolgáltatott nyírófeszültség változását (a nyírási rugalmassági modulussal normált
értéke látható a függőleges tengelyen). Mindhárom esetben ugyanazokat a rugalmas
anyagi jellemzőket használtuk.
Az eredmény arra hívja fel a figyelmet, hogy ilyen esetekben az anyagi paramétereket
mindig a modellhez illesztve kell meghatározni, mert különben élesen eltérő
eredményeket kapunk ugyanannak a feladatnak a vizsgálatakor.
4.11. ábra: Azonos anyagállandók hatása a különböző objektív modelleknél
Befejezésül megjegyezzük, hogy ma már léteznek olyan törekvések is, amelyek megkísérlik
másféle modellalkotással, objektív sebességek bevezetése nélkül kiküszöbölni a rotációs
hatások okozta nehézségeket (lásd például Matolcsi és Ván munkáját 48 ), de ezekre most nem
térünk ki, csak az említett szakirodalmat ajánljuk az olvasónak.
46 Ennél a modellváltozatnál meglehetősen nehézkes a megoldás, célszerűbb numerikus eljárást
használni, vagy esetleg valamilyen matematikai programot segítségül hívni.
47 Dienes 1979-es munkája alapján: „On the analysis of rotation and stress rate in deforming
bodies”, Acta Mechanica, Vol. 32, pp. 217-232.
48 Matolcsi, T. – Ván, P.: Can material time derivative be objective, Physics Letters, A 353, pp. 109
– 112, 2006.
10.06.20. 61

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Felhasznált irodalom:
1./ Sokolnikoff, I. S.: Mathematical Theory of Elasticity, McGraw Hill, 1956.
2./ Mang, H. – Hofstetter, G.: Festigkeitslehre, Springer, 2000.
3./ Taber, L.: A.: Nonlinear Theory of Elasticity, World Scientific, 2004.
4./ Fung, Y. C.: Foundation of Solid Mechanics, Prentice Hall, 1965, 1994.
5./ Holzapfel, G. A.: Nonlinear Solid Mechanics, Wiley 2001.
6./ Belytschko, T. – Liu, W. K. – Moran, B.: Nonlinear Finite Elements for Continua and
Structures, John Wiley, 2000.
7./ Kaliszky S. – Kurutzné K. M. – Szilágyi Gy.: Szilárdságtan, Egyetemi Tankönyv, 2000.
10.06.20. 62

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
5. Előadás: A mechanikai anyagmodell
A nemlineáris mechanika alapvető változóinak (elmozdulásoknak, alakváltozásoknak,
feszültségeknek) bemutatása után elkezdjük a legfontosabb mechanikai egyenletek
tárgyalását. Először a gyakorló mérnök számára legismertebb egyenlettípussal, nevezetesen
az anyagmodellekkel foglalkozunk ezen és a következő előadáson 49 .
Az anyagmodell az anyag válasza az őt érő külső hatásokra. Ennek megfelelően a mérnöki
gyakorlatban többféle anyagmodellt is használhatunk, például:
- optikai anyagmodellt (pl. fényelnyelési és fény-visszaverődési tulajdonságok),
-elektromosságtani anyagmodellt (szigetelő vagy vezető képesség, mágnesezhetőség),
- hőtani anyagmodellt (hővezetési és hőszigetelési képesség),
- stb.
A mechanikai anyagmodell az anyag mechanikai hatásokra adott válasza.
Az anyagmodellek származtatása kétféle megközelítés alapján lehetséges:
- makromechanikai (fenomenológiai 50 ) modellek:
a modell megalkotása makroszintű laboratóriumi vizsgálatok (1D, 2D és 3D mérések)
eredményeként adódik, a mért fizikai jelenségeket matematikai formában összegző
egyenletek szolgáltatják az anyagmodellt.
A mérések alapvetően az anyag adott irányú megnyúlására/összenyomódására
irányulnak és az elmozdulásokból származtatott alakváltozásokat kívánják
összekapcsolni az anyagban keletkező feszültségekkel.
- mikromechanikai 51 modellek:
az anyag atomi (molekuláris, mono- vagy polikristály szintű, esetleg mikroszintű,
mint pl. szemcsés közegek független szemcséi, stb.) viselkedésének megértéséből
kíván következtetni a makroszintű viselkedésre. A mikroszintű modelleket a
mikrofizikai mérések, numerikus szimulációk és elméleti hipotézisek együttese
segítségével alkotják meg, majd ún. homogenizációs eljárások segítségével
transzformálják makroszintre.
Ebben a jegyzetben kizárólag makromechanikai modellekkel foglalkozunk.
49 Megjegyezzük, hogy ezzel a témakörrel később még külön tárgy keretében is foglalkozhatnak az
érdeklődők, lásd a „Mechanikai anyagmodellek” című előadássorozatot.
50
A mérnöki gyakorlatban ma a makroszintű laboratóriumi mérések tapasztalataira épülő
matematikai modelleket nevezik így. Maga a fenomenológia kifejezés a phainomenon („fenomén”,
szó szerint a „megmutatkozó”, „a jelenség”) és a logosz („tan”) görög szavak összetételéből
származik. Először Kant (1724 – 1804), a híres német filozófus használta, aki szerint „az igazi
ismeretet a jelenség megismerése adja”.
51 Megjegyezzük, hogy tudományfilozófiai szempontból természetesen egy valódi mikrofizikai
mérésre alapuló mikromechanikai anyagmodell is fenomenológiai modellnek számít, hiszen Kant
definíciója erre az esetre is érvényes, azonban a ma elterjedt elnevezési gyakorlat pillanatnyilag ettől
eltér.
10.06.20. 63

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Az anyagmodellekben szereplő változók
A klasszikus fenomenológiai modellek az alakváltozások és a feszültségek kapcsolatát írják
le. A megfelelő párok kiválasztásához a termodinamika első főtörvényét kell felhasználnunk,
amely az energia-megmaradás általános elvét fejezi ki: környezetétől elszigetelt
rendszerben – bármilyen folyamatok is mennek végbe a rendszeren belül – az energiák
összege állandó 52 .
Az első főtörvény többféle matematikai alakban is felírható, mi most az alábbi tömör
formában adjuk meg:
K & + U & = P + Q , (5.1)
ahol K a kinetikus energia, U a belső energia, P a külső erők teljesítménye, Q pedig a külső
hőhatás. Az egyenlet bal oldala a szerkezet teljes belső energiájának időbeli megváltozását, a
jobb oldal pedig a külső energia megváltozását jelenti.
Az egyes komponensek Lagrange- és Euler-rendszerben is felírhatók. A továbbiakban a
nullával indexelt tagok a Lagrange-, a nulla nélküliek pedig az Euler-rendszerben adott
változók.
1
1
K = ∫ρ0 v⋅v
dV0
= ∫ρ
v⋅v
dV , U
2
2
∫ ρ = ∫ ρ
0
u dV0
u dV , (5.2)
P
∫
V
0
V
= V0
⋅ v dA + ∫f
⋅ v dV = ∫ T⋅
v dA+
∫ f ⋅ v dV
0 0
, (5.3)
= T
0 0
A
V
0
Q =−
0
∫q ⋅ n
0
dA0
+ ∫ρ0
r dV0
= − ∫q⋅n
dA+
∫
A
V
0
ρr dV . (5.4)
A V A
V
0 0
Ezekben a képletekben v a sebesség vektora, ρ a sűrűség, u (most nem elmozdulást jelöl!)
az egységnyi tömeghez tartozó belső energia, T és f a felületi és térfogati erőket jelentik, q a
szerkezetből kifelé irányítottnak felvett (egységnyi felülethez tartozó) hőáram-vektor, n egy
elemi felület normálvektora, az r függvény pedig a szerkezet belsejében levő, egységnyi
tömegre vonatkozó hőforrás-változás (a hőforrás jelen esetben energia dimenziójú, a rendszer
belsejében levő belső hőtermelő eszköz (pl. elektromos melegítő, kazán, stb.).
Az időbeli változást leíró tagok:
1 d
d
1
K& ⎡
⎤
= ( ρ dV ) ( ρ dV ( ) ρ dV ρ dV
2 ∫ ⎢
v⋅ v + v ⋅ v) = ⋅ + ⋅ = ⋅ =
⎣dt
dt ⎥
⎦ 2
∫ v& v v v& ∫ v v& (5.5)
V V V
= ∫ v⋅(
σ⋅∇+
f) dV .
V
V
52 Ha a rendszer nem zárt, akkor a rendszer energiája pontosan annyival nő, amennyivel a környezeté
csökken (a változás természetesen fordított irányban is érvényes). Megjegyezzük, hogy ennek az
alapvető elvnek a megformálása sok tudós nevéhez fűződik: első nyomai már milétoszi Thalész
munkáiban felbukkantak, Galilei is említi egy változatát egyik publikációjában. Első –
matematikailag is megformált – leírását Gottfried Wilhelm Leibnitznél találjuk, majd Antoine
Lavoisier, Pierre-Simon Laplace, Benjamin Thompson (ismertebb nevén Sir Rumford) és Thomas
Young is sokat foglalkozott vele. Young volt egyébként az első, aki az „energia” kifejezést a ma
szokásos értelemben használta a főtörvénnyel kapcsolatban. A XIX. század második felében is sok
tudós (Gaspard-Gustave Coriolis, Jean-Victor Poncelet, Julius Robert von Mayer, stb.) végzett ezzel
kapcsolatos kutatásokat.
10.06.20. 64

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
A növekményi alak felírásakor felhasználtuk a d ( ρ dV ) / dt = 0 összefüggést (ez a fizika
tömeg-megmaradási tétele, a 7. előadásban részletesen foglalkozunk vele), és a
ρ v& =ρa=σ ⋅∇+f
egyenletet. Az 5.5 alatti kifejezés Lagrange-rendszerben is felírható, a
gyorsulás függvényét ennél a változatnál a nominális feszültségtenzor divergenciájának (és a
térfogati erők vektorának) segítségével fejezhetjük ki:
K & = v ⋅(P
⋅∇ + f dV . (5.6)
∫
V0
0 0 )
A két operátor ( ∇ és ∇
0
) az Euler- és Lagrange-koordináták alkalmazásában tér el
egymástól (lásd a második előadás összefoglalóját). A képletekben szereplő matematikai
műveletek (lásd a Függelék (F.76), az első előadás (1.11), (1.20), a második előadás (2.22),
(2.25), (2.26) és (2.29) alatti képleteit, illetve részben a harmadik előadás hivatkozásait):
v ⋅(σ⋅∇ ) = ∇⋅(
σ ⋅v) −σ: ∇ v ,
(5.7)
v ⋅(P ⋅∇
0) = ∇0 ⋅ ( P⋅ v) − P: ∇
0v
, (5.8)
σ: ∇ v = σ: ( D + W) = σ : D, P: ∇
0v = P: ∇
0uɺ = P:F ɺ T . (5.9)
Ezek felhasználásával K idő szerinti deriváltja:
Kɺ = ∇⋅ (σ ⋅v) − σ:D + f ⋅ v dV =
(5.10)
∫
V
[ ]
T
= ⎡∇0 ⋅ ( P ⋅v) − P:Fɺ f0
v⎤
∫ ⎢
+ ⋅ ⎥ dV
⎣
⎦ 0 .
V0
A belső energia idő szerinti deriváltja mindkét bázisban (most is felhasználtuk a
tömegmegmaradás tételét az első derivált zérus értékűvé tételében):
⎡ d
⎤
U & = ∫ ⎢
( ρdV
) u + u&
ρdV
⎥
= ∫ u&
ρdV
= ∫u
& ρ0
dV0
. (5.11)
⎣dt
⎦
V
V
A külső hatásoknál a felületi integrálokat alakítsuk át térfogati integrálokká a Gauss-tétel
(vagy más néven divergencia-tétel, lásd a Függelék (F.80)-as képletét) segítségével:
P =
10.06.20. 65
0
V0
∫ n⋅
⋅ v dA+
∫ f ⋅ v dV = ∫[ ∇⋅ σ⋅
v) + f ⋅ v]
σ ( dV . (5.12)
A V V
Ugyanez Lagrange-változókkal:
P = n
0
⋅P⋅
v dA + f0
⋅ v dV = ∇ ⋅ P⋅
v) + f0
⋅ v dV . (5.13)
∫
A
0
∫ ∫ [ ]
0
0
0
(
V
V
0 0
A hőhatások is átalakíthatók ugyanígy:
= ρr
−∇ ⋅ q ) dV = ( ρ r −∇ ⋅q
) dV .
(5.14)
∫
Q (
0 0 0 0
V
V
∫
0
Minden tagot behelyettesítve az első főtörvény eredeti képletébe, az egyszerűsítések után a
következő alakra jutunk a kétféle bázisban:
T
( ρu&
−ρr
− σ : D + ∇⋅ q) dV = 0 = ( ρ0 u& −ρ0
r − P:F&
+∇
0
⋅q
0
) dV0
. (5.15)
∫
V
∫
V
0
Mivel tetszőleges térfogatra érvényesek a fenti összefüggések, lokális alakjuk is felírható (az
energia változását a bal oldalra tettük át):
ρu& = σ : D + ρ r −∇ ⋅ q , (5.16)
T
ρ0u
& = P:F&
+ρ0r
−∇0
⋅q0
. (5.17)
Az anyagmodellek szempontjából a legfontosabb következtetés a fenti egyenletekből az, hogy
az energia megváltozásának számításakor a Cauchy-feszültség az alakváltozás-sebesség
tenzorral, a nominális (első Piola-Kirchhoff) feszültségtenzor pedig a gradiens-tenzor idő
szerinti deriváltjával kapcsolható össze. További átalakításokkal (lásd a Függelék (F.23)-as
és (F.24)-es képleteit):
0

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
-1
σ : D = σ : (D + W) = σ : L = σ : (Fɺ ⋅ F ) = (5.18)
-T -T -T T T
= F ɺ : (σ⋅ F ) = ( σ⋅ F ) :F ɺ = (σ ⋅ F ) :F ɺ =
-1 T T -1 T 1 T
= (F ⋅ σ ):F ɺ = ( F ⋅ σ ) :F ɺ = J − P:F ɺ .
A második Piola-Kirchhoff feszültségtenzornak is megkereshető az alakváltozástenzor párja:
-1
P:Fɺ T
−T
= Jσ:D = Jσ:(F ⋅ Eɺ ⋅ F ) =
(5.19)
-T T -1 -1 -1
= J( F ⋅E) ɺ :(F ⋅ σ T ) = J( F ⋅σ T ):(E ɺ T ⋅ F ) =
= J( F -1 ⋅σ ):(E ɺ ⋅ F -1 ) = JE:(F ɺ -1 ⋅σ⋅ F -T ) = E:S ɺ = S:E ɺ .
Ezekkel a változókkal például most már felírható az első főtörvény egy alternatív változata
Lagrange-rendszerben:
u & = S : E&
+ρ −∇ ⋅ . (5.20)
ρ0 0r
0
Összefoglalva az energiaelvben kapcsolt fontosabb alakváltozás-feszültség párokat:
T
J σ:D= P:F & = S:E & . (5.21)
Az anyagmodellekben szereplő folyamatok irányítottsága
Az irányítottságot a termodinamika második főtörvényének 53 segítségével lehet jellemezni.
Ez a törvény többféle módon is felírható, mi most a számunkra legcélszerűbb változatát, az
úgynevezett Clausius 54 -Duhem 55 egyenlőtlenséget fogjuk használni.
Ez a matematikai alak az entrópia 56 változása segítségével jellemzi a
mechanikai folyamatokat. Hétköznapi mérnöki jelenségekre alkalmazva az
alábbi egyenlőtlenség azt jelenti, hogy reverzibilis („megfordítható”,
például rugalmas tulajdonságú) anyagok terhelési folyamata esetében a
belső rendezetlenség 57 (vagyis az entrópia) állandó értékű, irreverzibilis
(meg nem fordítható, pl. képlékeny, morzsolódó) jelenségeket tartalmazó
anyagoknál pedig az entrópia nő:
∆ η=η
2
−η
1
2
≥∫
1
q 0
dQ
, (5.22)
T
53 Eredeti formájában a második főtörvényt Nicolas Leonard Sadi Carnot (1796 – 1832), a kiváló
francia fizikus és hadmérnök publikálta 1824-ben (arcképe látható ezen az oldalon). Gyakran
nevezik őt a „termodinamika atyjának”.
54 Rudolf Julius Emanuel Clausius (1822 – 1888) német fizikus és matematikus, a termodinamika
egyik legjelentősebb kutatója. Az entrópia fogalmát is ő javasolta használni.
55 Pierre Maurice Marie Duhem (1861 – 1916) francia fizikus és matematikus. Termodinamikai
vizsgálatok mellett sokat foglalkozott rugalmasságtannal és hidrodinamikával.
56 Az entrópia az anyag belsejében létrejövő rendezetlenség mértékére jellemző változó. Maga a szó
görög eredetű, a „valami felé fordulást”, vagyis lényegében az „irányítottságot” jelzi. Többféle
változatát használják, a Clausius kidolgozta klasszikus termodinamikai entrópia mellett a statisztikus
termodinamika (Ludwig Boltzmann, Josiah Willard Gibbs, James Clark Maxwell) és az
információelmélet (Claude E. Shannon, 1948) is alkalmazza jelenségei leírására.
57
Az általunk vizsgált mechanikai feladatoknál a mikroszerkezet épen maradásához, vagy
tönkremeneteléhez (és tönkremeneteli módjához) köthető a rendezetlenség jellemzése.
10.06.20. 66

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
ahol η az egységnyi tömegre jutó (termodinamikai) entrópiát jelöli, Q az egységnyi
tömegre vonatkoztatott hőváltozás, T pedig a hőmérséklet Kelvin-fokban, „1” és „2” pedig
két egymást követő állapotot jelölnek.
A képletben az egyenlőség a reverzibilis (vagyis megfordítható), a nagyobb jel pedig az
irreverzibilis (vissza nem fordítható) folyamatokra vonatkozik. Az első főtörvénynél
alkalmazott paraméterekkel időbeli változásként kifejezve a fenti egyenlőtlenséget a
következő kifejezéseket kapjuk (mindkét bázist használva):
d
q ρr
d
q
∫ ρη ≥ −∫ ⋅ + ∫ ∫ ρ η ≥ − ∫ ⋅ + ∫ ρ
0
0r
dV n dA dV ,
0
dV0
n
0
dA0
dV0
. (5.23)
dt
T T dt
T
T
V A V V0 A0 V0
A felületi integrálok Gauss-tétel segítségével történő átalakításával:
⎡ ρr
q ⎤ ⎡ ρ0r
q ⎤
∫ ⎢
ρη− & + ∇ ⋅ ( )
⎥
dV ≥ 0 , ∫ ⎢ρ
η− & + ∇ ⋅ ( 0
0
0
) ⎥ dV0
≥ 0
V ⎣ T T ⎦
V ⎣ T T ⎦
0
. (5.24)
A tetszőleges térfogatra értelmezett lokális alakok a kétféle bázisban:
r 1 q
r 1 q
0
η− & + ∇ ⋅ ( ) ≥ 0, η− & + ∇
0
⋅ ( ) ≥ 0 .
T ρ T
T ρ0
T
(5.25)
A divergencia-művelet kifejtésével (csak az Euler-bázisra írjuk fel, a Lagrange-változókra
csak alkalmazzuk az eredményét) a baloldal második tagja átírható:
q 1 1
∇⋅ ( ) = ∇⋅q − q ⋅∇ T
(5.26)
2
T T T
Ezek figyelembevételével (5.25) új alakja:
r 1 1 r 1 1
η− & + ∇ ⋅q − q⋅∇T
≥ 0, η− & + ∇
2 0
⋅q0 − q
2 0
⋅∇0T
≥ 0, (5.27)
T ρT ρT T ρ0T ρ0T
Mivel a hő sohasem fog a hidegebb helyről a melegebb felé áramlani, ezért mindig igaz az
alábbi két feltétel 58 :
q ⋅∇T
≤ 0, q0 ⋅∇0T
≤ 0 . (5.28)
Ennek a fizikai megfigyelésnek és az eredeti ((5.23) alatti) feltételnek a figyelembevételével
(5.27) módosítható:
η− r 1 r 1
& q 0,
0
q0
0
T + T ∇ ⋅ ≥ η− &
ρ
T + ρ0T
∇ ⋅ ≥ . (5.29)
További egyenleteinkben a második főtörvény ezen alakját fogjuk használni.
Az anyagmodellek előállításánál figyelembe veendő további alapelvek
a./ Koordináta invariancia:
Az anyagi viselkedést leíró modelleknek függetleneknek kell lenniük az alkalmazott
koordinátarendszerektől, ezért az egyenleteket tenzor formában kell megadni.
b./ Történetfüggés:
Általános esetben egy adott időpontban az anyagban keletkező feszültségek nem csak a
deformáció, a hőmérséklet és az esetleges disszipációs hatások pillanatnyi értékeitől
58 Az (5.28)-as egyenlet lényegében azt fejezi ki, hogy a hőmérséklet-gradiens és a hőáram előjele
mindig különböző.
10.06.20. 67

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
függenek, hanem ezen változók adott időpillanatig tartó teljes történetétől. Ezt az elvet
hívják a mechanikában történetfüggésnek 59 .
Egyszerűsített esetekben ez a történetfüggés elhanyagolható: pl. ideálisan rugalmas
anyagnál csak a pillanatnyi deformációtól, termoelasztikus anyagnál pedig a deformációk
mellett csak a pillanatnyi hőmérséklettől függ a feszültség.
c./ Lokális hatás 60 :
Az anyag egy tetszőleges pontjában számított anyagi változók (pl. feszültségek) nem függnek
jelentős mértékben a pont egy meghatározott környezetén kívül levő független változóktól
(pl. jelen esetben a környezeten kívül levő alakváltozásoktól). Matematikai formában: ha egy
adott P pont mozgását és hőmérsékletét r(X,t) és T(X,t) függvények határozzák meg és a
pont egy kicsiny környezetében levő mozgást és hőmérsékletet r( X, t) és T( X, t )
függvényekkel jelöljük 61 , akkor:
∂r
∂T
r(X, t) = r(X, t) + ( X- X) ⋅ + .... , T ( X, t) = T ( X, t) + ( X- X) ⋅ + .... (5.30)
∂X
∂X
A lokális hatások elvének figyelembevételével a vizsgált pont mozgási és hőmérsékleti
állapotát a pont elemien kicsiny (lokális) környezetének figyelembevételével lehet
meghatározni. Jelenlegi tárgyalási módunkban csupán az első deriváltat fogjuk számításba
venni az anyagi hatásoknál, a magasabb rendűeket elhanyagoljuk. Megjegyezzük, hogy a
mechanikában néha az „egyszerű anyagok” jelzőt kapcsolják ehhez a leírási módhoz.
A lokális hatások és az előbb említett történetfüggés elvét figyelembe véve például a
termoelasztikus anyag legáltalánosabb anyagmodelljeire az alábbi összefüggések írhatók fel:
σ = σ( X, F, T, ∇ T ), q = q(X,F, T, ∇ T ), u = u( X,F, T, ∇ T ), η= η( X, F, T , ∇T
) (5.31)
A feszültségek, a hőáram, az energia és az entrópia függvényeit alapvetően az itt felsorolt
változók meghatározzák.
Megjegyezzük, hogy az egyenletekben szereplő X paraméter lehetővé teszi az inhomogenitás
hatásának figyelembevételét. Ugyancsak fontos megjegyzés, hogy néha a hőmérséklet helyett
a rendezetlenséget választják független változónak az alapegyenletekben, ilyenkor az (5.31)
alatti képletek a következő alakúak lesznek:
σ = σ( X, F, η, ∇η ), q = q(X,F, η, ∇η ), u = u( X,F, η, ∇η ), T = T ( X,F, η, ∇η ) (5.32)
d./ Egyidejűség:
Ha egy változó szerepel az anyagot jellemző egyenletek valamelyikében, szerepelnie kell a
többi egyenletben is, hacsak jelenléte nem sért valamilyen alapvető fizikai törvényt (a „c”
pont végén megadott állapotjellemző függvények jól illusztrálják ezt az elvet). Ha például új
59 Szokás néha „útfüggő”, vagy „terheléstörténet-függő” anyagúnak is nevezni az erre különösen
érzékeny szerkezeteket.
60
Megjegyezzük, hogy a mechanikai jelenségek leírása egyes esetekben célszerűbb lehet
úgynevezett „nemlokális” kontinuummechanikai modellek alapján, lásd erre vonatkozólag a
Függelékben olvasható megjegyzéseket.
61 Itt X és X a deformálatlan test két egymáshoz elemien közeli két pontját jelölik.
10.06.20. 68

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
hatást akarunk beépíteni a modellekbe (pl. valamilyen kémiai vagy elektromos paramétert),
akkor azt mind a négy kapcsolati függvényben szerepeltetni kell.
e./ Anyagi objektivitás: :
Az anyagmodellnek invariánsnak 62 kell lennie a térbeli referencia rendszer merevtestszerű
mozgásával szemben. Az elv fontossága miatt matematikai jellemzésével részletesebben
foglalkozunk.
Vizsgáljuk meg például az 5.1-es ábrán látható (A-val és A ∗ -gal jelölt) hivatkozási
rendszereket.
5.1. ábra: Különböző mozgó megfigyelő rendszerek
Helyezzünk el mindegyik bázis (O-val és O ∗ -gal jelölt) kezdőpontjában egy rögzített
helyzetű megfigyelőt. Az A rendszerben rögzített p pont az O-ban levő megfigyelő számára
helyben marad, de természetesen ez már nem így lesz a másik megfigyelő esetében, számára
p elmozdul, ha a két bázis relatív helyzete változik.
Alapvető kérdés, hogyan kapcsolhatók össze a p pont helyzetét a két rendszerben leíró r és
r ∗ helyzetvektorok. Jelöljük a két bázis egymáshoz képesti eltolódását b(t) időfüggő
eltolódásvektorral, relatív elfordulását pedig egy Q(t) ) (ugyancsak időfüggő) ortogonális
rotációs tenzorral. ral. Mivel az r vektor állandó az A-ban levő megfigyelő számára, az A ∗ -ban
levő elfordulni látja Q
( t ) ⋅ r értékkel. Így a p pont helyzetét megadó két vektor kapcsolata:
r ∗ = Q ⋅ r +b
. Fontos megjegyeznünk, hogy az ábra alapján látszólag adódó r ∗ = r + b
összefüggés most téves (lásd a következő magyarázó példákat)!
5.1 Példa
5.2. ábra: Kilencven fokos elfordítás
62 Természetesen jelenlegi vizsgálatainkban elhanyagolunk minden relativisztikus hatást.
10.06.20.
69

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
r ∗
⎡0 −1⎤ ⎡1⎤ ⎡4⎤ ⎡4 ⎤
= ⎢ ;
1 0
⎥ ⎢ + =
0
⎥ ⎢
0
⎥ ⎢
1
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
5.3. ábra: 180 fokos elfordítás
⎡−1 0 ⎤ ⎡1⎤ ⎡4⎤ ⎡3 ⎤
r ∗ = ⎢ + = .
0 −1 ⎥ ⎢
0
⎥ ⎢
0
⎥ ⎢
0
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
A vektorok objektivitási vizsgálata a következőt mutatja: Az A ∗ -ben levő megfigyelő
számára egy a vektort csak az elfordulás hatása változtat meg, a két rendszer eltolódásának
nincs hatása:
a
∗ = Q⋅ a . (5.33)
Az ábra vázlatainak felhasználásával:
5.4. ábra: Vektorok objektivitásának vizsgálata
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
a=r − r , a = r − r , r = Q⋅ r + b , r = Q⋅ r + b, a = r − r = Q ⋅(r − r ) = Q⋅ a (5.34)
5.2 Példa
2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1
Mutassuk ki, hogy a két rendszerben ugyanazt kapjuk az a vektor hosszára és egy másik b
vektorral bezárt szögére!
∗ 2 ∗ ∗
T
T
2
( ds ) = a ⋅ a = ( Q⋅a) ⋅(Q⋅a)=(a ⋅Q ) ⋅( Q ⋅a)=a⋅(
Q ⋅Q) ⋅a =a⋅
a = ds
∗ ∗ ∗ ∗
( T
T
a = Q ⋅ a , b = Q ⋅ b , a b = Q ⋅a) ⋅(Q ⋅b) =(a ⋅Q ) ⋅(
Q ⋅b)=a ⋅(Q ⋅Q) ⋅b =a ⋅ b .
5.3 Példa
Vizsgáljuk meg, hogy a sebesség objektív mennyiség-e
∗ ∗
v = r& = Q ⋅r & +Q&
⋅r +b & =Q⋅ v + Q&
⋅r +b&
⇒
∗
v ≠ v
.
10.06.20. 70

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
A sebesség nem objektív mennyiség.
A tenzorok vizsgálata a vektorokéhoz hasonlóan végezhető el:
Egy tetszőleges másodrendű T tenzor objektív jellegének eldöntésére alkalmazzuk az A
rendszerben a T tenzort az alábbi transzformációra: b = T⋅ a . Az objektivitás azt igényli, hogy
az A ∗ ∗ ∗ ∗
bázisban ez b = T ⋅ a módon legyen felírható. A két vektorra az előzőekben
bemutatott transzformáció alkalmazható:
∗ T ∗ T ∗ ∗
T
b = Q ⋅b =Q ⋅(T⋅a) =Q ⋅T ⋅(Q ⋅ a ) = ( Q⋅T⋅Q ) ⋅a ⇒ T = Q ⋅T⋅ Q . (5.35)
Ez a másodrendű tenzor objektivitásának feltétele.
Kivételek: Vannak olyan másodrendű tenzorok, amelyekre nem érvényes a fenti
összefüggés. Ilyen például a deformáció-gradiens tenzor (F) is. Legyen például az ábrán
∗
látható A és A rendszerek t=0 időpillanatban azonosak, és tételezzük fel, hogy ekkor a test
még deformálatlan állapotban van (dR vektor jellemzi a testet). t > 0 pillanatban a két
rendszer már szétválik egymástól, legyen az A jelűé a test megváltozott alakja, itt dr vektor
∗
az új jellemző. A másik rendszerben: dr
= Q⋅dr
.
5.5. ábra: Tenzorok vizsgálata
Mindkét rendszerben igaz, hogy a t = 0 helyzetből kiindulva:
∗ ∗
dr
= F⋅
dR , dr
= F ⋅dR
. (5.36)
Behelyettesítve az előbbi egyenletbe:
∗
∗
dr = Q ⋅(F ⋅ dR) = (Q⋅F) ⋅dR ⇒ F = Q⋅ F , (5.33)
vagyis a deformáció-gradiens tenzor vektorként transzformálódik. Hasonló a nominális
feszültségtenzor viselkedése is, ez is vektorként transzformálódik:
P
∗ = Q⋅ P . (5.37)
Megjegyezzük, hogy ezeket a tenzorokat (F-et és P-t) a matematikusok az úgynevezett kétpont
tenzorok csoportjába szokták sorolni, mert az a sajátosságuk, hogy elemeiket (más
tenzorok szokásos felírási módjától eltérően) két különböző bázis (jelenleg ezek a Lagrangeés
Euler-rendszerek) összekapcsolásával származtattuk. Minden két-pont tenzor vektor
módjára transzformálódik.
5.4 Példa
Igazoljuk, hogy a D alakváltozás-sebesség tenzor objektív mennyiség!
10.06.20. 71

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
1 1
(
T
T
D = L + L ) = [ ∇v
+ ( ∇v)
] .
2 2
Ha D objektív, akkor
D ∗ 1 ∗ ∗ ∗ ∗ T
= ⎡∇ + ( ∇ ) ⎤
2 ⎣ v v ⎦ ,
és a két tenzor közötti kapcsolat: D
∗ = Q⋅D⋅ Q T módon adható meg. A bizonyításnál
vizsgáljuk először a gradiens operátor transzformálását:
∗ T ∗ ∗
dr = Q⋅ dr és dr = Q ⋅ dr = dr ⋅ Q .
Az elemi dr vektor másképp is felírható:
∗ ∂r
∗ ∗
d r = dr
⋅ = dr
⋅ ∇ r ,
∗
∂r
∗ ∂
ahol ∇ = . ∂
∗
r
Az előző egyenletek felhasználásával 63 ∗
: Q = ∇ r , illetve ∇ ∗ = Q ⋅∇
Megjegyzendő, hogy a gradiens-operátor vektorként transzformálódik.
Térjünk vissza ezek után az alakváltozás-sebesség tenzor vizsgálatához:
∗ ∗
T T
v = r& = Q&
⋅ r + Q ⋅ r& + b&
= r ⋅ Q&
+ r& ⋅ Q + b&
,
illetve
∗ ∗ ∗
v ( r) Q T ∗ T
∇ = ∇ ⋅ & + ( ∇ v) ⋅ Q = Q Q T
T
⋅ & + Q ⋅( ∇v) ⋅Q
.
Ennek transzponáltja:
∗ ∗ T T T T
( ∇ v ) = Q& ⋅ Q + Q ⋅( ∇v) ⋅Q
.
∗
Helyettesítsük be ezt a két utolsó egyenletet D elsőként felírt képletébe:
∗ 1
D = ⎡Q⋅ Q& T + Q& ⋅ Q T + Q ⋅( ∇v +( ∇v) T ) ⋅ Q T ⎤ = Q⋅ D⋅Q
T
2 ⎣
⎦
,
hiszen
T
T
Q ⋅ Q& + Q& d
⋅ Q = ( Q⋅ Q T ) = 0 .
dt
Ezzel igazoltuk az alakváltozás-sebesség tenzor objektív voltát.
Megjegyezzük, hogy az alakváltozás-sebesség tenzortól eltérően a sebesség-gradiens tenzor
viszont nem objektív:
∗ − 1 ∗
∗ ∗
−1
−
L FF F F QF QF F 1 T T T
= & = & = & + & Q = Ω + QLQ ⇐ Ω = QQ & ,
(5.38)
vagyis
( ) ( ) ( )( )
L
∗ ≠ QLQ T . (5.39)
Az eddigi vizsgálatok összefoglalása:
Helyzetvektor: r = Q ⋅ r +b
(5.40/a)
Skalár: c ∗ = c
(5.40/b)
Vektor: a ∗ = Q⋅ a
(5.40/c)
63 ∂r
Ellenőrzésként: ∇ ∗ r = Q ⋅ ∇r
= Q⋅
= Q .
∂r
10.06.20. 72

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Másodrendű tenzor:
∗ T
T = Q ⋅T⋅Q (5.40/d)
∗
Deformáció-gradiens: F =Q ⋅ F
(5.40/e)
A bemutatott matematikai hátteret már fel lehet használni az anyagmodellek
objektivitásának elemzésére. Az eddigi bevezetés figyelembevételével ugyanis
megállapítható, hogy egy testen belül a Cauchy-feszültségtenzor is objektív mennyiség 64 , így
a „c” pontban megadott kapcsolati egyenletek szintén objektívek!
Vizsgáljunk meg például az alábbi egyszerű anyagmodellt:
σ= g ( F) . (5.41)
( σ)
Megjegyezzük, hogy szokás – az A rendszerben kísérletekből meghatározandó - g( σ )
-t
„válaszfüggvény”-nek is nevezni. Az anyagmodellnek teljesíteni kell az objektivitási feltételt,
az A ∗ rendszerben felírt:
∗
∗
σ = g (F ) , (5.42)
( σ)
kapcsolatnak, és az egyes paramétereknek (σ és σ
∗ , valamint F és F
∗ ) az előírt
transzformációkkal kell kapcsolatban állniuk:
T
Q⋅σ ⋅Q =g (Q ⋅ F) . (5.43)
( σ)
Teljesen hasonló összefüggést kapunk, ha a Q elfordulás tenzort az F tenzor poláris
felbontásából kapott R rotációs tenzor transzponáltjával helyettesítjük:
T
T
R ⋅σ⋅ R = g (R ⋅ F) . (5.44)
( σ)
Megjegyezzük, hogy ha a poláris felbontás másik tenzor-komponensénél figyelembe vesszük
az alábbi felbontást:
-1 T
U = R ⋅ F = R ⋅F , (5.45)
akkor az előző egyenlet átalakítható
σ = R⋅g (U) ⋅ R T
(5.46)
( σ)
alakba. U tenzornak a jobb Cauchy-, vagy a Green-Lagrange alakváltozás tenzorral való
kapcsolatát felhasználva innen még további kapcsolati egyenletek kaphatók:
T
T
σ = R ⋅f (C) ⋅ R vagy σ = R ⋅h (E) ⋅ R . (5.47)
( σ
) ( σ
)
Az első és második Piola-Kirchhoff feszültségtenzor is bevonható ebbe a körbe, hiszen:
−1 −1
σ = J F⋅ P = J F⋅S⋅ F T . (5.48)
Például az első Piola-Kirchhoff tenzort felhasználva
−1 1
F P R g (U) R T −
J ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ J (R T ⋅F) ⋅ P= g (U) ⋅ R
T
(5.49)
( σ) ( σ)
alakot kapjuk, és ha itt felhasználjuk az
R T ⋅ F = U (5.50)
illetve a
J = det F = det( R ⋅ U) = det( R) det( U) = det( U)
(5.51)
kifejezéseket, akkor az első Piola-tenzorra az alábbi eredményt kapjuk:
P = g
(P)(U) ⋅ R T
-1
, ahol g
(P)(U) = det( U)U g
( σ)
(U) . (5.52)
Megfelelő átalakításokkal itt is bevonható a C és E alakváltozástenzor:
T
T
P = f (C) ⋅ R vagy P = h (E) ⋅ R . (5.53)
(P)
(P)
64 Hiszen mind a metszeterők, mind az elemi felületek azok, így a felhasználásukkal definiált
feszültségtenzor is az.
10.06.20. 73

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
A második Piola-Kirchhoff feszültségtenzor is hasonló módon kapcsolható a különböző
alakváltozástenzorokhoz:
-T T -T
S = P ⋅ F = g (U) ⋅R ⋅ F . (5.54)
(P)
Felhasználva az S tenzor szimmetriatulajdonságait:
T T -T T T -1 T -1
T
S = S = (R ⋅F ) ⋅ (g (U)) = ( F ⋅R) ⋅ (g (U)) = U ⋅ ( g (U)) = g (U) . (5.55)
(P) (P) (P) (S)
Az S tenzor C vagy E segítségével is felírható:
S = f (C) h (E). (5.56)
(S)
=
(S)
Nagy alakváltozások esetére valamennyi fontosabb feszültség és alakváltozástenzor
kapcsolati változatát megadtuk. Természetesen kis alakváltozások esetén az összes fenti
változat azonos alakra redukálódik.
f./ Összeférhetőség az alapvető fizikai egyenletekkel:
Az anyagmodelleknek nem szabad megsérteniük az alapvető fizikai egyenleteket.
Vizsgáljuk meg például a termodinamika első és második főtörvényének hatását a
termoelasztikus anyag modelljeinek létrehozására. Alkalmazzunk most Lagrangeleírásmódot
a Green-Lagrange alakváltozás tenzor és a második Piola-Kirchhoff
feszültségtenzor felhasználásával.
Az anyagmodell egyenletek (5.31) és (5.32) felhasználásával:
S = S(X,E, T, ∇T)
, q
0
= q
0
(X,E, T,
∇T
) , u = u(
X,E, T,
∇T
) , η=η(
X, E, T,
∇T
) , (5.57)
vagy ha az entrópiát független változónak használjuk a hőmérséklet helyett, akkor
S = S(X,E, η, ∇η)
, q
0
= q(X,E, η,
∇η)
, u = u(
X,E, η,
∇η)
, T = T ( X, E, η,
∇η)
(5.58)
alakban írhatók fel.
Egy általános termoelasztikus anyagban a feszültségek csak az alakváltozások és a
hőmérséklet (vagy az entrópia) függvényei lehetnek. Mivel a terhelés során nincs disszipált –
vagyis elnyelt – energia, az alapegyenletek (a két termodinamikai főtétel lokális változatban,
lásd az (5.17) és (5.21) alatti egyenleteket) a következő alakúak lesznek:
r 1
ρ0 u & −S : E- & ρ0r
+∇ ⋅ q 0
= 0 , η− & + ∇ ⋅ q
0
= 0 . (5.59)
T ρ0T
Ha innen elimináljuk az r hőforrásokat és a hőáramvektort, akkor a következő egyenlethez
jutunk:
ρ ( T η− & &)
+S : E&
= 0 .
(5.60)
0
u
Helyettesítsük be ide az előbb felvett anyagmodelleket, először azt az alakot, amikor a
hőmérsékletet használtuk független változónak, majd vezessük be az úgynevezett
Helmholtz 65 -féle szabad energia 66 függvényét
65
Hermann von Helmholtz (1821 – 1894). Német tudós, élettannal, fizikával és
tudományfilozófiával foglalkozott. Tőle származik a „biomechanika” elnevezés.
66 A mechanikában szabad energiának nevezik az alakváltozási energia módosított változatát.
Kétféle alakban használják, az 1882-ben publikált Helmholtz-féle az entrópia és a hőmérséklet
szorzatából kapott energiahatással módosít, míg a Josiah Willard Gibbs (1839 – 1903) amerikai
tudós (vegyész, fizikus, matematikus) által 1873-ban javasolt változat ψ % = u + pV −Tη
alakú (itt p a
10.06.20. 74

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
ψ = u − Tη
(5.61)
alakban, és módosítsuk az energiára használt harmadik függvényt
ψ = ψ( X, E, T , ∇T
)
(5.62)
új függvénnyel. Az alapegyenletek összevont (r és q függvényét nem tartalmazó) alakjába
helyettesítsük be a szabad energiát:
− ρ ψ & +η & +S : E&
0
( T ) = 0 . (5.63)
Írjuk be most a szabad energia változását leíró komponenseket:
⎛ ∂ψ ⎞ ⎛ ∂ψ ⎞ ∂ψ
⎜S −ρ0 ⎟ : E & - ρ0⎜η+
⎟T&
−ρ0
⋅∇T&
= 0 . (5.64)
⎝ ∂E
⎠ ⎝ ∂T
⎠ ∂∇T
Ha az alakváltozásokat és a hőmérsékletet független változóknak tételezzük fel, akkor ez az
egyenlet három további egyenletet eredményez:
S ∂ψ ∂ψ ∂ψ
=ρ0 , η= − , = 0
∂E
∂T
∂∇T
. (5.65)
Az első két egyenlet a termoelasztikus anyag komplex modellje, az utolsó pedig azt fejezi
ki, hogy a szabad energia független a hőmérséklet-gradienstől. Ha az anyagban lezajló
folyamatok izotermálisak ( T & = 0 , ψ = ψ(X,
E) ), akkor szokás a szabad energiától függő
alakváltozási energiasűrűség függvény bevezetése:
W (X,E) =ρ ψ . (5.66)
Mivel a deformálatlan test ρ
0
sűrűsége nem függ az alakváltozásoktól, a feszültségekre
vonatkozó anyagmodell:
∂
S = W . (5.67)
∂ E
Ha az entrópiát választjuk független változónak a hőmérséklet helyett, akkor az összevont
alapegyenlet alakja:
⎛ ∂u
⎞ ⎛ ∂ ⎞ ∂
⎜ ρ
0 ⎟ & u u
S - : E+ρ0⎜T
− ⎟η−ρ &
0
⋅∇η&
= 0 . (5.68)
⎝ ∂E
⎠ ⎝ ∂η ⎠ ∂∇η
Egymástól független entrópia és alakváltozás esetén ismét három egyenletet kapunk:
∂u
∂u
∂u
S =ρ0 , T = , = 0 . (5.69)
∂E
∂η ∂∇η
Az első két egyenlet ismét a termoelasztikus anyag komplex modelljét szolgáltatja,
harmadik pedig az u függvény entrópia-gradienstől való függetlenségére utal. Ha az anyag
viselkedése izentróp ( η& = 0 , u = u(X,
E)) , akkor újból bevezethető az alakváltozási
energiasűrűség, és ismét az előbb már bemutatott modellhez jutunk:
∂W
W ( X,E) =ρ0u
⇒ S = . (5.70)
∂E
Azokat az anyagokat, amelyek kapcsolati egyenletei így származtathatók, a mechanikában
hiperelasztikus (vagy Green-féle) anyagoknak nevezzük.
A második Piola-Kirchhoff feszültség tenzorra levezett anyagmodell a megfelelő
átalakításokkal a Cauchy-féle és az első Piola-Kirchhoff tenzorra is felírható:
0
rendszerben lévő átlagos nyomás, V pedig a térfogat). Helmholtz modelljét főleg a fizikai, Gibbsét
pedig főleg kémiai folyamatoknál használják.
10.06.20. 75

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
W
σ = F⋅ ⋅ F P = ⋅F
∂E
∂E
1 W T
J − ∂ ∂
,
T
. (5.71)
Megjegyezzük, hogy másféle alakok is előállíthatók. Például az első Piola-Kirchhoff tenzort
is használhatjuk annak figyelembevételével, hogy az S : E & feszültségteljesítmény
T
helyettesíthető P : F & szorzattal (lásd a korábbi levezetéseket). Így a tenzor a
∂
P = W (5.72)
∂
T
F
anyagmodellből származtatható.
Kis alakváltozások hatása
A termodinamikai főtörvények ebben az esetben az alábbi alakúak:
ρ u& = σ : εɺ
+ ρ r −∇ ⋅ q , ρT η=ρ & r −∇⋅ q . (5.73)
A két egyenlet összevonásából:
σ:
εɺ = ρ( u & −T
η&
) . (5.74)
Speciális esetek:
a./ Izentróp deformáció ( η& = 0 ):
Most is bevezethető a
W = ρu
(5.75)
módon definiált (egységnyi térfogatra eső) alakváltozási energia függvény, amely
segítségével (állandó sűrűséget feltételezve) :
σ: ε& =W & . (5.76)
Ha ezen túlmenően még a hőmérséklet hatását is elhagyjuk, akkor W csak az
alakváltozástenzor függvénye lesz, s így:
∂W
∂W
σ : ε & = :
ε & ⇒ σ
=
∂
ε ∂
ε . (5.77)
Ez a kis alakváltozású rugalmas anyagok hiperelasztikus anyagmodellje. A W
függvényt laboratóriumi kísérletek eredményei alapján lehet megalkotni.
b./ Izotermális deformáció ( T & = 0 ):
Vezessük be a szabad energia függvényét:
ψ = u −T
η ⇒ ψ & = u&
−T
η&
. (5.78)
Innen a:
σ : ε & = ρ ψ& (5.79)
egyenlethez jutunk, és ha most is felhasználjuk a
W =ρψ
(5.80)
alakváltozási energia függvényt, akkor az „a” pontban már ismert
σ: ε& =W &
(5.81)
összefüggéshez jutunk.
Ha W most sem függ a hőmérséklettől, akkor az anyagmodell egyenlete formailag is
megegyezik a hiperelasztikus modellre levezetett változattal.
10.06.20. 76

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
A Drucker 67 -féle stabilitási posztulátumok kis alakváltozású rendszereknél
5.6. ábra: A Drucker-posztulátumok illusztrálása
Vizsgáljuk meg a bal oldali ábrán látható, V térfogatú és A felülettel rendelkező,
nyugalomban levő tetszőleges anyagú testet. Az alkalmazott felületi és térfogati erőket jelölje
p és q. Az adott állapothoz tartozó elmozdulásokat, feszültségeket és alakváltozásokat jelölje
u, σ és ε , egy tetszőleges külső hatásra létrejövő változásokat (jobb oldali ábra) pedig jelölje
p & ,q&
,u&
, σ & és ε&
.
Drucker posztulátuma a következőt állítja egy anyag viselkedéséről: egy anyag akkor
tekinthető stabilnak, ha a külső hatásokra bekövetkező változások során teljesülnek az alábbi
feltételek:
a./ ∫ p & ⋅ u&
dA+
∫ q&
⋅u&
dV > 0 b./ ∫p
& ⋅u&
dA+
∫ q&
⋅u&
dV ≥ 0 . (5.82)
A „b” feltételben szereplő ∫
A
V
A
V
most egy terhelési-tehermentesítési ciklusra utal. Az első
feltételt a „kis változás”, a másodikat pedig a „ciklikus terhelés” anyagi stabilitási feltételének
hívják.
Mindkét feltétel felírható az alakváltozások és feszültségek függvényeinek deriváltjaira is
(ebben az esetben nem kell térfogati integrált alkalmaznunk, mert bármely térfogatrészre
igaznak kell lennie az állításnak). A továbbiakban lineáris algebrai jelölésekkel:
T
a./ σ&
ε & > 0,
(&
&
rug . )
T
b./ σ&
ε − ε ≥ 0
A második egyenletben szereplő zárójeles tag a nemrugalmas alakváltozásokat jelenti.
(5.83)
Rugalmas anyagok néhány változatát mutatja az alábbi ábra. Az első három vázlaton
Drucker-értelemben stabil, a másik kettőn nem-stabil anyagi viselkedés látható:
67 Daniel C. Drucker (1918 – 2001) amerikai gépészmérnök, képlékenységtani kutatásairól ismert.
10.06.20. 77

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
5.7. ábra: Stabil és instabil anyagi viselkedés
Ha figyelembe vesszük a hiperelasztikus anyagok definíciójára a korábbiakban bevezetett
összefüggést, akkor a Drucker-féle stabilitási posztulátum alkalmazásával az alábbi
kifejezéshez jutunk:
2 2
∂σ ∂ W ⎛
∂ W ⎞
T
σ &
= ε & = ε & ⇒ ⎜
ε & ⎟
ε & > 0 ⇒ ( H
ε &)
ε &
> 0
. (5.84)
∂ε ∂ε∂ε ⎝
∂ε ∂ε ⎠
Az utolsó tagban szereplő H az energia-függvény alakváltozások szerinti második parciális
deriváltjait it tartalmazó negyedrendű tenzor. A mechanikában Hesse 68 -mátrix néven ismerik,
pozitív definit volta biztosíték az energiafüggvényből származtatott anyagmodell
stabilitására:
T
2 2 2 2 2 2
⎡
∂ W ∂ W ∂ W ∂ W ∂ W ∂
W
⎢
⎢
∂ε ∂ε ∂ε ∂ε ∂ε ∂ε ∂γ ∂ε ∂γ ∂ε ∂γ
⎢
2 2 2 2 2
∂ W ∂ W ∂ W ∂ W ∂ W
⎢
2
⎢
∂ε ∂ε ∂ε ∂ε ∂γ ∂ε ∂γ ∂ε ∂γ
⎢
2 2 2 2
⎢
∂ W ∂ W ∂ W ∂ W
2
⎢
∂ε ∂ε ∂γ ∂ε ∂γ ∂ε ∂γ
H =
⎢
2 2 2
⎢
∂ W ∂ W ∂ W
⎢
2
⎢
∂γ ∂γ ∂γ ∂γ ∂γ
⎢
2 2
∂ W
∂ W
⎢
szimm.
2
⎢
∂γ
∂γ ∂γ
⎢
2
⎢
∂
W
⎢⎣
∂γ 2 zx
2
x x y x z x xy x yz x zx
y y z y xy y yz y zx
z z xy z yz z zx
xy xy yz xy zx
yz yz zx
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
. (5.85)
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
68 Ludwig Otto Hesse (1811 – 1874) német matematikus.
10.06.20.
78

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Kis alakváltozású, lineárisan rugalmas, hőmérséklettől nem függő anyagok
modelljei
A W alakváltozási energiasűrűség ilyenkor kvadratikus függvénye az alakváltozás tenzornak,
és így a deriváltjaként származtatott
σ = D: ε, σ
i j
= Di j k lεk l,
σ = Dε (5.86)
anyagmodell általános esetben egy negyedrendű (81 elemet tartalmazó)
tenzorral adható meg. (Megjegyezzük, hogy a mechanikában sajnos
ugyanazt a D jelölést használják az anyagmodell kapcsolati egyenletének
és az alakváltozás-sebesség tenzornak a megadására, csak egy adott
szövegkörnyezet alapján azonosítható a pontos jelentés!). A most
megadott anyagmodellt általánosított Hooke 69 -modellnek hívják a
mechanikában.
Mivel σ és ε is szimmetrikus tenzorok, így 81 helyett elegendő 36 független elem. Ha a
termodinamikai alapelveket (rugalmas viselkedés esetén zárt terhelési ciklusban nem
generálhat vagy nyelhet el energiát a modell) is figyelembe vesszük, a független elemek
száma 21-re csökken. Ha az anyagmodellt tenzorok helyett - Voigt 70 -jelölésrendszerre áttérve
- vektor-mátrix kapcsolattal adjuk meg, akkor a feszültség- és alakváltozástenzor hat
független elemét tartalmazó σ és ε vektorokat egy 6 x 6-os szimmetrikus anyagi
merevségi mátrix kapcsolja össze, amely a szimmetria miatt pontosan 21 elemmel adható
meg. Az ilyen anyagot anizotrop viselkedésűnek nevezzük.
Ha az anyagban található 3 olyan egymásra merőleges irány, amely irányokban az anyagi
viselkedés azonosnak tekinthető, akkor az anyagot ortotropnak hívják (tipikus példája az élő
fa szerkezete). Ebben az esetben 9 darab állandóra van szükség a kapcsolati egyenletek
felírásához. Voigt-jelölésrendszerrel:
⎡ 1− ν
y zνz y
ν
y x
+ νz xν y z
ν
z x
+ ν
y xν
z y
⎤
⎢
0 0 0 ⎥
EyEzC EyEzC EyEzC
σ
⎢
⎥
⎡ x ⎤ ⎢ν x y
+ ν
x zν z y
1− νz xνx z
ν
z y
+ ν
z xν
⎥ ⎡ εx
⎤
⎢
x y
σ
⎥ ⎢
y
0 0 0 ⎥ ⎢
ε ⎥
⎢ ⎥
y
⎢ EzExC EzExC EzExC
⎥ ⎢ ⎥
⎢ σ ⎥
z
⎢ ⎥ =
⎢
ν
x z
+ νx yν y z
ν
y z
+ ν
x zν yx
1− νx yν
⎥ ⎢ ε
z ⎥
y x
⎢ ⎥ , (5.87)
τ ⎢
y z
0 0 0 ⎥
⎢ ⎥
γ
y z
⎢
⎢ ⎥
ExEyC ExEyC ExEyC
⎥ ⎢ ⎥
τx z ⎢ ⎥ ⎢ γ
x z ⎥
⎢ ⎥ 0 0 0 Gy z
0 0
⎢⎣
τ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
x y ⎥⎦
γ
x y
⎢ 0 0 0 0 Gz x
0 ⎥
⎢⎣
⎥⎦
⎢
⎥
⎣⎢ 0 0 0 0 0 Gx y ⎥ ⎦
1− ν
x yν
y x
− ν
y zν
z y
− ν
z xν
x z
− 2ν
x yν
y zν
z x
ahol C =
.
E E E
x
y
z
69 Robert Hooke (1635 – 1703) kiváló angol fizikus, csillagász és biológus. Nevéhez fűződik a
rugalmas viselkedés első pontos kísérleti modellezése. Életrajza a tanszéki honlapon olvasható
„Hooke és a rugalmas anyagmodell” címen, arcképe látható ezen az oldalon.
70
Woldemar Voigt (1850 – 1919) német fizikus, sokat foglalkozott kristályok mechanikai
vizsgálatával. Ő használta először a „tenzor” elnevezést a fizikában.
10.06.20. 79

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
A szimmetria-feltételek miatt teljesülni kell az alábbi egyenlőségeknek:
(5.88)
ν
y x
E
+ ν
y
E
z x
z
C
ν
y z
ν
=
x y
E
+ ν
z
E
x z
x
C
ν
z x
ν
z y
+ ν
z xν
x y
ν
z y
+ ν
x zν
y z
ν
z x
+ ν
y xν
z y
ν
x z
+ ν
x yν
y z
, =
,
=
.
E E C E E C E E C E E C
z
x
x
y
y
z
x
y
Természetesen inverz alakban is felírható az ortotrop anyagmodell:
⎡ 1 ν
y x
ν
z x
⎤
⎢ − − 0 0 0 ⎥
⎢
Ex Ey Ez
⎥
⎢ ν
x y 1 ν
⎥
z y
⎢−
− 0 0 0 ⎥
⎡ εx
⎤ ⎢ Ex Ey Ez
⎥ ⎡ σx
⎤
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢
ε
y
⎥ ⎢ νx z
ν
y z 1
σ
y
− −
0 0 0 ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ε ⎥ ⎢
z Ex Ey E
⎥ ⎢ σ ⎥
z
z
⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ . (5.89)
⎢γ
y z ⎥ ⎢
1
⎥ ⎢τ
y z ⎥
⎢
0 0 0 0 0
γ ⎥ ⎢
x z
G
⎥ ⎢τ
⎥
y z
x z
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢⎣ γ
x y ⎥⎦ ⎢
1 ⎥ ⎢⎣ τx y ⎥⎦
⎢ 0 0 0 0 0 ⎥
⎢
Gz x ⎥
⎢
1 ⎥
⎢ 0 0 0 0 0 ⎥
⎢⎣
Gx y ⎥⎦
A szimmetria-feltételekből most az alábbi egyenlőségeket kapjuk:
ν
y z
ν
z y
ν
z x
ν
x z
ν
x y
ν
y x
= , = , = . (5.90)
E E E E E E
A kettős indexű Poisson 71 -tényező értelmezése:
ε =−ν ε .
y
z
j
z
i j
Megjegyezzük, hogy (főleg numerikus alkalmazásoknál) a D tenzort (mátrixot) anyagi
merevségi, inverzét pedig anyagi hajlékonysági mátrixnak is nevezik.
Ha az anyagi viselkedésnek egyáltalán nincs kitüntetett iránya, akkor izotrop anyagról
beszélünk. Ebben az esetben a kapcsolati egyenletek két anyagállandó segítségével adhatók
meg:
⎡1 − ν ν ν 0 0 0 ⎤
⎢
1 0 0 0
⎥
⎡ σx
⎤ ⎢
ν − ν ν
⎥ ⎡ εx
⎤
⎢ ⎥ ⎢ ν ν 1− ν 0 0 0 ⎥ ⎢ ⎥
⎢
σ
y ⎥
ε
y
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢ σ ⎥ 1 2
z ⎢
− ν
0 0 0 0 0 ⎥ ⎢ ε ⎥
z
E
⎢ ⎥ = C ⎢
2 ⎥ ⎢ ⎥ , C =
, (5.91)
⎢τy z ⎥ γ
y z (1 + ν)(1 − 2 ν)
⎢
1 2 ⎥ ⎢ ⎥
⎢ − ν
τ ⎥
x z ⎢ 0 0 0 0 0 ⎥ ⎢γ
⎥
x z
⎢ ⎥ ⎢
2 ⎥ ⎢ ⎥
⎢⎣ τx y ⎥⎦ ⎢
γ
x y
1− 2ν
⎥ ⎢⎣ ⎥⎦
⎢ 0 0 0 0 0 ⎥
⎣
2 ⎦
illetve az inverz alak:
i
x
x
y
71 Siméon Denis Poisson (1781 – 1840) kiváló francia matematikus, életrajza „Poisson és a Poissontényező”
címen olvasható a tanszéki honlapon.
10.06.20. 80

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
⎡ εx
⎤ ⎡ 1 −ν −ν 0 0 0 ⎤ ⎡ σx
⎤
⎢ ⎥ ⎢
1 0 0 0
⎥ ⎢ ⎥
⎢
ε
y
⎥
σ
y
⎢
−ν −ν
⎥ ⎢ ⎥
⎢ ε ⎥
z 1 ⎢−ν
−ν 1 0 0 0 ⎥ ⎢ σ ⎥
z
⎢ ⎥ = ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢γ
y z ⎥ E ⎢ 0 0 0 2(1 + ν) 0 0 ⎥ ⎢τ
y z ⎥
⎢γ
⎥ ⎢
x z 0 0 0 0 2(1 + ν) 0 ⎥ ⎢τ
⎥
x z
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢⎣ γ
x y ⎥⎦ ⎣ 0 0 0 0 0 2(1 + ν)
⎦ ⎢⎣ τx y ⎥⎦
. (5.92)
A gyakorlati mérnöki munkának nagyon sokszor van szüksége ezen általános térbeli
változatok speciális eseteire. Ilyen például a
(5.93)
a./ sík feszültségi állapot:
⎡ ⎤
⎡ σ ⎤ ⎢
x
1 ν 0 ⎥ ⎡ ε ⎤ ⎡
x
ε ⎤
x ⎡ 1 −ν 0 ⎤ ⎡σ
⎤
x
⎢ ⎥ E ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1
y
1 0 ,
⎢
1 0
⎥ ⎢ ⎥
⎢ σ ⎥ =
2
y y y
1
⎢ν ⎥ ⎢ ε ⎥ ⎢ ε ⎥ = −ν
E
⎢σ
⎥ ,
− ν ⎢
⎥
⎢
x y ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢
x y ⎥ ⎢
x y ⎥ 0 0 2(1 ) ⎢
xy ⎥
⎣τ ⎦ − ν γ γ ⎢
+ ν ⎥ τ
⎢0 0 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎣ 2 ⎦
illetve a
b./ sík alakváltozási állapot:
⎡
⎤
⎡ σ ⎤ ⎢
x
1− ν ν 0 ⎥ ⎡ ε ⎤ ⎡
x
ε ⎤
x ⎡1 − ν −ν 0⎤
⎡ σ ⎤
x
⎢ ⎥ E ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1+ ν
y
1 0
y
,
⎢
y
1 0
⎥ ⎢ ⎥
⎢ σ ⎥ =
y
(1 )(1 2 )
⎢ ν − ν ⎥ ⎢ ε ⎥ ⎢ ε ⎥ = −ν − ν
E
⎢ σ ⎥ . (5.94)
+ ν − ν ⎢
⎥
⎢
x y ⎥ ⎢ 1 2 ⎥ ⎢
x y ⎥ ⎢
x y ⎥ 0 0 2 ⎢
x y ⎥
⎣τ ⎦ − ν γ γ ⎢
⎥ τ
⎢ 0 0 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣
⎦ ⎣ ⎦
⎣
2 ⎦
Megjegyezzük, hogy sík feszültségi állapot esetén az alakváltozási állapot térbeli, de a
merőleges alakváltozási komponens nem független:
−ν
−ν
ε
z
= ( σ
x
+ σ
y
) = ( ε
x
+ ε
y
) , (5.95)
E 1− ν
a másik két szögtorzulás ( γ
y z
és γ
z x
) értéke pedig zérus. Sík alakváltozási állapot esetén
pedig a feszültségi állapot térbeli:
σ
z
=ν( σ
x
+ σy ) , τ
y z
=τ
z x
= 0 . (5.96)
Egy másik gyakori eset a hengerkoordináta-rendszerben felírt, forgásszimmetrikus
viselkedést követő anyagmodell (a komponensek értelmezését lásd az ábrán):
5.8. ábra:
Feszültségek
hengerkoordinátarendszerben
forgásszimmetria esetén.
10.06.20. 81

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
⎡1 − ν ν ν 0 ⎤
⎡σr
⎤ ε
⎢
1 0
⎥
⎡ r ⎤
⎢ ⎥
z E ⎢
ν − ν ν
⎥
⎢ ⎥
⎢
σ
⎥
εz
= ⎢ ν ν 1− ν 0 ⎥
⎢ ⎥ , (5.97)
⎢σ
⎥
θ (1 + ν)(1 − 2 ν)
⎢ ⎥
⎢ ε ⎥
θ
⎢ ⎥ 1− 2ν
⎢ ⎥
⎢τ
⎢
r z
0 0 0 ⎥
⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ γr z ⎥
⎢
⎦
⎣
2 ⎥⎦
illetve az inverz alak:
⎡ ε
⎢
⎢
ε
⎢ ε
⎢
⎢⎣
γ
r
r
z
θ
z
⎤ ⎡ 1
⎥ ⎢
⎥ 1 ⎢
− ν
=
⎥ E ⎢− ν
⎥ ⎢
⎥⎦
⎣ 0
− ν
1
− ν
0
− ν
− ν
1
0
0 ⎤ ⎡σ
⎢
0
⎥
⎢
σ
⎥
0 ⎥ ⎢σ
⎥ ⎢
2(1 + ν)
⎦ ⎢⎣
τr
r
z
θ
⎤
⎥
⎥ . (5.98)
⎥
⎥
⎥⎦
z
Felhasznált irodalom:
1./ Taber, L.: A.: Nonlinear Theory of Elasticity, World Scientific, New Jersey, 2004.
2./ Fung, Y.C: Foundation of Solid Mechanics, Prentice Hall, 1965, 1994.
3./ Bojtár I.: Mechanikai anyagmodellek, BME, 2007.
4./ Fung, Y. C. – Pin Tong: Classical and computational solid mechanics, World Scientific, 2001.
10.06.20. 82

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
6. Előadás: Mechanikai anyagmodellek: képlékeny illetve időfüggő
anyag modellezése
Irreverzibilis hatások modellezése
A – minden anyagra jellemző – kezdeti rugalmas viselkedést a külső terhek növekedése
miatt egy bizonyos teherszint felett alapvetően irreverzibilis jelenségek váltják fel. Az
anyag - belső szerkezeti felépítési módjától függő módon – elveszti teherbíró képességét,
tönkremegy. Az anyagi struktúra felbomlása alapvetően kétféle különböző módon
következhet be:
a./ a mikroszerkezetben (kristályos területek határán, polikristályok között, amorf
anyagi részekben egyes sávjaiban keletkező feszültségkoncentrációknál, stb.)
létrejövő belső csúszások, torzulások miatt –az anyag képlékennyé válik. Ilyenkor az
anyag megőrzi belső folytonosságát, de szerkezetében visszafordíthatatlan torzulások
jönnek létre.
b./ a mikroszerkezetben levő elemi (atomi vagy molekulaszintű) kötések szakadnak.
Először mikrorepedések jönnek létre, majd ezek összefűződve makrorepedéseket
alkotnak. Az anyag elveszti folytonosságát, különálló részek halmazává válik. A
tönkremenetelnek ezt a módját fellazuló-morzsolódó viselkedésnek hívjuk. A kétféle
alaptípus jellegzetes egytengelyű feszültség-alakváltozás diagramjai láthatók az
ábrán:
6.1. ábra: Képlékeny és fellazuló anyagok
Az anyagi viselkedés a valóságban nagyon sokszor ezen két alapeset kombinációja, mert a
külső körülmények (hőmérséklet, feszültségi állapot típusa, stb.) az anyag mechanikai
állapotát át tudják formálni. Jelen előadás keretében azonban csak a képlékeny viselkedés
modellezésének alapvető kérdéseire térünk ki, a fellazuló-morzsolódó anyagok
tulajdonságainak leírásával, illetve a kétféle alapeset kombinációjával a „Mechanikai
anyagmodellek” c. tárgy foglalkozik a későbbiekben.
Az anyag belső szerkezete az őt érő külső hatások következtében még akkor is
alakváltozást végez (és általában veszít eredeti teherbíró képességéből), ha a külső aktív
terhelések (erők, hőmérséklet) egyébként állandó értékűek. Az anyagnak ezt az időtől
függő minőségváltozását viszkozitásnak hívják a mechanikában. Ez a fejezet bemutatja a
legegyszerűbb viszkózus anyagmodellek különböző változatait is.
10.06.20. 83

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
A./ Képlékeny anyagmodellek:
A képlékeny anyagi tulajdonságok legfontosabb jellemzője az irreverzibilitás és a terhelési
úttól függő anyagi viselkedés.
- Irreverzibilitás: képlékeny állapotban az anyagban vissza nem fordítható fizikai
változások következnek be a belső mikroszerkezet deformációi miatt. A vissza nem
fordítható jelenségek az anyagmodelleknél a ciklikus terhelések során halmozódó
maradó képlékeny alakváltozásokban tükröződnek elsősorban.
- Terhelési úttól való függés: A képlékeny anyagok modellezésénél feltétlenül
figyelembe kell vennünk a terhek változásának sorrendjét, mert a létrejövő képlékeny
alakváltozások kialakulásának egymásutánisága befolyásolja az alakváltozások és
feszültségek létrejöttének módját és a tenzorok elemeinek tényleges értékét.
A képlékeny anyagmodellek alapvető osztályai:
- Deformációs (vagy más néven Hencky 72 -Nádai 73 ) elmélet:
σ = F ˆ( σ ):
ε
. (6.1)
A modell a teljes alakváltozás- és feszültségtenzort kapcsolja össze egy
feszültségfüggő anyagi merevségi tenzor. Alapvetően egyparaméteres, monoton
növekvő terhelések esetén történő határteherbírás vizsgálatra kidolgozott változat.
- Növekmény (vagy más néven Prandtl 74 -Reuss 75 ) elmélet:
d σ = F % ( σ ): d
ε
. (6.2)
A modell az alakváltozás- és feszültségtenzorok növekményeit kapcsolja össze egy
feszültségfüggő tenzor segítségével. A kapcsolati egyenletek csak növekményi
alakban alkalmazhatók, és általános terhelési viselkedés (többparaméteres teher,
ciklikus terhelés, stb.) leírására is alkalmasak.
A képlékeny anyagmodellek létrehozásához szükséges fizikai hatások
modellezése
- folyási feltétel: annak a fizikai jelenségnek matematikai leírása, amely megmutatja,
hogy az anyag különböző feszültségkombinációk esetén mikor kerül rugalmasból
képlékeny állapotba,
- keményedési feltétel: a már képlékeny állapotba került anyag viselkedésének
modellezése a külső teher további növekedése esetén.
72 Heinrich Hencky (1885 – 1951) német gépészmérnök, elsősorban a képlékenységtanban alkotott
maradandót. Életrajza (Mises és Huber életének leírásával együtt) a tanszéki honlapon olvasható
„Huber, Mises, Hencky és a fémek képlékenységtana” címen.
73 Nádai Árpád (1883 – 1963) magyar gépészmérnök, a fémek képlékeny viselkedésének kutatója.
74 Ludwig Prandtl (1875 – 1953) német fizikus, az aerodinamika és a képlékenységtan kiváló tudósa.
75 Reuss Endre (1900 – 1968) magyar gépészmérnök, a BME professzora és hosszú ideig a
Gépészmérnöki Kar dékánja. Elsősorban képlékenységtani vizsgálatairól ismert.
10.06.20. 84

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Folyási feltételek
A rugalmas-képlékeny állapotváltozást általában a feszültségtenzor és az anyagra jellemző
állandók ( Hk
) segítségével adják meg:
F( σ, H
k
) = 0 . (6.3)
Most csak az izotróp anyagok esetén használt változatokkal foglalkozunk, ortotróp folyási
feltételeket a „Mechanikai anyagmodellek” c. tárgy mutat be. Izotróp anyagoknál a folyási
feltételt a teljes feszültségtenzor helyett a feszültségi invariánsok segítségével adják meg. Ha
az anyag képlékeny tulajdonságai érzékenyek a hidrosztatikus hatásokra, akkor az első
invariánst ( I 1
) is figyelembe veszik, egyébként csak a deviátoros hatásokat építik be a folyási
feltételbe. Jellemző változatok:
F( J , J , H ) = 0 , → fémes anyagokra jellemző függvény, (6.4/a)
2 3
1 2 3
k
F( I , J , J , H ) = 0 , → nemfémes anyagokra jellemző függvény. (6.4/b)
Fémes anyagok alapvető folyási feltételei:
a./ Huber 76 - Mises 77 - Hencky-féle feltétel:
k
Az anyag akkor kerül képlékeny állapotba, ha a deviátoros feszültségtenzor második
invariánsa elér egy kísérletileg meghatározott állandót.
2 1 2 2 2 2
F = J2 − k = ⎡ (
1
−
2 ) + (
2
−
3 ) + (
1
−
3 ) ⎤ − k = 0
6 ⎣ σ σ σ σ σ σ ⎦ . (6.5)
A főfeszültségek terében a folyási felület a hidrosztatikus tengely körül felvett, két irányban
nyitott, a deviátoros síkon kör vezérgörbéjű henger. Egy tetszőleges főfeszültségi síkkal való
metszete ellipszis, lásd az alábbi ábrákat.
6.2.ábra: HMH folyási feltétel
76 Makszimillian Titusz Huber (1872 – 1950) kiváló lengyel tudós, elsősorban képlékenységtannal
illetve ortotrop lemezek viselkedésének vizsgálatával foglalkozott.
77 Richard Edler von Mises (1883 – 1953) osztrák tudós, a képlékenységtan mellett a mechanika
számos más területén is jelentőset alkotott.
10.06.20. 85

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
A képletben szereplő k állandó kapcsolata a σ 0 egytengelyű folyási határfeszültséggel:
k = σ 0
. (6.6)
3
A folyási feltétel egyébként a teljes feszültségtenzor illetve a Haigh-Westergaard-tér
komponenseivel is kifejezhető:
1 ( )
2 ( )
2 ( )
2 6
2 6
2 6
2 2
⎡
x
−
y
+
x
−
z
+
z
−
x
+
x y
+ ⎤
y z
+
z x
− k = 0
6 ⎣ σ σ σ σ σ σ τ τ τ ⎦ . (6.7)
ρ − 2 k = 0. (6.8)
b./ Tresca 78 -féle feltétel:
Az anyag akkor kerül képlékeny állapotba, ha a főnyíró-feszültség elér egy kísérletileg
meghatározott állandót.
⎧ 1 σ
0
⎪ ( σ1 − σ
2 ) ± = 0
2 2
⎪1 σ
0
F = τ
max
− k = ⎨ ( σ
2
− σ
3 ) ± = 0
⎪2 2
⎪ 1 σ
(
0
⎪ σ
3
− σ1
) ± = 0
⎩ 2 2
. (6.9)
A Haigh-Westergaard-koordinátákkal:
π
⎛ π ⎞
F = ρ sin( Θ+ ) − 2 k = 0 , ⎜0≤Θ≤
⎟ .
3 ⎝ 3 ⎠
(6.10)
A folyási felület ebben az esetben is két irányban nyitott, a deviátoros síkon szabályos
hatszög metszetű hasáb palástjával jellemezhető alakzat.
6.3. ábra: Tresca folyási feltétele
A főfeszültségi síkokkal való metszet is hatszög. Megjegyezzük, hogy a Huber-Mises-
Hencky-feltétel külső burkolófelülete (görbéje) a Tresca-feltétel függvényének.
78 Henri Edouard Tresca (1814 – 1884) kiváló francia gépészmérnök, a „méter” etalonjának
tervezője.
10.06.20. 86

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Nemfémes anyagok alapvető folyási feltételei:
a./ Mohr-feltétel:
Az anyag akkor kerül képlékeny állapotba, amikor a nyírófeszültség értéke egy adott pontban
eléri az ugyanott lévő normálfeszültségtől függő határértéket:
τ =h( σ ) . (6.11)
A jobb oldalon szereplő függvényt a kísérletekből kell meghatározni. A függvényt Mohr 79
grafikus ábrázolásában (a feszültségi Mohr-körökkel együtt) az alábbi vázlat ábrázolja:
6.4. ábra: Mohr folyási feltétele
Az ábra szerint a képlékeny állapot akkor következik be, amikor a legnagyobb kör érinti a
burkoló görbét. A legegyszerűbb burkoló görbét egy egyenes felvételével kapjuk, ez a
mechanikában Mohr-Coulomb 80 -feltételnek ismert folyási korlát:
F = τ − c + σ t g Φ = 0 ,
1+ sin Φ 1− sin Φ
(6.11)
F = σ1 −σ
3
− 1=
0 .
2c
cosΦ
2c
cosΦ
F = 2 ξ sin Φ +
π π ⎛ π ⎞
3 ρ sin( Θ + ) + cos( Θ+ )sin Φ − 6 c cos Φ = 0 , ⎜0≤Θ≤
⎟ . (6.12)
3 3 ⎝ 3 ⎠
A képletekben szereplő c és Φ az anyag belső kohéziója és súrlódási szöge (ezt a modellt
alapvetően a talajmechanikában használják).
79 Christian Otto Mohr (1835 – 1918) német építőmérnök, a szilárdságtan kiváló tudósa. Életrajza
„Mohr és az anyag szilárdsági feltétele” címen olvasható a tanszéki honlapon.
80 Charles-Augustin de Coulomb (1736 – 1806) francia fizikus. Elsősorban elektromosságtannal
foglalkozott, de sok kiváló munkát publikált mechanikai kutatásokból is.
10.06.20. 87

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
σ
6.5. ábra: Mohr és Coulomb folyási feltétele
A bal oldali ábra a normál- és nyírófeszültségek közötti kapcsolatot ábrázolja a két anyagi
paraméter függvényében, a másik pedig a főfeszültségek terében mutatja be a folyási
felületet. A függvény a hidrosztatikus tengely pozitív iránya felé zárul, a nyomófeszültségek
irányában nyitott. Deviátoros metszete harmadrendűen szimmetrikus hatszög.
b./ Prager 81 -Drucker-feltétel:
Az anyag akkor kerül képlékeny állapotba, amikor a deviátoros feszültségek és a
hidrosztatikus hatás együttese elér egy kritikus értéket:
F = α I1 + J
2
− k = 0,
2sin Φ
6c
cos Φ . (6.13)
α = ; k =
.
3 (3− sin Φ) 3 (3− sin Φ)
A képlet a Mohr-Coulomb-feltételhez hasonlóan a kohéziót és a belső súrlódási szöget
tartalmazza anyagállandóként. A deviátoros metszet kör, a felület a húzási főfeszültségi
térrészben itt is záródik.
81
William Prager (1903 -1980) német származású, élete nagy részében Amerikában élő
matematikus.
10.06.20. 88

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
6.6. ábra: Prager-Drucker feltétel
A Haigh-Westergaard-térben felírt alak:
F = 6 αξ+ρ− 2 k = 0 . (6.14)
Keményedési feltételek:
- Izotróp keményedés: a folyási felület a teher növekedésének hatására izotróp módon
növekszik egy alakváltozási korláttal megadott határig.
6.7. ábra: Izotróp keményedés
- Kinematikus keményedés: a folyási felület a terhelés növekedésének hatására a terhelés
„irányába” elmozdul egy ugyancsak alakváltozási korláttal megadott határig:
6.8. ábra: Kinematikus keményedés
10.06.20. 89

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
- Vegyes keményedés: az izotróp és a kinematikus keményedés kombinációja:
- A folyási felület alapvető tulajdonságai:
6.9. ábra: Vegyes keményedés
a./ A folyási felület mindig konvex (a felülethez húzott egyetlen érintősík sem metszi a
felületet).
b./ A képlékeny alakváltozás növekmények merőlegesek a folyási felületre (normalitási
törvény):
pl ∂F
dε = λ . (6.15)
∂σ
A képletben szereplő λ a hosszat befolyásoló, a terhelés történetétől függő paraméter 82 .
Értékét mindig az aktuális anyagmodellben kell meghatározni.
A deformációs elmélet anyagmodelljei:
- Útfüggetlen modellek, egyparaméteres, monoton növekvő terhelés esetén határteherbírás
számítására alkalmasak.
- Alapelv:
rug képl
rug 1
ε = ε + ε , ahol ε = D − képl
σ , ε = f ( I1, J2, J3)
. (6.16)
A növekmény elmélet anyagmodelljei:
- Útfüggő modellek, többparaméteres, ciklikusan változó terhelés követésére is alkalmasak.
- Alapelv:
rug képl
dε = dε + dε . (6.17)
A növekményi forma felhasználásával egy x,y,z rendszerben az alábbi módon építhető fel az
anyagmodell. Írjuk fel az általános folyási feltételt mátrixos alakban:
F( σ , H ) = f ( σ ) − k( H ) = 0 . (6.18)
k
k
82 Megjegyezzük, hogy sok munkában növekményi alakját használják ( dλ jelöléssel).
10.06.20. 90

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Ezt differenciálva megkapjuk a képlékeny állapot feltételét jelző (dF = 0) egyenletet:
∂F
∂F
T
dσ + dHk
= 0 ⇒ a dσ − Aλ
= 0,
∂σ
∂H
k
(6.19)
T ∂F ⎡ ∂F ∂F ∂F ⎤ 1 ∂F
ahol a = = ⎢ , , ....., ⎥ és A= − dHk
.
∂σ ⎢⎣
∂σ x
∂σ y
∂τ xy ⎥⎦
λ ∂H
k
Az a vektor neve a képlékenységtanban: folyási vektor. Írjuk fel most az alakváltozások
növekményeire vonatkozó feltételt:
rug képl -1
dε = dε + dε = D ⋅ dσ + λ a . (6.20)
Itt a képlékeny alakváltozás növekmény számításánál az előzőekben bevezetett normalitási
T
törvény segítségével helyettesítettük be. Szorozzuk be balról az egyenletet a D−
vel , majd
T
a dσ helyére írjuk be az Aλ tagot. Így az egyenletből kifejezhető λ :
T
a D
λ =
T d ε . (6.21)
A + a Da
Helyettesítsük be ezt az alakváltozás növekményeket kifejező előző egyenletbe és rendezzük
a kifejezést a feszültségnövekményekre 83 :
T
⎡ Daa D ⎤
ep
dσ
= ⎢D − d =
T
⎥ ε D dε . (6.22)
⎢⎣
A + a Da ⎥⎦
Ez a képlet a (kis alakváltozásokra vonatkozó) általános rugalmas-képlékeny
anyagmodell, D ep pedig a rugalmas-képlékeny anyagi merevségi mátrix. Értéke a
rugalmas anyagi viselkedés modellezésétől (D), a folyási felület típusától (a) és a
keményedés modellezésétől (A) függ.
A Haigh-Westergaard-tér koordinátáinak felhasználása a folyási vektor
számítására
Ebben az esetben a folyási feltételt
alakban kell megadni. A folyási vektor:
F = f ( I , J , Θ )
(6.23)
1 2
∂F ∂I
∂F ∂ J ∂F
∂Θ
T
1
2
a = + + = C1 a1 + C2 a2 + C3
a3
∂I1 ∂σ ∂ J ∂σ ∂Θ ∂σ
2
. (6.24)
Ha figyelembe vesszük, hogy
∂Θ 3 ⎡ 1 ∂I3 3I
∂ J ⎤
3 2
= − ⎢ − ⎥ , (6.25)
3
2
∂σ 2cos3Θ ⎢ J ∂σ J
2
2
∂σ
⎣
⎥
⎦
akkor a folyási vektor komponensei:
T ∂I1
T ∂ J
2 1
a1 = = [ 1 1 1 0 0 0 ], a2
= = ⎡sx sy sz 2
yz
2
xz
2 ⎤
xy
,
2 J
⎣ τ τ τ
∂σ
∂σ
⎦
∂I ⎡ J J J
a s s s s s s
∂σ
⎢
⎣ 3 3 3
T 3 2 2 2 2 2 2
3
= =
y z
− τ
yz
+ ,
x z
− τ
xz
+ ,
x y
− τ
xy
+ ,
2
(6.26)
(6.27)
83 Felhívjuk az olvasó figyelmét, hogy a (6.21) és (6.22)-es egyenletekben szereplő
eredménye természetesen skalár.
T
a Da szorzat
10.06.20. 91

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
2( τ xz τ xy − s x τ yz
), 2( τ xy τ yz
− s y τ xz ), 2( τ yz τ xz − s zτ xy
) ⎤
⎦ .
A konstansok:
∂ F ∂ 3 3 1
, F tg Θ ∂ F ∂
C = C = − ,
C
=
F
∂ ∂ ∂Θ Θ ∂Θ .
1 2 3
I 3
1
J 2 J 2cos3
2 J2
A négy bemutatott folyási feltétel esetére:
3 sin
Θ
Tresca → C 1 = 0, C 2 = 2cos Θ (1 + tg Θ tg 3 Θ ), C
3
=
;
J cos3
Θ
HMH → C = C = 0, C
= 3;
3
1 3 2
sin
Φ
MC → C 1 = , C 2
= cos Θ (1 + tg Θ tg 3 Θ ) + sin Φ ( tg 3 Θ − tg
Θ ) 3 ,
(6.29)
3
C
=
3 sin Θ + cosΘ sin Φ
;
2J
cos3Θ
PD → C = α
, C = 1, C
=
0 .
1 2 3
A folyási vektorok ezzel a módosítással egyszerűbben számíthatók, és így nem okoz
nehézséget egy numerikus modellnél a gyors váltás sem az egyes anyagmodellek között.
B./ Viszkózus modellek 84 .
2
Minden anyag viselkedésére hatással van az idő, legfeljebb az időlépték változik, vannak
anyagok (pl. a kőzetek), ahol ez évszázadokban vagy évezredekben mérhető, egy lágy
polimernél azonban órák is elegendők jelentős szerkezeti változások bekövetkeztéhez. Ennek
a különbségnek az oka a mikroszerkezet zet átalakításához szükséges idő különböző léptéke.
Viszkózus jelenségek alapvető jellemzői 1D húzókísérletek tapasztalatai
alapján:
A jelenségek leírásához használnunk kell az alakváltozások és feszültségek időbeli változását
is:
2
(6.28)
6.10. ábra:
Viszkózus
hatások
különböző
típusai
84 A viszkózus hatásokat leíró elemi modelleknél felhasználtuk a
A viszkózus hatásokat leíró elemi modelleknél felhasználtuk a [ ]
2 alatti tankönyv vonatkozó
fejezetét. A további részletek után érdeklődőknek javasoljuk a könyv részletes tanulmányozását.
10.06.20.
92

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
dε
dσ
& ε = , & σ = .
(6.30)
dt dt
Vizsgáljuk meg (6.30) figyelembevételével a (6.10) ábra függvényeit:
a./ σ = állandó, & σ = 0 feltétel mellett („a” ábra) a próbatest alakváltozásai tovább
nőnek (ez a jelenség a kúszás). A kúszás – ellentétben a képlékeny tulajdonságok
vizsgálatánál tapasztaltakkal – bármilyen feszültségszinten felléphet. Az alakváltozás
egy része a feszültség felléptekor azonnal létrejön (ezt tekintjük rugalmas
rug
v
alakváltozásnak: ε ), másik része késve alakul ki (ez a viszkózus alakváltozás: ε
).
Maga a függvény két jellegzetes szakaszból áll, az első része magasabb fokú görbével
jellemezhető és viszonylag kevés időt igényel (ez az úgynevezett elsődleges kúszás),
a másik szakasz jó közelítéssel egyenes és jóval hosszabb idejű a folyamat
(másodlagos kúszás). A másodlagos kúszás során ε& állandónak tekinthető.
b./ ε = állandó , & ε = 0 feltétel („b” ábra) a próbatest rögzítését jelenti egy bizonyos
teherszint után. Ilyenkor az anyagban egy idő után a feszültségek értéke csökken (ez a
jelenség az ernyedés vagy más néven relaxáció).
c./ Ha a kísérleteket & ε = állandó vagy & σ = állandó feltételek mellett hajtjuk végre („c”
és „d” ábrák), akkor azt tapasztaljuk, hogy az anyagmodell függvénye változik,
vagyis a viszkózus anyagnál az alakváltozás vagy a feszültség sebességét növelve az
anyag belső ellenállása nő.
d./ A tehermentesítés hatása szintén megvizsgálható, lásd a következő ábrát. Az
alakváltozás egy része azonnal megszűnik (rugalmas rész), másik része csak
fokozatosan csökken, egy része pedig végleg megmarad.
6.11. ábra:
Tehermentesítés
hatása
Viszkoelasztikus anyagmodellek:
10.06.20. 93

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Az anyagot rugalmas és viszkózus hatások együttese építi fel, képlékeny jelenségek
nincsenek.
- Maxwell 85 -féle modell:
6.12. ábra: Maxwell modell
rug v rug v rug σ v σ
σ = σ = σ ; ε = ε + ε ⇒ ε = , & ε =
E µ . (6.31)
A viszkózus alakváltozásra felírt képletet Newton javasolta. A nevezőben szereplő µ
2
paraméter neve viszkozitási állandó, dimenziója ⎡
⎣Ns / m ⎤
⎦
. A teljes és a rugalmas
alakváltozásokat idő szerint deriválva kapjuk a végleges Maxwell-modellt:
& σ σ
& ε = +
E µ . (6.32)
Relaxáció vizsgálata esetén ε = ε és & = 0
0
ε , így a modell :
dσ
E
dt + σ
µ
=0 . (6.33)
A sorba kapcsolt modellnél t = 0 pillanatban σ = σ
0
= E ε
0
. Ennek a kezdeti feltételnek a
figyelembe vételével a feszültség értéke (lásd az ábrát):
E t
0
e − µ
σ = σ . (6.34)
6.13. ábra: Relaxáció hatása
Kúszásnál t = 0 pillanatban σ = σ
0
kezdeti feszültséget alkalmazunk és feltételezzük, hogy
ez a továbbiakban nem változik: & σ = 0 . Így az egyenlet:
d ε 0
dt = σ
µ . (6.35)
85 James Clerk Maxwell (1831 – 1879) világhírű skót matematikus és fizikus.
10.06.20. 94

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
0
Figyelembe véve a t = 0, σ = σ
0
, ε = ε
0
= σ kezdeti feltételt, a differenciálegyenlet
E
megoldása (lásd ezt is az előző ábrán):
σ
0
⎛
0 0
1 E ⎞
ε = ε + t = ε ⎜ + t ⎟ .
(6.36)
µ ⎝ µ ⎠
σ
0
Tehermentesítéskor a fajlagos nyúlás értéke ε0
-lal csökken, a t0
tag viszont változatlanul
µ
megmarad.
- Kelvin 86 -Voigt-féle modell:
Ennél a modellnél a rugalmas viselkedést jellemző rugót és a viszkózus hatást modellező
dugattyút nem sorban, hanem párhuzamosan kapcsoljuk:
Ennek megfelelően természetesen az anyagmodell viselkedése is változik:
6.14. ábra: Kelvin-Voigt-modell
így maga a modell:
ε = ε rug = ε v , σ = σ rug + σ v ⇒ σ rug = E
ε ,
σ v
= µ &
ε , (6.37)
σ = E ε + µ & ε .
(6.38)
86 William Thomson, ismertebb nevén Lord Kelvin (1824 – 1907) kiváló ír matematikus, fizikus és
mérnök.
10.06.20.
95

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
d E
0
Kúszás esetén ( t = 0, σ = σ
0
, & σ = 0 , lásd az „a” ábrát) a differenciálegyenlet ε
dt + ε = σ
µ µ
v
alakú lesz. A kezdeti feltételeket ( t = 0, ε = ε = 0 alakban) figyelembe véve a
differenciálegyenlet megoldása:
E
σ ⎛ − t ⎞
0 µ
ε = 1−
e
. (6.39)
E ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Ha t idő után a 0
σ
0
állandó feszültséget megszüntetjük, akkor a t > t0
időhöz tartozó
dε
E
differenciálegyenlet: 0
dt + ε
µ
= . Ennek megoldása:
E t
µ
ε = Ke −
. (6.40)
A K állandót abból a feltételből lehet meghatározni, hogy az alakváltozás kétféle képletből
számított értéke a t = t0
pillanatban megegyezik. A tehermentesítés után ε értéke
exponenciálisan csökken.
Relaxáció vizsgálatánál t = t1
ideig működtessünk σ = σ
0
állandó feszültséget. Ennek
hatására
E
σ ⎛ − t ⎞
0 µ
ε
1
= 1−e
(6.41)
E ⎜ ⎟
⎝ ⎠
alakváltozás jön létre. Rögzítsük ennek értékét és vizsgáljuk a feszültség változását. Mivel
t > esetben ε& = 0,
a feszültség hirtelen csökken, majd megőrzi
t 1
értékét.
E t 1
1
= E
1
= ⎛
0 1−
e − ⎞ µ
σ ε σ
⎜
(6.42)
⎟
⎝ ⎠
Összegezve: a két alapmodell közül a Maxwell-féle a relaxáció, a Kelvin-Voigt-féle pedig a
kúszás leírására alkalmas elsősorban. Bonyolultabb modellek a kétféle alapváltozat
különböző típusú kombinációiból hozhatók létre.
Viszkoplasztikus modellek
Az anyagot tökéletesen képlékeny és tökéletesen viszkózus hatások együtteseként
modellezik. Egyszerű változatokra példákat mutat az alábbi ábra:
6.15. ábra: Viszkoplasztikus modellek
10.06.20. 96

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
A „b” ábra változatát mutatjuk be részletesen.
- Bingham 87 modell:
Alapelv:
6.16. ábra: Bingham modellje
σ < σ ⇒ ε = 0 illetve σ ≥σ ⇒ σ = σ + µ & ε , vagyis az anyag alakváltozásai a
f f f
folyási határnál kisebb feszültségek esetén zérus értékűek, képlékeny állapotban pedig az
anyag folyási határa az anyag viszkozitása következtében megnő. A dinamikus folyási határ
értékére többféle modell használható. Például két különböző (az ábrán is látható) változat:
1
n
⎛ & ε ⎞
⎛ ⎞
f d f s
1 vagy ⎜
⎛ & ε ⎞
σ = σ ⎜ + ⎟ σ
f d
= σ
f s
1+
⎜ ⎟
⎟ , (6.43)
⎝ & γ
⎜ ⎟
0 ⎠ ⎝ & ε0
⎝
⎠
⎠
ahol & γ
0
, & ε
0
és n kísérletekből meghatározandó anyagállandók.
Felhasznált irodalom:
1./ Taber, L.: A.: Nonlinear Theory of Elasticity, World Scientific, New Jersey, 2004.
2./ Kaliszky S. – Kurutzné K. M. – Szilágyi Gy.: Szilárdságtan, Egyetemi Tankönyv, 2000.
3./ Bojtár I.: Mechanikai anyagmodellek, Egyetemi jegyzet, 2007.
4./ Kaliszky S.: Képlékenységtan, Akadémiai Kiadó, 1975.
87 Eugene Cook Bingham, (1878 – 1945) amerikai fizikus és vegyész, a reológia kiváló szakértője.
Magát a „reológia” szót is ő alkotta az 1920-as években.
10.06.20. 97

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
7. Előadás: A mechanika alapvető egyenletei
A mechanikai anyagmodellek bemutatása után ez az előadás a nemlineáris mechanikai
számításokhoz szükséges további alapvető összefüggéseket mutatja be. Elsőként a nagy
alakváltozások számítását lehetővé tevő változatokat tárgyaljuk, majd bemutatjuk ezek
szűkített halmazát, ahol kizárólag kis alakváltozások és rugalmas viselkedés létrejöttét
fogadjuk el.
A Reynolds 88 -féle transzport egyenlet
Az alapegyenletek bemutatásakor szükségünk van adott tartományok felett értelmezett
integrálok anyagi idő szerinti deriváltjára. Ebben a számításban jelent segítséget a Reynolds
által bevezetett összefüggés.
Egy időtől függő f függvényt tartalmazó integrál-kifejezés anyagi idő szerinti deriváltját a
következőképpen definiálhatjuk:
D 1 ⎛
⎞
f d lim f ( x , t + t ) d f ( x , t ) d
Dt
∫ Ω = ∆ Ω − Ω
∆t→0
∆t
⎜ ∫ ∫ , (7.1)
⎟
Ω ⎝
Ω t + ∆ t Ωt
⎠
ahol Ω egy t időpillanatban az adott helyzetű térbeli tartományt (anyagi pontok összességét)
t
jelenti, Ω
t +∆t
pedig ugyanezen tartomány t + ∆ t időpontbeli helyzetére utal. Alakítsuk át a
jobb oldalon szereplő tagokat az eredeti hivatkozási tartományra való áttéréssel:
D 1 ⎛
⎞
f d lim f ( X , t + t ) J ( X , t + t ) d
0 f ( X , t ) J ( X, t ) d
0
Dt
∫ Ω = ∆ ∆ Ω − Ω
∆t→0
∆ t ⎜ ∫ ∫ . (7.2)
⎟
Ω ⎝ Ω0 Ω0
⎠
Mivel ezzel a változtatással a tartomány független lett az időtől, tovább alakítható az
egyenlet:
D ∂ ⎛ ∂ ∂ ⎞
∫ f dΩ = ∫ ( f ( X, t) J ( X, t)
) dΩ 0
= ⎜ + ⎟ Ω0
∂
∫
f J f J d . (7.3)
Dt t ∂ ∂
Ω Ω0 Ω ⎝ t t ⎠
0
Figyelembe véve az első előadáson a gradienstenzor determinánsának idő szerinti
deriválásával kapcsolatban elhangzottakat, az egyenlet tovább módosítható:
D
f
f d J f J div v d
0
Dt
∫ ⎛ ∂
⎞
Ω = ∫ ⎜ + ⎟ Ω
∂t
Ω
Ω ⎝
⎠
. (7.4)
0
Ha visszatérünk a pillanatnyi konfigurációhoz, akkor megkapjuk a Reynolds-féle transzport
egyenletet:
D Df ( x, t)
f d f div v d
Dt
∫ ⎛
⎞
Ω = ∫ ⎜ + ⎟ Ω
⎝ Dt
⎠
. (7.5)
A tömegmegmaradás egyenlete
Ω
Ω
88 Osborne Reynolds (1842 – 1912) ír származású matematikus és mechanikus. A folyadékok
dinamikájának tanulmányozásában alkotott jelentőset.
10.06.20. 98

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Az Ω tartományon (ez most egyaránt lehet térfogat, vagy felület) számítandó m ( Ω)
tömeget
a ρ ( x, t)
sűrűségfüggvény segítségével definiáljuk:
m( Ω ) = ∫ ρ( x,
t)
dΩ
. (7.6)
Ω
A tömegmegmaradás törvénye azt mondja ki, hogy a tömeg értéke nem változik a vizsgált
tartományon belül (nincs semmilyen tömegáramlás a szomszédos tartományok felé) 89 :
Dm D
= ∫ρdΩ=
0. (7.7)
Dt Dt
Ω
A Reynolds-féle átalakítást felhasználva és emellett figyelembe véve azt a tényt, hogy a
tömegmegmaradás független a tartománytól, a következőt kapjuk:
Dm ⎛ Dρ
⎞ Dρ
= div v d
div v = 0
Dt ∫ ⎜ +ρ ⎟ Ω ⇒ +ρ
Dt Dt
Ω⎝
⎠
. (7.8)
Az utolsó változatot nevezzük a tömegmegmaradás egyenletének 90 . Lagrangekoordinátákkal
való leírás esetén az egyenletet más formában szokták megadni:
ρdΩ = ρ dΩ ⇒ ( ρ J −ρ ) dΩ = 0 ⇒ ρ ( Φ( X , t) , t) J ( X, t) =ρ ( X)
∫ ∫ ∫ . (7.9)
0 0 0 0 0
Ω Ω0 Ω0
Megjegyezzük, hogy ha az anyag összenyomhatatlan, akkor a sűrűség anyagi idő szerinti
deriváltja zérus, és a tömegmegmaradás egyenlete a következő alakú lesz:
div v = 0 . (7.10)
A mozgásmennyiség (impulzus) egyenlete
Definiáljuk a rendszerre ható külső erők vektorát a ρ b tömegerők (például egységnyi
térfogatra jutó gravitációs erők) és az egységnyi felületre jutó t felületi erők segítségével az
alábbi módon:
f ( t) = ρb( x, t) dΩ + t(x, t)
dS
∫ ∫ . (7.11)
Ω
A mozgásmennyiség definíciója:
p( t) = ρv(x, t)
d Ω . (7.12)
∫
Ω
A mozgásmennyiség tétele szerint a mozgásmennyiség anyagi idő szerinti deriváltja egyenlő
a rendszerre ható erővel 91 :
Dp
D
= f ⇒ v d b d t
Dt Dt
∫ ρ Ω = ∫ ρ Ω + ∫
Ω Ω Γ
dS . (7.13)
Alkalmazzuk Reynolds képletét az egyenlet bal oldalára:
89 Első (filozófiai) megfogalmazása a görög Epikurosztól (341 – 270) származik. Nasir al-Din al-
Tusi (1201 – 1274) perzsa tudós műveiben bukkan fel újból, majd a XVIII. században egymástól
függetlenül több tudós is (Antoine-Laurent de Lavoisier (1743 – 1794) 1789-ben, Mihail Vasziljevics
Lomonoszov (1711 – 1765) pedig 1748-ban) megfogalmazta ma használatos alakját.
90 Megjegyezzük, hogy a tömegmegmaradás elvének figyelembevételével a Reynolds-tétel speciális
D
Df
változatához jutunk: f d d
Dt
∫ ρ Ω = ∫ ρ Ω . Ezt az alakot mi is használni fogjuk egyes
Dt
Ω
Ω
átalakításoknál (például (7.14)-ben).
91 Abu Ali Sina Balkhi (980 – 1037) perzsa tudós (Európában ismertebb nevén Avicenna) 1000 körül
kelt írásaiban található a törvény első változata. Bár René Descartes (1596 – 1650) és Galileo Galilei
(1564 – 1642) munkái is hivatkoznak rá, mai formája a XVII. század végén jött létre John Wallis
(1616 – 1703) és Isaac Newton (1643 – 1727) munkássága nyomán.
10.06.20. 99
Γ

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
D ⎛ D ⎞ ⎧ Dv
⎛ Dρ ⎞⎫
Dv
ρ v dΩ= ⎜ ( ρ v) + div( v) ρv ⎟dΩ= ⎨ρ + v⎜ +ρdiv
v⎟⎬dΩ= ρ dΩ
Dt ⎝ Dt ⎠ ⎩ Dt ⎝ Dt ⎠⎭
Dt
∫ ∫ ∫ ∫ .(7.14)
Ω Ω Ω Ω
Az utolsó előtti integrálban szereplő (sebességvektorral szorzott) tag értéke zérus, hiszen ez
nem más, mint a tömegmegmaradás törvényének megfogalmazása.
Az erők vektorát a Gauss-integráltétel segítségével alakítjuk át (most Ω-t térfogatként
értelmezzük):
t dS = n⋅ σ dS = σ ⋅∇ dV . (7.15)
∫ ∫ ∫
S S V
Behelyettesítve valamennyi átalakítást a (7.13)-as egyenletbe, megkapjuk a
mozgásmennyiség változását kifejező egyenletet:
Dv
D v
∫ ( ρ −ρb
− σ ⋅∇ )dV = 0 ⇒ ρ = σ ⋅∇ + ρ b .
Dt
Dt
V
(7.16)
Ez az egyenlet is felírható Lagrange-változók segítségével. Ha a Cauchy-féle feszültségtenzort
használjuk:
∂v(X,
t)
−1
ρ ( X, t) = div σ ( Φ ( x,
t),
t)
+ ρ ( X,
t)
b(
X,
t)
, (7.17)
∂t
míg az első Piola-Kirchhoff-féle feszültségtenzor alkalmazásával:
∂v(X, t)
ρ
0
= P ⋅∇0 + ρ0b . (7.18)
∂t
Az impulzusmomentum egyenlete
Ezt a tételt a mechanikában az impulzus-tétel párjaként szokás alkalmazni. Ha a
mozgásmennyiség tételében szereplő tagok mindegyikét vektoriálisan szorozzuk egy
tetszőleges x vektorral, akkor a mechanika impulzusmomentum-tételének 92 matematikai
alakjához jutunk:
D
x×ρv dΩ = x×ρb dΩ + x× t dΓ
∫ ∫ ∫ . (7.19)
Dt Ω Ω Γ
A tétel azt mondja ki, hogy egy zárt rendszerben az x× p összefüggéssel definiált
impulzusmomentum változása a terhek hatásától függ. A kontinuummechanikában ezt az
összefüggést a feszültség-tenzorok szimmetriájának vizsgálatára használják. Alakítsuk át
például a impulzusmomentum tétel jobb oldalán szereplő utolsó tagot Euler-bázisban a
Cauchy-féle feszültségtenzor segítségével:
T
x× t dS = x× ( σ ⋅ n) dS = x× ( σ ⋅∇ ) + ε% : σ dV . (7.20)
∫ ∫ ∫ ( LC )
S S V
A vizsgálat során a Γ peremet S határfelületként értelmezzük, továbbá felhasználjuk a
matematika – integráltétel segítségével előállítható – azon összefüggését, amely egy vektor és
vektor-tenzor-szorzat vektoriális szorzatára alkalmazott felületi integrál átalakítására
vonatkozik:
T
a× ( A ⋅ n) dS = a× ( A ⋅∇ ) + ε% : A dV . (7.21)
∫
S
∫ ( LC )
V
92 A tételt a mechanikában az úgynevezett Noether-tétel egy változataként értelmezik. A Noethertétel
azt mondja ki, hogy a térben minden irány egyenértékű bármely másikkal. (Amalie „Emmy”
Noether (1882 – 1935) német matematikus volt.)
10.06.20. 100

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
A képletben a vektor, A másodrendű tenzor, ε% LC
pedig a harmadrendű tenzorként definiált
Levi-Civita-féle permutációs tenzort jelöli (lásd a Függelék vonatkozó részét). Ha ezt az
átalakítást felhasználva beírjuk a módosított alakot az impulzusmomentum-tétel képletébe,
akkor a következőt kapjuk:
x× ρv& − ρb − σ ⋅∇ dV = ε% σ T dV = . (7.22)
∫
V
( ) : 0
Az első integrál zárójelben lévő része éppen az impulzus-tétel nullára rendezett alakját fejezi
ki, ezért az egész kifejezésnek zérusnak kell lennie. Mivel a Levi-Civita-tenzor Cauchyfeszültségekkel
való kétpont-szorzata nem függ a tartománytól 93 , ezért az alábbi alakban is
felírható a kapott összefüggés:
ε% : σ T = 0 ⇒ ε σ = 0 . (7.23)
∫
V
LC
LC i j k k j
A második tag ugyanazt a kifejezést jelenti, csak indexes változatban. Ha elvégezzük a
kijelölt műveleteket és figyelembe vesszük a Levi-Civita tenzor elemeinek jelentését, akkor a
következő három egyenlethez jutunk:
σ
32
− σ
23
= 0, σ13 − σ
31
= 0, σ
21
− σ
12
= 0 . (7.24)
Az eredmény azt jelenti, hogy az impulzusmomentum tétel értelmében a feszültségtenzor
vegyes indexű elemei páronként megegyeznek, vagyis a Cauchy-feszültségtenzor
szimmetrikus.
Megjegyezzük, hogy ennek segítségével azonnal belátható a második Piola-Kirchhoff-féle
feszültségtenzor szimmetrikus volta is, hiszen ez mindig
1
S = J F − ⋅σ⋅ F −T
(7.25)
módon állítható elő a Cauchy-tenzorból, és a gradienstenzor inverzével mindkét oldalról
történő szorzás ezt a szimmetriát nem rontja el.
Más a helyzet az első Piola-Kirchhoff-féle feszültségtenzorral, hiszen ennek származtatási
egyenlete
1
P = J F − ⋅ σ
(7.26)
azonnal nyilvánvalóvá teszi, hogy a nem szimmetrikus gradienstenzorral való módosítás
„tönkreteszi” a szimmetrikus jelleget. Ha például a Cauchy-tenzor szimmetriafeltételébe
behelyettesítjük az első Piola-Kirchhoff-tenzort, akkor a következőt kapjuk eredményül:
−
( J )
T −1 1
T
T T
σ σ J F P = F P F P P F
= ⇒ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ . (7.27)
Az utolsó egyenlet olyan összefüggést ír le, amely kétdimenziós esetben egy,
háromdimenziós feladatnál pedig három nem-triviális feltételi egyenletet szolgáltat a
mátrixok elemei közötti összefüggésekre (mindig a Cauchy-mátrix szimmetria-feltételeivel
azonos számút). Például kétdimenziós feladatnál ez az egyenlet a következő lesz:
F11 P12 + F12 P22 = F21P 11
+ F22 P21
. (7.28)
Az impulzusmomentum-tételből adódó feltétel tehát erre a mátrixra a nem-szimmetrikus
jelleg mellett egy olyan feltételt is megfogalmaz, amit akkor kell figyelembe vennünk, ha a P
tenzort anyagmodellekbe kívánjuk beépíteni.
Az energiamérleg egyenlete
93 Emlékeztetőül: egy harmadrendű tenzor másodrendű tenzorral való kétpont-szorzata egy vektor
lesz. Az itt vizsgált esetben az eredményül kapott vektor mindhárom eleme zérus.
10.06.20. 101

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Az energiamérleg elve azt jelenti, hogy a vizsgált rendszerben a teljes energia megváltozása
(a teljesítmény) egyenlő a tömeg- és felületi erők munkaváltozásának (teljesítményének)
illetve a rendszerben figyelembe vehető hő (hőforrás, hőáram) hatásának összegével 94 :
teljes belső
P = P
kin külső
+ P = P
hő
+ P . (7.29)
Az egyes tagok részletesen:
belső D belső
kin D 1
P = W dV P
dV
Dt
∫ρ
, =
Dt
∫ ρ v ⋅ v ,
2
(7.30)
P
külső
=
V
hő
∫ ⋅ρb
dV + ∫ v ⋅ t dS P = ∫ρr dΩ −∫
V
v , n ⋅ qdS
. (7.31)
V S V
S
A képletekben q az egységnyi felületen kiáramló hőt, r pedig az egységnyi térfogatra
vonatkozó hőforrást jelenti. Ez a mérlegegyenlet már szerepelt az anyagmodellek egyes
tulajdonságainak bemutatásakor, mint a termodinamika első főtétele.
A teljes egyenlet részletesen (a korábban alkalmazott u jelölés helyett most (az ötödik
belső
előadáson bevezetett) W jelölést használjuk):
D ⎛ belső 1 ⎞
∫⎜ρW
+ ρ v ⋅ v⎟dV
= ∫ v ⋅ρb
dV + ∫ v ⋅ t dS + ∫ρr dV −∫n
⋅q
dS . (7.32)
Dt
V ⎝ 2 ⎠ V S
V S
Az egyes tagok tovább módosíthatók a Reynolds-képlet 3. lábjegyzetben említett speciális
változatának illetve a Gauss-féle integráltételnek a segítségével (az anyagmodelleknél már
bemutatottakhoz hasonlóan végezve az átalakításokat):
belső
D ⎛ 1 ⎛
belső
DW 1 D( v v)
⎞
W v v
⎞
dV ⋅ dV
Dt
∫ ρ + ρ ⋅ = ρ + ρ =
⎝⎜
2 ⎠⎟
∫ ⎜
Dt 2 Dt ⎟
(7.33)
⎝ ⎠
V
⎛ belső
DW
Dv⎞ = v
∫ ⎜
ρ + ρ ⋅
dV ,
⎜⎝ Dt
Dt ⎠⎟
V
∫ ∫ ∫
S S V
V
( )
v ⋅ t dS= n ⋅ σ ⋅ v dS = D: σ + ( σ ⋅∇) ⋅ v dV . (7.34)
Itt D most az alakváltozás-sebesség tenzort jelenti (megjegyezzük, hogy az átalakítás során
T
felhasználtuk a Függelékben megadott div( A u) = div A ⋅ u + A : grad u összefüggést).
Behelyettesítve ezeket az előbbi összevont alakba, és a hőhatásoknál is alkalmazva a Gausstételt,
majd az egészet nullára rendezve a következőt kapjuk:
belső
DW
Dv
∫ ( ρ − D : σ + ∇ ⋅q
−
ρ r + v ⋅(
ρ − σ ⋅∇ − ρb) ) dV = 0 . (7.35)
Dt
Dt
V
A zárójelbe tett utolsó három tag a mozgásmennyiség tételét írja le, ezért ez zérus lesz a
kifejezésben. Ezek után – figyelembe véve, hogy a kifejezésnek bármilyen tartomány esetén
igaznak kell lennie – az integrál elhagyásával kapjuk az energiamérleg végső alakját:
belső
DW
ρ = D: σ −∇ ⋅q + ρ r . (7.36)
Dt
Ha a hőhatásoktól eltekintünk, akkor az egyszerűsített változat:
belső
DW
ρ = D: σ . (7.37)
Dt
Az általános alak Lagrange-rendszerben is megadható:
94 Milétoszi Thálész (624 – 546) görög filozófusnál olvashatunk első változatáról, majd Galilei
munkáiban fordult elő. Első matematikai megfogalmazása Gottfried Wilhelm Leibnitztől (1646 –
1716) származik (lásd az ötödik fejezet negyedik lábjegyzetét).
10.06.20. 102

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
belső
∂W
( X, t)
T
ρ
0
= F& 1 T
: P −∇0
⋅q % + ρ0
r , ahol q% = J − F ⋅q
. (7.38)
∂t
1 T
Ebben a képletben a q% = J − F ⋅q
hőáram az eredeti rendszer egységnyi felületére
vonatkozik, ezért volt szükséges az átalakítás a korábban már használt Nanson-formula (lásd
az első és negyedik előadást) segítségével.
T
Megjegyezzük, hogy az anyagmodelleknél tanultak szerint az F & : P tag a Green-Lagrange
alakváltozástenzor időbeli változást kifejező alakjának és a második Piola-Kirchhoff
feszültségtenzornak a szorzatával is helyettesíthető, vagyis ilyenkor a jobb oldal első tagjának
E:S & -t kell írnunk.
Az alapegyenletek „gyenge” változata Lagrange-féle leírásmódban
Gyakorlati feladatok megoldásánál az előbb bemutatott, úgynevezett „erős” egyenleteket
sokszor „gyenge” (vagy másféle elnevezéssel: „variációs”) változatukkal helyettesítik. A
gyenge változat diszkretizált alakját nagyon sokszor használják különböző közelítő
megoldásokban (lásd például a „végeselemes modellezés” numerikus technikáit).
A gyenge változatot először a Lagrange-leírásmód esetére mutatjuk be. Írjuk fel újból a
mozgásmennyiség egyenletét, a sebesség deriváltjának helyébe most a gyorsulásvektort írva (
u & =a ):
P⋅∇ 0
+ ρ 0b − ρ 0a = 0 . (7.39)
Szorozzuk meg ezt a kifejezést egy elmozdulásmező variációjával és integráljuk az egész
(kezdeti) tartományon:
∫ δ u ⋅ ( P ⋅∇
0
+ ρ 0b − ρ 0a)
dΩ 0
= 0 , (7.40)
Ω0
Az Ω
0
tartomány Γ
0
határán az alábbi perem-, kezdeti- és folytonossági feltételeket vesszük
figyelembe (ha a tartománynál két indexet kell használnunk, a kezdeti állapotra utaló „nulla”
felső indexbe kerül):
a./ peremfeltételek:
t előírt terhek a határ
0 0
Γ részén ( Γ =Γ − Γ ),
0
t
t
0
u
(7.41/a)
0
u előírt elmozdulások a határ Γ
u
részén.
(7.41/b)
b./ kezdeti feltételek (nulla időpillanatban az egész tartományra vonatkoznak,
továbbá kielégítik a peremfeltételeket):
P( X,0) = P0 ( X) , u& ( X,0) = v0( X)
, (7.42)
c./ folytonossági (szakadásmentességi) feltétel 95 :
0
n ⋅ P
0
= 0 a határ Γ
b
részén. (7.43)
A mozgásmennyiség egyenletében szereplő első tag átalakítása 96 (megadjuk indexes alakban
is a jobb ellenőrizhetőség kedvéért):
∂(
δu)
∫ δu⋅P⋅∇0 d Ω
0
= ∫ ∇0 ⋅( δu⋅ P) d Ω0 − ∫ : PdΩ0
. (7.44/a)
∂X
Ω0 Ω0 Ω0
95 Az f ( X ) szimbólum jelentése a következő: f ( X ) lim ( f ( X ) f ( X ))
= + ε − −ε .
10.06.20. 103
ε→0
96 T
Újból emlékeztetünk a Függelékre: div( A u) = div A ⋅ u + A : grad u

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
∂P
∂
∂(
δu
)
u d u P d P d
∫ ∫ ∫
ji
i
δ
i
Ω
0
= ( δ
i ji
) Ω0 −
ji
Ω0
∂X ∂ ∂
Ω0 j
X
Ω0 j
X
Ω0
j
(7.44/b)
Ebben a kifejezésben a jobb oldal második tagja átalakítható
T
∫ δ F : P dΩ
(7.45)
0
Ω0
alakra, az első tagot pedig a Gauss-tétel és a peremekre előírt feltételek segítségével
módosítjuk 97 :
0 0
δu ⋅n ⋅ P dΓ 0
+ δu ⋅ n ⋅P
dΓ0
. (7.46)
∫
Γ 0
∫
0
Γb
0
Itt a második tag a folytonossági feltétel miatt zérus (
n ⋅ P = 0 ), az elsőt pedig tovább
finomíthatjuk, ha a virtuális elmozdulásmező egyes peremrészeken való zérus értékét is
figyelembe vesszük:
Γ 0
0
u n P d
ndim .
0
0 ∑ ( u e
i
)(ei ti
) d
0
i=
1 0
Γt i
∫ δ ⋅ ⋅ Γ = ∫ δ ⋅ ⋅ Γ . (7.47)
(7.47)-ben a peremfeltételeket részekre osztottuk: n
dim.
a feladat dimenziószámát jelenti,
térbeli esetben például 3. Figyelembe véve az átalakításokat – és rendezve az egyes tagokat –
a tétel (előjelváltással) az alábbi formában adható meg:
∫
0
δF : P dΩ − ρ δu⋅b
dΩ − δu ⋅ e )(e ⋅ t ) dΓ
+ δu
⋅ ρ a Ω = 0. (7.48)
T
0 0 0
Ω0 Ω0
∫
3
∑ ∫ (
i i i 0 ∫ 0
d
0
i= 1 Γ
0
Ω0
ti
Ez az egyenlet az előbb bemutatott mechanikai egyenletek úgynevezett gyenge alakja, a
mechanikában a virtuális munkák tétele néven ismert. Az első tagot belső-, a második és
harmadik tagot külső-, az utolsó (negyedik) tagot pedig kinetikus virtuális munkának
nevezik.
Az alapegyenletek „gyenge” változata Euler-féle leírásmódban
A variációs alak előállítása nagyon hasonló az előzőhöz, a különbség alapvetően az, hogy a
variálandó próbafüggvényt most nem az elmozdulások, hanem a sebességek szolgáltatják.
A kiindulási egyenlet most is az impulzus- tétel, ezt szorozzuk a virtuális sebességekkel és
integráljuk az egész (pillanatnyi helyzethez tartozó) tartományon:
∫
⎛ ∂σ
⎞
ji
δ vi + ρbi − ρvi
dΩ = 0
⎜
∂x
& ⎟
. (7.49)
Ω ⎝ j ⎠
Alakítsuk át az első tagot:
∫ ∂σ ⎡
ji ∂ ∂ ( δvi
) ⎤
δvi dΩ = ⎢ ( δviσ ji ) − σ
ji ⎥ dΩ
∂x ∫ j
∂x j
∂x
. (7.50)
Ω
Ω ⎢⎣
j ⎥⎦
A jobb oldali integrálban szereplő első tagot tovább alakítjuk a Gauss-tétel, valamint a
perem- illetve folytonossági feltételek segítségével:
∂
( δ vi σ
ji ) d Ω = δ v i
n
j σ ∫ ji
d Γ + δ vin j σ
jid
Γ
∂x
∫ ∫ . (7.51)
Ω j
Γb
Γ
∫ gi,
idΩ = ∫ ni gidΓ + ∫ ni gi
dΓ
.
Ω Γ Γb
97
Emlékeztetőül a (folytonossági feltétellel bővített) Gauss-tétel:
10.06.20. 104

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
A jobb oldal első tagja a folytonossági feltétel miatt zérus. A második integrálnál
kihasználjuk az előírt terheléseket, így:
ndim .
∂
∫ ( δviσ ji ) dΩ = ∑ δvi ti
dΓ
∂
∫ . (7.52)
Ω
x
j
i=
1 Γt i
Ha ezt most visszahelyettesítjük az átalakítás első lépésébe, akkor a következő eredményre
jutunk:
n
∂σ
dim.
ji
∂ ( δvi
)
∫ δvi dΩ = ∑ δvi ti dΓ − σ
ji
dΩ
∂x
∫ ∫ . (7.53)
∂x
Ω j
i=
Γt i
Ω
Visszaírva ezt is az impulzus-tételre épülő integrálba, az eredmény:
ndim.
∂ ( δvi
)
σ
ji
dΩ − δvi ρbi dΩ − ∑ δvi ti dΓ + δvi ρv idΩ = 0
∂
∫ ∫ ∫ ∫
& . (7.54)
x
Ω j
Ω i=
1 Γt i
Ω
Ezt az egyenletet hívják a mechanikában a virtuális teljesítmények elvének. Hangsúlyozzuk,
hogy az előbb bemutatott, virtuális munkát leíró egyenlettel együtt ez a kifejezés is
nélkülözhetetlen lesz a nemlineáris feladatok végeselemes vizsgálatánál!
Az integrál első tagját belső-, második és harmadik tagját külső-, utolsó tagját pedig
kinetikus teljesítménynek nevezik a mechanikában.
7.1 Példa
A gyenge alak Lagrange-rendszerbeli felvételének illusztráló példájaként vizsgáljunk meg
egy 1D feladatot és vezessük le ott a variációs változatot.
Ebben az esetben a mozgásmennyiség skalár változókkal felírt egyenlete a következő
kifejezés lesz (a képletben A
0
a kezdeti állapothoz tartozó keresztmetszeti felület):
( )
A P A b A u&& .
0
+ ρ
, 0 0
−ρ
0 0
= 0
X
Perem-, kezdeti és folytonossági feltételek:
0 0
a./ peremfeltételek: u( X , t) = u( X , t) , X ∈Γ
u
, n P = tx , X ∈Γ
t
,
b./ kezdeti feltételek (az egész tartományra vonatkoznak):
u0( X ), v0
( X ) , vagy v0 ( X ), P0
( X ) .
Megjegyezzük, hogy a kezdeti feltételekhez tartozó függvények Γt
− n illetve Γu
− n
kielégítik a peremfeltételeket.
c./ folytonossági feltétel: A0 P= 0 , X ∈ ( X
a, X
b)
, ahol „a” és „b” az 1D feladat
perempontjai.
A variációs feladat:
Xb
( 0 , X 0 0 0 0 )
∫ δ u ( A P) + ρ A b −ρ A u&& dX = 0 .
X a
Xb X b Xb
∂
δ u A P dX = δu A P dX − δu A P dX
∫ ∫ ∫ .
Az első tag átalakítása: ( )
( )
0 , X
0 , X 0
∂X
X a X a X a
A jobb oldalon szereplő két tagból az első tovább alakítható:
δu A P − δ u A P .
( ) ( )
0 X
0
b
X a
j
10.06.20. 105

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Itt a második tagban szereplő δ u a
0
( u A0 P) ( u A0
tx
)
Xb
Γ
u
határon zérus. Az első tag átalakítva:
δ = δ .
Végül a gyenge alak a behelyettesítések elvégzése után:
Xb
X a
0
( u
X
A P u A u u A b) dX ( u A tx
)
∫ δ + δ ρ && −δ ρ − δ = .
10.06.20. 106
Γt
, 0 0 0 0 0 0
0
Γt
Az alapegyenletek szilárd testek, kis alakváltozások, rugalmas anyagok és
kvázi-statikus terhelés esetén
Ez a fajta speciális csoportosítás jelentős egyszerűsítés az előző teljesen általános
változatokhoz képest, gyakorlati fontossága miatt azonban kiemelt figyelmet érdemel.
a./ A tömegmaradás egyenlete:
A Lagrange-koordinátákkal kifejezett változat ebben az esetben a ρ=ρ0
alakra
redukálódik, s így a továbbiakban nincs kitüntetett szerepe a számításokban.
b./ A mozgásmennyiség egyenlete:
A terhek kvázistatikus jellege és a tehetetlenségi erők elhanyagolhatósága miatt az
egyenlet a
σ⋅∇
+ρ b =0
(7.55)
formában adható meg. Ezt az egyenletet a mechanikában egyensúlyi, vagy más
néven Cauchy-egyenletnek nevezik. Skalár alakban három parciális
differenciálegyenlettel adható meg.
Fontossága miatt megadjuk ezek részletes értékét:
∂σ
∂τ
x xy ∂τ
⎫
xz
+ + + ρ bx
= 0 ⎪
∂x ∂y ∂z
⎪
∂τyx ∂σy ∂τ
yz ⎪
+ + + ρ by
= 0⎬
⇒ Sσ + g = 0 . (7.56)
∂x ∂y ∂z
⎪
∂τ
∂τ
zx zy ∂σ
⎪
z
+ + + ρ bz
= 0 ⎪
∂x ∂y ∂z
⎪⎭
A skalár egyenletek után a numerikus számítások céljára hasznos lineáris algebrai
alakban is megfogalmaztuk az egyenleteket.
Itt S egy 3× 6 méretű, differenciálási utasításokat tartalmazó operátor-mátrix, σ a
feszültségtenzor 6 független elemét Voigt szerinti rendben tartalmazó vektor, g pedig
a tömegerők vektora, elemeit a sűrűség és a fajlagos tömegerők szorzatából számítjuk.
Azokat a feszültségmezőket, melyek kielégítik ezeket az egyenleteket - továbbá
megfelelnek az adott feladathoz tartozó statikai peremfeltételeknek -, a mechanikában
statikailag lehetséges feszültségeknek nevezzük.
Megjegyezzük, hogy ezeket az egyenleteket egy elemi hasáb egyensúlyának
vizsgálatából is levezethetjük, lásd az alábbi ábra vázlatát:

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
7.1. ábra: 3D egyensúly vizsgálata az elemi hasábon
Az „x” irányú vetületösszegből az első, az „y” irányúból a második, a „z” irányúból
pedig a harmadik egyenlet adódik a megfelelő egyszerűsítések után.
Illusztrálásul bemutatjuk egy vetületi egyenlet számítását:
∂σ
∂τ
x
xy ∂τ
xz
∑
F ix
= 0 ⇒ dx dy dz + dy dx dz + dz dx dy + g x
dx dy dz
=
0,
∂x
∂y
∂z
∂
σ ∂τ
∂
τ
∂ x ∂ y ∂
z
x xy
xz
⇒ + + +
x
=
g
0.
Megjegyezzük, hogy a feszültségtenzor szimmetrikus jellegét igazoló számítás most
egyszerű nyomatéki egyensúly felhasználásával is ellenőrizhető. Ismét bemutatunk
egy példát az egyik nyírófeszültségi pár vizsgálatára:
10.06.20.
107

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
∑
M
ix
= 0 =
dz dy ⎛ ∂σ y ⎞ dz ⎛ ∂τ yz ⎞ dy
= g ydxdydz − g zdxdydz + ⎜ σ y + dy ⎟ dxdz − ⎜ τ yz + dy ⎟ dxdz
2 2 ⎝ ∂y
⎠ 2 ⎝ ∂y
⎠ 2
dz ⎛ ∂σ z ⎞ dy ⎛ ∂τ zy ⎞ dz dy
−σ ydxdz − z dz dxdy zy dz dxdy zdxdy
2
⎜σ +
z
⎟ + ⎜ τ + ⎟ + σ +
⎝ ∂ ⎠ 2 ⎝ ∂z
⎠ 2 2
dy dz ⎛ ∂τ xz ⎞ dy ⎛ ∂τ xy ⎞ dz
τxzdzdy − τxydzdy − τ xz + dx dzdy +
2 2
⎜
∂x
⎟ ⎜ τ xy + dx ⎟ dxdy −
⎝
⎠ 2 ⎝ ∂x
⎠ 2
−τ dxdydz + τ dxdydz = 0 ⇒ τ = τ .
yz zy yz zy
c./ Az energiamérleg egyenlete:
Amint azt az ötödik előadásban láttuk, a jelenlegi feltételek esetén (ez megfelel az
izentróp deformációnak és a hőmérsékleti hatások elhanyagolásának) az
energiamérleg egyenletéből a
σ :
ε & =
∂W
∂W
⋅ ε & ⇒ σ
=
∂
ε
∂
ε
(7.57)
hiperelasztikus anyagmodell következik. Ez adja meg jelen esetben a feszültségek
és alakváltozások kapcsolatát leíró kapcsolati (vagy más néven fizikai) egyenleteket.
d./ Geometriai egyenletek:
Ezek az egyenletek az alakváltozások és az elmozdulások kapcsolatát írják le. Az
előzőekben azért nem említettük őket külön, mert a különböző alakváltozás tenzorok
bevezetésekor (második hét, illetve a henger- és polárkoordinátás változat a
harmadik hét előadásában,) ezt már megtettük. Most megismételjük a kis
alakváltozások definíciójára derékszögű koordinátarendszerben már egyszer
megadott összefüggéseket:
⎡
1 1
∂u 1 ⎛ ∂u ∂v ⎞ 1 ∂u ∂w
⎤
⎡ ⎤
⎛ ⎞
⎢
⎜ + ⎟ ⎜ + ⎟⎥
⎢ ε
x
γ
x y
γ
x z
2 2 ⎥ ⎢ ∂x 2 ⎝ ∂y ∂x ⎠ 2 ⎝ ∂z ∂x
⎠⎥
⎢ ⎥
1 1 ⎢ 1 ⎛ ∂v ∂u ⎞ ∂v 1 ⎛ ∂v ∂w
⎞⎥
ε = ⎢ γ
y x
ε
y
γ ⎥
y z
= ⎢ ⎜ + ⎟ ⎜ + ⎟⎥
. (7.58)
⎢ 2 2 ⎥ ⎢ 2 ⎝ ∂x ∂y ⎠ ∂y 2 ⎝ ∂z ∂y
⎠⎥
⎢
1 1
⎥ ⎢ ⎥
⎢ γ 1 w u 1 w v w
z x
γ ⎥ ⎛ ∂ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ∂ ⎞ ∂
z y
ε
z ⎢
⎥
⎣⎢ 2 2 ⎦⎥ ⎜ + ⎟ ⎜ +
⎢ ⎟
⎣2 ⎝ ∂x ∂z ⎠ 2 ⎝ ∂y ∂z ⎠ ∂z
⎥
⎦
A geometria egyenletek ebben az esetben tehát a hat darab független alakváltozáskomponenst
kapcsolják össze a három elmozdulás-függvénnyel a differenciálási
utasítások segítségével.
Szokás a geometriai egyenleteket is mátrix-egyenlet segítségével megadni:
ε = L u , (7.59)
ahol az ε vektor az alakváltozástenzor hat független elemét tartalmazza (Voigt
előírásainak megfelelően rendezve), u az elmozdulások vektora, L pedig egy 6× 3-
10.06.20. 108

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
as, differenciálási utasításokat tartalmazó mátrix. Elemei közvetlen kapcsolatban
vannak a Cauchy-egyenletnél megadott S mátrixszal:
T
S
= L . (7.60)
Azokat az (általánosított) alakváltozás-mezőket, amelyek megfelelnek a geometriai
egyenletekben megadott kapcsolati előírásoknak - és emellett kielégítik az adott
feladat elmozdulási peremfeltételeit -, geometriailag lehetséges alakváltozásoknak
nevezzük.
Egyensúlyi egyenletek polárkoordináta-rendszerben
Az x,y,z rendszerben felírt egyensúlyi egyenleteket transzformációs összefüggésekkel is
átalakíthatjuk polárkoordinátás változattá. Egyszerűen felírhatjuk azonban őket vetületi
egyenletek felhasználásával is. Például az ábra jelöléseit felhasználva (kétdimenziós esetben)
egyszerűen megadható a sugárirányú vetületi egyenlet:
7.2. ábra: Az egyensúly vizsgálata poláris koordináta-rendszerben
⎛ ∂σ
r ⎞
⎛ ∂σ
Θ ⎞ dΘ
dΘ
⎜σr + dr⎟(
r + dr)
dΘ − σrr dΘ − ⎜σΘ
+ dΘ⎟dr
sin − σΘdr
sin + (7.61)
⎝ ∂r
⎠
⎝ ∂Θ ⎠ 2
2
⎛ ∂τr
Θ ⎞ dΘ dΘ
+ ⎜ τ
r Θ
+ dΘ⎟
dr cos − τ
r Θdr cos + Fr
r dr dΘ = 0 .
⎝ ∂Θ ⎠ 2 2
dΘ
d
Figyelembe véve, hogy kis szögeknél: sin
Θ d
⇒ , cos
Θ ⇒1, továbbá elhanyagolva a
2 2 2
magasabbrendűen kicsiny tagokat, az egyenlet egyszerűsíthető. Ugyanígy felírható a sugárra
merőleges vetületi egyenlet is, és így végül a két egyensúlyi feltétel az alábbi formában
adható meg:
∂σ
1 ∂τ
r r Θ σ
r
−σΘ
+ + + Fr
= 0 , (7.62)
∂r
r ∂Θ r
1 ∂σ ∂τ 2τ
Θ r Θ r Θ
+ + + FΘ
= 0 . (7.63)
r ∂Θ ∂r
r
10.06.20. 109

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Egyensúlyi egyenletek hengerkoordináta-rendszerben
A kétdimenziós polárkoordináta-rendszerhez hasonlóan írható fel mindhárom egyensúlyi
egyenlet (a hengerkoordináta-rendszer megegyezik a harmadik előadáson bemutatottal):
∂σ
∂r
∂τ
r
r Θ
∂r
∂τ
r z
∂r
Kompatibilitási egyenletek
1 ∂τr
Θ ∂τ z r σr
− σΘ
+ + + + Fr
= 0 ,
r ∂Θ ∂z
r
(7.64)
1 ∂σ ∂τ 2τ
Θ z Θ r Θ
+ + + + FΘ
= 0 ,
r ∂Θ ∂ z r
(7.65)
1 ∂τ
Θ z ∂σ τ
z r z
+ + + + Fz
= 0 .
r ∂Θ ∂ z r
(7.66)
A kompatibilitási egyenleteket is bemutattuk már az alakváltozásoknál (a geometriai
egyenletekből származtatjuk őket az elmozdulás-komponensek kiküszöbölésével).
Ismétlésül a hat kompatibilitási egyenlet:
2 2 2
∂ εxy ∂ εy ∂ εx
2 = +
2 2
∂x∂y ∂x ∂y
2 2 2
∂ εyz
∂ ε ∂ ε
z
2 = +
2 2
∂y∂z ∂y ∂z
2 2 2
∂ εzx ∂ εx ∂ εz
2 = +
2 2
∂z∂x ∂z ∂x
2
2
∂ ⎡∂ε y z
∂ε
z x
∂ε ⎤ ⎡
x y
∂εz x
∂ε
z
z y
∂ε ⎤
y z ∂ ε ∂
∂ εx
+ − = , + − = ,
∂z ⎢ x y z ⎥ x y x ⎢ y z x ⎥
⎣ ∂ ∂ ∂ ⎦ ∂ ∂ ∂ ⎣ ∂ ∂ ∂ ⎦ ∂y ∂z
2
∂ ⎡∂εx y
∂ε
y z
∂ε ⎤
z x
∂ ε
y
+ − = .
∂y ⎢ z x y ⎥
⎣ ∂ ∂ ∂ ⎦ ∂z ∂x
Megjegyezzük, hogy a most bemutatott alak nem pontosan ugyanaz, mint amit az
alakváltozások tárgyalásakor felírtunk. Gyakorlásul most az alakváltozástenzor jelöléseit
használtuk, és ebben az esetben a szögtorzulásoknál egy kettes szorzót kell mindig
figyelembe venni!
y
. (7.67)
A mechanika különböző megoldási technikáinál (lásd a következő előadások anyagát) ezek
az összefüggések fontos kiindulási eszközül szolgálnak.
A kompatibilitási egyenletek hengerkoordináta-rendszerben is felírhatók:
2
1 ∂ γ z Θ 1
−
2
r ∂ z ∂Θ r
∂
2
ε z
2
∂Θ
2
εΘ
2
∂
−
∂ z
1 ∂γ r
+
r ∂ z
z
1 ∂ε z
−
r ∂r
= 0,
∂
2
γ
r z
∂ r ∂ z
2
εr
2
∂
−
∂ z
2
ε z
2
∂
−
∂ r
= 0 ,
(7.68)
2
2
1 ∂ γ Θ r ∂ ε
−
r ∂Θ∂ r ∂ r
Θ
2
1
−
2
r
∂
2
εr
2
∂Θ
1 ∂ε r
+
r ∂ r
1
+
2
r
∂γ
r Θ
∂Θ
2 ∂ε
−
r ∂ r
Θ
= 0 ,
10.06.20. 110

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
2
1 ∂ ε z
−
r ∂ r∂Θ
2
1 ∂ ε r
−
r ∂Θ∂ z
2
∂ ε Θ
−
∂ z ∂r
1
2
1
2r
1
2
⎛ 1 ∂γ z r ∂γ Θ z ∂γ Θ r ⎞ 1 ∂γ Θ z 1 ∂ε
⎜
⎟
z
+ −
+ − = 0 ,
2
z ⎝ r ∂Θ ∂ r ∂ z ⎠ 2r
∂z
r ∂Θ
⎛ ∂γ Θ r 1 ∂γ z r ∂γ z Θ ⎞ 1 ∂γ 1 ∂γ 1
⎜
⎟
rΘ
zΘ
+ −
− + −
2
r ⎝ ∂ z r ∂Θ ∂r
⎠ r ∂z
2r
∂r
2r
γ z Θ = 0 ,
⎛ ∂γ Θ z ∂γ r Θ 1 ∂γ r z ⎞ 1 ∂γ Θ z 1 ∂
⎜
⎟
+ −
− − ( ε
2
r
⎝ ∂r
∂ z r ∂Θ ⎠ 2r
∂Θ r ∂z
− εΘ
) = 0 .
∂
∂
∂
∂
∂
∂Θ
A polárkoordinátás (síkbeli) változat lényegesen egyszerűbb (lásd az előző egyenletcsoport
harmadik egyenletét):
2
2
2
∂ ε
∂ γ ∂γ
Θ 1 ∂ ε
r 2 ∂ε
Θ 1 ∂ε
r 1 r Θ 1 r Θ
+ + − = + . (7.69)
2 2 2
2
∂r
r ∂Θ r ∂r
r ∂r
r ∂r
∂Θ r ∂Θ
Felhasznált irodalom:
1./ Kaliszky S. – Kurutzné K. M. – Szilágyi Gy.: Szilárdságtan, Egyetemi Tankönyv, 2000.
2./ Fung: Foundation of Solid Mechanics, Prentice Hall, 1965, 1994.
3./ Belytschko, T. – Liu, W.K. – Moran, B. : Nonlinear finite elements for continua and structures,
John Wiley, 2000.
4./ Bezuhov, N. I. : Bevezetés a rugalmasságtanba és a képlékenységtanba, Tankönyvkiadó,1952.
10.06.20. 111

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
8. Előadás: Munkatételek 98 , felcserélhetőségi tételek
Ismétlés
A különböző típusú munkafogalmak definiálását illetve a hozzájuk kapcsolódó munkatételek
(virtuális 99 erők és elmozdulások tétele) megfogalmazását a BSc Szilárdságtan tárgy már
megtette. Emlékeztetőül a (kis alakváltozású rendszerekre) már korábban felírt két tétel (a
koncentrált dinámok hatását a továbbiakban az egyszerűség kedvéért elhagyjuk):
a./ Virtuális elmozdulások tétele:
Egy erőrendszer akkor és csakis akkor statikailag lehetséges, ha bármely virtuális
elmozdulás-rendszeren végzett munkája zérus. Más megfogalmazásban:
egyensúlyban levő erőrendszer által végzett virtuális munkák összege zérus:
δ W = δ Wk
+ δ Wb
= 0 , (8.1)
ahol
δ W = t ⋅δ u dA + g ⋅δ u dV , g = ρb
k
∫ ∫ (külső virtuális munka), (8.2)
St
V
δ W
b
= − ∫
σ : δ ε dV (belső virtuális munka). (8.3)
V
A virtuális elmozdulások tétele az erőrendszerek egyensúlyának szükséges és
elégséges feltétele. A tétel bármilyen anyagú szilárd testre érvényes. Az
egyenletekben t a felületi, g pedig a térfogati erőket jelenti.
b./ Virtuális erők tétele:
Egy elmozdulás-rendszer akkor és csakis akkor geometriailag lehetséges, ha bármely
virtuális erőrendszeren végzett kiegészítő munkája zérus. Más megfogalmazásban:
98 A „mechanikai munka” elnevezést először Gaspard-Gustave de Coriolis (1792 – 1843) francia
matematikus és gépészmérnök használta (Coriolis: „Calcul de l'Effet des Machines”, Párizs, 1829).
99 A „Függelék”-ben rövid összefoglaló olvasható a variációszámítás alapvető definícióiról illetve a
virtuális elmozduláshoz kapcsolódó kommentárokról. Javasoljuk ennek tanulmányozását.
10.06.20. 112

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
kompatibilis elmozdulásrendszer által végzett virtuális kiegészítő munkák összege
zérus:
δ W = δ W k
+ δ W b
= 0 (8.4)
ahol
δ W% = u ⋅δ t dA + u ⋅δ g dV , g = ρb
(külső virtuális kiegészítő munka), (8.5)
k
∫
St
∫
V
δ W% = − ε : δσ
dV (belső virtuális kiegészítő munka). (8.6)
b
∫
V
A virtuális erők tétele az elmozdulások és alakváltozások kompatibilitásának
szükséges és elégséges feltétele. Bármilyen anyagú szilárd testre érvényes, amely kis
elmozdulást végez.
Nagy alakváltozások esetén a virtuális elmozdulások tétele mechanikai jelentését tekintve
nem, de egyes változóit tekintve formálisan módosul. A módosítás attól függ, hogy
Lagrange-, vagy Euler-rendszerben írjuk fel az alapvető egyenleteket.
A virtuális elmozdulások tétele 100 Euler-bázisban
Az előző előadásban az alapvető egyenletek erős és gyenge alakjának elemzésekor
bemutattuk, hogy az Euler-bázisban a megmaradási egyenletekből a virtuális teljesítmények
elvének nevezett variációs elvhez jutunk. Ez az elv a nemlineáris végeselemes számításoknál
kiválóan megfelel az igen gyors változásokkal járó áramlástani feladatok (folyadékok, gázok)
vizsgálatánál. Olyan – szilárd testeket vizsgáló – mechanikai feladatoknál azonban, ahol
mindenképpen szükséges az Euler-féle leírásmód (például nagyon nagy alakváltozásokkal –
gyűrődésekkel – járó terhelések vizsgálatakor), előnyösebb az impulzus-megmaradási
feltételből kiinduló átalakítást nem a sebességmező, hanem az elmozdulásmező variálásával
végrehajtani, és így a – Lagrange-leírásmódnál is felhasznált – virtuális munkák tételét
létrehozni ebben a bázisban. Ennek az átalakítás-variációnak nincs elvi akadálya, hiszen a
variációs feladat létrehozásánál nincs semmilyen megkötés a tesztfüggvény típusára.
Bár a virtuális elmozdulások elméleti alapjaival már a BSc Szilárdságtanban részletesen
foglalkoztunk, most tekintsük át újból a fontosabb jellemzőket, illetve azokat a
sajátosságokat, amelyek a nagy változások leírásmódjához kapcsolódnak.
100 A virtuális elmozdulások tételét elsőként a kiváló svájci matematikusok, Johann Bernoulli (1667
– 1748) és fia, Daniel Bernoulli (1700 – 1782) fogalmazták meg. Johann Bernoulli a francia Pierre
Varignon-nak írt, 1715. február 26-i keltezésű levelében írt először virtuális elmozdulásrendszerekről
és azok mechanikai alkalmazásairól (Varignon: „Nouvelle Mécanique”, Vol. 2, pp.
174, Párizs,1725). Fia főleg a variációs elv alkalmazásaival járult hozzá a módszer
népszerűsítéséhez. Ő hívta fel egyébként Euler figyelmét erre a mechanikai modellezési lehetőségre.
Megjegyezzük, hogy magát a „virtuális elmozdulás” elnevezést először Lagrange (róla lásd az első
előadás 4. lábjegyzetét) használta (Lagrange: „Mecanique Analytique”, 1788, Párizs).
10.06.20. 113

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
8.1. ábra: Kezdeti és pillanatnyi konfiguráció
Magának a virtuális elmozdulásnak a definíciója nem változik a nemlineáris feldatok
esetében sem. A (8.1) ábrán látható kezdeti és pillanatnyi (de időben rögzített!) konfigurációt
felhasználva a pillanatnyi konfiguráció kicsiny megváltoztatásával állítjuk elő a virtuális
elmozdulásrendszert:
)
δ u = u − u = εw
, (8.7)
ahol ε kicsiny, nullához tartó paraméter. Írjuk fel most az elmozdulás-variáció gradiensszámításához
szükséges alapvető képleteket:
) )
∇ δ u = ∇u −∇u, δ ∇ u = ∇u −∇u ⇒ δ ∇ u = ∇ δu
.
(8.8)
( ) ( ) ( ) ( )
Ha figyelembe vesszük 101 , hogy
∇ u = ∇ uF
⇔
∂ui ∂ui
=
akkor ( ) ( )
0
0
F
−1 −1
k j
∂x
j
∂X
k
∂δui ∂δui
∇ δ u = ∇ δu F ⇔ = F
−1 −1
k j
∂x
j
∂X
k
, (8.9)
. (8.10)
A mechanikai feladatoknál szükség lehet a deformációgradiens-tenzor, illetve az adott bázis
jellemzőjének tartott alakváltozás-tenzor (jelen esetben az Almansi-Hamel-féle tenzor)
variációjának ismeretére is. Írjuk fel most ezeket 102 :
( ) ( u
-1 −1 ∂ δui
−1 −1
j )
δ F = ∇0 ( δu) , δ F = −F ∇( δu)
⇔ δ Fi k
= , δ Fk i
= −F
∂ δ
k j
. (8.11)
∂X
k
∂xi
Az Almansi-Hamel-tenzor variációjának számítását megkönnyíti a Green-Lagrange-féle
alakváltozástenzor variációjának ismerete. Számítsuk ki először ezt 103 :
1 T T 1 T
T
T
δ E = ⎡ ( F ) F F F⎤
⎡( F
0( u) ) F
0( u)
⎤
2 ⎣
δ + δ
⎦
= ∇ δ + ∇ δ
2 ⎢⎣ ⎥⎦ , (8.12)
majd ennek felhasználásával az Almansi-Hamel-tenzort:
101 A fontosabb képleteket indexes alakban is megadjuk. Emlékeztetőül a vektormezőkre – általunk
használt – gradiens definíció: grad u ( )
= ∇ ⊗ (lásd a Függelék vonatkozó részét).
u T
102 −
A második képlethez: ( 1 −
) 1 − 1 − 1 − 1 −
F F I F F FF F ( u) F 1 −
F 1
( u)
δ − ⇒ δ = − δ = − ∇ δ = − ∇ δ .
103 1 ⎛ ∂uk
Ezt is felírjuk indexes változatban: δ E = F + F
2 ⎜
⎝ ∂X
i
i j k j k i
10.06.20. 114
∂u
∂X
k
j
0
⎞
.
⎟
⎠

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
T
T
( ( 0( ))
0( ) )
1
2
. (8.13)
1 T 1 ⎛ ∂δu
j ∂δu
⎞
i
= (( ∇( δ u)
) + ∇( δu)
) ⇔ δ ei j
= +
2 2 ⎜
∂xi
∂x
⎟
⎝
j ⎠
−T
−1 − −1
δ e = F δ EF = F ∇ δ u + ∇ δ u F =
Az alapvető variációs változatok megadása után a gyenge alak felírásához ugyanazokat a
lépéseket hajtjuk végre, mint az előző előadásban a virtuális teljesítmény elvének
megfogalmazásakor, de ahogy a bevezetőben említettük, most nem sebesség, hanem
elmozdulás-variációt alkalmazunk. Megjegyezzük, hogy a vizsgált pillanatnyi
konfigurációhoz tartozó perem- és kezdeti feltételek 104 ugyanazok, mint amiket a
korábbiakban alkalmaztunk:
Peremfeltételek: u = u az Su
tartományon, t = t az St
tartományon.
Kezdeti feltételek (nulla időpontban a tartomány egészére vonatkoznak):
u x , t = u X , u& x , t = u& X .
( ) ( ) ( ) ( )
t= 0 0 t=
0 0
Nem ismételjük meg harmadszor is a mozgásmennyiség megmaradási tételére épülő
átalakítás-sorozatot, csak a végeredményt adjuk meg ( g = ρ b ):
∫
( ) ( )
⎡⎣
σ : ∇ δu − g − ρu && ⋅δu⎤⎦
dV − t ⋅δ u dS = 0 . (8.14)
V S t
Ez az egyenlet tovább finomítható, ha az elmozdulás-variáció gradiense helyett az Almansi-
Hamel-féle alakváltozás-tenzor variációjának értékét írjuk be a képletbe 105 :
⎡⎣
σ : δe − ( g − ρu && ) ⋅δu⎤⎦
dV − t ⋅δ u dS = 0 . (8.15)
∫
V S t
Ez a kifejezés az Euler-bázisban megfogalmazott virtuális munkatétel, vagy más néven a
nagy változásokat leíró pillanatnyi konfigurációra vonatkozó virtuális elmozdulások
tétele. A kis elmozdulásoknál felírt változathoz hasonlóan ez a megfogalmazás is független
az anyagi viselkedéstől, tehát bármilyen anyag esetében alkalmazható.
A virtuális elmozdulások tétele Lagrange-rendszerben
Lagrange-rendszerben már az előző fejezetben megadtunk egy lehetséges felírási módot.
Most az előírt felületi erők alakját kicsit egyszerűsítjük egyetlen formális integrállá, és a
néhány sorral korábban az Euler-rendszerre jellemző alakot használjuk a könnyebb
összehasonlíthatóság végett:
T
⎣
⎡P : δF − ( g0 − ρ0u && ) ⋅δu⎦
⎤ dV0 − t0 ⋅δ u dS0
= 0 . (8.16)
∫
V0 St0
Ugyanez az egyenlet a második Piola-Kirchhoff-féle feszültségtenzor segítségével is
megadható 106 :
⎡⎣
S : δE − ( g0 − ρ0u && ) ⋅δu⎤⎦
dV0 − t0 ⋅δ u dS0
= 0
(8.17)
∫
V0 S t 0
∫
∫
∫
∫
104 Kezdeti feltételeknek most elmozdulási és sebesség-értékeket választottunk.
105 A (8.14)-es egyenlet átalakításánál figyelembe vettük az elmozdulásgradiens-tenzor szimmetrikus
és antimetrikus tenzorok összegére való felbonthatóságát, továbbá azt a tényt, hogy a szimmetrikus
Cauchy-féle feszültségtenzornak az antimetrikus tenzorral való kétpont-szorzata zérus.
106 A transzformáció az első Piola-Kirchoff-tenzor átalakításából is kiindulhat, de felhasználhatjuk a
σ : δ e dV = S : δ E dV0
összefüggést is, közvetlenül az Euler-féle alakból kiindulva.
10.06.20. 115

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
ahol S a második Piola-Kirchhoff-féle feszültség-, E pedig a Green-Lagrangealakváltozástenzor.
8. 1 Példa
Vizsgáljuk meg a virtuális elmozdulások tételének segítségével egy tehermentes állapotában
L oldalhosszúságú (homogén, izotrop, lineárisan rugalmas anyagú) kocka triaxiális terhelés
hatására kialakuló mechanikai állapotát. A felületi terhelés intenzitása a három tengely
irányában p , p és p
1 2 3
, az új (egyelőre ismeretlen) oldalhosszakat jelöljük η L L és
1
, η2
η3L
-lel. A változások tetszőlegesen nagyok lehetnek.
A tömeg- és tehetetlenségi erőket elhanyagoljuk, az anyagállandókat (E, G, ν ) ismerjük. A
tételt most Lagrange-rendszerben írjuk fel.
A mozgásokat leíró alapegyenletek és a kezdeti feltételek:
x
u
= η1
X
1, x2
= η2
X
2
, x3
=η3
X
3
⇒ u1
= x1
− X
1,
u2
= x2
− X
2
u3
= x3
− X
3
= ( η −1)
X , u = ( η −1)
X , u = ( η −1
X .
1
,
1 1 1 2 2 2 3 3
)
3
⇒
8.2. ábra:
A kocka térfogatváltozása
u
1
( X
1
= 0) = 0, u2
( X
2
= 0) = 0, u3
( X
3
= 0) = 0.
Számítsuk ki először a mozgásegyenletek segítségével a Green-Lagrange
alakváltozás tenzor elemeit (megjegyezzük, hogy a főértékek most megegyeznek a
nemzérus komponensekkel) :
1 2
1 2
1
E ( 1),
( 1),
(
2
11
= E1
= η1
− E22
= E2
= η2
− E33
= E3
= η3
−1),
2
2
2
E = E = E 0 .
12 23 31
=
A virtuális elmozdulások tételének Lagrange-rendszerben való felírásához a Green-
Lagrange-tenzor mellett még szükségünk van a második Piola-Kirchhoff-tenzor
elemeire. Ezeket a – fizikai tartalmú – Cauchy-feszültségtenzor segítségével írjuk fel:
A gradiens-tenzor és inverze:
10.06.20. 116

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Innen:
⎡ 1 ⎤
⎢ 0 0 ⎥
η1
⎡η1
0 0 ⎤ ⎢
⎥
1
⎢ 1 ⎥
F =
⎢
0
2
0
⎥
, F −
⎢
η
⎥
= ⎢ 0 0 ⎥ , J =η1η 2η3
.
2
0 0
⎢ η ⎥
⎣⎢
η3
⎦⎥
⎢ 1 ⎥
⎢ 0 0 ⎥
⎣ η3
⎦
S = S = η η σ , S = S = η η σ , S = S = η η σ ,
2 3 3 1 1 2
11 1 1 22 2 2 33 3 3
η1 η2 η3
ahol felhasználtuk a korábban levezetett (lásd a negyedik előadást)
1 T
S J F − −
= σ F
összefüggést. Megjegyezzük, hogy most a feladat sajátossága miatt kicsit tömörebben
is kiszámíthatók a második Piola-Kirchhoff-tenzor elemei. Először megadjuk a
jelenlegi helyzetnek megfelelő determináns-számítás másféle változatát:
dV
0
J = = ρ ,
dV0
ρ
majd ezt felhasználva indexes alakban írjuk fel az átváltást:
ρ0 ∂X
∂X
i j
S
ji
= σl k
.
ρ ∂xk
∂xl
A feladat eredménye (elemekre bontva a számításból adódó értékeket):
ρ ⎛ dX ⎞ dV 1 η η
S
⎜ ⎟
2
⎝ ⎠ η
η3η1
η1η2
S
22
= S
2
= σ2
, S33
= S3
= σ3
.
η
η
2
0 1
1 2 3
2 3
11
= S1
= σ1
= = σ
2 1
= σ1
ρ ⎜ dx ⎟
1
dV0
1
η1
η1
2
3
η
η
η
,
Következő lépésként magukat a Cauchy-feszültségeket kell meghatároznunk. Ehhez a
számításához szükségünk lesz az Almansi-Hamel-féle alakváltozás tenzorra is, ez
azonban kifejezhető a Green-Lagrange-féle alakváltozás tenzor segítségével. A
kétféle alakváltozás-tenzor kapcsolatát a gradiens-tenzor felhasználásával lehet
megadni:
1 T
1 -T -1 1 T -T -1
E = ( F ⋅ F - I)
és e = ( I - F ⋅ F ) ⇒ e = ( F ⋅ F - F ⋅ F ) − E .
2
2
2
A deformáció-gradiens tenzort már az előbb felírtuk, így az Almansi-Hamel-tenzor
három nemzérus eleme egyszerűen számítható:
e 1 2 1 1 2 1
11
= e 1
= ( η
2 1
− 1) =
2 1, 22 2
(
2 2
1)
2 2,
2 E e = e = η − =
η1 η1 2η E
2
η2
e 1 2 1
33
= e 3
= ( η
2 3
− 1) =
2 3
2
E .
η3 η3
A Cauchy-tenzor elemeit ezek után a Hooke-féle anyagmodell segítségével kapjuk,
mivel lineárisan rugalmas anyagi viselkedést tételeztünk fel a modellről. A Hookemodell
egyenletei itt is érvényesek, hiszen most az anyagi linearitást a nagy
alakváltozásokra is kiterjesztettük:
E ⎡ ν
⎤ E ⎡ ν
⎤
σ1 =
1
(
1 2 3)
,
2
2
(
1 2 3)
,
1 ⎢
e + e + e + e σ =
1 2
⎥ 1 ⎢
e + e + e + e
+ ν
+ ν 1 2
⎥
⎣ − ν
⎦ ⎣ − ν
⎦
10.06.20. 117

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
E ⎡ ν
⎤
σ
3
=
⎢
e3
+ ( e1
+ e2
+ e3)
1+ ν
⎥ .
⎣ 1−
2ν
⎦
Helyettesítsük be a Cauchy-feszültségekre kapott értékeket a (második) Piola-
Kirchhoff-feszültségek számítására levezetett összefüggésekbe és írjuk be ide az
Almansi-Hamel-féle alakváltozásokra kapott eredményeket is:
η2η3
E ⎡ 1 ν ⎛ 1 1 1 ⎞⎤
S1 = ⎢ E
2 1
+ ⎜ E
2 1
+ E
2 2
+ E
2 3 ⎟⎥
,
η
1
1+ ν ⎣η1 1− 2ν ⎝ η1 η2 η3
⎠⎦
η1η3
E ⎡ 1 ν ⎛ 1 1 1 ⎞⎤
S2 = ⎢ E
2 2
+ ⎜ E
2 1
+ E
2 2
+ E
2 3 ⎟⎥
,
η
2
1+ ν ⎣η2 1− 2ν ⎝ η1 η2 η3
⎠⎦
η2η2
E ⎡ 1 ν ⎛ 1 1 1 ⎞⎤
S3 = ⎢ E
2 3
+ ⎜ E
2 1
+ E
2 2
+ E
2 3 ⎟⎥
.
η
3
1+ ν ⎣η3 1− 2ν ⎝ η1 η2 η3
⎠⎦
Írjuk be most E helyére a nyírási rugalmassági modulust, a Green-Lagrangealakváltozások
helyére pedig azok részletes értékét:
η2η3
G ⎡ 1− ν ⎛ 1 1 ⎞⎤
S1 = ⎢1 + ν − − ν ,
2 ⎜ +
2 2 ⎟⎥
η1 1− 2ν ⎣ η1 ⎝ η2 η3
⎠⎦
η1η3
G ⎡ 1− ν ⎛ 1 1 ⎞⎤
S2 = ⎢1
+ ν − − ν
2 ⎜ +
2 2 ⎟⎥
,
η2 1− 2ν ⎣ η2 ⎝ η1 η3
⎠⎦
S
η η G ⎡ 1− ν ⎛ 1 1
= 1+ ν − − ν +
⎣
⎝
2 1
3 ⎢
2 ⎜ 2 2
η3 1− 2ν η3 η2 η1
⎞⎤
⎟⎥
.
⎠⎦
A belső virtuális munka számításához szükséges kifejezés:
S ⋅δE = S1δ E1 + S2δ E2 + S3δ E3
, ahol δ E1 =η1 δη1 , δ E2 = η2 δη2 , δ E3 = η3 δη
3
.
A teljes térfogati integrál ezek után:
3
−∫ S ⋅δ EdV0 = − ( S1δ E1 + S2δ E2 + S3δE3
) L .
V0
A külső virtuális munka integráljának számításához az alábbi egyenleteket kell
figyelembe venni:
δ u = X δη , δ u = X δη , δ u = X δη ,
1 1 1 2 2 2 3 3 3
q =− p , q =− p , q =− p ,
(1) (2) (3)
1 2 3
A
q = q = −η η p , q = −η η p , q = −η η p .
(1) (1) (2) (3)
0 2 3 1 0 3 1 2 0 1 2 3
A0
A külső virtuális munka ezeknek megfelelően:
(1) (1) (2) (2) (3) (3) 3 (1) (2) (3)
q δ u dA + q δ u dA + q δ u dA = L q δη + q δη + q δη
∫ ∫ ∫
( )
0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 2 0 3
(1) ( 2) (3)
A0 A0 A0
A belső és külső virtuális munka összegének zérus voltát felhasználva:
−S η + q (1) δη + −S η + q (2) δη + −S η + q
(3) δη = .
( ) ( ) ( )
1 1 0 1 2 2 0 2 3 3 0 3
0
Ennek a kifejezésnek bármilyen δη1 , δη2 , δη3
variációra teljesülnie kell, így a három
zárójeles tag zérus voltát felhasználva három független nemlineáris egyenlethez
10.06.20. 118

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
jutunk. Ezekbe helyettesítsük be a II. Piola-Kirchhoff-feszültségekre illetve a felületi
terhekre korábban kapott értékeket:
G ⎡ 1− ν ⎛ 1 1 ⎞⎤
⎢1 + ν − − ν p
2 ⎜ +
2 2 ⎟⎥
= −
1,
1− 2ν ⎣ η1 ⎝ η2 η3
⎠⎦
G ⎡ 1− ν ⎛ 1 1 ⎞⎤
⎢1
+ ν − − ν p
2 ⎜ +
2 2 ⎟⎥
= −
2
,
1− 2ν ⎣ η2 ⎝ η1 η3
⎠⎦
G ⎡ 1− ν ⎛ 1 1 ⎞⎤
⎢1
+ ν − − ν p
2 ⎜ +
2 2 ⎟⎥
= −
3
.
1− 2ν ⎣ η3 ⎝ η2 η1
⎠⎦
Ebből a három ismeretlenes nemlineáris egyenletrendszerből határozható meg a
keresett η 1
, η 2
és η . Megjegyezzük, hogy az egyenletrendszer 1 1 1
3
, és
2 2
η
2
1
η2
η3
ismeretlenjeit x,y és z paraméterekkel helyettesítve ez a feladat lineáris
egyenletrendszerre vezethető vissza. A paraméteres megoldás zárt alakban is
felírható, de nehézkes volta miatt előnyben részesítik a numerikus esetekre
alkalmazott számításokat.
Ha a p1 = p2 = p3
= p hidrosztatikus állapotot vizsgáljuk, akkor η
1
= η
2
= η
3
= η és
így az egyenletrendszer helyett egyetlen kifejezéssel van dolgunk:
1+ ν 1
1
2
1 2 G ⎛ ⎞
⎜ − ⎟ =−
− ν ⎝ η ⎠
p ,
amelynek megoldása:
1
η =
.
1+ 2(1 − 2 ν) p E
Ha a nyírási rugalmassági modulus helyett a K térfogatváltozási modulust 107
használjuk anyagállandónak, akkor az alábbi összefüggéshez jutunk (lásd az alatta
levő 8.3-as ábrát):
p 1 ⎛ 1 ⎞
= −1
2
3K
2
⎜
η
⎟
⎝ ⎠ .
8.3. ábra: A lineáris és a nemlineáris térfogatváltozás összehasonlítása
107 A térfogatváltozási modulus a hidrosztatikus feszültség és térfogatváltozás közötti kapcsolatot
fejezi ki. A rugalmassági modulus és a Poisson-tényező ismeretében a következőképpen számítható:
K = E /(3 − 6 ν ) .
10.06.20. 119

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
8.2. Példa
Az ábrán látható lineáris közelítés úgy értelmezhető, mint az η − ra kapott képlet
sorba fejtett kifejezése szerinti, a magasabb rendű tagokat elhanyagoló vizsgálat:
p ⎡ 3 p ⎤
1 − η= (1 − 2 ν) 1 (1 2 ) ...
E ⎢
− − ν +
⎣ 2 E ⎥
⎦ .
Megjegyezzük, hogy az η = 1 értékhez végtelen nagy térfogatváltozási-modulus és
ν = 0,5 értékű Poisson-tényező tartozik.
Vizsgáljuk meg, hogy hogyan lehet egy 1D nemlineáris feladat végeselemes modellezéséhez
szükséges alapegyenleteket megadni a Lagrange-féle leírásmód alapján
Az 1D szerkezet végeselemes számítását a Lagrange-féle leírásmódnál felírt virtuális
X , X tartományban elhelyezkedő
munkák tétele segítségével végezzük el. Az [ ]
szerkezetet a végeselemes technikában szokásos módon e = 1,..., ne
elemre osztjuk.
Egy elemen m darab csomópontot veszünk fel, így összesen n N csomópontunk lesz.
e
Az I-edik csomópont koordinátáját jelöljük X
I
-vel, az egy elemen belüli , e
⎡
⎣X1 X m
⎤
⎦
tartományt pedig Ω
e
-vel.
a
b
8.4. ábra. Az 1D szerkezet elemekre osztása
Az egyszerűség kedvéért az „1”-es csomópont lesz az előírt elmozdulás perempontja
és az n
N
jelű pont pedig az előírt feszültségeké (megjegyezzük, hogy a végeselemes
technikában szokásos módon ezeket a peremfeltételeket majd csak a modellezés
utolsó fázisában vesszük figyelembe).
Az elmozdulásfüggvény és variációjának szokásos végeselemes közelítése:
nN
u( X , t) = N ( X ) u ( t), δu( X ) = N ( X ) δu
nN
∑ ∑ ,
I I I I
I = 1 I = 1
0
ahol N
I
( X ) a C -folytonos bázisfüggvényeket, uI
( t ) pedig a csomóponti
elmozdulásokat jelöli. A bázisfüggvényeknek most is ki kell elégíteniük az
N ( X ) = δ feltételt. Fontos tudnunk, hogy a csomóponti változók mindig a t
I J I J
paraméter függvényei, még a kvázi-statikus feladatoknál is (t jelentheti a „valódi”
időt, de lehet egy egyszerű monoton növekvő változó, például teherparaméter). Ettől
csak a csomóponti virtuális elmozdulások esetében van eltérés, δ uI
értékei nem
függnek az időtől.
A most bevezetett közelítések segítségével írjuk fel a virtuális munka egyes
komponenseit (az 1D esetre itt felhasznált, nemlineáris hatásokat tartalmazó virtuális
munkatételt korábban már részletesen levezettük!):
10.06.20. 120

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Xb
n X
N
b
nN
b T b
b
= ∫ , X 0
= ∑ I ∫ I , X 0
= ∑ I I
= ,
X
I = 1 I 1
a
X
=
a
δW δu A P dX δu N A P dX δu f δ u f
X
n X
⎛
⎞
δW = δu ρ A b dX + δu A t = δu N ρ A dX + N A t = δ u f
⎜
Γt
⎟
⎠
b
N
b
0 0
T k
∫ 0 0 ( 0 ) ∑ ⎜ ∫ 0 0 ( 0 ) ⎟ ,
k x I I I x
X
I = 1
a
Γ
X
t
⎝ a
Xb
∫
nN
∑
Xb
δ W = δu ρ A uɺɺ dX = δu N ρ A uɺɺ ( t)
N dX = δ u M a =δ u f .
kin 0 0 I I 0 0 J J
X
I= 1 J 1
a
X
=
a
∫
10.06.20. 121
nN
∑
T T kin
A kinetikus virtuális munka képletében szereplő tömegmátrix képlete:
Xb
Xb
T
I J ∫ 0 0 I J ∫ 0 0
.
Xa
Xa
M = ρ A N N dX vagy M = ρ A N N dX
Az a vektor a gyorsulási jellemzőket tartalmazza ( a = uɺɺ). A virtuális munkatétel
képletébe behelyettesítve ezeket az összefüggéseket, a következő egyenletrendszert
kapjuk:
n N
I=
1
b k kin
( )
∑ δuI fI − fI + fI
= 0, ∀δu −ra
.
Ez az egyenlet valóban mindig zérus, hiszen I=1-nél δ u1
zérus a peremfeltételek
miatt, míg a többi csomópontnál a zárójeles kifejezés lesz nulla. Elhagyva a
tetszőleges virtuális elmozdulásfüggvényt, mátrix alakban a következő szemidiszkrét
(a térben diszkrét, az időben azonban folytonos) egyenletrendszert írhatjuk fel:
k
f = f − f = M a .
b
Ezt a kifejezést a mozgás egyenletének hívják a mechanikában, és alapvető
fontosságú a nemlineáris feladat végeselemes vizsgálatában. Az egyenletrendszerben
az előírt elmozdulási peremfeltételt már figyelembe vettük. Matematikai jellegét
tekintve nN
− 1 darab másodrendű közönséges differenciálegyenletből áll,
amelyeknek független változója a t idő- (vagy teher-) paraméter.
Megjegyezzük, hogy a számításokban az M tömegmátrix gyakran nem diagonál (ezt
hívják a mechanikában konzisztens tömegmátrixnak), így a mozgásegyenlet nem
egyezik meg pontosan az f = M a alakú II. Newton-törvénnyel, mivel az I-edik
csomópontnál levő erő is okozhat gyorsulást a J-edik csomópontnál.
Fontos tudnunk, hogy ha a konzisztens tömegmátrix helyett diagonál felépítésű
tömegmátrixot kívánunk használni, akkor a szakirodalomban ajánlott többféle
lehetőség valamelyikét kell választanunk (lásd részletesebben a „Nemlineáris
végeselemmódszer” című MSc tárgy vonatkozó fejezeteit).
A fenti mozgásegyenlethez előírt kezdeti feltételeket legtöbbször a csomóponti
elmozdulás-és sebességváltozók figyelembevételével adjuk meg:
u (0) = u ( X ), ∀I − re, uɺ (0) = uɺ ( X ), ∀I −re
.
I 0 I I 0 I
Megjegyezzük, hogy egy t = 0 pillanatban nyugalomban lévő és deformálatlan testnél
ezek a kezdeti feltételek az u (0) = 0 és uɺ
(0) = 0 ( ∀I −re)
alakot öltik.
I
I
Ha a kezdeti feltételek sokkal bonyolultabbak (például időben változó értékeket írunk
elő), akkor a csomóponti elmozdulások és sebességek értékeinek a kezdeti adatokhoz
történő illesztését a legkisebb négyzetek módszere segítségével külön ki kell

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
8.3 Példa
számítanunk. Ilyenkor az u ( X ) kezdeti adathalmaz és a végeselemes interpolációból
adódó ∑ NI
( X ) uI
(0) értékek különbségének négyzetét minimalizáljuk:
Xb
⎛
2
⎞
∫ I I 0 ⎜∑
0 0
!
⎝
⎟
X I
⎠
a
1
M ( u( 0 ))
= u (0) N ( X ) −u ( X ) ρ A dX = min
2
A sűrűséget hagyományosan azért szokták beépíteni a fenti kifejezésbe, hogy a
tömegmátrixot felhasználhassák a számításban. A minimumfeltételt alkalmazva a
hibára a következőt kapjuk:
Xb
⎡
⎤
∫ NK ( X ) uI (0) NI
( X ) u0( X ) 0
A0
dX 0
⎢∑
.
⎥
X
I
a
∂M
= − ρ =
∂uK
(0)
⎣ ⎦
Ha itt felhasználjuk a tömegmátrix korábbi definícióját, akkor az egyenlet az alábbi
alakra hozható:
Xb
∫ K 0 0 0
.
Xa
M u(0) = g, ahol g = N ( X ) u ( X ) ρ A dX
K
A kezdeti sebességek csomóponti értékeinek illesztését teljesen hasonló módon kell
számítani.
Mivel ennél a példánál az alapvető cél az volt, hogy a virtuális munkatétel
segítségével illusztráljuk a végeselemes módszer használatát, nem térünk ki a
gyakorlati számításoknál gyakrabban alkalmazott technikára, azaz az egy elem
szintjén végzett műveletek végrehajtásának elemzésére. Erre vonatkozóan újból az
előbb említett „Nemlineáris végeselemmódszer” című tárgyra hívjuk fel a figyelmet.
Vizsgáljuk meg, hogy egy általános nemlineáris mechanikai feladatnál hogyan lehet a
számítás iterációs algoritmusát megadni a virtuális elmozdulások tételével.
Tételezzük fel, hogy az egyszerűség kedvéért most is kizárjuk a dinamikus hatásokat,
de egyébként az alakváltozások jelen esetben is tetszőlegesek lehetnek (második
Piola-Kirchhoff feszültségtenzort, Green-Lagrange alakváltozástenzort és Lagrange
leírásmódot használunk).
10.06.20. 122

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
8.5. ábra:Iterációs algoritmus
A terheket fokozatosan rakjuk rá a szerkezetre a fenti ábrán látható módon. Az ábrán
látható P általános teherszimbólum, t pedig jelenthet időváltozót, de képviselhet
valamilyen általános teherparamétert is. A példa további részében időparaméterként
hivatkozunk rá. Az első időlépésben ∆ t1 = t1
−t0
, ∆P1
= P1
− P0
( a”0” indexű tagok
általában zérus értékűek), egy általános lépésnél pedig
∆ t = t
+ 1
−t
, ∆P
= P
+ 1
− P .
n
n
n
n
A számítás első lépése a t = t 1
= ∆t1
időértékhez tartozó elmozdulás, alakváltozás és
feszültség kiszámítása:
u1 = ∆u1
, E1
=∆E1
, S1
= ∆S1
.
Egy általános lépésnél ezeknek a tagoknak a számítási módja az előzőekben említett
változókéhoz hasonló módon történik:
u = u + ∆ u , E = E + ∆ E , S = S + ∆ S .
n+ 1 n n+ 1 n+ 1 n n+ 1 n+ 1 n n+
1
∆ u
n+ 1
∆En+
1
, ∆S
n+
Az ismeretlen ,
1
véges növekmények számítására a virtuális
elmozdulások tételét hívjuk segítségül 108 :
∗
( n)
− S : δ E dV + g ⋅δ u dV + t ⋅δ u dS =
∫ ∫ ∫ .
n+ 1 n+
1 0 0 1 0 0 1 0
0
n+ n+
V t
0 V0 S0
Itt δ En+ 1
= δ En + ∆( δ En+
1)
. Behelyettesítve a növekményi alakokat a tételbe és
rendezve az egyenletet:
∆S : δ E + S : ∆( δ E ) + ∆S : ∆( δ E ) dV =
∫ [ n+ n n n+ n+ n+
]
V0
1 1 1 1 0
∫ ∫ ∫
= g ⋅δ u dV + t ⋅δu dS − S : δE
dV
∗
( n)
0, n+
1 0 0n+
1 0 n n 0
V0 t
S0
V0
Feltételezve, hogy ismerjük a t = tn
időponthoz tartozó megoldásokat, ez az
egyenlet csak két ismeretlent ( ∆Sn+1 és ∆( δ E n + 1)
) tartalmaz (megjegyezzük, hogy
esetleges dinamikus hatások esetén egy harmadik ismeretlent is figyelembe kell
∗
venni, hiszen g0
n+
elemei ilyenkor b
1
0
+ ∆b
n 0
-től függnek, ahol a növekményi tag
n+ 1
ismeretlen).
A második Piola-Kirchhoff-féle feszültségtenzor növekménye az anyagmodellek által
meghatározott (általában nemlineáris) módon függ az alakváltozásoktól (D az anyagi
merevség tenzora, most a nemlinearitás miatt az alakváltozás-tenzor függvénye):
En+
1
n+
1
D(E): dE
,
En
∆ S = ∫
ahol ∆Sn+ 1
a ∆ En+ 1
= En+
1
− En
nemlineáris függvénye.
n
n
108 A g vektor feletti csillag arra utal, hogy szükség esetén az esetleges dinamikai terhet ennél az
elemnél kell figyelembe venni.
10.06.20. 123

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Felhívjuk a figyelmet, hogy itt természetesen még csak E n
az ismert mennyiség,
∆ E n+1
az ismeretlen u n+ 1
∆ nemlineáris függvénye (emlékeztetőül hivatkozunk a
Green-Lagrange-tenzor definíciójára, lásd a második előadást). Így ∆ S n+ 1
maga is
∆ u n+1
nemlineáris függvény lesz (még akkor is, ha D maga nem függne esetleg E-
től).
Mindezeket figyelembe véve végeredményben a virtuális elmozdulások tételének
előbb felírt egyenlete az ismeretlen ∆ u n+ 1
elmozdulás-növekmény nemlineáris
függvénye lesz. Ennek a változónak iterációs meghatározására például alkalmazható
Newton eljárása.
A módszer elvét a következő ábra szemlélteti egyváltozós függvény esetére (a
mechanikai modell lehet például egy nemlineáris viselkedésű húzott rúd). Az iteráció
alapelve:
u
m
∑ + 1
( m+
1) (0)
n+ 1
= un+
1
+ ∆
i=
1
u
( i)
n+
1
8.6. ábra:
Az algoritmus
részletei
Megjegyezzük, hogy az ábrán R-rel jelölt tagokat reziduum-nak (maradékvektor,
hibavektor) nevezzük. Többváltozós rendszerre alkalmazva a Newton-eljárást:
Az ismeretlen
m+
1
( m+
1) (0)
( i)
( m+
1) ( m)
+ 1
= u
n+
1
+ ∑∆u
n+
1
, u
n+
1
= u
n+
1
+ ∆
i=
1
( + 1)
∆
m
n+
1
( m+
1)
u
n
illetve u
n+
1
.
u számítására ismét felhasználjuk a virtuális elmozdulások
tételét. Az előző alkalmazásban szereplő ∆S
n+ 1
: ∆( δEn+
1)
tagot a linearizálás
érdekében elhagyjuk, így az új egyenlet az új változókkal:
10.06.20. 124

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Az itteni
∫ ∫
⎡∆S : δ E + S : ∆( δ E ) ⎤ dV = g ⋅δ u dV +
( m + 1) ( m + 1) ( m ) ( m + 1)
∗
⎣ n+ 1 n+ 1 n+ 1 n+ 1 ⎦ 0 0, n+
1 0
V0 V0
( m + 1)
n+
1
+ ∫ t ⋅δu dS − ∫ S : δE
dV .
St
∆S tag az
( n) ( m) ( m)
0n+ 1
n+ 1 n+
1 0
V0
( m+
1)
En
+ 1
∫ D(E) : dE
kifejezés
( m)
En
+ 1
( m)
( m)
( m+
1) ( m+
1)
változatából számítható (itt E
n+ 1
= E(
u
n+
1)
és En+
1
= E(
u
n+
1
) ):
( 1) ( ) ( 1) ( ) ( )
S m +
D m : E m +
∆ = ∆ , ahol D m = D( E
m ) , és
u
( m)
n+ 1
n+ 1 n+ 1 n+ 1 n+ 1 n+
1
-hez tartozó linearizált
( m+
1) ( m+
1)
( m)
( m)
( m+
1)
( m)
∆E = E(
u ) − E(
u ) = E(
u + ∆u
) E(
u ) .
n + 1
n+
1
n+
1 n+
1 n+
1
−
n+
1
A Green-Lagrange-tenzor definíciós képletével kifejezhetjük a fenti egyenletekben
( m+
1)
( + 1)
szereplő ∆(
δE ) alakváltozást. ∆u
m -nek a virtuális elmozdulások tétele
n+
1
segítségével történő meghatározása után
( m+
1)
n+
1
n+
1
u is számítható, majd ezt követően
( m+
1)
n+
1
E számítása következik, végül a feszültségtenzort módosítjuk:
( m+
1)
En
+ 1
( m+
1) (0) (0) ( Sn
) (0) ( Sn
)
n+ 1
=
n+ 1
+ ( : d , ahol
n+ 1
=
n
,
n+
1
=
n
∫
S S D E) E E E S S
(0)
En
+ 1
Megjegyezzük, hogy a feszültségmódosítás integrál-kifejezését szokás
trapézszabállyal közelíteni:
( m+
1)
En
+ 1
1 (0) ( m+ 1) ( m+
1) (0) (0)
(0) ( m+
1)
( m+
1)
∫ D( E) : dE≈ ( Dn 1
+ Dn 1 ):( En 1
−En
1)
, D ( ), ( )
2
+ + + + n+ 1
= D En+
1
Dn+
1
= D En+
1
.
(0)
En
+ 1
A virtuális erők tétele 109
Fontos különbség az előző tételhez képest, hogy a virtuális erők tétele csak kis elmozdulások
esetén alkalmazható (az anyagmodellek természetesen tetszőlegesek lehetnek). Ezért most
nem írjuk fel újból az előadás elején az „ismétlés” pontban megadott tételt, de egy példában
kitérünk egy lehetséges alkalmazására.
8.3 Példa
Vizsgáljuk meg az ábrán látható, belső nyomással terhelt vastag falú hengert, és határozzuk
meg annak a belső nyomásnak az értékét, amelynek hatására ismert értékű sugárirányú
eltolódás jön létre. Az ábra egy teljesen általános terhelést mutat, jelen példában azonban
csak a belső nyomás hatását vizsgáljuk.
109 A virtuális erők tételét először a kiváló francia mérnök és fizikus, Benoit Paul Emile Clapeyron
(1799 – 1864) fogalmazta meg. Clapeyron évtizedeken keresztül volt Gabriel Lamé barátja és
munkatársa, nagyon sok mérnöki feladaton dolgoztak közösen. Lamé híres szilárdságtani könyvében
(„Lecons sur la Théorie Mathámatique de l’Élasticité des Corps Solides, Párizs, 1852”) közli
Clapeyron levezetéseit, megjegyezve, hogy a módszert Clapeyron jóval korábban dolgozta ki, de ez
a tétel első publikációja.
10.06.20. 125

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
8.7. ábra: Belső-külső nyomással terhelt vastagfalú cső
Írjuk fel hengerkoordináta-rendszerben a virtuális erők tételét:
− ∫ ( δσrε
r
+ δσϑεϑ
+ δσ
zε
z
+ δτr
ϑγ
r ϑ
+ δτϑ
zγ
ϑ z
+ δτ
z r
γ
z r
) dV +
V
∫ ∫ .
+ ( δ g u + δ g u + δ g u ) dV + ( δ p u + δ p u + δ p u ) dA=
0
V
r r ϑ ϑ z z r r ϑ ϑ z z
Ae
Jelen esetben u = 0, γ = 2ε = 0, γ = 2ε = 0, γ = 2ε
= 0,
ϑ rϑ rϑ ϑ z ϑ z z r z r
illetve
σr ϑ
= 0 , σϑ
z
= 0 és σ
z r
= 0 .
Mivel a példában σ = 0, így σ 0 , vagyis síkbeli, szimmetrikus feszültségállapotot
0 z
=
kell vizsgálnunk. Jelöljük ur
- t u -val, és írjuk fel újból a virtuális erők tételének
egyszerűsödött alakját:
− ( δσ ε + δσ ε ) dV+ δ pu dA=
0
∫ r r ϑ ϑ ∫ .
V
Ae
Az alakváltozások és feszültségek kapcsolata:
1
1
ε
r
= ( σr
− νσϑ)
, εϑ
= ( −νσr
+ σϑ)
.
E
E
Behelyettesítve ezeket a virtuális erők tételébe:
⎡ 1 1
⎤
−
⎢
δσr ( σr − νσ
ϑ) + δσϑ ( −νσ
r
+ σ
ϑ) dV + δ p u dA = 0
⎣ E
E
⎥
⎦
∫ ∫ .
V
Az utolsó tagban u a megoszló teher irányában létrejövő elmozdulást jelenti.
A feszültségek és a belső nyomás kapcsolatát rugalmasságtani megoldások alapján
(lásd pl. Bezuhov: Bevezetés a rugalmasságtanba és képlékenységtanba c. könyvét
vagy Handbook of the solutions of elasticity c. munkát) írhatjuk fel:
2
2
⎡⎛
r ⎤ ⎡ ⎤
a ⎞
⎛ ra
⎞
⎢⎜
⎟ −1⎥
pb
⎢⎜
⎟ + 1⎥
pb
⎢⎣
⎝ r ⎠ ⎥⎦
⎢ ⎥
,
⎣⎝
r ⎠
σ
σ =
⎦
r
=
.
2
ϑ
2
⎛ r ⎞
⎛ ⎞
a
ra
⎜
⎟ −1
⎜
⎟ −1
⎝ ri
⎠
⎝ ri
⎠
A virtuális feszültségek és a virtuális terhelés ennek megfelelően:
Ae
10.06.20. 126

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
2 2
⎡⎛ ra
⎞ ⎤ ⎡⎛ ra
⎞ ⎤
⎢ 1⎥ pb
⎢ 1⎥
⎜ ⎟ − δ ⎜ ⎟ + δpb
⎢⎝ r ⎠ ⎥ ⎢⎝ r ⎠ ⎥
δσ
r
=
⎣ ⎦
, δσ , p p
2 ϑ
=
⎣ ⎦
δ =δ
2
b
.
⎛ r ⎞ ⎛
a
r ⎞
a
⎜ ⎟ −1 ⎜ ⎟ −1
⎝ ri
⎠ ⎝ ri
⎠
Figyelembe véve, hogy dV = 2 rπh dr és Ae
= 2ri
πh
, majd minden egyes tagot
behelyettesítve a virtuális erők tételébe, eredményül kapjuk az alábbi egyenletet:
2
1 r ⎡
⎛
i
r ⎞ ⎤
a
− ⎢(1 − ν ) + (1 + ν) p 0
2
⎜ ⎟ ⎥
b
δ pb + uδ pb
= .
E ⎛ r ⎞ ⎢
r
a
i ⎥
1 ⎣
⎝ ⎠ ⎦
⎜ ⎟ −
⎝ ri
⎠
Elosztva δpb
-vel kifejezhetjük a keresett belső nyomást az előírt elmozdulás
függvényében:
⎛ r ⎞
a
⎜ ⎟ − 1
ri
E
pb
=
⎝ ⎠
2
ri
⎛ r ⎞
a
1 − ν + (1 + ν)
⎜ ⎟
⎝ ri
⎠
Az idegen munkák tétele
2
Vizsgáljunk meg két különböző, nem összetartozó („idegen”) valódi erőrendszert, kis
elmozdulásokkal és alakváltozásokkal, valamint lineárisan rugalmas anyagi viselkedéssel.
Az egyes munkák számításánál most koncentrált dinámok hatását is figyelembe vesszük.
Az első rendszer elemeit „egyes”, a másikét „kettes” indexszel jelöljük.
-1
f , g , q ⇒ σ ⇒ ε = D ⋅ σ ⇒ u , , (8.18)
f
1 1 1 1 1
1 1
e1
-1
2
g
2,
q
2
⇒ σ
2
⇒ ε
2
= D ⋅ σ
2
⇒ u
2
, e2
, . (8.19)
Számítsuk ki először az „első” halmaz általánosított erőinek a „második” halmaz
általánosított elmozdulás rendszerén végzett idegen munkáját, majd ugyanezt végezzük el
fordítva: a „második” rendszer adja az általánosított erőket, az „első” pedig az általánosított
elmozdulásokat:
W1 2, K
= f1 ⋅ e2
+ q1
⋅ u
2
dA+
g1
⋅u
2
dV , W12,
B
= − σ1
⋅ ε
2
dV , (8.20)
∫
A
∫
∫
V
∫
W21 , K
= f2 ⋅e1
+ q
2
⋅ u1
dA+
g
2
⋅u1
dV , W21,
B
=− σ
2
⋅ ε1
dV . (8.21)
A
V
A virtuális elmozdulások tételét mindkét esetben figyelembe véve:
W W = , W + W 0 . (8.22)
Írjuk fel most részletesen
12 , K
+
12, B
0
21, K 21,
B
=
W 12 , B
értékét:
-1
-1
∫ σ
1
⋅ ε
2
dV = −∫ ε
2
⋅ σ1
dV = − ∫ ( D ⋅ σ
2
) ⋅ σ
1
dV = − ∫ σ
2
⋅ D ⋅ σ dV =
W12
, B
= −
1
10.06.20. 127
u .
V V V V
= −∫ σ
2
⋅ ε 1
dV = W21
, B
(8.23)
V
Ebből az egyenletből és az előző munkatételekből újabb kapcsolati összefüggést írhatunk fel:
W
12 , K
= W21
, K
(8.24)
∫
∫

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
A mechanikában ezt az egyenlőséget Betti 110 -tételnek, vagy más néven külső idegen
munkák egyenlőségének hívják. Az itt használt gondolatmenettel összesen 10 tétel
fogalmazható meg:
a./ Virtuális munkatétel alapján:
W =− W , W = W , W = W . (8.25)
12, K 12, B 12,B 21,B 12, K 21, K
b./ Virtuális kiegészítő munkatétel alapján:
W % =-W % , W % 12, B
= W % 21, B
, W % 12, K
= W % . (8.26)
21, K
12,K 12,B
c./ Vegyes tételek alapján:
W = W% , W % =-W , W = − W% , W% = W . (8.27)
12, B 21, B 12,K 21,B 12, K 21, K 12, K 21, K
Mindhárom csoportban vastaggal kiemeltünk egy tételt („a”/2, „b”/1, „c”/2), ezekkel
gyakorlati fontosságuk miatt külön foglalkozunk.
Felcserélhetőségi tételek
Az alábbi három tételnél feltételezzük, hogy g és q zérus.
a./ Külső elmozdulások felcserélhetősége (Maxwell 111 -féle felcserélhetőségi tétel):
Az alkalmazott két erőrendszer mindegyikét alkossa egyetlen egy egységdinám (erő
vagy nyomaték): F1 = 1 és F2
= 1. Felhasználva a „b/1” alatti tételt és behelyettesítve
ezt az erőrendszert:
W% = W% ⇒ e F = e F ⇒ e =e . (8.28)
12, K
-
12, B 1 2 2 1 12 21
A tételben szereplő változónál az első index a helyet, a második index az okot jelöli,
lásd az alábbi ábrát:
8.8. ábra: Maxwell tétele
A tételt elsősorban elmozdulási hatásábrák készítésére használják.
b./ Belső erők felcserélhetősége (Kossalka 112 -féle első felcserélhetőségi tétel):
A tételt statikailag határozatlan tartóknál alkalmazzák igénybevételek számítására. Az
alkalmazott elmozdulások legyenek egységnyi értékűek.
W = W ⇒ − M ϑ =− S u ⇒ S =M . (8.29)
12, B 21, B
1 2 2 1 12 21
A tétel magyarázatához ad segítséget az alábbi ábra:
110 Enrico Betti (1823 -1892) kiváló olasz matematikus.
111 James Clerk Maxwell (1831 – 1879) skót matematikus és fizikus, a legnagyobb tudósok egyike.
Sokat foglalkozott mechanikai témájú feladatokkal is.
112 Kossalka János (1871–1944) kiváló magyar hídépítő mérnök. Ő tervezte például az Árpád-hidat
is.
10.06.20. 128

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
8.9.ábra: Kossalka első tétele
c./ Belső erő és külső elmozdulás felcserélhetősége (Kossalka-féle második
felcserélhetőségi tétel):
Az első rendszerben az alkalmazott elmozdulás, a másodikban pedig az alkalmazott
erő legyen egységnyi:
W% = −W ⇒ S u = e f ⇒ S =e . (8.30)
12, K 21, B 2 1 1 2 12 21
A tétel magyarázatához lásd az alábbi ábrát:
8.10. ábra: Kossalka második tétele
A tételt igénybevételi hatásábra kinematikus módon történő készítéséhez
használják, hiszen ilyenkor az igénybevételi hatásábra egy adott keresztmetszetben az
igénybevételnek megfelelő egységnyi relatív elmozdulásból származó lehajlási ábra
lesz.
Elmozdulási hatásábrák
Egy tartószerkezet valamely K pontjának η
K
( C ) elmozdulási hatásábráját a tartón
végigmenő függőleges egységerő hatásából úgy számítjuk, hogy a K ponton a C
elmozdulásnak megfelelő Q =1 terhet (erőt, erő-párt, nyomatékot, nyomaték-párt)
működtetünk, és meghatározzuk a tartón végigmenő egységerő támadáspontjainak
függőleges eltolódási ábráját (lásd a Maxwell-féle felcserélhetőségi tételt).
Ez a függőleges eltolódási ábra megadja a keresett elmozdulási hatásábrát.
10.06.20. 129

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
8.11. ábra: Virtuális dinámok felvétele elmozdulási hatásábrákhoz
8.4 Példa
Határozzuk meg a tartó „C” csuklóba befutó rudak végeinek „nagyított” relatív elfordulási
hatásábráját:
Megoldás:
A relatív elfordulási hatásábra számításához a C csuklóban elhelyezett egységnyi nyomatékpárból
keletkező függőleges eltolódási ábrát kell kiszámítanunk. Ezt a nyomatékábrát és a
ingarudakban keletkező rúderőket a lenti ábrán már megrajzoltuk.
A hajlítási merevség az egész tartón állandó, az inerciasugár négyzete 1,6.
8.12. ábra: Elfordulási hatásábra számításának első lépése
A függőleges eltolódási ábrát úgy fogjuk meghatározni, hogy először kiszámítjuk a
„3” jelű pont abszolút mozgásait (függőleges eltolódását és abszolút elfordulását), ezt
követően meghatározzuk a C csuklónál keletkező relatív elfordulást és végül ezek
ismeretében az összes többi pont függőleges eltolódását.
10.06.20. 130

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
A ϑ
C
relatív elfordulás meghatározásához az egységnyi nyomaték-párból kapott
igénybevételeket kell „önmagukkal” integrálni, hiszen ilyenkor a virtuális hatást
ugyancsak egy egységnyi nyomaték-párral kell megadnunk. Megjegyezzük, hogy az
inerciasugár négyzetére azért van szükségünk, hogy az ingarudakban keletkező
normálerők hatását is ugyanúgy EI
x
nagyítással tudjuk figyelembe venni (mivel a
rugalmassági modulus ugyanakkora a gerendánál és az ingarudaknál, annak hatása a
I x
nagyításnál kiejthető, az
A
négyzete).
6⋅1
2 3⋅1
2
ϑ = + 12⋅1⋅1+
+ 1,6 ⋅
2 3 2 3
hányados pedig nem más, mint az inerciasugár
2
2 ⋅3(
6
2
+
6
2
6
2 1 1
) + 1,6 ⋅ 3⋅
6 3 3
C
=
16,288 kNm
A „3”-as pont nagyított függőleges eltolódásának számításához a pontba függőleges
egységerőt iktatunk, majd az ebből kapott igénybevételeket integráljuk az egységnyi
nyomaték-párból kapott hatásokkal:
2
8.13. ábra: Függőleges eltolódás számítása
6⋅3
1
2 2 2 2
3
e3 y
= + 1,6 ⋅3⋅
2 ( − ) = 2, 25kNm
2⋅2
2
6 2 6 2
A „3”-as pont nagyított abszolút elfordulásának meghatározásához a pontba
egységnyi nyomatékot helyezünk:
8.14. ábra: Elfordulás számítása
3 ⋅ 1 2 3 1 2 3 1 3 ⋅ 1 2 3 1
ϕ
3
= − + 3 ⋅ ( + ) + ( + ) −
2 ⋅ 2 3 8 2 8 8 2 2⋅
2 8 8 3
1 3 ⋅1 ⋅1 ⋅2 2 3 ⋅ 2 2 2 1 1
−6⋅1⋅ − −1,6 ⋅3⋅ 2( + ) −1,6 ⋅3⋅ ⋅
4 2 ⋅4 ⋅ 3 6 24 6 24 3 12
2
ϕ =−1,
kNm .
3
5105
.
10.06.20. 131

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
A többi pont eltolódásának meghatározása:
3⋅1
e1
y
= 2, 25 + 1,51 ⋅6 − ⋅ 5 = 7,56( ↓)
2⋅
2
3⋅1
e2
y
= 2,25 + 1,51 ⋅3− ⋅ 2 = 5,28( ↓)
2⋅
2
1 3⋅1
e4
y
= 2, 25 −1,51 ⋅3− 3⋅ ⋅1,5 − ⋅ 1 = −5,28( ↑)
2 2⋅
2
1 3
e
5 y
= 2,25 −1,51 ⋅6 − 3⋅ ⋅4,5 − ⋅4 −3⋅1⋅ 1,5 = −21,06( ↑ )
2 4
3 3
e
6 y
= 2, 25 −1,51 ⋅9 − ⋅7,5 − ⋅7 − 3⋅ 4,5 + 16,288 ⋅3− 3⋅ 1,5 = 3,024( ↓ )
2 4
3 3
e
7 y
= 2,25 −1,51 ⋅12 − ⋅10,5 − ⋅10 −9⋅ 4,5 + 16, 288⋅ 6 = 18,1( ↓ )
2 4
3 3
e
8 y
= 2, 25 −1,51 ⋅15 − ⋅1,5 − ⋅13−12⋅ 6 + 16,288⋅ 9 = 24,192( ↓ ).
2 4
A relatív elfordulási hatásábra alakja:
8.15. Az elfordulási hatásábra
Felhasznált irodalom:
1./ Kaliszky S. – Kurutzné K. M. – Szilágyi Gy. : Szilárdságtan, Egyetemi Tankönyv, 2000.
2./ Fung: Foundation of Solid Mechanics, Prentice Hall, 1965, 1994.
3./ Bezuhov, N. I. : Bevezetés a rugalmasságtanba és a képlékenységtanba, Tankönyvkiadó, 1952.
4./ Mang, H. – Hofstetter, G. : Festigkeitslehre, Springer, 2000.
5./ Holzapfel, G. A. : Nonlinear solid mechanics, Wiley, 2000.
10.06.20. 132

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
9. Előadás: Energiatételek
A különböző mechanikai feladatok vizsgálatánál a mérleg- illetve egyenlőtlenség formájában
megfogalmazott alapvető egyenletek (tömeg-, energia-, impulzus- és impulzusmomentummegmaradás,
entrópia-változási feltétel) mellett a megoldáshoz nagyon gyakran használnak
variációs elveket. Ezeket vagy ortogonalitási 113 , vagy stacionaritási 114 feltételként
fogalmazzák meg. Ebben az előadásban a stacionaritási feltételek körébe sorolható
energiatételekkel foglalkozunk. Megjegyezzük, hogy a mechanika ismer a most bemutatott
változatoknál lényegesen általánosabb variációs elveket is (ilyen pl. az Onsager 115 -elv, ami a
statisztikus mechanikában, a Gyarmati 116 -elv, amely az irreverzibilis folyamatok
termodinamikájában használatos), de ezeket mi itt nem tárgyaljuk. A témakör átfogó
ismertetése illetve az egyes részletek mélyebb megismerése után érdeklődőknek magyar
3 alatti jegyzetét ajánljuk, angol
nyelven Verhás [ 2 ] alatti könyvét illetve Kurutzné [ ]
nyelven pedig az [ 5 ] , illetve a [ ]
szempontból.
8 sorszámmal hivatkozott művek hasznosak ebből a
A továbbiakban elsősorban a rugalmas anyagú rendszerek (szerkezetek, közegek)
viselkedését leíró klasszikus variációs elvekkel foglalkozunk, a nem rugalmas (képlékeny)
anyagú szerkezetek modellezésének kérdését csak az előadás végén érintjük nagyon röviden.
113
Az általunk vizsgált feladatok körében az ortogonalitási feltétel két függvénytér adott
tartományon számított szorzatintegráljának zérusértékűségét jelenti. Ezt a feltételt használtuk az
előző fejezet virtuális munkatételeinek levezetésekor. Megjegyezzük, hogy szokás az ortogonalitási
feltételrendszert „direkt” variációs módszernek is nevezni.
114 A stacionaritási feltétel a vizsgált fizikai rendszer lokális vagy globális szélsőértékének
meghatározására vonatkozó matematikai összefüggéseket szolgáltatja. A mi feladatainknál ezek
általában függvények szorzatának integráljaira vonatkozó megállapításokat jelentenek. A
stacionaritási feltételeket szokás „inverz” variációs módszernek is nevezni.
115 Lars Onsager ( 1903 – 1976) norvég származású amerikai vegyész illetve fizikus.
116 Gyarmati István (1929 – 2002) kiváló magyar fizikus, a termodinamika nemzetközileg elismert
kutatója.
10.06.20. 133

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
A mechanikában használatos feltételrendszernek megfelelően a legáltalánosabb, úgynevezett
vegyes variációs elvek körében három mezőváltozó függvény 117 alkalmazható: az
elmozdulások ( ui, u , u ), az alakváltozások ( ε
i j, ε , ε ) és a feszültségek ( σ
i j, σ , σ ). Ha
ezeket a variációs elvek funkcionáljában egymással variáljuk, akkor a következő
változatokhoz jutunk:
Típus Mezőváltozók A variációs elv neve
1./ Egyváltozós Elmozdulások Teljes potenciális energia
2./ Egyváltozós Feszültségek Teljes kiegészítő potenciális energia
3./ Egyváltozós Alakváltozások Nincs elfogadott elnevezése
4./ Kétváltozós Elmozdulások és Hellinger-Reissner-elv 118
feszültségek
5./ Kétváltozós Elmozdulások és Nincs elfogadott elnevezése
alakváltozások
6./ Kétváltozós Alakváltozások és Nincs elfogadott elnevezése
feszültségek
7./ Háromváltozós Elmozdulások, Veubeke-Hu-Washizu-elv 119
feszültségek és
alakváltozások
Megjegyezzük, hogy a fenti táblázatban felsorolt hétféle elv közül numerikus számítások
céljára az elmúlt mintegy hatvan évben összesen négy vált be, azok közül is kiemelkedik
gyakorlati használhatóságával a potenciális energia minimumtétele. Nem véletlen, hogy az
eddig tanult numerikus technikáink jelentős része erre épült.
117 Az egyszerűség kedvéért itt a kis geometriai változásoknál szokásos feszültség- és alakváltozásszimbólumokat
használjuk, de a későbbiekben bemutatunk nagy alakváltozások esetén használatos
variációs elvet is.
118
Az elv alapvető ötlete Ernst David Hellinger (1883 – 1950) német matematikustól származik.
Kapcsolódó publikációja: „Die allgemeine Ansätze der Mechanik der Kontinua”, Encyklopedia der
Mathematischen Wissenschaften, Vol. 4, ed. F. Klein – C. Müller, Teubner Verlag, Leipzig, 1914.
Mérnöki feladatokra történő első alkalmazása Georg Prange (1885 – 1941) német matematikusnál
olvasható: „Der Variations- und Minimalprinzipe der Statik der Baukonstruktionen”,
Habilitationsschrift, Techn. Univ. Hanover, 1916. Az elv általánosítását és a mechanikai
peremfeltételekkel való pontos kapcsolatrendszer tisztázását Eric Reissner (1913 - 1996) német
származású amerikai kutató végezte el: „On variational theorem in elasticity”, Journal of
Mathematics and Physics”, Vol. 29, pp. 90-95, 1950.
119
A kínai Hu Haichang (1928 – ) munkája: „On some variational principles in the theory of
elasticity and the theory of plasticity”, Sci. Sinica, Vol. 4, pp. 33-54, Peking, 1954. A japán
Kyuichiro Washizu (1921 – 1981) cikke: „On the variational principles of elasticity and plasticity”,
Aeroelastic and Structures Research Laboratory, Technical Report 25-18, Massachusetts Institute of
Technology, Cambridge, March, 1955.
Kevésbé ismert, hogy Baudouin M. Fraeijs de Veubeke (1917-1976) belga kutató négy évvel
korábban már bemutatta ugyanezt az elvet. Cikke: „Diffusion des inconnues hyperstatiques dans les
voilures à longeron couplés”, Bull. Serv. Technique de L'Aéronautique No. 24, Imprimeríe Marcel
Hayez, Bruxelles, pp. 1-56, 1951.
10.06.20. 134

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
A továbbiakban a mechanikai alapegyenletekhez kapcsolódó energiaelvek bemutatásakor
- először azt vizsgáljuk, hogy hogyan lehet az alapegyenletek segítségével egy
általános variációs elvet „előállítani” (ennek technikáját a BSc tanulmányokból már
ismert potenciális energia függvényen illusztráljuk),
- ezt követően a többféle lehetséges elv közül a legáltalánosabb, a Veubeke-Hu-
Washizu-funkcionált mutatjuk be (megjegyezzük, hogy a másik - gyakorlatilag
fontos – többváltozós elvet, a Hellinger-Reissner-funkcionált a numerikus
technikáknál elemezzük részletesen, lásd a Bojtár-Gáspár: „A végeselemmódszer
matematikai alapjai” című jegyzetet), majd
- harmadik lépésként a gyakorlati feladatok vizsgálatához leginkább szükséges
„egyszerűsített” változatokat (potenciális energia, kiegészítő potenciális energia)
tárgyaljuk.
Különböző variációs elvekhez tartozó funkcionálok felépítésének általános
és alapvető lépései 120
Ebben a pontban a variációs elvek felépítésének általános szempontjait foglaljuk össze. Az
általános algoritmushoz illusztrációként azt a variációs elvet fogjuk használni, amelyet
(másféle felépítési technikával létrehozva) már ismerünk: a teljes potenciális energia
függvényének felépítése segítségével magyarázzuk el a többváltozós elvek létrehozásának
módját.
A rugalmasságtan – a jelen esetben használt feltételrendszerrel egyező módon felírt –
alapvető összefüggéseit a 9.1 ábrán vázoltuk. Az ismert tömegerők valamint az előírt
elmozdulások és terhek b, uˆ
, t ˆ függvényeiből 121 kell az öt darab mezőegyenlet
felhasználásával az elmozdulások, alakváltozások és feszültségek u, ε,
σ függvényeit
meghatároznunk.
120 Megjegyezzük, hogy az ebben a pontban bemutatott elemzést a „Végeselemmódszer matematikai
alapjai” c. tárgy 11-ik fejezetében is ismertetjük, mivel a vegyes variációs elvek technikájának
bemutatásakor ismétlését szükségesnek tartottuk.
121 Az egyszerűség kedvéért itt és a továbbiakban a korábban használatos ρ b jelölés helyett a b
szimbólumot fogjuk használni, vagyis a sűrűségfüggvény és az egységnyi tömegre vonatkozó
tömegerő helyett azok szorzataként az egységnyi térfogatra vonatkozó erőt alkalmazzuk. Dimenzió:
kg / m 3 ⋅ kN / kg = kN / m
3 .
( ) ( ) ( )
10.06.20. 135

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
9.1.ábra. A rugalmasságtan alapegyenletei kis alakváltozások esetén
1./ Első lépésként az ismeretlen mechanikai mezőváltozók
u →elmozdulás, ε →alakváltozás,
σ → feszültség
i i j i j
közül kell kiválasztani annyit, amennyit alapvető variálandó paraméterként használni
kívánunk (szokás a kiválasztottakat néha – főleg az elméleti végeselemes irodalomban –
„alap”-változóknak 122 is hívni, ellentétben a többi, „másodlagos” („segéd”, „származtatott”,
stb.) függvénnyel). A kiválasztott alap-változók számától függően lesz egy-, két- vagy
hárommezős a variációs elv.
Fontos megjegyeznünk, hogy az ismert adatnak tekintett függvények (tömeg-, felületi-,
vonalmenti- és koncentrált terhek, valamint peremfeltételi adatok) soha nem lehetnek
variálandó mennyiségek (ezeket egyszerűen „adat”-mezőknek nevezik).
2./ Lépés: Az alapváltozó(k)ból az ún. „erős” kapcsolati egyenletekkel előállítjuk a
másodlagos változókat. Ha egy alapváltozóra peremfeltételt is előírtunk, akkor azt a feltételt
tekinthetjük „erősnek” vagy „gyengének”. Az „erős peremfeltétel” elnevezést akkor
használjuk, amikor az alapváltozót csak azon függvények halmazából választjuk, amelyek
teljesítik ezeket a peremfeltételeket.
Ha egy másodlagos változót két alapváltozóból is előállítunk (vagy két összekapcsolódó
alapváltozó esetén az egyikből számíthatjuk a másikat, azt másodlagosnak tekintve), akkor
azoknak elvileg meg kellene egyezniük. Az ezt kimondó egyenletet, valamint az eddig ki nem
elégített egyenleteket „gyenge” egyenleteknek tekintjük, és ezeket csak „átlagos értelemben”
teljesítjük.
Az „átlagos értelemben való teljesülés” egyébként azt jelenti, hogy minden, a tartományon
felvett – legalább szakaszonként differenciálható – függvényre (az ún. Lagrange-szorzók
függvényeire) legyenek ezek a kifejezések ortogonálisak.
3./ Lépés: A Lagrange-szorzók 123 célszerű megválasztásával és megfelelő átalakítások után
megkapjuk a keresett funkcionál első variációjának zérus voltát (vagyis a keresett
funkcionál stacionaritását) előíró
δΠ = 0
egyenletet (többváltozós esetben egyenleteket). Ebből előállítható maga a funkcionál is.
122 Néha használatos a „mesterváltozó” elnevezés is, egyes ábrákon mi is ezt alkalmaztuk.
123
Emlékeztetőül: A Lagrange-szorzók alkalmazásának módszere része a BSc-mérnökhallgatók
matematikai alapképzésének, lásd a Thomas-féle „Kalkulus” III. kötetének 321-330. oldalakon
található tananyagot.
Megjegyezzük, hogy a Lagrange-szorzós technikát variációs elvek kidolgozására elsőként Kurt Otto
Friedrichs német matematikus (1901-1982) alkalmazta, ő egyébként két másik kiváló német
matematikus, David Hilbert (1862-1943) és Richard Courant (1888-1972) tanítványa volt.
10.06.20. 136

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
4./ Lépés: A „kész” variációs elv numerikus eredményeket adó közelítő (például
végeselemes) számítási technikájának kidolgozása a megfelelő bázisfüggvények, elemek, stb.
felvételével. Ez már a számítások technikai részéhez tartozó feladat.
A fenti lépéseket alkalmazzuk illusztrálásul a teljes potenciális energia funkcionáljának
előállítására.
Ebben az esetben az egyes változók közötti – korábbi tanulmányaink alapján minden
részletében ismertnek tekinthető – kapcsolati hálózatot mutatja be a következő ábra:
9.2. ábra. A potenciális energia függvényének származtatása kis alakváltozások esetén
A kiválasztott alapváltozó most az u
i
elmozdulásmező. Megjegyezzük, hogy az egész S
felület két tartomány összege: az S
u
részen előírt elmozdulásokat, az S
t
felületen pedig előírt
erőket veszünk figyelembe.
A „második lépésben” az elmozdulási peremfeltételek alapján a megengedett
elmozdulásmezők tartományát szűkítjük, majd az „erős” geometriai és anyagegyenletekkel a
alapváltozóból számítjuk az alakváltozásokat és feszültségeket (ebben az illusztráló
bemutatásban kizárólag indexes jelölésekkel dolgozunk):
u 1
u u
ε = u + u ( V − n), σ = D ε ( V − n) . (9.1)
( , , )
ij i j j i ij i j k l kl
2
Most „gyenge” kapcsolati egyenlet lesz az egyensúlyi egyenlet és a statikai peremfeltétel
(ezeket jelöltük az előbbi ábrán szaggatott kapcsolati vonallal). Ezek Lagrange-szorzós alakja
(az első egyenlet az egyensúly, a másik a peremfeltétel megfogalmazása):
u
u
∫ ( σ
i j, j
+ bi ) λ
i
dV = 0 , ( σ )
V
ˆ
∫ ijn j
− ti λidS
= 0 . (9.2)
S
t
10.06.20. 137

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
A „harmadik lépésben” alkalmazzuk először a Gauss-tételt a térfogati integrál átalakítására a
9.2 alatti első egyenlet bal oldalának első tagjánál (a képletben szereplő n
j
a felületi
normálisvektort jelöli), továbbá felhasználjuk a Függelék (F.76) alatti harmadik egyenletét:
u u u
σ λ dV = − σ λ dV + σ n λ dS
∫ ∫ ∫ (9.3)
i j, j i i j i,
j i j j i
V V S
A feszültségtenzor szimmetrikus jellegét felhasználva ez az egyenlőség tovább módosítható:
u u 1
u
σi j, jλ i
dV = − σi j ( λ
i, j
+ λ
j,
i ) dV + σi jn jλi
dS
2
∫ ∫ ∫ (9.4)
V V S
A kifejezés további átalakításához, a variálás bevezetéséhez a jobb oldal első tagjának a
geometriai egyenletekhez való hasonlóságát kell felhasználni 124 , vagyis legyen a
továbbiakban
λi
→ δ ui
, (9.5)
Ez a lépés azt jelenti, hogy a Lagrange-szorzót az elmozdulásmező (első) variációjának
tekintjük. Helyettesítsük be ezt a (9.4) alatti egyenletbe 125 :
u u u u
σ δ u dV = − σ δε dV + σ n δu dS
∫ ∫ ∫ . (9.6)
i j,
j i i j i j i j j i
V V S
A 9.6 alatti egyenlet utolsó tagjában a felületi integrált bontsuk két részre ( S
u
és S
t
). Az S
u
részen azonban az elmozdulás-függvény variációja ( δ u i ) zérus, így ez a tag csak az S
t
részen integrált tagra szűkíthető:
∫ σ n δ u dS = ∫ σ n δu dS . (9.7)
S
u
u
i j j i i j j i
St
Ez a kifejezés azonban a (9.2) alatti második egyenlet két tagra bontása segítségével a
következőképpen is felírható:
u
σ n δ u dS = tˆ
δu dS
∫ ∫ . (9.8)
St
i j j i i i
St
Követve a ( 9.8) ( 9.7) ( 9.6 ) (9.3) ( 9.2a)
→ → → → visszahelyettesítéseket, megkapjuk a teljes
potenciális energia első varációjának zérus voltát előíró egyenlet 126 :
u u
δΠ u = σ δε dV − b δu dV − t δ u dS =
( ) ˆ 0
∫ ∫ ∫ . (9.9)
TPE i j i j i i i i
V V St
Megjegyezzük, hogy itt az első integrál alatt a felső indexek azt mutatják, hogy a feszültség
és az alakváltozás is az elmozdulás-függvénytől függ. Az első variációs alakból most már
egyszerűen előállítható maga a teljes potenciális energia funkcionálja:
1 u u
Π ( u)
ˆ
TPE
= σi jεi jdV − bi ui dv − ti ui
dS
2
∫ ∫ ∫ (9.10)
V V St
Az első tagnál részletezzük a variációs, illetve a teljes alak közötti kapcsolatot:
124
Hasonló „a posteriori” módosítás nélkül általában csak jóval nehézkesebben lehet gyakorlatilag
használható variációs alakhoz jutni. Ezt maga Fraeijs de Veubeke, ennek a levezetéstípusnak első
mechanikai alkalmazója is így vélte.
125
Az új alaknál kihasználtuk az alakváltozások és elmozdulások közötti erős kapcsolati egyenletet,
ennek variációjaként született a jobb oldal első tagjánál feltüntetett alakváltozás-komponens
u 1 u 1
variáció: ε
i j
= ( ui, j
+ u
j, i ) ⇒ δε
i j
= ( δ ui, j
+ δ u
j,
i ) .
2 2
126 Megemlítjük (9.9)-nek a nyolcadik fejezetben lévő (8.15)-ös képlettel való hasonlóságát.
10.06.20. 138

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
⎛ 1 u u
⎞ 1 u u 1 u u
δ⎜
2
∫ σi jε i jdV ⎟ =
i j i j i j i j
V
2
∫ δσ ε dV +
V
2
∫ σ δε dV =
⎝
⎠
V
1 u u 1 u u 1 u u 1 u u u u
δεkl Dklijε i jdV + σi jδε i jdV = δεklσ kldV + σi jδε i jdV = σi jδεi jdV.
2
∫
2
∫
2
∫
2
∫ ∫
V V V V V
Az átalakításnál felhasználtuk a Dijkl = Dklij
szimmetriafeltételt.
(9.11)
A variációs alak megfogalmazása után következhet a negyedik lépés, a numerikus vizsgálatok
technikájának kidolgozása. Erre most az illusztráló példa esetében természetesen nem térünk
ki, hiszen ez már a végeselemes technika feladata.
Veubeke-Hu-Washizu-funkcionál nagy alakváltozások esetén
A munkatételekhez hasonlóan az energiaelvű variációs megfogalmazásokat is fel lehet írni
nagy alakváltozások segítségével. Nem részletezzük az előállítás előbb bemutatott lépéseit,
csak a végeredményt közöljük. Megjegyezzük, hogy az itt bemutatott összefüggéseket is
természetesen elsősorban a numerikus számításoknál (a többmezős jellegre való tekintettel az
úgynevezett „vegyes” („mixed”) végeselemes technikában) használják.
A Veubeke-Hu-Washizu-funkcionál (továbbiakban VHW-funkcionál) variációs alakja (Eulerrendszerhez
tartozó változókat használva) a következő:
_
δΠ
VH W
( v, D,
σ) = ∫ δ D : σ( D)
dV + ∫ δ ( σ : ( D( v) − D))
dV −
V
V
− δv ⋅b dV − δv ⋅ tˆ
dS + δv ⋅ρv& dV = 0. (9.12)
∫ ∫ ∫
V St
V
A második sor első két tagja a külső, az utolsó (harmadik) tag pedig a kinetikus teljesítményt
jelöli.
A VHW-funkcionál három mezőváltozót használ: a sebességet ( v ( X,
t)
), a
deformációsebesség-tenzort ( D ( X,
t)
) és a nagy alakváltozásokhoz tartozó Cauchyfeszültségtenzort
( σ( X, t ) ). A két utóbbi komponensnél a felülvonás azt jelzi, hogy ezeket a
sebességmezőtől független approximációként kezeljük. Ennek megfelelően tehát a
felülvonás nélküli D a kinematikai egyenletekből számítható deformációsebesség-tenzort
jelöli, (megkülönböztetésül D -től), a felülvonás nélküli feszültségtenzor ( σ (D)
) pedig az
anyagmodell egyenleteken keresztül az approximált alakváltozás-sebességektől függ.
A funkcionált gyakran használják másféle feszültség- és alakváltozás-tenzorokkal, továbbá
a virtuális teljesítmények helyett a virtuális munkákra vonatkozó alakot is alkalmazhatjuk
(Lagrange-bázist használunk a következő képletnél, az eltolódásfüggvény mellett a
felülvonással jelölt első Piola-Kirchhoff-féle feszültségtenzort, illetve az ugyancsak
felülvonással jelölt deformációgradiens-tenzort használva független változónak):
δΠ
VH W
= ( u,F,P) = δ F : P(F) dV0 + δ ⎡⎣
P : ( F( u) − F)
⎤⎦
dV0
− δ WK + δWKin
∫ ∫ = 0. (9.13)
V0 V0
A funkcionálban a deformáció-gradiens tenzort valamint az első Piola-Kirchhoff
feszültségtenzort használtuk az elmozdulásmező mellett független változóként (a felülvonás
szimbólumok jelentése hasonló az előbb említettekéhez). A külső és a kinetikus virtuális
munkát most csak tömör alakban, szimbolikusan jelöltünk.
10.06.20. 139

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Az alakváltozás- és feszültségjellemzők megváltoztatásával bemutatunk egy harmadik
használatos alakot is (csak a belső virtuális energiára vonatkozó tagot írjuk fel):
δΠ
B
= δ E:S( E) dV0 + δ ⎡
⎣S: ( E( u) − E)
⎤
⎦ dV0
∫ ∫ . (9.14)
V0 V0
Ebben a változatban a Green-Lagrange alakváltozástenzort és a második Piola-Kirchhoff
feszültségtenzort használtuk (az elmozdulásmező mellett) független változónak.
Az általános elvek illusztráló jellegű bemutatása után szűkítsük az alkalmazási területeket
statikai feladatokra és konzervatív rendszerekre (egyelőre a nagy alakváltozások körében).
Ilyenkor a Green-Lagrange-alakváltozástenzort egy potenciálfüggvénybe beépítve
szerepeltethetjük a belső hatásoknál 127 :
Π ( u,S,E) = W ( E) dV + S : ( E − E)
dV −W
VH W
∫ 0 ∫ 0 K
. (9.15)
V0 V0
A következő (harmadik) lépésben további egyszerűsítések után eljutunk a gyakorlatban
sűrűbben használt, kis alakváltozásokkal operáló energiaelvekhez.
A VHW-funkcionál egyszerűsített változatai kis alakváltozású,
kvázistatikus, konzervatív terhelésű szerkezeteknél
Ebben az esetben a (9.12)-nek illetve(9.13)-nak megfelelő szokásos alak ( S u
∪ S t
= S
figyelembevételével) 128 :
Π ( u,σ,ε) = W ( ε) dV + σ: ( ε-ε)
dV − g ⋅u dV − tˆ
⋅u
dS
VHW
∫ ∫ ∫ ∫ . (9.16)
V V V St
A (9.5) alatti ΠVHW
-ben a független változó – így szabadon variálható – u, σ , ε . A
stacionaritási feltétellel meghatározott – úgynevezett „gyenge” – megoldásnál a
funkcionálnak nyeregpontja van.
Tényleges számítási célokra a VHW-funkcionált viszonylag ritkán, inkább csak kutatási
feladatokban alkalmazzák. Numerikus alkalmazására a „Végeselemmódszer matematikai
alapjai” c. tárgyban mutatunk be példákat. Megjegyezzük, hogy ugyanott tárgyaljuk a
többmezős funkcionálok egy másik – jelen előadás bevezetésében már említett, de terjedelmi
okokból most nem részletezett – kétváltozós modelljét, a Hellinger-Reissner-funkcionált is.
A mindennapi mérnöki munkában a VHW-funkcionál eredeti változatánál fontosabb és
gyakorlati feladatok megoldására is kiválóan használható a belőle származtatható két
speciális változat, a teljes potenciális energia, illetve a kiegészítő potenciális energia
funkcionálja. A kompatibilitási és az elmozdulási peremfeltételi egyenleteket kielégítő
folytonos elmozdulásmezők halmazán a
W ( ε)
dV − tˆ
⋅u dS − g ⋅u
dV
∫ ∫ ∫ (9.17)
V St
V
teljes potenciális energiának minimuma, az (előírt elmozdulásokkal kiegészített)
127 A W szimbólum itt a belső alakváltozási energiát jelöli az ötös és hetes fejezetekben használt
szimbólumokhoz illeszkedve. Mivel a BSc Szilárdságtanban W-t alapvetően a munka definícióra
használtuk, ennek a változónak a pontos értelmezése is csak a szövegkörnyezet alapján dönthető el.
128 Ezekben az energiafüggvényekben a tömegerők vektoránál – mint ahogy azt a hetedik fejezet
második felében is tettük– b helyett áttérünk a BSc Szilárdságtanban szokásosan használt g
szimbólumra, továbbá az ott megszokott módon a munkát jelöljük W-vel. D az anyagi merevségi
mátrixot jelenti.
10.06.20. 140

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
− W% ( σ)
dV + u% ⋅ t dS + u% ⋅g
dV
(9.18)
∫ ∫ ∫
V Su
V
negatív kiegészítő potenciális energiának – az egyensúlyi és reakció-eloszlási egyenleteket
kielégítő egyensúlyi mezők felett – pedig maximuma van. A fentieket jól szemlélteti a
nyeregpont geometriai formája is. W % ( σ)
a fajlagos belső kiegészítő potenciális energiát
jelöli. Természetesen mindkét esetben feltétel a fizikai egyenletek teljesülése.
A továbbiakban:
- az anyagot lineárisan rugalmasnak tekintjük (a kivételeket külön jelezzük), és
- nem foglalkozunk dinamikai hatásokkal.
A BSc Szilárdságtanban tanultakra hivatkozva ismételjük át a számunkra fontos
energiafüggvényeket:
A./ A potenciális energia
Külső potenciál: a vizsgált testre ható külső erők potenciális energiája. Csak konzervatív
(kizárólag a helytől függő energiafüggvénnyel rendelkező) erőknek lehet külső potenciális
energiája. A külső potenciális energia a külső munka ellentettje:
Π = − W = −f ⋅e − tˆ
⋅u dS − g ⋅u dV .
K
K
∫ ∫ (9.19)
St
Belső potenciál: a testben keletkező alakváltozások potenciális energiája. A feszültségeknek
az alakváltozásokon végzett belső munkája ellentettjeként számítjuk.
1
10.06.20. 141
V
Π : :
2 ε D ε
B
= − WB
= ∫ dV . (9.20)
V
Teljes potenciál: a külső és a belső potenciál összege.
Π =Π + .
(9.21)
K
Π B
B./ A potenciális energia állandóértékűségének tétele
A potenciális energia állandóértékűségének tétele azt mondja ki, hogy egy lineárisan
rugalmas test geometriailag lehetséges általánosított elmozdulás-alakváltozás-rendszerei
közül az a tényleges, vagyis a test egyensúlyi helyzetének megfelelő rendszer, amelynél a
teljes potenciális energiája állandó értékű, más szóval stacionárius. A tétel a rugalmas test
egyensúlyát fejezi ki.
ˆ
1
Π = −f ⋅e−∫ t ⋅u dS −∫ g ⋅ u dV + ε: D: ε dV = stacionárius !
2
∫ (9.22)
St
V V
Stabilis egyensúlyi állapotban lévő szerkezetek esetén a potenciális energiára vonatkozó fenti
tételt a potenciális energia minimumtétele néven használjuk: Lineárisan rugalmas anyagú
testek esetén az összes geometriailag lehetséges elmozdulás/alakváltozás-rendszer közül az a
tényleges, vagyis a test stabilis egyensúlyi helyzetének is megfelelő rendszer, amelynél a
teljes potenciális energiának minimuma van.
C./ A potenciális energia és állandóértékűségi tételének alkalmazásai

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
A potenciális energiát mindig a geometriailag lehetséges elmozdulás-rendszerek
függvényében írjuk fel, tehát mindig annyi változós függvény, mint amennyi a test
elmozdulási szabadságfoka. Rugalmas testekből álló szerkezetnél a megoldás közelítő
függvényekkel történik. A tételt elsősorban statikailag határozatlan szerkezetek vizsgálatára
használjuk. Mivel a függvényben az általánosított elmozdulások az ismeretlenek, ezt az
eljárást az elmozdulás-módszer típusú megoldási technikákhoz soroljuk.
D./ A kiegészítő potenciális energia
Külső kiegészítő potenciál: a testre ható külső elmozdulások kiegészítő potenciális energiája,
a külső kiegészítő munka ellentettje. Csak elmozdulás jellegű terhekből származhat:
Π % = − W%
= −e% ⋅f − u% ⋅t dS − u% ⋅g
dV.
(9.23)
K
K
∫
Su
Belső kiegészítő potenciál: a testben keletkező feszültségek kiegészítő potenciális energiája, a
belső kiegészítő munka ellentettje. A belső kiegészítő potenciál felírásánál felhasználjuk a
−
lineárisan rugalmas anyag viselkedését leíró általános Hooke-modellt ( ε = D 1 : σ ):
1 1
: : .
2 σ D −
Π % σ
B
= − W%
B
= ∫ dV
(9.24)
V
A teljes kiegészítő potenciál a külső és belső kiegészítő potenciálok összege:
~ ~ ~
Π =Π + .
(9.25)
K
Π B
E./ A kiegészítő potenciális energia minimumának tétele
A kiegészítő potenciális energia minimumának tétele szerint egy lineárisan rugalmas
anyagú test statikailag lehetséges erő-feszültség-rendszerei közül az a tényleges, vagyis a test
geometriailag lehetséges helyzetének megfelelő rendszer, amelynél a teljes kiegészítő
potenciális energia minimális. A tétel a rugalmas test kompatibilitási feltételét fejezi ki.
1 -1
Π % =−e% ⋅f - ∫ u% ⋅q dS −∫u% ⋅ g dV + σ : D : σ dV = min!
2
∫
(9.26)
Su
V V
Rugalmas testek kiegészítő potenciális energiafüggvénye véges számú feszültség
(igénybevétel) függvénnyel írható le. A megoldás során ezek a függvények általában
ismeretlen együtthatójú polinomokkal közelíthetők. A tételt a statikailag határozatlan
szerkezetek vizsgálatára használjuk. A kiegészítő potenciális energiát a statikailag lehetséges
erőrendszerek függvényében kell felírni, így a kiegészítő potenciális energia mindig annyi
változós függvény, mint ahányszorosan statikailag határozatlan a szerkezet.
Kiegészítő megjegyzések a munka és energiatételekhez:
A továbbiakban bemutatunk néhány olyan tételt, amelyek az energiatételek további
egyszerűsítési lehetőségeit, a mechanikai feladatoknál végrehajtandó számítások sajátos
körülményeit figyelembe vevő modelljeit illusztrálják.
A./ Clapeyron 129 -munkatétel (saját munkák tétele):
∫
V
129 Benoit Paul Emile Clapeyron (1799 – 1864) francia mérnök és fizikus, a termodinamika
tudománya megalapítóinak egyike.
10.06.20. 142

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
A virtuális elmozdulások- és erők tételei az egyensúlyi és kompatibilitási állapotot vizsgálják.
Az energiaminimum-tételek is ezeket a helyzeteket elemzik, azzal a különbséggel, hogy míg
a munkatételek virtuális (illetve virtuális kiegészítő) munkákra vonatkoznak, addig az
energiatételek a szerkezet tényleges állapotának energiaszintjét adják meg a deformálatlan,
terheletlen állapothoz képest.
A Clapeyron-féle munkatétel kis elmozdulásokat végző, lineárisan rugalmas testek statikus
terhelési folyamat közben létrejövő állapotváltozását vizsgálja.
Tételezzük fel például, hogy a terhek nagysága zérus értékről kiindulva fokozatosan éri el
végleges értékét. Az alábbi ábrán bal oldalán egy p tehervektor i-edik elemének ( P i
) és a
hozzá tartozó e
i
elmozdulás-komponensnek a kapcsolatát ábrázoltuk, míg jobb oldalon a
belső saját munkával egyenlővé tehető belső energia - fajlagos – értéke látható.
Természetesen mindegyik erő-elmozdulás (illetve feszültség-alakváltozás) kapcsolat lineáris
a kiindulási feltétel miatt. A külső és belső saját munka értéke ebben az esetben az alábbi
módon számítható:
1 1
,
ˆ
1
WK S
= f ⋅ e+ t ⋅u
dS
2 2
∫ , W
,
:
2 σ ε
B S
= ∫ dV . (9.27)
St
V
9.3. ábra:
Clapeyron-féle
munkatétel
Statikus terhelési folyamat esetén a kinetikus energia elhanyagolható. A Clapeyron-féle
munkatétel szerint ilyen esetben az energiamegmaradás elvének megfelelően a külső erők
által végzett munka teljes egészében rugalmas energiává alakul, vagyis kis elmozdulásokat
végző lineárisan rugalmas anyagú test statikus terhelési folyamatai során a külső saját
munka egyenlő a belső saját munkával:
1 1
ˆ
1
f ⋅ e+ t u dS σ:
ε dV
2 2
∫ ⋅ =
2
∫ . (9.28)
St
A virtuális erők tétele a fenti tétellel formailag azonos (az anyagmodellre alkalmazott
szigorító kitételtől eltekintve), de ott a virtuális erők nem a saját maguk, hanem „idegen”
elmozdulásokon végeznek munkát, ezért megkülönböztetésül a mechanikában gyakran
használják a „saját munkák” illetve „idegen munkák” tétele elnevezést is.
Két további megjegyzés a tételhez:
a./ A Clapeyron-tételt kis elmozdulásokat végző rugalmas testre mutattuk be, de
elvileg a tétel bármilyen statikus terhelésű szilárd testre alkalmazható.
b./ Fontos tudnunk, hogy a külső potenciál nem egyenlő a külső saját munkával! A
sajátmunka-tételben a tényleges erők és elmozdulások értéke szerepel, míg a
potenciális energia kifejezésében minden tag ismeretlen elmozdulások
függvényében kerül felírásra.
10.06.20. 143
V

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
B./ Castigliano 130 első tétele
Ez a tétel a potenciális energia minimumtételének speciális változata. Véges szabadságfokú
rendszereknél a teljes potenciális energia felírható n darab elmozdulás-komponens (
e 1 , e2
,....,
e n ) segítségével, így a minimumfeltétel
∂ Π ∂ Π
∂ Π
= 0 , = 0 , .... ...., = 0
(9.29)
∂ e ∂ e
∂
alakú lesz. Ha a testre csak az
adott
1
2
e n
e 1 , e2
,... ...., en
ismeretlen elmozdulások helyén működnek
1 , f 2 ,... f n külső erők, akkor a külső erők potenciálja:
Π K = − ( f 1e1
+ f 2e2
+ .... .... f nen
) . (9.30)
f ...,
Ennek az i-edik elmozdulás szerinti deriváltja:
∂ Π K
∂ Π ∂ Π B
= − fi
, így = − fi
+ =0.
∂ e
∂ e ∂ e
i
i
i
(9.31)
Ennek alapján adódik a Castigliano első tétele néven ismert összefüggés:
∂ Π B
= fi
, i =1,2,... ..., n . (9.32)
∂ ei
A tétel pontos megfogalmazása: lineárisan rugalmas anyagú testek esetén a belső
alakváltozási energiának egy elmozdulás szerinti deriváltja egyenlő az elmozdulás
helyén ható külső erő elmozdulás irányú vetületével.
C./ Castigliano második tétele
Ez a tétel a kiegészítő potenciális energia minimumtételének egy speciális változataként
szokták definiálni, de lényegében a virtuális erők tételével azonosítható. Ha a teljes
kiegészítő potenciált n darab külső dinám függvényeként írjuk fel, akkor a minimumfeltétel
az alábbi alakú lesz:
~ ~
~
∂ Π ∂ Π ∂ Π
= 0, = 0, ... ..., = 0 . (9.33)
∂ f1
∂ f 2 ∂ f n
Ebből levezethető Castigliano második tétele:
~
∂Π B
= ei
, i = 1,2,... ..., n . (9.36)
∂ f
i
A tétel megfogalmazása: Lineárisan rugalmas anyagú testek esetén a belső kiegészítő
energiának egy külső dinám szerinti deriváltja egyenlő a dinám helyén keletkező
elmozdulás erő irányú vetületével. Alkalmazhatóságának két feltétele van:
a./ Az összes külső és belső erő ismert legyen (például egy statikailag határozott
tartón az adott terhek figyelembevételével meghatároztuk a reakciókat is, stb.)
b./ A támaszoknál az elmozdulások zérus értékűek.
130
Carlo Alberto Castigliano (1847 – 1884) olasz vasútépítő mérnök. Sokat foglalkozott
matematikai és fizikai kérdések – többek között a rugalmas mechanikai rendszerek
energiaviszonyainak – elemzésével.
10.06.20. 144

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Ennek a tételnek és a virtuális erőkre vonatkozó munkatételnek a kapcsolata viszonylag
egyszerűen belátható. Az általánosság megsértése nélkül ezt most egy egyszerű feladaton
illusztráljuk. Vizsgáljuk meg például az ábrán látható szerkezetet, ahol a P
i
erő alatti e
i
eltolódást kívánjuk meghatározni:
9.4. ábra. Elmozdulás számítása
Az elmozdulás számításához a virtuális erők tételének alkalmazásánál a vizsgált metszetbe
egy virtuális erőt helyezünk el (legyen ez most maga a P
i
erő!), és felírjuk a virtuális
kiegészítő munkák azonosságát (az indexismétlés nem jelent összegzést, most csak a
változók sorszámát jelzi):
1 1
Pe
i i
= M
ténylegesM virtuálisdl ei M
ténylegesM virtuálisdl
EI
∫ ⇒ =
PEI
∫ . (9.37)
l
Ha Castigliano második tételét alkalmazzuk ugyanerre a feladatra, akkor a következőt kell
tennünk az elmozdulás számításához: a külső erők függvényében felírjuk a belső
komplementer energiát, majd deriváljuk azt P
i
szerint.
∂Π%
1 ∂ 2 1 ∂M
tényleges
ei = = M
ténylegesdl = M
tényleges
dl
∂P 2EI ∂P ∫
EI
∫
. (9.38)
∂P
i i l
l
i
Mivel azonban a tartón működő egyetlen darab
nyomatékábra
i
i
i
l
P erő hatására keletkező virtuális
P -vel elosztott értéke mindig megegyezik a teljes erőrendszerből kapott
nyomatéki ábra P
i
szerinti deriváltjával, vagyis:
∂M
tényleges M
virtuális
= , (9.39)
∂Pi
Pi
így a kétféle számítási mód formálisan is azonos matematikai kifejezésre vezet.
Megjegyzés:
Castigliano II. tételének azt a változatát, amelynél a kiegészítő belső energiát nemlineárisan
rugalmas anyagmodell segítségével számítják, a mechanika szakirodalma Crotti 131 -
Engesser 132 tételnek nevezi (lásd a későbbi kommentárt az energiatételek nemlineáris
anyagmodellek esetére történő alkalmazásáról).
D./ Castigliano harmadik tétele
131 Crotti ( – 1886) olasz matematikus és mérnök, először ő publikálta az említett elvet 1879-ben.
132 Friedrich Engesser (1848 – 1931) kiváló német tervezőmérnök, sokat foglalkozott rudak
képlékeny kihajlásával. Néhány évvel Crotti után – tőle függetlenül – fogalmazta meg a róluk
elnevezett tételt.
10.06.20. 145

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Ez a tétel szintén a kiegészítő potenciális energia minimumtételének sajátos változata. Ha a
kiegészítő energiát olyan külső erők függvényében írjuk fel, amelyeknek helyén sehol nem
keletkezik elmozdulás, akkor a II. tétel az alábbi alakú lesz:
~
∂ Π B
= 0 , i = 1,2,... ..., n . (9.40)
∂ f i
Ilyen gyakorlati eset például a statikailag határozatlan szerkezetek számításánál fordulhat elő,
akkor a zérus elmozdulásokkal rendelkező erők éppen a szerkezetek X i fölös kapcsolati erői
(vagy esetleg igénybevételei) lesznek:
~
∂ Π B
= 0 , i = 1,2,... ..., n . (9.41)
∂ X i
Az eddigiekben leírt kiegészítő tételeket táblázatban foglaltuk össze.
9.1 Példa
10.06.20. 146

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Vizsgáljuk meg [ 7 ] alapján az ábrán látható szerkezetet és Castigliano első tételének
segítségével határozzuk meg a rúderőket.
9.4. ábra:
Rúdszerkezet
vizsgálata
9.2 Példa
A belső energia számításánál az egyszerűsítés kedvéért használjuk ki a szimmetriát,
így elegendő 1, 2 és 3 jelű rudakról beszélnünk:
2
2
2
E1 A1
u1
E2
A2
u2
E3
A3
u3
Π B = + 2 + 2 .
l 2 l 2 l 2
1
2
A „B” pont függőleges elmozdulása megegyezik u1
-gyel. Castigliano első tételét
alkalmazva:
∂ Π B E1
A1
E2
A2
∂u2
E3A3
∂ u3
PB
= = u1
+ 2 u2
+ 2 u3
.
∂ u1
l1
l2
∂u1
l3
∂ u1
Az egyes elmozdulások közötti összefüggések:
∂ u2
∂ u3
u 2 = u1
cosα
2 , u3
= u1
cosα3
, = cosα
2 , = cosα3
.
∂ u1
∂u1
Ezeket behelyettesítve:
⎡ E1
A1
E2
A2
2 E3
A3
2 ⎤
P B = u1 ⎢ + 2 cos α 2 + 2 cos α 3 ⎥ .
⎣ l1
l2
l3
⎦
Innen:
PB
E1A1
E2
A2
2 E3
A3
2
u1 = , C = + 2 cos α 2 + 2 cos α3
.
C l1
l2
l3
A keresett rúderők:
E1
A1
PB
E2
A2
PB
E3
A3
PB
S1 = , S2
= cosα
2 , S3
= cosα3
l C l C
l C
1
2
Határozzuk meg Castigliano II. tételének felhasználásával az ábrán látható szerkezet B
pontjának függőleges és vízszintes eltolódását a függőleges P erő hatásából! A két rúd
normálmerevsége azonos.
3
3
10.06.20. 147

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
9.5. ábra: A „B” csomópont eltolódásainak számítása
Számítsuk ki először a függőleges eltolódást. A komplementer belső energia:
2 2
1 SBClBC
1 SBDlBD
Π %
b
= + .
2 EA 2 EA
A rúderők a függőleges P erőből:
SBC
= 0,732 P, SBD
= 0,518P
.
Behelyettesítés után:
2 2
0.535P lBC
0, 268P lBD
Π %
b
= + .
2EA
2EA
A függőleges eltolódás:
∂Π%
b
0,536PlBC 0, 268PlBD
P
eBy = = + = ( 0,536lBC + 0,268lBD
) .
∂P EA EA EA
A vízszintes eltolódás meghatározásához a B pontra egy fiktív vízszintes H erőt iktatunk be,
majd meghatározzuk a rúderőket a két erő együttes hatásából:
SBC
= 0,732P + 0,732 H , SBD
= 0,518P − 0,897H
.
A kiegészítő potenciális energia ebben az esetben:
2 2
(0,732P + 0,732 H ) lBC
(0,518P − 0,897 H ) lBD
Π %
b
= +
.
2EA
2EA
A keresett eltolódás:
∂Π %
b
0,732(0,732P + 0,732 H ) lBC 0,897(0,518P − 0,897 H ) lBD
eBx
= = −
.
∂H EA EA
A következő lépésben a fiktív segéderő értékére nullát helyettesítünk, így a végeredmény:
2
e = P
Bx
0,732 lBC 0,897 0,518l
BD
EA ⎡ ⎣ − ⋅ ⎤ ⎦ .
Megjegyezzük, hogy a második feladatnál alkalmazott technika általános: ha olyan eltolódást
keresünk a II. Castigliano-tétel segítségével, ahol nincs erő (vagy nem olyan irányú, mint a
keresett eltolódás), akkor mindig egy fiktív erővel kell kiegészíteni a terhelést, így kell
számítani a módosított komplementer belső energiát és végrehajtani a deriválást. Az utolsó
lépésként 133 az eredményben zérusra választjuk a kiegészítő erőt.
9.3 Példa
133 Megjegyezzük, hogy a számítás egyszerűsíthető, ha a deriválást az integrálást (vagy összegzést)
megelőzően elvégezzük, és már behelyettesítjük a zérus értéket a fiktív erőnél.
10.06.20. 148

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Castigliano II. tételének segítségével [ 7 ] alapján számítsuk ki az ábrán látható szerkezetnél
az erő irányú eltolódást. Az anyagi paraméterek ( E , ν ) adottak, a rúd keresztmetszete kör, a d
átmérő állandó.
9.6. ábra:
Elmozdulás
számítása
9.4 Példa:
A BC szakaszon a belső kiegészítő energia változása:
~
a
∂ Π
3
B,
BC 1
Pa
= ∫ ( −Py)(
− y)
dy = .
∂ EI
3EI
P
0
A CD szakaszon már a csavarás hatását is figyelembe kell venni:
b
∂ Π
~ 2
B,
CD 2(1 + ν)
1
2(1 + ν)
Pa b Pb
3
= ( Pa)
ab + ( −Px)(
−x)
dx =
+
∂ P EI
EI
∫ .
EI 3EI
Az utolsó (DG) szakaszon:
~
Π B DG Pc 1
= +
∂ EA EI
0
0
c b
∂
2 2
, 1
Pc Pc(
b + a )
∫ ( Pb)
b dz + ∫ ( Pa)
a dz = +
P EI
EA EI
0 0
Az egész szerkezetre:
~ ~ ~
∂ Π ∂ Π
B B,
BC ∂ Π B,
DG ∂ Π B,
DG
= + + .
∂ P ∂ P ∂ P ∂ P
Behelyettesítve a hajlítási és csavarási inerciát, az eredmény:
∂ Π B 4P
3 3
2 2
= eB z = 16( a + b ) + 48c(
a + b ) + 48(1 + ν)
a
4
∂ P 3πEd
2 2
[ b + 3cd
]
A Crotti-Engesser-tétel segítségével határozzuk meg az ábrán látható szerkezetnél az erő
alatti függőleges eltolódást.
A rúd anyaga nemlineárisan rugalmas: σ = K ε
2
, ahol K ismert anyagállandó. Valamennyi
rúd keresztmetszete A.
1
0
.
.
10.06.20. 149

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
9.7. ábra: Eltolódás számítása
A szerkezet teljes belső kiegészítő energiája:
1 2
2 2
~ ⎛
σ
σ
⎞
⎜ σ
σ
2 ⎟ Ab
Π = Ab
σ =
⎜ ∫ dσ +
2 ∫ d
2 ⎟
⎝ 0
K
0
K ⎠ 3K
3 3
( σ + 2 σ )
B 2 1 2 .
Az egyes rudak közötti statikai egyensúlyból következik, hogy
3
P 2 P ~ 5P
b
σ 1 = , σ2
= ⇒ Π B = .
2 2
A A 3A
K
A keresett eltolódás:
~ 2
∂ Π B 5P
b
eV = = .
2 2
∂ P A K
Megjegyezzük, hogy ez a feladat is megoldható a virtuális erők tételének alkalmazásával,
hiszen a munkatétel is alkalmas bármilyen anyagi viselkedés követésére. Ha ezt akarjuk
használni, akkor először ki kell számítanunk a valódi teherből a rudakban keletkező
alakváltozásokat:
2 2
σ1 σ
2
" AB" rúd : Ab , " CB" rúd : 2Ab
2 2 .
K
K
Írjuk fel most a virtuális kiegészítő belső munkát (figyelembe véve a virtuális erőből
keletkező virtuális feszültségeket):
2 2
σ1 σ2
δ W% b
= Ab δσ
2 1
+ 2Ab
δσ
2 2
.
K
K
Helyettesítsük be ide a feszültségeknek a külső erőktől való függését, azzal az
egyszerűsítéssel élve, hogy a virtuális erő legyen maga a függőleges P teher:
3
b 3 3 5P b
δ W% b
=
2 2 ( P + 22 2P
) = .
2 2
A K
A K
A külső virtuális kiegészítő munka:
δ W % k
= δ PeV = Pe . V
A kétféle munka egyenlőségét felírva már ki tudjuk számítani – az előzővel azonos –
végeredményt.
9.5 Példa:
Castigliano III. tételének segítségével [ 7 ] alapján határozzuk meg az ábrán látható tartó „A”
pontbeli nyomatékát.
10.06.20. 150

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
9.8. ábra: Nyomaték számítása
Használjuk fel a szimmetriát az ábrán látható módon. Mivel az „A” pontban nincs
elfordulás, alkalmazhatjuk Castigliano III. tételét:
~
∂ Π B
ϕ A = = 0 .
∂ M A
PR
Írjuk fel a nyomaték függvényét M A segítségével: M z = − M A + (1 − cosΘ)
.
2
~
π
2
∂ M z ∂ Π B 1 ⎡ PR ⎤
Mivel = −1 , így = ∫ ⎢−
M A + (1 − cos Θ)
⎥ ( −1)
R dΘ
.
∂ M A ∂ M A EI
0
⎣ 2 ⎦
Innen a keresett eredmény:
PR 2
PR 2
M A = (1 − ) , illetve M z = ( − cosΘ)
.
2 π
2 π
Energiatételek nemlineárisan rugalmas, illetve rugalmas képlékeny anyagú
szerkezetek vizsgálatára
A potenciális energia illetve a kiegészítő potenciális energia minimumtételeinél
hangsúlyoztuk, hogy lineárisan rugalmas anyagú szerkezetek vizsgálatára érvényesek.
Greenberg 134 azonban már 1949-ben kimutatta, hogy bizonyos korlátozásokkal a tételek
kiterjeszthetők nemlineárisan rugalmas anyagú, sőt képlékeny szerkezetek vizsgálatára is.
Ilyen esetekben az energiafüggvények konvexitását kell megkövetelnünk (lásd a Druckerféle
stabilitási posztulátumokat az anyagmodelleknél). Ennek alapján nemlineárisan
rugalmas anyagú szerkezeteknél gyakorlati feladatokra alkalmas változatot pl. Crotti és
Engesser dolgozott ki a róluk elnevezett tétel formájában (lásd a korábbi példát).
Megjegyezzük, hogy lineárisan rugalmas anyagoknál a belső alakváltozási
energiafüggvények kvadratikus jellege automatikusan biztosította a konvexitást.
Rugalmas-képlékeny anyagú szerkezetek vizsgálatára az energiatételeknek két változata
használatos:
A./ Greenberg minimumtétele:
Π & ( u& ) = Ψ( ε& ) dV − g&
⋅u& dV − tˆ
⋅u& dS . (9.42)
∫ ∫ ∫ &
V V S t
Az u& kompatibilis sebességmezők közül az a valódi, mely minimalizálja a fenti
funkcionált, amely a potenciális energia változását jellemzi. A jobb oldal első tagja a
rugalmas-képlékeny anyagú szerkezet belső energiáját jelöli.
134 Herbert Greenberg (1921 – 2007) amerikai matematikus, a variációs elvek képlékenységtani
alkalmazásáról ismert.
10.06.20. 151

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
B./ Hodge 135 – Prager minimumtétele:
Π
&% ( σ& ) = Ψ%
( σ& ) dV − u% & ⋅q&
dS . (9.43)
∫
∫
V S u
A statikai feltételeket és a képlékenységtani előírásokat kielégítő feszültség-sebesség
mezők közül az az igazi, amely minimalizálja a kiegészítő potenciális energia
változását leíró funkcionált. Jelen változatban a tömegerők változását nem vettük
figyelembe.
A belső kiegészítő potenciális energia származtatása a potenciális energia
függvényéből
A komplementer energia függvényét a virtuális erők tételének felhasználása nélkül,
közvetlenül a potenciális energiára építve is előállíthatjuk, ha alkalmazzuk a konjugált
függvények számítására alkalmas ún. Legendre 136 -Fenchel 137 transzformációt.
Maga a transzformáció a következőképpen definiálható: minden tetszőleges ϕ
∗
konvex függvénynek előállítható az úgynevezett konjugált ϕ függvénye:
∗
dϕ
ϕ ( p) = max [ px − ϕ ( x) ],
ahol p = . (9.44)
dx
Ha a belső kiegészítő potenciális energia előállítására alkalmazzuk a tételt, akkor Π ~
B mint
konjugált függvény a következő egyszerű számítással adódik (lásd a 9.9-es ábrát), hiszen
∂Π( ε)
σ = : ∂ ε
Π % = σ: ε -Π( ε)
. (9.45)
9.9. ábra:
Kiegészítő
potenciális
energia
B
Felhasznált irodalom:
135 Philip Gibson Hodge (1920 - ) amerikai gépészmérnök, a képlékenységtan kiváló kutatója.
136 Adrien-Marie Legendre (1752 – 1833) kiváló francia matematikus, főleg számelmélettel,
függvénytannal és matematikai statisztikával foglalkozott.
137 Werner Fenchel (1905 – 1988) német matematikus, elsősorban geometriai feladatok vizsgálatát
tárgyaló munkáiról ismert.
10.06.20. 152

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
1./ Kaliszky S. – Kurutzné K. M. – Szilágyi Gy.: Szilárdságtan, Egyetemi Tankönyv, 2000.
2./ Verhás J.: Termodinamika és reológia, Műszaki Könyvkiadó, 1985.
3./ Kurutzné K. M.: Klasszikus és módosított variációs elvek, Egyetemi Jegyzet, 2005.
5./ Felippa, A. C.: A survey of parametrized variational principles and applications to computational
mechanics, Comp. Methods Appl. Mech. Eng., Vol. 113, pp. 109 – 139, 1994.
6./ Fung: Foundation of Solid Mechanics, Prentice Hall, 1965, 1994.
7./ Ugural, A.C. – Fenster, S.K.: Advanced Strength and Applied Elasticity, Edward Arnold Publ.,
1984.
8./ Reddy, J. N.: Energy Principles and Variational Methods in Applied Mechanics, John Wiley,
2002.
9./ Richards, T. H.: Energy Methods in Stress Analyis, John Wiley 1977.
10./ Belytschko, T. – Liu, W.K. – Moran, B.: Nonlinear finite elements for continua and structures,
John Wiley, 2000.
11./ Budynas, R. G. : Advanced Strength and Applied Stress Analysis, McGraw-Hill, 1999.
10. Előadás: Szilárdságtani feladatok megoldási módszerei
A feladatok osztályozásának matematikai szempontjai a feladat
megfogalmazásának alapján
A következőkben áttekintjük azokat a matematikai megfogalmazási és megoldási típusokat,
amelyeket a mechanika szilárdságtani feladatainak elemzésénél használni szoktunk. A
mostani témakör alapvetően időfüggetlen (kvázistatikus terhelésű) és rugalmas anyagú
szilárd testek mechanikai vizsgálatával foglalkozik, így alkalmazási köre is értelemszerűen
szűkebb, mint a korábban vizsgált feladatoké (a korábbi változatokkal való kapcsolatra
természetesen utalunk). Az építőmérnöki mechanikában nagyon fontos ennek a speciális
témakörnek a szerepe, ezért kell külön is foglalkoznunk vele.
A./ Peremérték típusú feladatmegfogalmazás 138 („erős” alak):
Lu = f , u ∈ D , f ∈ H ⇒ u ∈ D , Lu = f . (10.1)
L
0 L 0
Ebben a feladatmegfogalmazásban az ismert L operátor az ismeretlen u függvények
készletét leképezi az ismert f függvények halmazára. Az L operátor általános esetben
nemlineáris. Mechanikai feladatoknál ez a feladatmegfogalmazás általában
differenciálegyenletek vagy differenciálegyenlet-rendszerek felírását jelenti.
Megjegyezzük, hogy a (10.1) alatti egyenletben u
0
a feladat megoldását jelöli..
B./ Variációs típusú feladatmegfogalmazás („gyenge” alak):
F(u) = ∫ I( u) dΩ ⇒ u0
∈DL
. (10.2)
Ω
A funkcionál nemlineáris operátorú peremértékfeladat esetén is megfogalmazható, de
végleges alakja alapvetően függ az operátor típusától. Mechanikai feladatoknál ez a
változat szerepelt korábban a virtuális teljesítmények (munkák) integrálegyenleténél,
mint az erős változatból létrehozott alak, és már azt is bemutattuk, hogy a variációs
megfogalmazásokhoz tartoznak az energiaelvű mechanikai feladatok is (lásd a 9. hét
anyagát).
138 Megjegyezzük, hogy az ebben a fejezetben használt lineáris algebrai fogalmak definícióiról rövid
összefoglaló található a „Függelék”-ben.
10.06.20. 153

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
A különböző matematikai megfogalmazású feladatok megoldásainak
egyenértékűsége
A matematikailag különböző módon megfogalmazott mechanikai feladatok megoldásai
egymásnak megfeleltethetők. A 7. előadásban („A mechanika alapvető egyenletei”)
általános esetre már ismertettük az alapképletek egymást helyettesítő „erős” és „gyenge”
változatát. Ez a kapcsolat természetesen a most tárgyalt „egyszerűbb” változatok esetén is
igaz, például az egyensúlyi feladatoknál felírható Lu = f peremértékfeladat az L operátor
pozitív volta miatt mindig megfeleltethető az
1
F( u) = Lu, u − f , u
(10.3)
2
funkcionálnak (a peremérték-feladat u
0
megoldása ebben az esetben a funkcionál minimumát
adja és megfordítva: a funkcionál minimumát biztosító függvény megoldása a peremértékfeladatnak).
A példaként említett kapcsolat bizonyítása (lineáris operátorok esetére):
Legyen u0 ∈ DL
egy rögzített, η∈ DL
pedig egy tetszőleges függvény és t egy
tetszőleges paraméter. Vegyük fel a keresett ismeretlen u függvényt most az alábbi
módon:
u = u0
+ η t , (10.4)
majd vizsgáljuk az F(u) fukcionál változását a t paraméter szerint:
1
F( u) = F( u0 + η t) = L( u0 + η t), u0 + ηt − f , u0
+ η t = (10.5)
2
1 1 1 1 2
= Lu0, u0 + t Lu0, η + t Lη , u0 + t Lη, η − f , u0
− t f , η .
2 2 2 2
Vizsgáljuk meg az első deriváltat, felhasználva az L operátor szimmetrikus jellegét:
dF
Lu , , ,
0
t L f
dt = η + η η − η . (10.6)
a.) Legyen u
0
megoldása az L u = f feladatnak, azaz
Lu0
= f . (10.7)
Ekkor t = 0 esetén:
dF
Lu0 − f = 0 ⇒ = 0, η + t Lη, η = 0 , (10.8)
dt
azaz u = u0
esetén az F funkcionál stacionárius és
2
d F
= Lη, η > 0 . (10.9)
2
dt
Mivel L pozitív operátor, az F funkcionálnak valóban minimuma van.
b.) „Fordított” gondolatmenettel: legyen F-nek minimuma t = 0-nál:
dF
= Lu0, η − f , η = Lu0
− f , η = 0, ∀η∈ DL
. (10.10)
dt
t=
0
Mivel az utolsó tag a minimum miatt zérus, az ortogonalitási tételből az következik,
hogy u
0
megoldása a peremérték-feladatnak.
10.06.20. 154

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Mechanikai illusztráló példák:
a.) Axiálisan terhelt állandó normálmerevségű rúd modelljei:
2
d u
- peremértékfeladat: − EA = p( x) ,
(10.11)
2
dx
- variációs feladat:
2
EA ⎛ du ⎞
⎜ ⎟ dx − pu dx → min.
⎝ dx ⎠
∫ ∫ (10.12)
2 l l
b.) Tengelyére merőlegesen terhelt állandó hajlítómerevségű hajlított
gerenda modelljei:
4
d w p( x) - peremértékfeladat: =
4 ,
(10.13)
dx EI
2
2
EI ⎛ d w ⎞
⎜ ⎟ dx − p wdx
2 l
dx
l
∫ ∫ (10.14)
- variációs feladat:
→ min.
2
⎝ ⎠
A feladatokhoz tartozó peremfeltételeket természetesen mindegyik feladattípusnál ki
kell elégíteni. Megjegyezzük, hogy az egyes feladatokban használt deriválások eltérő
fokszáma miatt a keresett függvények általában különböző folytonossági osztályhoz
tartoznak.
A feladatok osztályozásának matematikai szempontjai a feladat
megoldásának alapján:
A./ Pontos megoldások
A peremérték-feladatok legegyszerűbb változatainál lehet csak őket alkalmazni. A
differenciálegyenletek közvetlen integrálhatóságára és a peremfeltételek pontos
figyelembevételére építő megoldásokat alkalmaznak.
Mechanikai példák:
- hajlított gerenda, egyszerű terhek, merevségi viszonyok illetve
peremfeltételek esetén,
- húzott-nyomott rúd, egyszerű terhek, merevségi viszonyok illetve
peremfeltételek esetén,
- központosan nyomott rúd stabilitásvizsgálata, stb.
A gyakorlati feladatok nagy részében a „pontos” megoldások nem használhatók a
geometriai, anyagtulajdonsági, terhelési és peremfeltételi adatok változékonysága
miatt.
B./ Közelítő megoldások
A közelítő megoldások nagyon jelentősek a mechanikában, a problémák döntő többsége csak
így vizsgálható. Mechanikai feladatoknál használt fontosabb csoportjaik:
B1./ A peremértékfeladatok fordított/félfordított megoldásai
10.06.20. 155

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
A feladat feltételezett megoldását vesszük fel egy „Ansatz” (egy matematikai „sejtés”) és a
peremfeltételek segítségével, majd pedig fokozatos módosítással-próbálgatással közelítjük a
„pontos” eredményt.
Tipikus mechanikai példák az ilyen vizsgálati technikára a 2D és 3D rugalmasságtani és
törésmechanikai feladatok feszültségfüggvényes megoldásai.
B2./ A peremértékfeladat diszkretizált megoldása („differenciamódszer”)
A módszer a differenciálegyenleteket differenciaegyenletekké alakítja át. A
peremértékfeladathoz tartozó (1, 2D vagy 3D) tartományt jellegének megfelelő ráccsal
lefedve az egyes rácspontokban (illetve környezetükben) keressük a feladat ismeretlen
függvényeinek diszkrét értékeit.
Tranziens illetve egyensúlyi feladatok vizsgálatára egyaránt alkalmas, de bonyolult geometria
és peremfeltételrendszer illetve jelentős mértékben változó szilárdsági viszonyok esetén
alkalmazása nehézkessé válik.
B3./ Hibavektor típusú feladatmegfogalmazás
Ez tekinthető ma a leghatékonyabb numerikus technikának mind nemlineáris, mind lineáris
operátorú feladatok vizsgálatára. Tárgyalása túllép a „Mechanika MSc” témakörén, ezért
részletes elemzését a „Végeselemmódszer matematikai alapjai” c. tárgy keretében adjuk
meg, most csak egy tömör, egyszerűsített összefoglalót adunk róluk.
A hibafeltételt többnyire kétféle különböző kritérium alapján szokás felvenni:
a./ Vetületi, vagy más néven ortogonalitási feltétel:
A kiszemelt hibavektor egy altérre legyen ortogonális.
u ∈ D , Lu = f ⇒ Lu − f , v = 0 . (10.15)
0 L
0
Az L operátor általános esetben nemlineáris. Ezt a megoldási módot nemlineáris
operátorú vagy stacionaritási feltétellel nem rendelkező lineáris operátorú
peremértékfeladatoknál alkalmazzák elsősorban (lásd Galjorkin 139 -módszer).
b./ Hossz- vagy más néven stacionaritási feltétel:
A hibavektor kiválasztása után felírt bilineáris alak értéke legyen minimális. Egy
lehetséges felírási módja:
1
u0
∈ DL
, Lu = f ⇒ F( u) = Lu, u − f , u = stac.
(10.16)
2
Itt L lineáris és pozitív operátor. Ez a vizsgálati módszer főleg lineáris egyensúlyi
feladatok elemzésénél hatékony (lásd a Ritz 140 -módszer technikáját).
Akár az „a”, akár a „b” módszert alkalmazzuk, a hibafeltételek alapján történő
számítás végső soron egy inhomogén (vagy homogén), lineáris (vagy nemlineáris)
egyenletrendszer megoldásához vezet.
139 Borisz Grigorjevics Galjorkin (1871 – 1945) kiváló fehérorosz mérnök.
140 Walter Ritz (1878 – 1909) tragikusan fiatalon elhunyt híres svájci fizikus. Ritz és Galjorkin
életrajza a tanszéki honlapon megtalálható.
10.06.20. 156

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Megjegyezzük, hogy a mechanikai feladatokhoz kapcsolódó nemlineáris
egyenletrendszerek megoldási technikáiról a 8. előadásban egyensúlyi feladatok esetére már
ismertettünk egy algoritmust.
Kifejezetten részletesen ezeket a matematikai eljárásokat csak a végeselemek technikájával
foglalkozó tárgyaknál, ott is elsősorban a nemlineáris feladatok körében mutatjuk majd be
(Newton-Raphson 141 módszer, feltételes szélsőértékek módszere: Lagrange-szorzók és
büntetőfüggvények használata, explicit-implicit időintegrálási technikák, stb).
A „Nemlineáris végeselemmódszer” c. tárgyban foglalkozunk azokkal a speciális iterációs
technikákkal is, amelyek az egyes tranziens jelenségek leírásához (elsősorban az
időintegrálási lépésekhez) szükségesek (Runge 142 -Kutta 143 -, Euler-, Newmark 144 -
módszerek, stb).
A feladatok osztályozása mechanikai szempontok alapján
A mechanikai szempontok szerinti osztályozás alapvetően a feladatban szereplő elsődleges
ismeretlen változó jellegétől függ (maguk a feladatok matematikai formájukat tekintve
természetesen lehetnek peremérték vagy pedig variációs feladatok). Három nagy csoportot
különböztetünk meg:
A./ Elmozdulás típusú ismeretlen változókat tartalmazó feladatok
Az ismeretlen változók mozgás jellegűek: elmozdulás-, sebesség- vagy
gyorsulásmezők, esetleg (ritkábban) alakváltozásmezők. Az egyensúlyi feladatok
vizsgálatának körén belül (itt a sebességmező a kvázistatikus terhelési folyamatok
miatt zérus) ezt a változatot elmozdulásmódszernek nevezik. A peremfeltételeknek
az extenzív változókra kell vonatkozniuk.
B./ Erő típusú ismeretlen változókat tartalmazó feladatok
Az ismeretlen változók kapcsolati erő-, igénybevétel- vagy feszültségmező jellegűek.
Az egyensúlyi feladatoknál ezt a változatát erőmódszernek nevezzük. A
peremfeltételeknek az intenzív változókkal kell kapcsolatot teremteniük.
C./ Vegyes módszerek
Az ismeretlen függvények extenzív és intenzív típusú komponenseket egyaránt
tartalmaznak. Az egyensúlyi feladatoknál ezt a technikát vegyes módszernek nevezik.
A peremfeltételeket mindkét változótípus esetében ki kell elégíteni. Ezt az eljárást a
„Végeselemmódszer matematikai alapjai” című jegyzetben tárgyaljuk.
141 Joseph Raphson (1648 – 1715) angol matematikus. Newtontól függetlenül dolgozta ki iterációs
eljárását nemlineáris feladatok vizsgálatára.
142 Carl David Tolme Runge (1856 – 1927) német matematikus és fizikus. Elsősorban numerikus
analízissel foglalkozott.
143 Martin Wilhelm Kutta (1867 – 1944) német matematikus, differenciálegyenletekkel illetve
aerodinamikai vizsgálatokkal kapcsolatos munkáiról ismert.
144 Nathan Mortimore Newmark (1910 – 1981) amerikai építőmérnök. Sokat tett a modern
numerikus módszerek statikai és szilárdságtani számításokba történő bevezetéséért.
10.06.20. 157

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Az elmozdulásmódszer alapegyenletei kis alakváltozású, lineárisan
rugalmas anyagú egyensúlyi feladatoknál
Az adott feltételek esetén 15 darab ismeretlen háromváltozós függvényt (6 feszültség-, 6
alakváltozás- és 3 eltolódásfüggvényt) 15 egyenlet (Cauchy-egyenletek, geometriai
egyenletek és az anyagmodellek összefüggései) valamint a peremfeltételek kapcsolnak össze.
Az elmozdulásmódszer feladatmegfogalmazási gondolatmenete (skalár egyenleteket
használva az illusztráláshoz) a következő:
Első lépésként helyettesesítsük be az anyagmodellek feszültségekre kifejezett alakjába a
geometriai egyenletekkel felírt elmozduláskomponenseket:
∂u ∂v ∂w
σx = λe + 2 G ,σy = λe + 2 G ,σz
= λe + 2 G ,
(10.17)
∂x ∂y ∂z
⎛ ∂v ∂u ⎞ ⎛ ∂w ∂v ⎞ ⎛ ∂u ∂w
⎞
τ
xy
= G⎜ + ⎟, τ
yz
= G⎜ + ⎟, τ
zx
= G⎜ + ⎟.
(10.18)
⎝ ∂x ∂y ⎠ ⎝ ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂z ∂x
⎠
A képletekben G a nyírási rugalmassági modulus, λ a Lamé-állandónak nevezett anyagi
2Gν
paraméter (G-vel és a Poisson-tényezővel kifejezve: λ = ), e pedig most az alakváltozástenzor
első skalár invariánsát jelöli, ezt kivételesen ebben a fejezetben az eredeti levezetés
1 − 2 ν
iránti tiszteletből hagytuk meg ilyen alakban:
∂u ∂v ∂w
e = I′
1
=ε
x
+ ε
y
+ ε
z
= + +
∂x ∂y ∂ z
. (10.19)
Alakítsuk most át az egyensúlyi egyenletrendszer első egyenletét. Ehhez deriváljuk x szerint
σ
x
, majd y szerint τ
x y
, és z szerint τ
x z
képletét:
2 2 2 2 2
∂σx ∂ u ∂e ∂τx y ∂ v ∂ u ∂τx z ∂ w ∂ u
= 2 G + λ , = G + G , = G + G . (10.20)
2 2 2
∂x ∂x ∂x ∂y ∂x∂y ∂y ∂z ∂x∂z ∂z
Helyettesítsük be ezeket a képleteket az első Cauchy-egyenletbe:
2 2 2 2 2 2
∂e ⎛ ∂ u ∂ v ∂ w ⎞ ⎛ ∂ u ∂ u ∂ u ⎞
λ + G ⎜ + + G g 0
2 ⎟ + ⎜ + +
2 2 2 ⎟ +
x
= . (10.21)
∂x ⎝ ∂x ∂x∂y ∂x∂z ⎠ ⎝ ∂x ∂y ∂z
⎠
Az első zárójelben szereplő kifejezés átalakítható:
2 2 2
∂ u ∂ v ∂ w ∂ ⎛ ∂u ∂v ∂w ⎞ ∂e
+ + =
2
⎜ + + ⎟ = , (10.22)
∂x ∂x∂y ∂x∂z ∂x ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ∂x
a második zárójeles tag pedig a Laplace-operátorral írható fel tömören:
2 2 2
∂ u ∂ u ∂ u
+ + = ∆u
. (10.23)
2 2 2
∂x ∂y ∂z
Hasonlóan átalakítva a második és a harmadik egyenletet, végül a következő
egyenletrendszerhez jutunk:
10.06.20. 158

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
+ G
∂e
+ G∆ u + gx
= 0,
∂x
+ G
∂e
+ G∆ v + g y = 0,
∂y
( λ )
( λ )
∂e
+ G + G∆ w+ gz
= 0.
∂z
( λ )
(10.24)
Ezeket az egyenleteket a mechanikában Navier 145 -Lamé 146 -egyenleteknek hívják. Ez a
rendszer (a feladathoz tartozó peremfeltételekkel együtt) az elmozdulásmódszer alapvető
peremértékfeladati alakja.
Navier-t ábrázolja a bal oldalon,
Lamé-t pedig a jobb oldalon
látható kép.
Megjegyzés: Ha kvázistatikus folyamatok helyett dinamikai vizsgálatokra van szükségünk, a
fenti egyenletrendszernek csak a jobb oldala lesz más, az egyes gyorsulásfüggvényeknek a
tömeg (sűrűség) függvénnyel való szorzatát kell az egyensúlyt kifejező zérus helyére írni:
2
∂e
∂ u
( λ + G)
+ G∆ u + gx
= ρ ,
2
∂x
∂t
∂e
∂ v
+ G + G∆ v + g y = ρ ,
2
∂y
∂t
( λ )
∂e
∂ w
+ G + G∆ w+ gz
= ρ .
2
∂z
∂t
( λ )
2
2
(10.25)
A Navier-Lamé-egyenletek felírása a potenciális energia minimumfeltétele
felhasználásával
Az egyszerűség kedvéért csak egységnyi vastagságú tárcsán síkbeli feszültségállapot esetére
mutatjuk be a levezetést, de ez nem csorbítja az általánosság érvényét. A felhasznált változók
és a geometriai egyenlet mátrix alakban:
⎡ ⎤
⎡ σ ⎤ ⎡ ⎤
∂ 0
⎡ g ⎤
x
⎡u⎤
x
εx
∂x
g = , u = , σ=
σ
,
⎢g
⎥
y
⎢
y ⎣v⎦
⎥
ε=
εy
,: ε = L⋅ u,
L= 0 ∂
, (10.26)
y
⎣ ⎦
τ
∂
⎢⎣
x y ⎥⎦
⎢⎣
γx y ⎥
⎦
∂ ∂
⎢⎣
∂y
∂x⎥⎦
A potenciális energia minimumfeltétele jelen esetben:
145 Claude Louis Marie Henri Navier (1785 – 1836) híres francia építőmérnök, a modern
gerendaelmélet létrehozója, az első színvonalas építőmérnök-képzés megszervezője.
146 Gabriel Lamé (1795 – 1870) francia matematikus, sokat foglalkozott mechanikai feladatokkal is.
Lamé és Navier részletes életrajza a tanszéki honlapon megtalálható.
10.06.20. 159

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
1 T
T
Π= σ ε dA− g u dA = min.
2
∫ ∫ (10.27)
A
Helyettesítsük be az alakváltozások helyére a geometriai egyenleteket, a feszültségeket pedig
írjuk fel a sík feszültségi állapot 3x3-as D anyagi merevségi mátrixának és az
alakváltozásoknak segítségével (lásd az „Anyagmodellek”-ről szóló előadást!):
1 T T 1 T T
Π = ⎛ σ Lu g u ⎞ dA ⎛ ε D Lu g u ∫ − = − ⎞ dA =
⎜⎝ 2 ⎠⎟
∫ ⎝⎜
2
⎟
(10.28)
⎠
A
1 T T T
= ∫ ( u L D Lu− g u) dA=
min.
2
A
Az állandóértékűség feltétele (a kvadratikus alak pozitív definit):
1 T T T
δΠ ( u)
= δ u L D Lu dA −δ g u dA=
u T L T D Lδu dA− g T
δ u dA =
2
A
A
A
A
∫ ∫ ∫ ∫ 0.(10.29)
Az egyensúlyi feltételnek az egész A tartományon belül teljesülni kell, ezért:
⎡ T T T
u L D L g ⎤
⎢ − ⎥ δ u=
0 . (10.30)
⎣
⎦
Mivel δu
tetszőleges (de nem zérus) variáció, így:
T
A
L D Lu= g . (10.31)
Behelyettesítve L és D megfelelő értékeit, az előbbiekben bemutatott egyenletekhez jutunk.
T
Megjegyezzük, hogy az L D L mátrixot merevségi mátrixnak nevezik a mechanikában.
A Navier-Lamé-egyenletek hengerkoordináta rendszerben
Az egyenleteket tranziens feladatok esetére írjuk fel, egyensúlyi problémák esetén
valamennyi egyenlet jobb oldala zérussal egyenlő.
2
∂e
2G
∂ ω ∂ω
r
ur
( 2G)
2 G β ∂
λ + − + + gr
=ρ ,
2
∂r r ∂β ∂ z ∂t
1 ∂ e ∂ ω
u
r ∂ ω ∂
z
β
( λ + 2G) − 2G
+ 2G
+ gβ
=ρ ,
2
r ∂β ∂ z ∂ r ∂ t
(10.32)
2
∂ e 2G
∂ 2G
∂ ωr
∂ u z
( λ + 2G) − ( r ωβ ) + + g z =ρ .
2
∂ z r ∂r
r ∂β ∂ t
A képletekben szereplő ω paraméterek elfordulásokat jelölnek:
1 ⎛ 1 ∂ u ∂u
⎛ ∂
z β ⎞ 1 ⎛ ∂ ur
∂ u z
⎞ 1 uβ
u
ωr
=
⎜ −
⎟ , ωβ
=
⎜ −
⎟ , ωz
=
⎜ +
2 ⎝ r ∂β ∂ z ⎠ 2 ⎝ ∂ z ∂ r ⎠ 2 ⎝ ∂ r r
2
A
β
1 ∂ ur
⎞
−
⎟ . (10.33)
r ∂β ⎠
A Navier-Lamé-egyenletek átalakítása biharmonikus differenciálegyenletekké:
Műszaki számítások során a feladatok numerikus megoldásánál gyakran előnyösebb az
előbbiekben bemutatott egyenletek átírása biharmonikus változattá. Ezt abban az esetben
lehet egyszerűen megtenni, ha eltekintünk a tömegerőktől. Bevezetve a k = λ jelölést, a
G
következő kiindulási egyenleteket kapjuk:
10.06.20. 160

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
∂ e
∂ e
∂ e
( k + 1 ) + ∆u
= 0 , ( k + 1) + ∆v
= 0 , ( k + 1) + ∆w=
0 . (10.34)
∂ x
∂ y
∂ z
Deriváljuk az első összefüggést x, a másodikat y, a harmadikat z szerint, majd az egyenleteket
adjuk össze és most már az alakváltozás-invariánsra alkalmazott Laplace-operátor
segítségével írjuk fel az új egyenletet. A következőt kapjuk (felhasználva az úgynevezett
∂ ∂
Young-féle ∆ = ∆
∂x
∂x
tételt):
2 2 2
∂ e ∂u ∂ e ∂v ∂ e ∂w
( k + 1) + ∆ +
2
( k + 1) + ∆ +
2
( k + 1)
+ ∆ = 0. (10.35/a)
2
∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
( )
k + 1 ∆ e+ ∆ e= 0 ⇒ ∆ e( k + 2) = 0 . (10.35/b)
Mivel k ≠ − 2 , így ∆e = 0 , vagyis e harmonikus függvény.
Alkalmazzuk ennek ismeretében most a Laplace-operátort újból az első
differenciálegyenletre:
⎡ ∂ e ⎤ ∂ e ∂ ⎡ ∂ e ⎤
∆ ( k + 1 ) = ( k + 1) ∆ = ( k + 1) ∆ e= 0 ⇒ ∆ ( k + 1)
+∆∆ u = 0. (10.36)
⎢ ∂ x⎥ ∂ x ∂ x ⎢ ∂ x⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Így végül:
4
4
∂ u ∂ u ∂ u
∆∆ u = 0 = + 2 + = 0 ,
(10.37/a)
4 2 2 4
∂ x ∂x
∂y
∂ y
illetve teljesen hasonlóan a másik két eltolódásfüggvényre:
∆∆v = 0 , ∆∆w
= 0 . (10.37/b)
A Navier-Lamé-egyenletek alkalmazása mechanikai feladatok megoldására
Az elmozdulásmódszerre alapuló megoldási technikát már a XIX. században sikerrel
alkalmazták sok fontos feladat vizsgálatára.
Az első jelentős eredményt Kelvin (adataira vonatkozóan lásd a VI. fejezet lábjegyzetét)
publikálta 147 . Végtelen kiterjedésű, lineárisan rugalmas közegben elhelyezkedő koncentrált
erő hatására keletkező elmozdulások (illetve feszültségek) függvényét határozta meg. A
javasolt (sok lépését tekintve erősen heurisztikus) levezetés részletei iránt érdeklődőknek
8 alatti kiváló művét ajánljuk tanulmányozásra (II. kötet, XIV.
Todhunter és Pearson [ ]
fejezet, „Sir William Thomson munkássága” címmel), most csak cikkének végeredményét
közöljük. A vizsgált kontinuum x,y,z tengelyekkel jelölt koordinátarendszerének
kezdőpontjában elhelyezkedő F erővektor hatására az x koordinátájú pontban keletkező u
eltolódásvektor és az ugyanott létrejövő σ feszültségtenzor értéke az alábbi módon
számítható:
T
1 ⎡3 − 4ν
F x ⎤
u = ⎢ F + x⎥
,
16 (1 )
3
πG − ν ⎣ R R ⎦
⎡
⎤
σ = (1 − 2 ν) ( − − ) − ,
8 (1 )
4
T
1 T T T 3F x T
3 ⎢ I F x F x xF xx
2 ⎥
π − ν R ⎣ R ⎦
(10.38)
147 Sir William Thomson (Lord Kelvin): „Note on the Integration of the Equations of Equilibrium of
an Elastic Solid”, Cambridge and Dublin Mathematical Journal – Math. and Phys. Papers, Vol. 1.
pp. 97-99, 1848.
10.06.20. 161

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
ahol R az origó és a vizsgált pont között távolság, I egy egységmátrix, G a nyírási
rugalmassági modulus és ν a Poisson-tényező.
Kelvin után egy olasz mérnök, Cerutti 148 foglalkozott a elmozdulásokat felhasználó
potenciálelmélet alkalmazásával. Ő is rugalmas végtelen félteret vizsgált, a féltér szabad
felszínén működő nyírási hatásra.
A gyakorló mérnökök körében mindkettőjüknél ismertebb a francia Joseph
Valentine Boussinesq 149 neve, aki 1885-ben publikált hatalmas terjedelmű
(több mint 700 oldalas) tanulmányában 150 számos más feladat között
részletesen kitért a rugalmas féltérre ható koncentrált erőkből keletkező
eltolódások és feszültségek számítására. Az origóban elhelyezkedő X, Y és
Z erők vizsgálatához két potenciálfüggvényt (U-t és V-t) vett fel, ezek
alakja a következő:
xX + yY
2 2 2 1 /
2
U = , V = Z log( r + z ), r = ( x + y + z ) .
(10.39)
r + z
Bevezetve a κ = 1−
2ν paramétert ( ν a Poisson-tényező),
Boussinesq az alábbi
eredményeket kapta az eltolódások függvényeire:
2 ⎛ ∂ ⎞ ∂ U ⎛ ∂ ⎞ ∂
V
4 π G u = X + ⎜ κ − 1 + z ⎟ − ⎜ κ
+
z ⎟
,
(10.40/a)
r ⎝ ∂ z ⎠ ∂ x ⎝ ∂ z ⎠ ∂
x
2 ⎛ ∂ ⎞ ∂ U ⎛ ∂ ⎞ ∂
V
4 π G v = Y + ⎜ κ − 1 + z ⎟ − ⎜ κ
+
z ⎟
,
(10.40/b)
r ⎝ ∂ z ⎠ ∂ y ⎝ ∂ z ⎠ ∂
y
2 ⎛ ∂ ⎞ ∂ U ⎛ ∂ ⎞ ∂
V
4 π G w = Z + ⎜ − κ + z ⎟ − ⎜ 1 − κ
+
z ⎟
.
(10.40/c)
r ⎝ ∂ z ⎠ ∂ z ⎝ ∂ z ⎠ ∂
z
Viszonylag egyszerűen kimutatható, hogy ezek a függvények kielégítik az elméleti
rugalmasságtan elmozdulásokra vonatkozó differenciálegyenleteit:
1 ∂ e 1 ∂ e 1 ∂
e
∆ u + = 0, ∆ v + = 0, ∆
w + =
0.
(10.41)
κ ∂x κ ∂y κ ∂z
A (10.40) alatti kifejezésekből deriválással a következőt kapjuk:
xX + yY + zZ
e = − κ .
(10.42)
3
2πµ
r
Az eltolódásfüggvények és a lineárisan rugalmas anyagmodell segítségével Boussienesq
levezette, hogy minden x-y síkban elhelyezkedő pontnál az elemi feszültségvektor az origó
irányába mutat és nagysága az alábbi módon számítható:
3z xX + yY + zZ
. (10.43)
4
2π
r
A megoldásból kapott feszültség a féltér felső síkjára vonatkozó feszültségi peremfeltételt
2 2
kielégíti, vagyis értéke zérus minden z = 0, x + y ≠ 0 pontban.
148 V. . Cerutti: „Ricerche intorno all’ equilibrio de’ corpi elastici isotropi”, Reale Accademia dei
Lincei, Serie 3a, Memorie della Classe di scienze fisiche, Vol.XIII, pp. 81-122, Róma, 1882.
149 Kiváló francia mérnök és matematikus (1842 – 1929), Saint-Venant tanítványa, az ő fényképe
látható ezen az oldalon.
150 Joseph Valentine Boussinesq: Application des potentiels á l’étude de l’équilibre et du mouvement
des solides élastiques, principalement au calcul des déformations et des pressions que produisent,
dans ces solides, des effort quelconques exercés sur une petite partie de leur surface ou de leur
interieur, Gaitiers-Villars, Párizs, 1885. A hivatkozott munka a 276-295. 295. oldalakon található.
10.06.20.
162

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Az átlagos normálfeszültség:
1
átl. ( x y z )
3 −κ
κ −
Ge
3 xX + yY +
σ = σ + σ + σ = =
zZ . (10.44)
3
3 3κ
6π
r
Ha az erők számát növeljük, vagyis egy X
ν
,Y
ν
,Zν módon jelölt erőhármast alkalmazunk több
ξ , η ,0 ν = 1,2,3,... értékűek),
pontban a felszínen (az erőcsoportok koordinátái rendre ( )
akkor ebben az esetben például az átlagos normálfeszültség az alábbi módon számítható:
3
6π
r
σ
átl
= x∑ Xν + y∑Yν + z∑
Zν
+
κ − 3
1 2 2
+
2 ( ( 3x − r ) ∑ξν X
ν
+ 3xy ∑ξν Y
ν
+ 3xz ∑ξν Z
ν
+ 3xy ∑ην X
ν
+ (10.45)
r
2 2
+ ( 3y − r ) η Y + 3yz η Z ) + ....
∑
∑
ν ν ν ν
Hasonló kifejezésekhez jutunk más feszültségértékek esetén is.
Megjegyezzük, hogy Cerutti és Boussinesq levezetéseire építve sok másféle – elsősorban
talajmechanikai alkalmazású - megoldás is született az elmúlt évtizedekben. Kiváló
összefoglalás olvasható ezekről Kézdi [ 7 ] alatti munkájában 151 .
Az itt felsoroltak mellett külön felhívjuk a figyelmet az amerikai Mindlin (életrajzi adatait
lásd később a 13. fejezetben) 1936-ban illetve 1953-ban publikált munkájára, ahol ő a féltér
belsejében elhelyezkedő erők hatására oldott meg a fentiekhez hasonló problémát, vagy a
modernebb munkák közül megemlítjük még Pan-Chou 1976-ban közölt eredményeit,
amelyben rétegesen izotrop közegre vizsgálták ugyanezt a kérdést. Kacsanov és szerzőtársai
[ 9 ] alatti példatára részletesen ismerteti mindkét szerző eredményeit.
Végezetül megjegyezzük, hogy Cserhalmi munkája (lásd a [ 6]
-os művet) a Lamé-egyenletek
további speciális alkalmazási lehetőségeire is közöl példákat.
Az erőmódszer alapegyenletei kis alakváltozású, lineárisan rugalmas
anyagú egyensúlyi feladatoknál
Az erőmódszer alapegyenleteinek felírásánál a kompatibilitási egyenletekből indulnak ki.
Írjuk fel például az elsőt,
2 2
2 2
∂ ε
y ∂ ε ∂ ε γ
z
yz
∂
yz
+ = 2 = , (10.46)
2 2
∂z ∂y ∂y ∂z
∂y∂z
és helyettesítsük be ide az anyagmodell egyenleteit:
⎛ 2 2 2 2
2
∂ σ
y ∂ σ ⎞
z
⎛∂ S ∂ S ⎞ ∂ τ
yz
( 1+ ν) ν + 2
2 2 − + =
2 2
( 1+
ν)
z y z y . (10.47)
⎜⎝
∂ ∂ ⎠⎟
⎝⎜
∂ ∂ ⎠⎟
∂y∂z
Ebben az egyenletben (ismételten hagyománytiszteletből) S a feszültségtenzor első skalár
invariánsát jelenti: S = I1 = σx + σ
y
+ σz
. Fejezzük ki most a második és harmadik Cauchyegyenletből
τ
y z
derivált függvényét, majd deriváljuk a második Cauchy-egyenletet y, a
harmadikat pedig z szerint:
ν
ν
151 Felhívjuk a figyelmet, hogy Kézdi könyvében a Boussinesq-féle feladat ismertetésekor egy
későbbi – feszültségfüggvényes megoldáson alapuló – számítást említ, ez azonban – bár
végeredménye azonos az itt ismertetettel – nem az eredeti elmozdulásmódszerre épülő levezetés.
10.06.20. 163

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
∂τyz ∂σy ∂τxy ∂τyz ∂σz ∂τxz
= − − − g
y
, = − − − g
z
,
∂z ∂y ∂x ∂y ∂z ∂x
(10.48)
2 2 2 2 2 2
∂ τ
yz
∂ σ
y
∂ τxy ∂g y
∂ τ
yz ∂ σz
∂ τxz
∂g
z
=− − − , =− − −
2 2
∂y∂z ∂y ∂x∂y ∂y ∂y∂z ∂z ∂x∂z ∂ z
. (10.49)
Adjuk össze azt a két egyenletet és – a későbbi átalakítások kedvéért – kicsit rendezzük át
őket:
2 2
∂ τ
2
yz ∂ σ ∂ σ
z y ∂ ⎛∂τ ∂τ ⎞
xz xy ∂g
∂g
z y
2 = − − − ,
2 2
+ − −
∂z∂y z y x z y ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎜ ∂ ∂ ⎟
∂z ∂y
⎠
∂σ
−
x
−g
(10.50)
2 2 2
∂ τ
2
yz ∂ σ ∂ σ
x y ∂ σ ⎛ g
z ∂g ∂
x y ∂g ⎞
z ∂gx
2 = − − − 2 .
2 2 2
+ + +
∂y∂z x y z
⎜ x y z ∂ ∂ ∂ ⎝ ∂ ∂ ∂ ⎠
⎟ ∂x
Behelyettesítve ezt az alakot a kompatibilitási egyenlet anyagmodellekkel átalakított
formájába:
2 2 2 2 2
ν ⎛ ∂ S ∂ S ⎞ ∂ ( σy + σz ) ∂ ( σy + σz ) ∂ σx
− ⎜ +
2 2 ⎟ + + − =
2 2 2
1+ ν ⎝ ∂y ∂z ⎠ ∂z ∂y ∂x
(10.51)
⎛ ∂g ∂g
x y ∂g ⎞
z
∂gx
= − ⎜ + + ⎟ + 2
⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ∂x
Helyettesítsük itt σ
y
+σ
z
értékét S − σx
-szel:
2
1 1 ∂ S ⎛∂g ∂g
x y ∂g ⎞
z ∂gx
∆S−∆σx − = − 2 .
2
1 ν 1 ν x
+ + +
x y z (10.52)
+ + ∂ ⎜⎝ ∂ ∂ ∂ ⎟
⎠ ∂x
A másik két kompatibilitási egyenletből teljesen hasonló módon állítható elő két újabb, ehhez
kapcsolódó egyenlet:
2
1 1 ∂ S ⎛ ∂g
∂g
x y ∂g
⎞ ∂g
z
y
∆S − ∆σy − = − 2 ,
2 ⎜ + + ⎟ +
1+ ν 1+ ν ∂y ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ∂y
(10.53)
2
1 1 ∂ S ⎛ ∂g ∂g
x y ∂g ⎞
z
∂gz
∆S − ∆σz − = − 2 .
2 ⎜ + + ⎟ +
1+ ν 1+ ν ∂z ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ∂z
Adjuk össze ezt a három egyenletet és fejezzük ki belőlük ∆S
-t:
1 1 ⎛ ∂g ∂g
x y ∂g ⎞ ⎛ g
z
∂g ∂
x y ∂g
⎞
z
3∆S − ∆S − ∆S = − 3⎜ + + ⎟ + 2 ⎜ + + ⎟,
1+ ν 1+ ν ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x ∂y ∂z
⎠
(10.54)
1+
υ ⎛ ∂g
∂g
x y ∂g
⎞
z
∆S = − ⎜ + + ⎟ .
1−υ
⎝ ∂x ∂y ∂z
⎠
Ha ezt visszahelyettesítjük például a három közül az első egyenletbe, némi átalakítás után a
következő egyenletet kapjuk:
2
1+ ν 1 ⎛ ∂g ∂g
x y ∂g ⎞
z
1 ∂ S ⎛ ∂g ∂g
x y ∂g ⎞
z
∂g
x
− ⋅ ⎜ + + ⎟ − ∆σx − = − 2 ,
2 ⎜ + + ⎟ +
1− ν 1+ ν ⎝ ∂x ∂y ∂ z ⎠ 1+ ν ∂x ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ∂x
2
⎛ ∂g ∂g
x y ∂g ⎞
z ⎛ 1 ⎞ ∂gx
1 ∂ S
⎜ + + ⎟⎜1− ⎟ − 2 = ∆σ
x
+ ,
(10.55)
2
⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠⎝ 1− ν ⎠ ∂ x 1+ ν ∂x
10.06.20. 164
∂x
2
ν ⎛ ∂g ∂g
x y ∂g ⎞
z
∂g
x
1 ∂ S
− ⎜ + + ⎟ − 2 = ∆σ
x
+ .
2
1− ν ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ∂ x 1+ ν ∂x
x

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Hasonló módon megismételhetjük ∆ S behelyettesítését a második és harmadik egyenletbe,
és így végül újabb két egyenlethez jutunk a normálfeszültségek és a tömegerők közötti
kapcsolat leírására.
A nyírófeszültségekre vonatkozó egyenleteket hasonló módon kapjuk. Deriváljuk például a
második Cauchy-egyenletet z, a harmadikat pedig y szerint (éppen fordítva, mint az előbb),
majd adjuk össze őket:
2 2 2 2 2
2
∂ τ
y x
∂ σy
∂ τ
y z
∂ τ
z x
∂ τ
z y ∂ σ ⎛ g
z
∂g
∂ ⎞
z y
+ + + + + =− +
.
2 2
x z y z z x y y y z y z
(10.56)
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎜⎝
∂ ∂ ⎟⎠
Helyettesítsük be most az anyagmodellek egyenleteit az ötödik kompatibilitási egyenletbe
(lásd a kilencedik előadást), majd ebbe az egyenletbe írjuk be az előzőleg a Cauchyegyenletek
átalakításával kapott alakot:
2 2
∂ σx
ν ∂ S ∂ ⎡ ∂τ
y z
∂τ
z x
∂τ ⎤
x y
− = − + +
,
(10.57)
∂y ∂ z 1+ ν ∂y ∂z ∂x ⎢ ∂x ∂y ∂z
⎥
⎣
⎦
2 2 2 2
2
∂ σ ∂ τ
y z
∂ τ
x
z x
∂ τx y ν ∂ S
+ − − − = 0 . (10.58)
2
∂y ∂z ∂x ∂x ∂y ∂x∂ z 1+ ν ∂y ∂z
Innen:
2
1 ∂ S ⎛∂g
∂g
⎞
z y
∆τ
y z
+ = − +
.
1 y z y z
(10.59)
+ υ ∂ ∂ ⎜⎝
∂ ∂ ⎟⎠
A másik két (még föl nem használt) kompatibilitási egyenlet segítségével újabb két képlethez
jutunk. Összefoglalva a hat egyenletet:
∂g
2
1 ∂ S ν ∂g x y ∂g z
∂g
x
∆σx + = − + + − 2 ,
2 ⎜
⎟
1+ ν ∂x 1− ν ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ∂x
⎛ ∂g
⎞ ∂g
2
1 ∂ S ν ∂g
x y ∂gz
y
∆σy + = − + + − 2 ,
2 ⎜
⎟
1+ ν ∂y
1− ν ⎝ ∂x ∂y ∂z
⎠ ∂y
⎛ ∂g
⎞
2
1 ∂ S ν ∂g x y ∂gz ∂gz
∆σz + = − + + − 2 ,
2 ⎜
⎟
1+ ν ∂z
1− ν ⎝ ∂x ∂y ∂z
⎠ ∂z
2
1 ∂ S ⎛ ∂g
y ∂g
⎞
x
∆ τ
x y
+ = − ⎜ + ⎟ ,
1+ υ ∂x ∂y ⎝ ∂x ∂y
⎠
2
1 ∂ S ⎛ ∂g
z
∂g
∆ τ
x z
+ = − ⎜ +
1 + υ ∂x ∂z ⎝ ∂x ∂z
2
1 ∂ S ⎛ ∂g
∂g
z
∆ τ
y z
+ = − ⎜ +
1+ υ ∂y ∂z ⎝ ∂y ∂z
⎛
x
y
⎞
⎟ ,
⎠
⎞
⎟ .
⎠
⎞
(10.60)
Ezeket az összefüggéseket Beltrami 152 -Michell 153 -egyenleteknek hívjuk, a
peremfeltételekkel kiegészítve ezek alkotják az erőmódszer peremértékfeladatát.
Megjegyezzük, hogy a tömegerők nélküli alakot szokás Beltrami-egyenleteknek nevezni.
Eugenio Beltrami arcképe.
152 Eugenio Beltrami (1835 – 1899) olasz matematikus, elsősorban geometriával foglalkozott.
153 John Henry Michell (1863 – 1940) kiváló ausztrál matematikus. Beltrami és Michell részletes
életrajza a tanszéki honlapról letölthető.
10.06.20. 165

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
John Henry Michell fényképe.
Dinamikai feladatoknál az egyenleteket át kell rendezni, minden eddig használt változó az
egyenletek bal oldalára írandó, a jobb oldalon szerepelnek a gyorsulási hatások:
2
2
1 ∂ S ∂g
ν ⎛ ∂ ∂g
x g
⎞ ρ ∂ ⎛ ν ⎞
2 ⎜
x y ∂g
z
∆σ
⎟ = ⎜
⎟
x + + +
,
2
2
2
1
1
+ +
σ x − S
+ ν ∂x
∂x
− ν
∂ 2(1 )
⎝ ∂x
∂y
∂z
⎠ G t ⎝ − ν ⎠
2
2
1 ∂ S ∂g
y ν ⎛ ∂g
∂g
⎞ ρ ∂ ⎛ ν ⎞
2 ⎜
x y ∂g
z
∆σ
⎟ = ⎜
⎟
y + + +
,
2
2
2
1
1
+ +
σ y − S
+ ν ∂y
∂y
− ν
∂ 2(1 )
⎝ ∂x
∂y
∂z
⎠ G t ⎝ − ν ⎠
2
2
1 ∂ S ∂g
ν ⎛ ∂ ∂g
⎛
⎞
z g
⎞ ρ ∂
ν
2 ⎜
x y ∂g
z
∆σ
⎟ = ⎜
⎟
z + + +
,
2
2
2
1
1
+ +
σ z − S
+ ν ∂z
∂z
− ν
∂ 2(1 )
⎝ ∂x
∂y
∂z
⎠ G t ⎝ − ν ⎠
2
2
1 ∂ S ∂g
∂g
x y ρ ∂ τ x y
∆ τ x y + + + = ,
(10.61)
2
1+ ν ∂x
∂y
∂y
∂x
G ∂ t
∆ τ
∆ τ
y z
z x
2
1 ∂ S ∂g
+ +
1+ ν ∂y
∂z
∂z
2
1 ∂ S ∂g
z
+ +
1+ ν ∂z
∂x
∂x
10.06.20. 166
y
2
∂g
z ρ ∂ τ
+ =
∂y
G ∂ t
∂g
x
+
∂z
2
ρ ∂ τ
=
G ∂ t
A Beltrami-Michell-egyenletek hengerkoordináta-rendszerben
A képleteket újból a dinamikai vizsgálatoknak megfelelően írjuk fel. Abban az esetben, ha
egyensúlyi feladatokat kívánunk vizsgálni, akkor az egyenletek jobb oldala zérus.
∆σ
∆σ
∆σ
∆τ
∆τ
r
β
z
r β
β z
2
3 ∂ S 2
4 ∂ τr
β ∂g
ν ⎛ ∂ ∂g
r g r 1 β g r ∂g
z
⎞
+ − ( σ r − σβ
) − + 2 +
⎜ + + + ⎟ =
2 2
2
1+ ν ∂ r r
r ∂β ∂ r 1− ν ⎝ ∂ r r ∂β r ∂z
⎠
2
ρ ∂ ⎛ 3ν
⎞
= ⎜
⎟
σ r − S
∂
,
2
2
G t ⎝ 2(1 − ν ) ⎠
⎛
2
3 1 ∂S
1 ∂ S ⎞ 2
4 ∂ τr
β ⎛ 1 ∂gβ
g ⎞
⎜ ⎟ + ( σ − σ ) + +
⎜
r
+
+
⎟
+
r β
2
+
2 2
2
1+ ν r ⎝ ∂r
r ∂β ⎠ r
r ∂β ⎝ r ∂β r ⎠
ν ⎛ ∂ ∂g
2
g
⎛
⎞
r 1 β g r ∂g
z
⎞ ρ ∂ 3ν
+ = ⎜
⎟
⎜ + + +
⎟
σβ
− S
− ν
∂
, (10.62)
2
2
1 ⎝ ∂ r r ∂β r ∂z
⎠ G t ⎝ 2(1 − ν ) ⎠
2
∂ ∂ ν ⎛ ∂ ∂g
2
3 S g
ρ ∂ ⎛ ν ⎞
z g r 1 β g r ∂g
z
⎞
3
+ + 2 +
= ⎜
⎟
⎜ + + +
⎟
σ z − S
+ ν ∂ ∂ − ν
∂
,
2
2
2
1 z z 1 ⎝ ∂ r r ∂β r ∂z
⎠ G t ⎝ 2(1 − ν ) ⎠
2
3 ∂ ⎛ 1 ∂S
⎞ 2 ∂
4 1 ∂g
∂g
g
r β β ρ ∂ τr
β
+ ⎜ ⎟ + ( σ ) ,
2 r − σβ
− τ
2 r β + + − =
2
1+ ν ∂ r ⎝ r ∂β ⎠ r ∂β r r ∂β ∂r
r G ∂ t
2
3 1 ∂ S 2 ∂τ
+
+
2
1+ ν r ∂β∂ z r ∂β
z r
τ
−
r
β z
2
∂gβ
1 ∂g
z
+ +
∂ z r ∂β
2
ρ ∂ τ
=
G ∂ t
y z
2
z x
2
β z
2
,
.
,

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
∆τ
r z
3 ∂ S 2
+
−
2
1+ ν ∂ r ∂ z r
2
∂τ
β z
∂β
τ
−
r
r z
2
∂g
r
+
∂z
∂g
+
∂r
z
2
τr
z
2
ρ ∂
=
G ∂ t
.
Megjegyezzük, hogy a fenti egyenletek előállításánál természetesen a Laplace-operátort is
polárkoordinátás változatban kell használnunk (lásd az első előadást, illetve a Függeléket).
------------------------------------------
Az erőmódszer mechanikai feladatokra történő alkalmazására majd a következő fejezetben
mutatunk példákat a módszer egy speciális, de a gyakorlat számára igen előnyösen
használható változatának, az úgynevezett feszültségfüggvényes technikának segítségével.
Felhasznált irodalom:
1./ Bezuhov, N. I. : Bevezetés a rugalmasságtanba és a képlékenységtanba, Tankönyvkiadó, 1952.
2./ Muszhelisvili, N. : Some basic problems of mathematical theory of elasticity. P. Nordhoff. 1953.
3./ Sokolnikoff, I. S.: Mathematical theory of elasticity. McGraw Hill, 1956.
4./ Bojtár I. – Gáspár Zs.: Végeselemmódszer építőmérnököknek, Terc, 2003.
5./ Roller B.: A statika művelődéstörténete, BME, 1992.
6./ Cserhalmi I. : Makroelemek alkalmazása rugalmasságtani feladatok megoldásánál, BME, 1986.
7./ Kézdi Á. : Talajmechanika-II., Tankönyvkiadó, 1970.
8./ Todhunter, I – Pearson, K. : A history of the theory of elasticity and of the strength of
materials, Cambridge, 1892-93.
9./ Kachanov, M. – Shafiro, B. – Tsukrov, I. : Handbook of Elasticity Solutions, Kluwer Academic
Publishers, 2003.
10.06.20. 167

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
11. Előadás: Feszültségfüggvények alkalmazása rugalmas anyagú
szerkezetek vizsgálatára
Feszültségfüggvényes megoldások
A Beltrami-Michell-egyenletek megoldása speciális változatának, de az erőmódszeres
vizsgálati technika önálló alkalmazásának is tekinthetők a feszültségfüggvényes
vizsgálatok. Ezt a számítási változatot a továbbiakban kizárólag kis alakváltozású egyensúlyi
feladatok vizsgálatára alkalmazzuk, ebben a fejezetben csak ezzel foglalkozunk.
Elsőként a gyakorlatban legsűrűbben használt 2D eljárást mutatjuk be.
Írjuk fel újból kétdimenziós esetre a mechanikai alapegyenleteket (egyensúlyi-, geometriaiés
anyagmodell-egyenletek láthatók a következő sorokban). A tömegerőket az egyszerűség
kedvéért hanyagoljuk el a megoldásban.
∂σ ∂τx y
∂τ
y x
∂σ
x
y
+ = 0, + = 0 ,
∂ x ∂ y ∂ x ∂ y
∂u ∂ v ∂u ∂ v
ε
x
= , ε
y
= , γ
x y
= + ,
∂ x ∂ y ∂ y ∂ x
(11.1)
1
1
2(1 + ν)
ε x = ( σ x − νσ y ) , ε y = ( σ y − νσ x ) , γ x y = τ x y .
E
E
E
A 2D esethez tartozó kompatibilitási egyenletet is használni fogjuk:
2
2
∂ γ
2
x y ∂ ε ∂ ε
x y
= +
2 2
∂x
∂y
∂y
∂x
.
(11.2)
Helyettesítsük be ide az anyagegyenleteket:
2
2
2
∂
∂
∂ τ x y
( σ ) ( ) 2(1 ) .
2 x − νσ y + σ
2 y − νσ x = + ν
∂y
∂x
∂x
∂y
(11.3)
Deriváljuk az első statikai egyenletet x, a másodikat y szerint, majd ezek után adjuk össze és
vonjuk ki őket egymásból:
2 2
2 2
2
2 2 2 2
∂ σ ∂ τ ∂ τ ∂ σ ∂ τ
∂ σ ∂ σ
x x y
x y y
x y ∂ σ x y ∂ σ x y
+ = 0 , + = 0, 2 = − − , − = 0. (11.4)
2
2
2 2 2 2
∂x
∂x
∂y
∂x
∂y
∂y
∂x
∂y
∂x
∂y
∂x
∂y
A harmadik egyenletet helyettesítsük be az anyagegyenleteket is figyelembe vevő
kompatibilitási egyenletbe:
2 2 2 2 2 2
∂ σ ∂ σ
y
∂ σ
x y ∂ σ ⎛
x
∂ σ ∂ σ ⎞
x y
− ν + − ν = − (1 + ν ) .
2 2 2 2 +
2 2
∂y ∂y ∂x ∂x ⎜ ∂x ∂y
⎟
⎝
⎠
(11.5)
Egyszerűsítések után innen a következő egyenletet kapjuk:
∆( σ x + σ y ) = 0 .
(11.6)
A korábbi egyenletekből ehhez társíthatjuk a
10.06.20. 168

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
2
∂ σ ∂ σ
x y
− = 0
(11.7)
2 2
∂x
∂y
egyenletet, így a normálfeszültségekre most egy kétismeretlenes egyenletrendszer áll
rendelkezésünkre.
2
Vezessünk most be egy olyan F(x,y) függvényt, melyet a továbbiakban
feszültségfüggvénynek nevezünk, és a feszültségekkel való kapcsolatát az alábbi módon
definiáljuk:
2
2
∂ F ∂ F ∂ F
σ x = , σ ,
.
2 y = τ
2 x y = −
(11.8)
∂ y ∂ x ∂x
∂y
Ha a feszültségfüggvényt behelyettesítjük mindkét előbb kapott normálfeszültségi
egyenletbe, akkor a második egyenlet automatikusan teljesül, míg az első egy homogén
biharmonikus differenciálegyenletté alakul:
4
∂ F ∂ F ∂ F
∆∆ F = 0 = + 2 + = 0 .
(11.9)
4 2 2 4
∂x
∂x
∂y
∂y
Ez az egyenlet egyesíti magában az egyensúlyi, geometriai és
anyagegyenleteket, és az eddigi 8 ismeretlen (2D) helyett egyetlen
egy meghatározására vezeti vissza a feladat megoldását.
Az itt bemutatott feszültségfüggvényt a mechanikában Airy 154 -
függvénynek nevezik. Megjegyezzük, hogy a segítségével kapott
megoldásnak természetesen a statikai peremfeltételeket is ki kell
elégítenie.
Feszültségfüggvény és differenciálegyenlete síkbeli polárkoordinátarendszerben
Valamennyi alapvető mechanikai egyenletet a korábbi előadásokon már felírtunk polárkoordináta-rendszerben
is. Az előbb bemutatott levezetést (kompatibilitási egyenletbe
helyettesített anyagmodellek valamint a statikai egyenletek derivált változatainak
felhasználása a tömegerők elhanyagolása mellett) megismételve jutunk a feszültségfüggvény
és differenciálegyenlete polárkoordinátás változatához.
Megjegyezzük, hogy a levezetés megismétlése helyett a derékszögű koordináta-rendszerben
kapott eredmények egyszerű transzformálásával is előállíthatók a szükséges összefüggések:
⎡∂F
⎤ ⎡ ∂x
∂y
⎤ ⎡∂F
⎤ ⎡∂F
⎤
⎡∂F
⎤
⎢ ⎥ ⎢ ∂ ∂ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 ⎡ cosβ
− sin β⎤
⎢ ⎥
⎢ =
⎥ ⇒ ⎢∂ ∂ ⎥ = ⎢
⎢ ⎥ ,
∂ ∂ r r
⎢∂ ∂ r
F r ⎥ ⎢ ∂x
∂y
⎥ F x F x sin cos
⎥ ∂ ∂ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ β β F r (11.10)
⎢
r r
⎦ ⎢ ⎥
⎢⎣
∂β ⎥⎦
⎢⎣
∂β ∂β⎥⎦
⎢⎣
∂y
⎥⎦
⎢⎣
∂y
⎥⎦
⎢⎣
∂β ⎥⎦
hiszen x = r cosβ
és y = r sinβ.
A második deriváltak az elsők felhasználásával állíthatók elő:
2
∂ F ∂ ⎡∂F
1 ∂F
⎤ 1 ∂ ⎡∂F
1 ∂F
⎤
= ⎢ cosβ − sin β⎥
cosβ − ⎢ cosβ − sin β⎥
sin β = (11.11)
2
∂x
∂r
⎣ ∂r
r ∂β ⎦ r ∂β ⎣ ∂r
r ∂β ⎦
4
2
4
154
George Biddell Airy (1801 – 1892) angol csillagász és matematikus, aki mechanikai
számításokkal is foglalkozott. Életéről lásd bővebben a tanszéki honlapon található életrajzot,
fényképe ezen az oldalon látható.
10.06.20. 169

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
2 2 2
∂ F 2 2 ∂ F 1 ∂ F 2 1 ∂F 2 2 ∂F
= cos β − sinβcosβ + sin β + sin β + sinβcos β.
2 2 2 2
∂r r ∂r∂β r ∂β r ∂r r ∂β
Hasonlóan az y szerinti második derivált: (11.12)
2 2 2 2
∂ F ∂ F 2 2 ∂ F 1 ∂ F 2 1 ∂F 2 2 ∂F
= sin β + sinβcosβ + cos β + cos β − sinβcos β.
2 2 2 2 2
∂y ∂r r ∂r∂β r ∂β r ∂r r ∂β
A vegyes második derivált szintén az elsőkből számítható:
2
∂ F
∂x
∂y
2
∂ F
1
= sin βcosβ −
2
2
∂r
r
2
2
∂ F 2 2 1 ∂ F
1 ∂F
(sin β − cos β)
− sin βcosβ − sin βcosβ +
2 2
∂r
∂β
r ∂β
r ∂r
1 ∂F
2
+ (sin β − cos
2 β)
. (11.13)
2
r ∂β
A másodrendű deriváltat meghatározó tagok összeadásából a következőt kapjuk:
2
2
2
∂ F ∂ F ∂ F 1 ∂F
1 ∂ F
∆F = + = + + .
(11.14)
2 2 2
2 2
∂x
∂y
∂r
r ∂r
r ∂β
Ennek segítségével már előállíthatjuk a differenciálegyenletet:
⎡
2
2 2
2
∂ 1 ∂ 1 ∂ ⎤ ⎡∂
1 ∂ 1 ∂ ⎤
∆∆ F F F F
= ⎢ + +
= 0 .
2
2 2 ⎥ ⎢ + +
2
2 2 ⎥
⎣∂r
r ∂r
r ∂β ⎦ ⎣ ∂r
r ∂r
r ∂β
(11.15)
⎦
A feszültségek transzformációs képlettel számíthatók (emlékeztetőül lásd a Függelék (F.45)
alatti képletét):
2
2
2
2
σr = σx
cos β + σ y sin β + τx y sin2β,
σβ =σx
sin β + σ y cos β − τx
y sin2β
, (11.16)
1
τ r β = − ( σ x − σ y )sin 2β + τ x y cos 2β
.
2
Behelyettesítve ide a feszültségeknek a feszültségfüggvénnyel való kapcsolatát,
egyszerűsítések után a végső képletek:
2
2
1 ∂F
1 ∂ F ∂ F ∂ ⎛ 1 ∂F
⎞
σr = + , σ = , τ = − ⎜ ⎟ ,
2 2 β 2 r β
(11.17)
r ∂r
r ∂β ∂r
∂r
⎝ r ∂β ⎠
Megjegyezzük, hogy tengelyszimmetria esetén a feszültségek számítása és maga a
differenciálegyenlet még tovább egyszerűsödik, a feszültségfüggvény csak r-től függ:
2
1 dF d F
σ
r
= , σ
β
= , τ 0 ,
2 rβ
=
r dr dr
(11.18)
4 3 2
d F 2 d F 1 d F 1 dF
+ − + = 0 .
4 3 2 2 3
dr r dr r dr r dr
(11.19)
Ez az egyenlet egyébként nem más, mint az úgynevezett Euler-féle differenciálegyenlet
polárkoordinátás alakja (a mechanikai feladathoz most már egy közönséges
differenciálegyenlet tartozik parciális helyett!).
4
Az Euler-egyenlet általános megoldásának felírásához az egyenletet r -nel megszorozzák:
4 3 2
4 d F 3 d F 2 d F dF
r + 2r − r + r = 0
4 3 2
dr dr dr dr
, (11.20)
m
majd a megoldást F = cr alakban keresik.
Ezt behelyettesítve az
4 3 2
m − 4m
+ 4m
= 0
(11.21)
2
10.06.20. 170

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
egyenlethez jutunk, melynek két darab kétszeres gyöke van: m = 0,0,2,2. Ilyen esetben a
megoldást c r
m ln r alakkal kiegészítik, és így a végeredmény:
2
1 2 3 +
2
F = c + c ln r + c r c r ln r . (11.22)
Az ismeretlen c i együtthatókat a vizsgált feladat peremfeltételeiből kell meghatározni.
4
Feszültségfüggvény és differenciálegyenlete hengerkoordinátarendszerben,
tengelyszimmetrikus esetben
Az általános esettel most nem foglalkozunk, csak a gyakorlati feladatok számára fontos
tengelyszimmetrikus változatot mutatjuk be, levezetés nélkül, csak a végeredményre
koncentrálva. A differenciálegyenlet:
⎡ 2 2 2 2
∂ 1 ∂ ∂ ⎤ ⎡∂ F 1 ∂F ∂ F ⎤
∆∆ F = + + + + = 0 .
(11.23)
⎢ 2 2 2 2
∂r r ∂r ∂z ⎥ ⎢ ∂r r ∂r
∂z
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Az egyes feszültségkomponensek:
2
2
∂ ⎡ ∂ F ⎤ ∂ ⎡ 1 ∂F
⎤ ∂ ⎡
∂ F ⎤
σr = ⎢ν ∆F
− ,
, σ = (2 ) ,
2 ⎥ σβ
=
⎢
ν∆F
−
⎥ z ⎢ − ν ∆F
−
2 ⎥ (11.24)
∂z
⎣ ∂r
⎦ ∂z
⎣ r ∂r
⎦ ∂z
⎣
∂z
⎦
2
∂ ⎡ ∂ F ⎤
τr
z = ⎢(1
− ν)
∆F
− .
2 ⎥
∂r
⎣
∂z
⎦
Megjegyezzük, hogy a Laplace-operátor hengerkoordináta-rendszerben használatos általános
alakját már korábban is használtuk (a Függelékben is megtalálható), most annak
tengelyszimmetrikus (β -tól független) alakját alkalmaztuk:
2
2
∂ 1 ∂ ∂
∆ = + + .
(11.25)
2
2
∂r
r ∂r
∂z
A feszültségfüggvény definiálásának általános módja
Az Airy-féle feszültségfüggvényt Maxwell illetve (tőle függetlenül) Morera 155 általánosította
a következő módon (a tömegerőktől most is eltekintünk):
Egyszerű számítással ellenőrizhető, hogy a kis alakváltozások esetén használatos
szimmetrikus σ feszültségtenzor divergenciája (lásd az egyensúlyi egyenleteket) zérus :
div σ = 0 .
(11.26)
Ez a feltétel statikailag nem más, mint a Cauchy-egyenletek tömör matematikai kifejezése,
tehát a statikailag lehetséges feszültségmező definiálása.
Maxwell kimutatta, hogy egy tetszőleges, de szimmetrikus F tenzorból
rot (rot F)
T =σ (11.27)
módon képezett feszültségtenzor kielégíti ezt a divergencia-feltételt 156 , tehát statikailag
lehetséges feszültségeket eredményez. Ezt az F tenzort tekinthetjük a legáltalánosabb 3D
155 Giacinto Morera (1856 – 1907) olasz mérnök és matematikus. Sokat foglalkozott dinamikus
rendszerek matematikai vizsgálatával és nem-folytonos mechanikai rendszerek elemzésével.
156 Megjegyezzük, hogy hasonló elemzés található Tarnai „Kompatibilitási egyenletek” című,
honlapon található segédletében is.
10.06.20. 171

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
feszültségfüggvénynek (a matematikusok által használt nevén „vektorpotenciálnak” is
nevezik).
A belőle számítható egyes térbeli feszültségkomponensek részletes alakja az eredeti
definícióból levezetve (a képletekben a rotáció számításából adódó sorrendben tüntettük fel
az egyes tagokat, továbbá nem használtuk ki az F tenzor szimmetriáját):
2 2 2 2 2 2 2
2
∂ Fy
∂ Fz y
∂ Fy z ∂ Fz
∂ F ∂ F
x z x
∂ Fx z ∂ Fz
σ
x
= − − + , σ ,
2 2 y
= − − +
2 2
∂z ∂y ∂z ∂z ∂y ∂y ∂z ∂x ∂z ∂z ∂x ∂x
∂ ∂ F ∂ F ∂ F
σ
z
= − − +
∂y ∂x ∂y ∂y ∂x ∂x
2 2 2 2
Fx
y x x y y
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
∂ Fx y
∂ Fz y
∂ Fx z ∂ F ∂ F
z
x y
∂ Fy
∂ Fx z
∂ Fy z
τ
x y
= − + + − , τ ,
2 x z
= − − +
2
∂ z ∂x ∂ z ∂z ∂ y ∂x ∂y ∂ y ∂z ∂x ∂ z ∂ y ∂x ∂y
2 2 2 2
∂ F ∂ Fy x ∂ F
x
x z ∂ Fy z
τ
y z
=− + + −
2
. (11.28)
∂y ∂ z ∂x∂ z ∂y ∂ x ∂x
Ha ez az F feszültségfüggvény-tenzor diagonálmátrixú, akkor az úgynevezett Maxwell-féle
3D feszültségfüggvényekhez jutunk:
2 2 2 2 2 2
∂ Fy
∂ Fz
∂ Fz
∂ F ∂ F
x
y ∂ Fx
σ
x
= + , σ , ,
2 2 y
= + σ
2 2 z
= +
(11.29)
2 2
∂z ∂y ∂x ∂z ∂x ∂y
2
2
∂ F ∂ F ∂ F
τ x y = − , τ z y = − , τ x z = − .
∂x
∂y
∂z
∂y
∂x
∂z
Ha az F feszültségfüggvény-tenzornak a főátlóbeli elemi zérus értékűek, akkor Morera
feszültségfüggvényeit kapjuk:
2 2 2
∂ Fy z ∂ Fx z ∂ Fx y
σ
x
=−2 , σ
y
=−2 , σ
z
=−2 ,
(11.30)
∂y ∂z ∂x∂z ∂y ∂x
∂ ⎛ ∂Fx y ∂Fz y ∂F ⎞
x z ∂ ⎛∂Fx y ∂Fx z ∂F
⎞
y z
τ
x y
= − + + , τ x z
= − +
,
∂z ⎜ z x y ⎟ y ⎜ z y x
⎝ ∂ ∂ ∂ ⎠ ∂ ⎝ ∂ ∂ ∂ ⎠⎟
∂ ⎛∂Fy x ∂Fx z ∂F
⎞
y z
τ
y z
= + −
.
∂x ⎜ z y x
⎝ ∂ ∂ ∂ ⎟⎠
Ha az F tenzor gömbtenzor (diagonálmátrix azonos értékű elemekkel), akkor kapjuk a
„klasszikus” Airy-féle feszültségfüggvényeket:
2
2
2
2
2
∂ F ∂ F ∂ F ∂ F ∂ F ∂ F
σ x = + , σ
,
,
2 2 y = + σ
2 2 z = +
(11.31)
2 2
∂z
∂y
∂x
∂z
∂x
∂y
2
2
∂ F ∂ F ∂ F
τ x y = − , τ z y = − , τ x z = − .
∂x
∂y
∂z
∂y
∂x
∂z
Ennek a feszültségfüggvény-tenzornak síkbeli változatát vezettük le a 2D mechanikai
alapegyenletek segítségével. Ha a most bemutatott Maxwell-féle általános összefüggést
akarjuk használni az Airy-féle modell előállítására, akkor a következőképpen kell eljárnunk:
Először kiszámítjuk az F gömbtenzor rotációját (ennek a műveletnek a végrehajtására lásd a
„Függelék” vonatkozó képletét), majd vesszük az így kapott mátrixnak a transzponáltját (az
egyszerűség kedvéért jelöljük ezt most B-vel):
2
2
,
2
10.06.20. 172

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
⎡ ⎤
⎡ ∂ ⎤
⎡ ∂ ⎤
0
−
∂y
∂z
∂
∂
rot F = [ F 0 0] + 0 [ 0 F 0] + − [ 0 0 F ] =
∂z
∂x
∂
∂ 0
− ⎢ ∂x
⎥
∂y
⎣ ⎦
⎢⎣ ⎥⎦ ⎢
⎣
⎥
⎦
⎡ ∂F ∂F ⎤ ⎡ ∂F ∂F
⎤
0 −
0 −
∂z ∂y ∂z ∂y
∂F ∂F T
∂F ∂F
= 0 − ⇒ ( rot F)
= B = − 0
∂z ∂x ∂z ∂x
∂F ∂F ∂F ∂F
−
0 − 0
⎢
⎣ ∂y ∂x ⎥
⎦
⎢
⎣ ∂y ∂x
⎥
⎦
(11.32)
A következő lépésben ennek a B tenzornak határozzuk meg a rotációját. Az egyes elemek
azonnal megadják a megfelelő feszültségkomponens meghatározásának képletét
(természetesen mi csak a kétdimenziós változatot vizsgáltuk, ennek figyelembevételével kell
értelmezni az összefüggéseket):
⎡
2 2 2 2
F F F F ⎤
∂ ∂ ∂ ∂
+ − −
2 2
z y x y x z
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
⎡ ⎤
2 2 2
x xy xz
F F F F
σ τ τ
∂ ∂ ∂ ∂
rot B = σ
− + −
2 2
yx y yz
y x z x y z
= =
τ σ τ
(11.33)
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
2 2 2
⎢ zx zy z ⎥
F F F F
⎣
τ τ σ
∂ ∂ ∂ ∂
⎦
− − +
2 2
⎢⎣
∂z∂x ∂z∂y ∂y ∂x
⎥⎦
Komplex függvények használata feszültségfüggvények céljára
Komplex változók 157 segítségével az Airy-féle feszültségfüggvények olyan típusú feladatok
megoldására is alkalmassá tehetők, amelyeket a „hagyományos” algebrai polinomok
segítségével nem, vagy csak nehézkesen lehet kezelni. Ilyen alkalmazási terület például a
törésmechanika különböző feszültség-szingularitási problémáinak kezelése. Most csak az
alapegyenletek megfogalmazásával foglalkozunk, a további részletek tárgyalása a
„Törésmechanika” c. tárgy feladata.
Vegyünk fel egy tetszőleges
1 1
ϕ ( z) = p( x, y) + iq( x, y) → p = Re( ϕ ) = ( ϕ + ϕ ), q = Im( ϕ ) = ( ϕ −ϕ ) (11.34)
2 2i
analitikus 158 komplex függvényt a fenti alakban. A parciális deriváltak:
∂ϕ z p q z p q
= ∂ϕ ∂ =ϕ ′( z) = ∂ + i ∂ , ∂ϕ = ∂ϕ ∂ = i ϕ ′( z)
= ∂ + i
∂
∂x ∂z ∂x ∂x ∂x ∂y ∂z ∂y ∂y ∂ y
. (11.35)
Az egyes komponensek a Cauchy-Riemann 159 -feltételeket is teljesítik, hiszen:
157 Emlékeztetőül: z = x + iy = r exp( iΘ ), z = x− iy = r exp( −iΘ),
illetve
1 1
x = Re( z) = ( z + z ), y= Im( z) = ( z − z ) .
2 2i
158 Egy függvény analitikus, ha a vizsgált tartomány bármely pontjában Taylor-sorba fejthető.
10.06.20. 173

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
∂p ∂q ∂p ∂q
= , =− .
(11.36)
∂x ∂y ∂y ∂x
További deriválással, valamint a kapott tagok összeadásával-kivonásával bizonyítható, hogy
∆ p= 0 , ∆ q= 0 ,
(11.37)
azaz minden analitikus ϕ ( z)
függvény valós (p) és képzetes (q) része harmonikus 160
függvény. Goursat 161 , majd őt követően Muszhelisvili 162 bizonyították be, hogy az alábbi
függvényre teljesül a biharmonikus jelző:
Φ = Re ( zϕ ( z) + Ψ ( z) ) = 1 ( zϕ ( z) + zϕ ( z) + Ψ ( z) + Ψ ( z) ) . (11.38)
2
Az egyes parciális deriváltak:
2
∂Φ 1 1
( ), 2 ( 2 2 ) ,
2 z z ∂ Φ
= ϕ + ϕ ′ + ϕ + ϕ ′ + Ψ ′ + Ψ ′ = ϕ ′ +
x
x 2
z ϕ ′′ + Ψ ′′ + ϕ ′ + z ϕ ′′ + Ψ′′
(11.39)
∂
∂
2
∂Φ i
∂ Φ 1
= ( −ϕ + zϕ ′ + ϕ− zϕ ′ + Ψ′ −Ψ ′) , =−
2 ( −2ϕ ′ + zϕ ′′ + Ψ′′ −2 ϕ ′ + zϕ ′′ + Ψ′′
) .
∂y
2 ∂y
2
A második deriváltakat felhasználva:
2 2
∂ Φ ∂ F
∆Φ= + = 2
2 2 ( ϕ ′ + ϕ ′)
= 4 Re( ϕ′ ) ⇒ ∆Re( ϕ ′) = 0 ⇒ ∆∆Φ= 0 .
∂x
∂y
(11.40)
A feszültségkomponensek számításához szükség lesz a vegyes második deriváltra is:
2
∂ Φ i
= ( zϕ ′′ + zϕ ′′ + Ψ′′ −Ψ′′
) .
(11.41)
∂x∂y
2
A feszültségek és a feszültségfüggvények közötti kapcsolatot komplex függvények
alkalmazása esetén az alábbi formában szokták megadni (ezeket hívják a mechanikában
Koloszov 163 -Muszhelisvili-egyenleteknek):
σ + σ =∆Φ = 4Re( ϕ′ ) , σ − σ + 2i τ =Φ − Φ − 2i Φ = 2( zϕ ′′ + Ψ ′′),
(11.42)
x y y x x y , xx , yy , x y
Bár itt nem részleteztük előállításuk módját, de a teljesség kedvéért megadjuk az
elmozdulások számítására alkalmas harmadik Koloszov-egyenletet is:
2 G( u + iu ) = κϕ − z ϕ′ − ψ ′ ,
(11.43)
x
y
3− ν
ahol κ = (sík feszültségi állapot) vagy κ = 3 − 4 ν (sík alakváltozási állapot) .
1+ ν
Emlékeztetőül megjegyezzük, hogy a fenti
egyenletekben az egyes tagok jobb alsó indexei után
159 Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 – 1866) német matematikus, az analízis és a
differenciálgeometria kiváló tudósa.
160 Egy függvény akkor harmonikus, ha a Laplace-operátort a függvényre alkalmazva zérust kapunk.
161 Edouard Jean-Baptiste Goursat (1858 – 1936) francia matematikus, az analízis és a komplex
függvénytan jeles tudósa.
162 Nikoloz Muszhelisvili (1891 – 1976) híres grúz matematikus, Koloszov tanítványa. Elsősorban a
komplex függvénytan törésmechanikai alkalmazásáról és az ehhez kapcsolódó vizsgálatokról ismert
(keresztnevének orosz változata különböző művekben: Nyikolaj Ivanovics). Koloszov és
Muszhelisvili fényképe látható a (11.44) képlet felett (Koloszov képe a bal oldalon).
163 Jurij Vasziljevics Koloszov (1867 – 1936) orosz matematikus és mérnök. Ő oldotta meg először
komplex feszültségfüggvények segítségével a törésmechanika alapfeladatát: a berepedt tárcsában
keletkező szinguláris feszültségmezők számítását.
10.06.20. 174

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
elhelyezett vessző a változó deriválására utal, vagyis
2
∂ Φ
például Φ
, xx
= .
∂
2
x
Sokszor a számításokban előnyösebb ezek
polárkoordináta-rendszerben felírt változatait használni:
σ + σ = 4Re( ϕ′ ), σ − σ + 2i τ = 2( zϕ ′′ + Ψ′′
)exp(2 iβ ), (11.44)
r β β r rβ
2 G( ur
+ iuβ ) = ( κϕ − zϕ′ − Ψ′
)exp( −i
β ) .
(11.45)
Megjegyezzük, hogy van olyan komplex feszültségfüggvény is, amely bizonyos
körülmények (például a mechanikailag teljesen szimmetrikus feladatoknál előforduló
feszültség eloszlási előírások) megléte esetén egymaga teljesíti a szükséges feltételeket (ilyen
például a Westergaard (lásd a 4. előadás lábjegyzetét) által vizsgált feladatcsoport is, ezeket
szintén a „Törésmechanika” c. tárgy előadássorozatában ismertetjük.
A különböző mechanikai tartalmú biharmonikus differenciálegyenletek
vizsgálatának kapcsolata
Főleg a laboratóriumi vizsgálatok iránt érdeklődőknek hasznos tudni arról, hogy a különböző
fizikai tartalmú, de matematikai formájukat tekintve hasonló feladatok megoldásának
vizsgálatára igen érdekes „kapcsolt” kísérletek születtek a mechanikai kutatóközpontokban.
A három legtöbbet vizsgált kapcsolt mechanikai feladatpár a következő feladatokat vonta
össze:
2
∂ F
a./ Tárcsa biharmonikus differenciálegyenlete: ∆∆ F = 0 ⇒ σ
x
= ,... ∂
2
y
b./ Lemez 164 p( x, y)
biharmonikus differenciálegyenlete: ∆∆ w = ⇒ w( x, y)
,
D
c./ Lassú áramlású viszkózus folyadék biharmonikus differenciálegyenlete:
∆∆ψ = 0 ⇒ ∂ψ
u = ,... ∂ y
ahol u a folyadék részecskéinek eltolódásfüggvénye
Wieghardt 165 volt az első kutató, aki lemez- és tárcsafeladatok laboratóriumi vizsgálatával
hasonlította össze az „a” és a „b” alatti feladatok egyes paramétereit (elsősorban a tárcsák
feszültségeloszlásának elemzésére törekedett).
Southwell 166 mintegy ötven évvel később ugyancsak lemezeket vizsgált laboratóriumi
körülmények között, de ő a folyadék mozgásának jellemzőit számította, vagyis a „b” és „c”
egyenletek összehasonlításával dolgozott.
164 Ennek a feladatnak itt bemutatott matematikai egyenletét a BSc „Tartók statikája” c. tárgy
keretében ismertettük. Az egyenletben p(x,y) a terhelés-, w(x,y) pedig a lemezsíkra merőleges
eltolódás függvénye. D az izotróp lemez skalár merevségi paramétere.
165 Karl Wieghard német mérnök (1874 – 1924). Kapcsolódó publikációja: „Über ein Verfahren,
verwickelte theoretische Spannungsverteilungen in elastischen Körpen auf experimentellem Wege zu
finden”, Teubner, Berlin, 1908.
10.06.20. 175

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Harmadikként egy ugyancsak angol kutató, T. Richards 167 neve érdemel említést, ő tárcsák
feszültségkoncentrációs jelenségeit vizsgálta folyadékok mozgásának elemzésére építve,
vagyis az „a” és „c” egyenletek összehasonlításával dolgozott.
11.1 Példa
Vizsgáljuk meg az ábrán látható, egyik végén befogott faltartó feszültségeloszlását az Airyféle
feszültségfüggvények segítségével.
Első lépésként a feszültségfüggvényben levő ismeretlen együtthatókat határozzuk meg a
tárcsa peremén általunk kiválasztott feszültségi feltételekből:
11.1. ábra: Faltartó vizsgálata
Vegyük fel a feszültségfüggvényt az alábbi polinom formájában:
2 2 2 3 5
F ( x,
y)
= c1x
+ c2x
y + c3x
y + c4
y .
Felhasználva a biharmonikus differenciálegyenlet adta feltételt:
4
4
∂ F ∂ F
∂ F
1
= 0 , = 120c
4
4 4 y , 2 = 24c
2 2 3 y ⇒ ∆∆F
= 0 ⇒ c4
= − c
∂x
∂y
∂x
∂y
5
így a feszültségfüggvény módosított kiindulási alakja:
2 2
2 3 y
F(
x,
y)
= c1x
+ c2x
y + c3(
x y − ) .
5
Az egyes feszültségek:
2
2
∂ F
2 3 ∂ F
σ = = c3
(6x
y − 4y
) , σ 2c1
2c
2
y = = +
2
∂y
∂x
x 2 y +
2
4
5
2c
y
∂ F
2
τ x y = − = −2c2
x − 6c3xy
.
∂x∂y
A felső és alsó él menti statikai peremfeltételek a következők:
3 2
3
τ x y = − 2c2
x − c3xh
= 0, τ = −2c
/ 2
2 x − c
=
3xh
y h
x y
2
y= −h
/ 2 2
3
3
,
2
= 0,
3
,
166 Southwell, R. V. : „Use of an analogue to resolve Stokes’s paradox”, Nature, Vol. 181, pp. 1257-
1258, 1958.
167 Richards, T. H.: „Analogy between the slow motion of a viscous fluid and the extension and
flexure of plates: geometric demonstration by means of Moire-fringes, British J. of Appl. Physics,
Vol. 11, pp. 244-253, 1960.
10.06.20. 176

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
11.2 Példa
1 3
1 3
σ y
= 2c
y= h / 2
1 + c2h
+ c3h
= − q , σ y = 2c1
− c
4
y= −h
/ 2
2 h − c3h
= 0.
4
Három független egyenletet felhasználva kiszámíthatók az együtthatók:
q 3q
q
c 1 = − , c2
= − , c3
= .
3
4 4h
h
A feszültségek végleges alakja:
q
σ 2 3 q 3 q 2q
3 3 q 6q
x = ( 6x
y − 4y
), σ
,
3 y = − − y + y τ
3 x y =
2
x − xy
3 .
h
2 2 h h 2 h h
A feszültségfüggvényes megoldásnál mindig célszerű további ellenőrzéssel
megvizsgálni a megoldás pontosságát. Például most a bal oldali véglapon a
nyírófeszültségek értékére x = 0 helyettesítéssel valóban zérust kapunk, de a
q 3
vízszintes normálfeszültség már nem lesz zérus: σ x 4 y
x =
= − , bár
0 3
h
h/ 2 h/ 2
4q
3
vetületösszege nullával egyenlő: ∫ σ x
dy
= − x=
0
3
h
∫ y dy = 0 . Szükség esetén
−h
/ 2 −h/ 2
részletes elemzéssel kell eldöntenünk, elfogadható-e e ez a hiba, vagy a
feszültségfüggvény további finomításával (például újabb peremfeltételek
bevonásával) kell pontosítanunk a megoldást.
Vizsgáljuk meg az ábrán látható, sík feszültségi állapotban lévő, egységnyi vastagságú,
végtelen kiterjedésű, középen lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlását.
Ezt a feladatot G. Kirsch 168 oldotta meg először 1898-ban.
11.2. ábra: Húzott tárcsa vizsgálata
168 Gustav Kirsch (1841 – 1901) német mérnök. A lyukkal gyengített tárcsa feszültségeinek
vizsgálata tette ismertté nevét. Vonatkozó publikációja: „Die Theorie der Elastizität und die
Bedürfnisse der Festigkeitslehre”, Zeitschr. Ver. Deutschen Ing., Vol. 42, pp. 797-807, 1898
10.06.20.
177

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Nagyméretű tárcsánál r → ∞ esetén elvárható, hogy a megoldás a külső terhelő
feszültséghez tartson, vagyis σ = p és σ =τ = 0 .
x
y
Fejezzük ki a feladatban használt – és polárkoordináta-rendszerben felírt –
feszültségkomponenseket a vízszintes terhelő komponens segítségével:
2 1
2 1
σr
= σ x cos ϑ = p(1
+ cos 2ϑ),
σϑ = σ x sin ϑ = p(1
− cos 2ϑ),
2
2
1
τr ϑ = − σ x sin ϑcos
ϑ = − psin
2ϑ
.
2
A lyuktól távoli tartományokban uralkodó tiszta húzás jól jellemezhető egy egyszerű
feszültségfüggvénnyel:
1 2 1 2 2 1 2
F0 = σ x y = σ xr
sin ϑ = σ xr
(1 − cos 2ϑ)
.
2 2
4
A lyuk környezetének vizsgálatára alkalmas feszültségfüggvényt ennek mintájára
célszerű felépíteni. Kirsch szerint egy lehetséges ajánlás erre a függvényre:
F ( r,
ϑ)
= F1 ( r)
− F2
( r)cos2ϑ
.
Helyettesítsük be ezt a biharmonikus differenciálegyenlet polárkoordinátás alakjába:
2
⎛
2
2
d 1 d ⎞ ⎛ d 1 d 4 ⎞
∆∆ F = ⎜ ⎟
1(
) ⎜
⎟
+
+
2 ( )cos 2ϑ = 0
2
F r
+ −
2
2
F r
⎝ dr r dr ⎠ ⎝ dr r dr r ⎠
Mivel ennek minden ϑ szögre teljesülnie kell, a feltételből két egyenlet adódik:
2
⎛
2
2
d 1 d ⎞ ⎛ d 1 d 4 ⎞
⎜ ⎟
1(
) 0, ⎜
⎟
+ =
2 ( ) = 0
2
F r
+ −
2
2
F r .
⎝ dr r dr ⎠ ⎝ dr r dr r ⎠
Az első egyenlet ugyanaz, mint a polárkoordinátákkal felírt, szimmetrikus esetre
vonatkozó biharmonikus alak (Euler-féle differenciálegyenlet), így megoldása is
megegyezik az előzőekben levezetettel:
2 2
F1 ( r)
= c1
+ c2
ln r + c3r
+ c4r
ln r .
A második egyenletet részletesen kifejtve a következőt kapjuk:
4
3
2
d F2
2 d F2
9 d F2
9 dF2
+ − + = 0.
4
3 2 2 3
dr r dr r dr r dr
m
Ez az egyenlet is nagyon hasonlít az Euler-féle egyenletre, megoldását szintén cr
alakban keressük. Behelyettesítve a differenciálegyenletbe, az
4 3 2
m − 4m
− 4m
+ 16m=
0
egyenlethez jutunk, melynek megoldásai: m = 0,-2,2 és 4. Így
1 2 4
F 2 ( r)
= c5
+ c6
+ c
2 7r
+ c8r
.
r
Behelyettesítve a feszültségfüggvény végleges alakját az egyes
feszültségkomponensekre kapott korábbi polárkoordinátás összefüggésekbe:
c2
⎛ 4c5
6c6
⎞
σr
= + 2c3
+ c4
(1 + 2ln r)
− ⎜ + + 2c7
⎟cos2ϑ
,
2
2 4
r
⎝ r r ⎠
Ezeknek a feszültségeknek r → ∞ esetén a bevezetőben megadott
feszültségkomponensekhez kell tartaniuk, azok értékét és képlettel kifejezett alakját is
felvéve. A feszültségeknek emellett ki kell elégíteniük a lyuk szabad peremén
figyelembeveendő peremfeltételt is, nevezetesen: σr =τr
ϑ = 0 , ϑ bármilyen értékére.
Mindezeket figyelembe véve a paraméterek:
x y
2
2
10.06.20. 178

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
2
− pa p pa pa p
c 4 = c 8
= 0,
c2
= , c3
= , c5
= , c6
= − , c7
= − .
2 4 2 4 4
A keresett feszültségek függvényei tehát:
⎡ 2
p a ⎛
2 4
⎞ ⎤ ⎡ 2
a a
p a
⎛
4
a ⎞ ⎤
σr
= ⎢1
− + ⎜
⎟ ϑ⎥
σ = ⎢ + −
2 ⎢⎣
2
1−
4 + 3
cos 2 , ϑ 1 ⎜ ⎟
2 4
ϑ⎥
⎝ r r ⎠ ⎥⎦
2 ⎢⎣
2
1+ 3
cos 2 ,
4
⎝ r ⎠ ⎥⎦
2 4
p ⎡ a a ⎤
τr
ϑ = − ⎢1
+ 2 − 3 sin 2 .
2 4 ⎥ ϑ
2 ⎣ r r ⎦
Az eredmények értékelésénél felhívjuk a figyelmet a ϑ=
0-nál keletkező
nyomófeszültségre (tisztán húzott szerkezetünk van!), illetve a ϑ = ±π/ 2-nél fellépő
feszültségkoncentrációra!
Megjegyezzük, hogy minél inkább eltér a körtől az ellipszis irányába a kivágás alakja
(az ellipszis hosszabbik tengelye legyen merőleges a húzás irányára), annál inkább nő
a feszültség koncentrációja! ! Ugyancsak fontos megjegyzés, hogy fenti levezetés
elvileg végtelen kiterjedésű tárcsára vonatkozik, hiszen a tárcsa méreteit sehol nem
vettük figyelembe. Véges méretű tárcsáknál a koncentráció értéke csökken. Fenti
kérdések részleteit lásd a „Törésmechanika” c. tárgy keretein belül.
Megemlítjük, hogy az előbb bemutatott Koloszov-Muszhelisvili-egyenletekegyenletek felhasználásával a
fenti feladat általánosítható, vagyis kör alakú lyuk helyett vizsgálható egy ellipszis alakú
nyílás környezete.
Még összetettebbé válhat a feladat, ha a tárcsára a végtelenben tetszőleges normál- és
nyírófeszültségek működhetnek (lásd a 11.3-as ábrát):
2
4
11.3. ábra: Ellipszis alakú lyuk környezetének vizsgálata
Ilyen esetekben az ellipszis hosszabbik főtengelyénél a feszültségek lényegesen nagyobb
koncentrációja mutatható ki, mint a kör esetében.
Ha az ellipszis végtelenül vékony repedéssé fajulna el, akkor a lokális feszültségcsúcs
nagysága a végtelenhez tart. A feszültségcsúcsok körhöz képesti gyors növekedését jól
érzékeltetik a következő ábra trajektóriahálózatai:
10.06.20.
179

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
11.4. ábra: Kör
és ellipszis alakú
lyuk környezetének
trajektóriahálózata
Az ilyen típusú bemetszések, lyukak és repedések környezetének vizsgálatával szintén a
„Törésmechanika” c. tárgy foglalkozik.
11.3 Példa
Számítsuk ki az ábrán látható, körgyűrű-szelet alakú, tisztán hajlított tárcsa feszültségeit.
11.5. ábra: Körgyűrű-szelet alakú tárcsa hajlításának vizsgálata
σ A szimmetria miatt ismét alkalmazhatjuk az Euler-egyenletnél
használt
2 2
négyparaméteres megoldást (emlékeztetőül: F ( r ) = c 1 + c 2 ln r + c 3 r + c 4
r ln
r
). A
feszültségek:
2
1
dF
c2 d F
c2
σ r
= = + 2 c 2 3
+ 2c4 ln r + c4 , σ β
= = − + 2c 2 2 3
+ 2c4 ln r + 3 c4, τ rβ
=
0.
r dr r dr r
A peremfeltételek: r 0 r ri
nél és r r0 nál,
illetve
ro
ro
σ b dr = 0 és rσ b dr = M
Az első két feltételből:
2 ri ro
ro
0 (1 2ln
2 ln
2 2 4 ,
r +
ro
) − ri
(1 + 2ln ri
)
c =
c c3
= −
c4
.
2 2
r r r
o − i i
2(
ro
− ri
)
A harmadik feltétel automatikusan teljesül, mivel a feszültségfüggvény teljesíti ezt az
egyensúlyi feltételt. A negyedik feltétel:
Integrálás és egyszerűsítés után:
ro
2
2
− c2
ln + c4
ro
ln ro
− ri
ln ri
+ ( c3
+ c4
)(
r
Behelyettesítve a
ro
∫ β ∫ β
.
ri
ri
2 2
2
⎡ c2
⎤
∫ ⎢−
+ 2c4r
ln r + (2c3
+ 3c4
) r b dr
r
⎥ = M .
⎣
⎦
r i
i
− re és c3
( ) r
2 2
2 2 2 2
c 4 = ( ro
− ri
), ahol K = ( ro
− ri
) − 4ri
2
o
− r i ) =
c2 − ra az előzőekben kapott két feltételt:
2M
2 ro
2
r o (ln ) .
bK
r
2
2
M
b
i
.
10.06.20.
180

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
A másik két paraméter ezek figyelembevételével:
c 4 M 2 2 ro
M
ln , [ 2
2
2 = ri
ro
c3
= − ro
(1 + 2ln ro
) − r i (1 + 2ln r i )].
bK ri
bK
A feszültségek képletei mindezek figyelembevételével:
2 2
4M
⎛ ri ro ro 2 ro
2 r ⎞
σ r = ⎜ ln − r
ln 2
o
− r
i
ln ⎟ ,
bK ⎝ r ri
r ri
⎠
2 2
4M
⎛
ri ro ro 2 ro
2 r 2 2
⎞
σ β
= − ⎜
ln + r 2
o ln + ri ln − ( r o −
r
i
) ⎟
,
bK ⎝
r ri
r ri
⎠
τ = 0 .
rβ
A feszültségek függvényét tünteti fel egy metszetben az alábbi ábra 169 :
11.6. ábra:
Sugár- és érintő
irányú feszültségek
változása
11.4 Példa
Számítsuk ki a sík feszültségi állapotban lévő, vastag falú, kör alakú tárcsa feszültségeit az
ábrán látható külső és belső terhelés hatásából!
11.7. ábra:
Kör alakú tárcsa
sugár irányú
külső és belső terheléssel
A feladat megoldásához az alábbi feszültségfüggvény javasolható:
2
F = Aln
r + Cr + B .
169 Megjegyezzük, hogy erősen görbült tartók (főleg gerendák) hajlításával először a német Emil
Winkler (lásd a 12/9-es lábjegyzetet), majd őt követően az ugyancsak német
Julius Carl von Bach
(1847-1931) foglalkozott.
10.06.20.
181

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
A három ismeretlen állandót a feszültségek, illetve a rájuk felírható peremfeltételek
segítségével határozzuk meg. A feszültségek polárkoordinátás alakban (a szimmetria
figyelembevételével):
1 ∂F
A
σr
= = + 2 C , τ 0 ,
2
rβ
=
r ∂r r
2
∂ F A
σ β = = − + 2 C.
2 2
∂r
r
A feszültségi peremfeltételek és a figyelembevételükkel kapott egyenletek:
σ = − p , σ = −p
,
r r= a a r r=
b b
A
A
+ 2 C = − p , 2 .
2 a + C = −p
2
b
a
b
Az együtthatók értékei:
−a 2 b 2 ( p ) a − p b 1 p 2 2
, a a − p b b
A = C =
.
2 2 2 2
b −a 2 b −a
A keresett érintő- és sugár irányú feszültségek:
2 2 2 2 2 2
2 2
paa − pbb ( pa − pb ) a b paa − pbb
( pa − pb
) a b
σ
β
= + , σ
.
2 2 2 2 2 r
= −
2 2
2 2 2
b − a r b − a b − a r b − a
Három megjegyzés:
( )
( )
a./ A két feszültségérték összege a tárcsa bármelyik pontjában állandó.
b./ Ha nincs belső lyuk (a = 0), akkor mindegyik pontban σr
= σβ
= −p b
.
c./ Ha van egy akármilyen pici belső lyuk ( a b, de a ≠ 0 ), akkor az érintő
irányú feszültség azonnal kétszeresére nő ( σβ = −2p
)!
Csavarási feladatok vizsgálata feszültségfüggvények segítségével.
Vizsgáljuk meg az ábrán látható, végein T csavaró-nyomatékokkal terhelt rúd csavarási
feladatát.
b
11.8. ábra: Csavarás vizsgálata feszültségfüggvényekkel
A keresztmetszet tömör és tetszőleges alakú. A számításnál a csavart rudak Saint-Venant
modelljét használjuk, nevezetesen:
10.06.20. 182

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
- a csavart keresztmetszetek síkjukban merev lapok, merőlegesen azonban szabadon
deformálódhatnak („szabad csavarás”),
- a csavarónyomatékok a rúd véglapjaira nyírófeszültségek formájában adódnak át, ezek
eloszlása megegyezik a többi keresztmetszetben keletkező nyírófeszültségével.
A keresztmetszetek z tengely körüli állandó fajlagos relatív elfordulását jelöljük
κ
z
-vel.
Vegyük fel a koordináta-rendszer kezdőpontját az egyik (rögzített) véglap súlypontjában, így
egy tetszőleges helyen levő lap elfordulása a z tengely körül: ϕ = κ z z z
. Egy metszeten belül
levő P pont elmozdulásai:
u = −ϕ y = −κ z y , v = ϕ x =κ z x , w = w( x, y, κ ) .
(11.46)
z z z z z
Az elmozdulások között szereplő w( x, y, κ
z
) a keresztmetszet saját síkjára merőleges
eltolódásának ismeretlen függvényét jelöli („öblösödési” függvény). Az eltolódások
felhasználásával a geometriai egyenletek:
∂u ∂v ∂w ∂u ∂v
ε
x
= = 0, ε
y
= = 0, ε
z
= = 0, γ
x y
= + = 0,
∂x ∂y ∂z ∂y ∂x
(11.47)
w u w w v w
γ
z x
= ∂ + ∂ = ∂ −κz y, γ
z y
= ∂ + ∂ = ∂ +κz
x .
∂x ∂z ∂x ∂y ∂z ∂y
(11.48)
A kompatibilitási egyenlet a két utolsó geometriai egyenlet segítségével kapható: az elsőt y, a
második x szerint deriváljuk, majd kivonjuk őket egymásból.
∂γ
z x
∂γ
z y
− =−2 κz
∂y
∂x
.
(11.49)
Helyettesítsük be most az alakváltozásokat az anyagmodell egyenleteibe. Csak két
nyírófeszültségi komponens lesz zérustól különböző:
⎛∂w
⎞
⎛∂w
⎞
τ
z x
= G γ
z x
= G −κz y , τ
z y
= Gγ z y
= G +κz
x
.
⎝
⎜ ∂x
⎠⎟
⎜⎝
∂y
⎟⎠
(11.50)
Az egyensúlyi egyenletek ennek figyelembevételével:
∂τz x
∂τz y
∂τz x
∂τz y
= 0, = 0 , + = 0 .
∂z ∂z ∂x ∂y
(11.51)
Az első két egyenlet automatikusan teljesül, mivel a feszültségek nem változnak a z tengely
mentén, a harmadik pedig úgy elégíthető ki, ha feltételezünk egy speciális F(x,y)
feszültségfüggvényt, amelyből az egyes nemzérus nyírófeszültség-komponensek az alábbi
módon számíthatók:
∂F
∂F
τ
z x
= , τ
z y
= − .
(11.52)
∂y
∂x
Megjegyezzük, hogy bár magát az eredeti csavarási feladat megoldását Saint-Venant vezette
le még a XIX. században, gyakran nevezik ezt az F függvényt Prandtl-féle
feszültségfüggvénynek is, utalva arra a széleskörű laboratóriumi munkára, amit Ludwig
Prandtl (adatait lásd korábban az ötödik fejezetben) végzett csavarási feladatok modellezése
terén.
Az anyagmodellek segítségével a nyírófeszültségekből kapott szögtorzulásokat beírva a
kompatibilitási egyenletekbe, a következő egyenletet kapjuk:
2 2
∂ F ∂ F
+ = −2 G κ .
2 2 z
(11.53)
∂x
∂y
10.06.20. 183

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Ezt az egyenletet Poisson-féle differenciálegyenletnek hívják. Megjegyezzük, hogy a
keresztmetszet egy tetszőleges pontjában keletkező eredő nyírófeszültség értéke mindig az F
feszültségfüggvény gradienséből számítható, hiszen:
1/ 2
⎛ 2
2
2 2
1/ 2 F F
⎞
⎜⎛ ∂ ⎞ ⎛∂
⎞
τ
z
= ( τ
z x
+τ
z y ) = ⎜⎜
⎜
+ = grad F .
⎜ ∂x
⎟⎠
⎜ ∂y
⎟
(11.54)
⎜⎝ ⎝ ⎠ ⎠
⎟
A számítások során statikai kerületi feltételként kell figyelembe vennünk, hogy a terheletlen
felületű keresztmetszet határvonalán az eredő nyírófeszültségnek egybe kell esniük a
határvonal adott pontbeli érintőjével, vagyis a feszültségfüggvénynek a kontúrvonal mentén
konstansnak kell lennie. Mivel ez a konstans érték a feszültségszámításoknál szükséges
deriválások során eltűnik, az egyszerűség kedvéért zérusnak vehető (kivéve olyan speciális –
de most nem tárgyalt – eseteket, mint például a belül üregekkel rendelkező
keresztmetszetek!), vagyis a határvonalon:
F = 0. (11.55)
A rúd véglapjára vonatkozó Saint-Venant-feltétel szerint itt a nyírófeszültségek eredője a
csavarónyomatékkal egyenlő. Felírva két vetületi és nyomatéki egyenletet:
∂F
∫ τ
z xdA = ∫∫ dxdy= F( x, y) dx = 0 , τ
z ydA =− F( x, y) dy = 0 ,
∂y
∫ ∫ ∫ (11.56)
A
∫ ⎛ F F ⎞
( τz y
x−τ z x
y) dA=− ∫ ∂ x + ∂ y dA=
T .
⎜⎝
∂x
∂y
⎠
⎟
(11.57)
A
A
Az első két egyenlet a feszültségfüggvény határpontokon felvett zérus értékei miatt teljesül (
F( x, y)
az F függvénynek a határvonal megfelelő pontjaiban felvett értékeit jelöli), a
harmadiknál pedig figyelembe véve a
∂ ∂F
( Fx)
= x + F
(11.58)
∂x
∂x
azonosságot, az első tagot átírhatjuk
∂F ∂ x = ( Fx ) − F
(11.59)
∂x
∂x
alakba, így integrálja:
∂F ⎛ ⎞
x dA ∂
( Fx ) F ∫ = ⎜ − dA =− F dA
∂x
∫ ⎜⎝ ∂x
⎠⎟
∫ (11.60)
A A A
értékű lesz (az első tag a vetületi egyenleteknél említettek miatt zérus). A második tag
integrálása ugyanígy végrehajtható, így végül az egyensúlyi egyenlet:
2 ∫ F( x, y)
dA = T . (11.61)
A
Megjegyezzük még, hogy szükség esetén a w öblösödési függvényt a 11.48. alatti
kompatibilitási feltételből lehet meghatározni. Érdekes megoldási változat található
7 alatti könyvében, ő az
egyébként erről a csavarási feladatról Filonyenko-Borodics [ ]
öblösödési függvény meghatározásából indul ki, és csak utána vizsgálja a fajlagos elfordulás
illetve a nyírófeszültségek értékeit.
11.4 Példa:
Határozzuk meg az ábrán látható egyenlő oldalú háromszögben keletkező nyírófeszültségek
értékét.
A
10.06.20. 184

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
11.9. ábra: Háromszög
keresztmetszet csavarása
Írjuk fel az oldalélek egyenleteit:
2h
2h
h
y = (3z
+ a)
( jobb él),
y = − (3z
− a)(
bal él),
y = − ( alsó él).
3a
3a
3
Vegyük fel a feszültségfüggvényt ezek segítségével („c” ismeretlen állandó):
⎧⎡ 2h ⎤ ⎡ 2h ⎤ ⎡ h⎤⎫
F( z, y) = c ⎨⎢ y − (3 z + a) y + (3 z − a) y + ⎬ .
⎣ 3a
⎥
⎦
⎢
⎣ 3a
⎥
⎦
⎢
⎣ 3⎥
⎩
⎦⎭
Összeszorozva és rendezve:
⎛
2
3
3 4h
2 2 4h
2 4 3
⎞
F ( z,
y)
= c⎜
⎟
y − z y − hy − z + h .
2
2
3 27
⎝ a
a
⎠
Figyelembe véve, hogy a = 2h / 3 , a feszültségfüggvényben már csak h szerepel.
Behelyettesítve a második deriváltakat a Poisson-féle differenciálegyenletbe, c-re a
következő értéket kapjuk:
E
c = κ x .
4h(1
+ ν)
Vegyük most figyelembe az egyensúlyt kifejező egyenletet. Ehhez fel kell írnunk az
a
integrálási határokat is. A jobb oldali élen: z j = (3y
− 2h)
, a bal oldali élen:
6h
a
z b = − (3y
− 2h)
. Így:
6h
h / 3 ⎧z 2
⎫
4
⎪ b
⎡⎛
3 2 4 3 ⎞ h ⎛ h ⎞ 2
⎤ ⎪ ah
T = 2c
∫ ⎨∫
⎢⎜
y − hy + h ⎟ − 4 ⎜ y + ⎟z
= .
2 ⎥ dz⎬dy
c
27
3
15
−h
/ 3⎪⎩
z ⎣⎝
⎠ a ⎝ ⎠
j
⎦ ⎪⎭
Felhasználva az a és h közötti összefüggést:
80T
160 (1 + ν)
T
c = ⇒ κ
5 x =
.
4
3a
3 E a
A nyírófeszültségek képletei:
∂F
160T
⎛ 3
x y
3y
a z ,
5
z 3a
2 ⎟ ⎞
τ = = − ⎜
+
∂ ⎝ ⎠
80T
2
2
τ z x = − (3y
− 3 ay − 3 z ) .
5
3a
T
τ max = 20 3
.
a
A legnagyobb nyírófeszültség az oldalélek középpontjaiban keletkezik, lásd
az ábra vázlatát:
10.06.20. 185

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
11.5 Példa
11.10. ábra: Nyírófeszültség változása
Határozzuk meg az ábrán látható négyszög alakú keresztmetszet csavarásból keletkező
nyírófeszültségeit!
11.11. ábra: Csavart négyszög keresztmetszet geometriai adatai
A feladatot először Sir George Gabriel Stokes 170 , a hidrodinamika kiváló tudósa
oldotta meg 1843-ban, részben saját kísérleteire hivatkozva. Az általa ajánlott –
meglehetősen bonyolult – feszültségfüggvény a következő:
∞
4 Eκx
1 ( n−1)/ 2 ⎡
ch( nπ
y / b
)
⎤
⎛ n π
z
⎞
F = − −
3 ∑ ( 1)
3
π + ν n=
1,3,5
1 π
cos
1 n
⎢
ch( n h / 2 b)
⎥ ⎜ ⎟ .
⎣
⎦
⎝ b
⎠
Felhasználva az egyensúlyra vonatkozó (11.61) alatti feltételt, meghatározható a
fajlagos elfordulás:
2 T(1 +ν)
2 ∫ F( x, y) dA = T ⇒ κ
x
=
,
3
k Ehb
A
ahol
∞
1 ⎡ 192 b 1 ⎛ nπh
⎞⎤
k1 = ⎢1 −
5 ∑ th
5 ⎜ ⎟⎥
.
3 ⎣ π h n=
1,3,5,.. n ⎝ 2b
⎠⎦
A feszültségek képletének vizsgálatából kiszámítható, hogy a legnagyobb
nyírófeszültségek az „A” és „B” pontban (lásd a 11.11-es ábrát) keletkeznek. Ezek
értéke:
T
τ
max
= ,
2
k hb
2
1
170 Stokes: „Cambridge Phil. Soc. Trans.”, Vol. 8, 1843.
10.06.20.
186

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
ahol
∞
8 1
k = k / k ⇐ k = 1− π
∑ .
n ch( n π h /(2 b))
2 1 2 2
n=
1,3,5...
Ennek a feladatnak ettől eltérő felépítésű, de végeredményét tekintve ezzel
megegyező érdekes megoldását találja az olvasó Rekacs [ 8 ] alatti művében.
Megjegyezzük, hogy ha
h >> b, akkor 1/ k2 = 1/ k1
→ 3 ,
és így a maximális nyírófeszültség:
τ ≈ 3T
Tb
max 2
hb
= 1
.
3
hb
3
Ezt a képletet használtuk a BSc Szilárdságtanban a nyitott vékonyfalú szelvényekből
álló keresztmetszet csavarásának elemzésekor.
Felhasznált irodalom:
1./ Bezuhov, N. I.: Bevezetés a rugalmasságtanba és a képlékenységtanba, Tankönyvkiadó, 1952.
2./ Muszhelisvili, N.: Some basic problems of mathematical theory of elasticity. P. Nordhoff., 1953.
3./ Kaliszky S. – Kurutzné K. M. – Szilágyi Gy.: Szilárdságtan, Egyetemi Tankönyv, 2000.
4./ Roller B.: A statika művelődéstörténete, Műegyetemi Kiadó, 2000.
5./ Meleshko, V. V. : Selected topics in the history of the two-dimensional biharmonic problem,
ASME, Appl. Mech. Rev., Vol. 56, pp. 33- 85, 2003.
6./ Love, A. E. H.: A treatise on the mathematical theory of elasticity, New York, 1944.
7./ Filonyenko-Borodics, M. M.: Theory of elasticity, Dover Publ., 1965.
8./ Rekacs, V. G. : Manual of the theory of elasticity, Mir Publ., 1979.
10.06.20. 187

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
12. Előadás: Hajlított gerendák 2D modelljei kis elmozdulások és
dinamikus hatások esetén. Rugalmasan ágyazott gerendák
A gerendák minden lehetséges mechanikai részletre kiterjedő viselkedésének modellezése a
szerkezet látszólagos „egyszerűsége” ellenére még ma sem teljesen megoldott, vizsgálatuk az
aktívan kutatott területek közé tartozik. Mérnöki szempontokat és igényeket figyelembe vevő
számításuk ma lényegében háromféle modell segítségével történik:
- Bernoulli-Navier-féle „klasszikus” modell 171 : a számítás alapvetően a hajlítás
hatásának figyelembevételére épül. Elsősorban homogén és izotrop anyagú, tömör
keresztmetszetű gerendák vizsgálatára alkalmas.
- Nyírási modellek: a hajlítás mellett a nyírási torzulások hatását is figyelembe
veszik az alapvető egyenletek megformálásánál. Első változatukat már Saint-
Venant megfogalmazta a XIX. század második felében, legismertebb
képviselőjüket, az úgynevezett Timoshenko-féle (lásd a négyes számú
lábjegyzetet) lineáris változatot 172 1921-ben publikálták. Ez a modell jól
használható réteges felépítésű gerendák mechanikai jellemzőinek számítására.
- Kontinuummechanikai modellek: 2D vagy 3D szilárdságtani elméletek alapján
felépített változatok tartoznak ebbe a családba. Elsősorban bonyolult geometria,
erősen változó és/vagy szabálytalan belső üregrendszerrel terhelt keresztmetszet,
jelentős geometriai és anyagi nemlinearitás esetén használják. Különösen előnyös
akkor, amikor az anyagi nemlinearitást különböző minőségű rétegekben kell
követnünk.
Megjegyezzük, hogy mindhárom leírásmód végeselemes modellezésére láthatunk példát a
párhuzamosan futó MSc tárgyakban. Az első kettővel a „Végeselemes modellezés
matematikai alapjai”, a harmadikkal a „Végeselemes modellezés – nemlineáris feladatok
vizsgálata” c. tárgy foglalkozik.
A továbbiakban kizárólag kétdimenziós, homogén, izotrop és lineárisan rugalmas anyagú
gerendák alapvető egyenleteinek erős alakjaival foglalkozunk. A figyelembe veendő
mozgások kicsik, de az egyenleteknél figyelembe vesszük a dinamikai hatásokra létrejövő
eltolódásokat (kis rezgéseket) is. Megjegyezzük, hogy a kezdeti feltételeket (t =0 pillanathoz
tartozó sebesség és igénybevétel-függvényeket) mindegyik modellnél ismertnek tételezzük
fel.
2D hajlított gerenda Bernoulli 173 -Navier-féle („klasszikus”) modellje
171 Érdemes elolvasni a modell létrehozásának mintegy 400 éves történetét bemutató összefoglalót.
„Bernoulli, Navier és a klasszikus gerendaelmélet” címmel megtalálható a Tanszék honlapján.
172 Timoshenko, S. P. : „On the correction for shear of the differential equation for transverse
vibrations of prismatic bars”, Philosophical Magazine, Vol. 41, pp. 744-746, 1921.
173 Jacob Bernoulli (1654 – 1705) svájci matematikus, a híres matematikus-dinasztia első
képviselője, életéről az 1. sz. lábjegyzetben említett összefoglalóban olvashatunk.
10.06.20. 188

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
A 12.1 ábra változatai a gerendamodellnél használt koordinátarendszert, a létrejövő
elmozdulásokat és a belső igénybevételeket ábrázolják (z tengely az ábra síkjára merőleges).
A vizsgált rúd teljes hosszát L-lel jelöljük, u1, u2 és u
3
a gerenda egy tetszőleges pontjánál az
x, y és z – jobbkezes rendszert alkotó – tengelyeknek 174 megfelelő eltolódások, s belső lokális
koordináta pedig a tengelyvonal mentén értelmezett ívhossz.
A modell alapfeltételezése szerint azok a keresztmetszetek, melyek a deformáció mentes
állapotban merőlegesek a rúd súlyponti tengelyére, a deformálódott állapotban is síkok
maradnak és továbbra is merőlegesek lesznek a tengelyre, vagyis ebben a modellben nincs
nyírási szögtorzulás ( ε 12
= 0). A gerenda keresztmetszeti súlypontjának tengelyirányú u
eltolódását szintén elhanyagoljuk, így egyetlen változó (v(s,t), az y tengely irányú eltolódás)
jellemzi a rúd elmozdulásait.
12.1. ábra: A Bernoulli-Navier-modell alapvető változói
A dinamikus állapot y irányban felírt egyensúlyi egyenlete (Newton második törvénye):
F ′ ds cosΘ + q ds= mdsvɺɺ , (12.1)
2 3 2
174 A x,y és z tengelyek jelölésére a továbbiakban gyakran használjuk az 1,2 és 3 sorszámozást.
Megjegyezzük, hogy az erők és nyomatékok vektorai a tengelyek irányában pozitívak. Ennek
megfelelően F
1
normálerőt, F
2
nyíróerőt, M
3
pedig hajlítónyomatékot jelent, stb.
10.06.20. 189

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
ahol Θ
3
a keresztmetszet elfordulási szöge, q
2
az y tengellyel párhuzamos külső megoszló
terhelés függvénye, a „vessző” szimbólum az s változó szerinti parciális deriválást
helyettesíti ( ∂ ), az eltolódásfüggvény feletti pont pedig az idő szerinti deriváltra utal. Az
∂ s
F
2
nyíróerő és az m fajlagos tömeg a nyírófeszültség és a sűrűségfüggvény segítségével
számítható 175 :
∫ ∫ (12.2)
F2 = σ
12
dA , m= ρ dA .
A
A két nyíróerő közötti felezőponton átmenő, a síkra merőleges z tengellyel párhuzamos
tengelyre felírt nyomatéki egyensúlyi egyenlet 176 :
1 1
M ′
3
ds + F2 ds + ( F2 + F ′
2
ds)
ds = J3 dsΘ ɺɺ 3
. (12.3/a)
2 2
ahol:
M y dA J y dA forgási inercia sűrűség
2
3
=− σ
11
,
3
= ρ ( ), ρ ⇒ .
A
A
10.06.20. 190
A
∫ ∫ (12.3/b)
Kis mozgások feltételezése esetén:
sin Θ
3
=Θ3 , cosΘ 3
= 1 , Θ
3
= v′ . (12.4)
Ezeket a közelítéseket alkalmazva az egyensúlyi egyenletekben és elhanyagolva a magasabb
1 2
rendű
2
2 F ′ ds tagot, az összevont egyensúlyi egyenlet:
( )
F ′ + q = mvɺɺ , M ′ + F = J vɺɺ ′ ⇒ − M ′′ + q = mvɺɺ − J v ɺɺ ′ ′ . (12.5)
2 2 3 2 3 3 2 3
A következő lépés a nyomaték és az eltolódás összekapcsolására szolgáló egyenlet felírása.
Ehhez először a keresztmetszet egy tetszőleges pontjának eltolódásait adjuk meg:
u1 =− y sin θ
3
= − yv′
, u2 = v − y(1− cos θ
3) = v, u3
= 0 .
(12.6)
Az alakváltozások a geometriai egyenletekből számíthatók:
u1 u1 u2
ε
11
= ∂ =− y v′′
, ε
12
= ∂ + ∂ = 0, ε
22
=ε
33
=ε
13
=ε
23
= 0 . (12.7)
∂s ∂y ∂s
Fontos tudnunk, hogy az itt kapott alakváltozások nem pontosak, hiszen a fizikai realitásként
létező Poisson-hatás miatt ε22 és ε33
nem lehet zérus értékű! A Bernoulli-Navier-modell így
csak olyan gerendáknál alkalmazható, ahol ez a hiba még nem jelentős. A hiba
természetesen jelentkezik a
E (1 − ν)
σ11
= ε
2 11
(12.8)
1− ν − 2ν
módon számítható (lásd az 5. előadás anyagmodelljeit) normálfeszültségben is. A (12.8)
képlet helyett – elfogadva a σ 22 = σ33
= 0 közelítő feltételt – a
σ11 = E ε11
= − E y v ′′ , σ12
= 0
(12.9)
feszültség-komponenseket használja a Bernoulli-Navier-modell. Ha az itt kapott
normálfeszültséget beírjuk M 3 korábbi képletébe, akkor a nyomaték és az eltolódásfüggvény
kapcsolatára adódó egyenlet:
2
2
M 3 = E v ′′ y dA=
EI v′′
⇐ I = y dA .
(12.10)
∫
A
Helyettesítsük be végül ezt az egyenletet a dinamikai egyensúly összevont képletébe:
− EI v ′′ )′′+
q = mv& − ( J v&
′)
. (12.11)
( 2 3
′
175 Az előbb említett
12
0 ε = állításból adódó ellentmondásra még visszatérünk.
176 A külső terhek nyomatékát jó közelítessel zérusnak tekinthetjük erre a pontra.
∫
A

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
A megoldás során (az alkalmazott megoldási módszer mechanikai típusától függően)
peremfeltételi előírásokat adhatunk meg v re és v′
− re vagy pedig F − re és M − ra
− 2 3 .
Itt jegyezzük meg, hogy az F 2 nyíróerő a bevezetésben felírt nyírófeszültségi integrál
ε12 ( és így σ
12)
zérus volta miatt nullára adódna. Ezt az ellentmondást úgy kerüljük el, hogy
a nyíróerő számítására az egyensúlyi egyenletet használjuk fel:
F = − EI v′′
)′+
J & ′ .
(12.12)
2 ( 3v
Ebben a pontban az alapvető (”erős”) differenciálegyenleteket az egyensúlyi-, geometriai- és
anyagegyenletek felhasználásával fogalmaztuk meg. A következő pontban másféle technikát
alkalmazunk, bemutatjuk a „fordított” eljárást, vagyis először a feladat variációs („gyenge”)
alakját adjuk meg, és abból vezetjük le az alapegyenleteket.
2D gerenda modellek a nyírási alakváltozás hatásának figyelembevételével
A nyírási modellek a „klasszikus” gerendaelmélet előzőekben leírt ellentmondásait kívánják
feloldani.
Az alapvető változókat ismét az ábrán tüntettük fel: a tengely eltolódásait most is zérusnak
tekintjük, viszont bevezetünk egy új változót, amely a rúdtengelynél keletkező nyírási
elfordulásokat fogja jellemezni 177 : γ 6 ( s,
t)
, továbbá egy g 3 ( y )
178 -nal jelölt nyírási
öblösödési függvényt, amely a keresztmetszet nyírás hatására létrejövő torzulását írja le:
Az egyes eltolódások:
u 1 = − y sin Θ3
+ γ 6 g3
cosΘ3
, u2
= v − y(1
− cosΘ3)
+ γ 6 g3
sin Θ3
, u3
= 0 . (12.13)
177 A nyírási szögelfordulás indexében szereplő „6”-os szám a Voigt-féle, vektorba történő
átrendezés esetén a vektor hatodik elemének helyére utal: γ6 → ε12
.
178 A hármas index a hármas számú koordináta-tengelyre utal.
10.06.20. 191

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
12.2. ábra: Nyírási hatások figyelembevétele
A kis elmozdulásokra alkalmazott közelítéseket itt is alkalmazva és a nemlineáris tagokat
elhanyagolva a következő összefüggéseket kapjuk:
u = − y v′+
g γ u = v , u 0 .
(12.14)
1 3 6 , 2 3 =
Megjegyezzük, hogy a nyírási elfordulás tulajdonképpen az u
1
eltolódási függvény y = 0
helyén előírt deriváltját jelenti.
A geometriai egyenletek:
u1 u1 u2
dg3
ε
11
= ∂ =− y v′′ + g3γ′
6
, ε
12
= ∂ + ∂ = γ6, ε
22
= ε
33
= ε
13
= ε
23
= 0 . (12.15)
∂s ∂y ∂s dy
A mozgásegyenletek megadásához most variációs elvre térünk át. Írjuk fel a kinetikus
energia és a teljes potenciális energia különbsége variációjának 179 időintegrálját (ezt a
mechanikában a Hamilton 180 -elv egyenletének hívják):
ahol
t
∫ ( δK
−δΠ
b
+δΠ
k ) dt = 0, (12.16)
0
L L L
δΠ = δ , δΠ = σ δε +σ δε , δ =− ρu⋅δu
k
∫ q2 v ds
b ∫ ∫ ( 11 11 12 12)
dAds K ∫ ∫ ɺɺ dAds . (12.17)
0 0 A
0
A képletben szereplő u a teljes eltolódásvektort jelöli:
u = u e + u e + u e = ( − y v′ + g γ ) e + v e ⇒ u ɺɺ = ( − y vɺɺ ′ + g ɺɺ γ ) e + vɺɺ
e . (12.18)
1 x 2 y 3 z 3 6 x y 3 6 x y
δu = ( −y δ v′
+ g δγ ) e + δ v e . (12.19)
3 6
Behelyettesítve a kinetikai energia variációjának képletébe:
ahol
L
0
A
x
2 2
( ′ ) ′ ( ′)
δ K =− ⎡v v y v yg3 6
v g3 6
yg3v ⎤
∫ ∫ ρ ⎢
ɺɺδ + ɺɺ − γ δ + γ − δγ
6⎥
dAds =
⎣
ɺɺ ɺɺ ɺɺ
(12.20)
⎦
L
0
( ′ ɺɺ ) ′ ( ɺɺ ′)
=− ⎡mv v J3v I13 6
v I33 6
I13v ⎤
∫ ⎢ ɺɺδ + ɺɺ − γ δ + γ − ɺɺ
⎣
δγ6⎥
⎦
ds,
y
2 2
∫ ,
3 ∫ ,
13 ∫ 3
,
33 ∫ 3
. (12.21)
A A A A
m = ρ dA J = ρ y dA I = ρ yg dA I = ρg dA
Tovább alakítva a kinetikai energia integrálját (parciálisan integrálva a (12.20)-as egyenlet
utolsó kifejezésében szereplő második tagot):
A
179 Az energiafüggvények átalakítását a hetedik fejezetben tárgyaltuk, de a „Függelék” is ismerteti
őket, éppen a Hamilton-elvvel kapcsolatban.
180 William Rowan Hamilton (1805 – 1865) ír matematikus, fizikus és csillagász. Fontos felfedezései
voltak az optikában, dinamikában és az algebrában. Az 1834-ben megfogalmazott Hamilton-elv
(„On a General Method in Dynamics”,Phil. Trans. of Royal Society, Part I, pp. 247-308, 1834, Part
II, pp. 95-144, 1835) mechanikai változata (az elvet a fizika más területein is használják)
kifejezetten mozgások vizsgálatára alkalmas, állítása szerint egy testnek az erők hatására létrejöhető
(geometriailag lehetséges) pályái közül az valósul meg, melynek befutásakor a mozgási és a
potenciális energia különbsége variációjának idő szerinti integrálja állandó értékű. A tétel a
virtuális munkák elvéből is megfogalmazható. További részleteket lásd a „Függelék”-ben.
10.06.20. 192

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
(12.26)
L
{ }
δ K =− ⎡mv − ( J v′ )′ + ( I γ )′ ⎤ δ v + ( I γ − I v′ ) δγ ds− ⎡( J v′
− I γ ) δv⎤
∫
ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ . (12.22)
⎣ 3 13 6 ⎦ 33 6 13 6 ⎣ 3 13 6 ⎦
0 0
Helyettesítsük most be az alakváltozások képleteit a belső energia variációjába:
b
L
∫ ∫ ( 11y v ′′ 11g ′ 3 6 12g3, y 6)
dAds ∫ ( M3 v ′′ m ′ 3 6
f2 6)
ds ,(12.23)
δΠ = −σ δ +σ δγ +σ δγ = δ + δγ + δγ
ahol
0 A
0
dg3
g3, y
= , M
3
=− σ
11y dA , m3 = σ
11g3 dA,
f2 = σ12 g3,
y
dA
dy
A A A
10.06.20. 193
L
∫ ∫ ∫ . (12.24)
Az előzőekben már alkalmazott parciális integrálási technika ismétlésével az energia
variációja tovább módosítható:
L
δΠ
b
= ⎡M ′′ δ v + ( f −m′ ) δγ ⎤ ds+ ⎡M δv′ −M ′ δ v + m δγ ⎤
∫ . (12.25)
⎣ 3 2 3 6⎦ ⎣ 3 3 3 6⎦
0 0
Helyettesítsünk most be minden részletesen kiszámított komponenst az energia-variáció idő
szerinti integráljába (a stacionaritási feltétel miatt ennek értéke zérus). Megjegyezzük, hogy a
végső integrálban a teljes potenciális energia variációját írtuk fel elsőként, majd ebből vonjuk
ki a kinetikus energia variációját.
L
0
{ ⎡ ( ′
3
)′ ( ɺɺ
13 6)
′ ′′ ⎤ ⎡ ɺɺ ′ ′ ⎤
3 2 33 6 13 3 2 6}
∫ ⎣mv ɺɺ− J vɺɺ + I γ + M −q ⎦ δ v + ⎣I γ − I vɺɺ
− m + f ⎦ δγ ds +
L
+ ⎡M 3
v ( M
3
J3v I13 6) v m ⎤
⎣
δ ′ − ′ − ɺɺ′
+ γɺɺ δ +
3
δγ
6⎦
0
= 0 .
Ebből az integrálból adódik végül a két mozgásegyenlet:
− M ′′ + q = mvɺɺ − ( J vɺɺ ′)′ + ( I γɺɺ )′ , m′ − f = I γɺɺ − I vɺɺ
′ . (12.27)
3 2 3 13 6 3 2 33 6 13
A gerendavégeken ( s = 0, s = L ) alkalmazható peremfeltételek a (12.26)-os egyenletnek
megfelelően:
v, vagy − M ′ + J vɺɺ
′ − I γɺɺ
,
v′
, vagy M ,
3
3 3 13 6
γ6 , vagy m3
.
Ha összehasonlítjuk a (12.27)-ben felírt első mozgásegyenletet a Bernoulli-Navier-modellnél
felírt hasonló változattal, akkor azt látjuk, hogy a nyírási hatásokat is figyelembe vevő
modellnél a forgási hatás J3vɺɺ
′− I ɺɺ
13γ6
módon számítható. Ezt felhasználva – egy z tengely
irányú nyomatéki egyensúlyi egyenletben – a következőt kapjuk (lásd még a (12.2) ábra alsó
vázlatát):
M ′
3
+ F2 = J3vɺɺ ′ − I13γɺɺ 6
. (12.29)
Ebből az egyenletből következik, hogy a (12.28)-as képletben elsőként említett peremfeltétel
hogyan használható fel a nyíróerő meghatározására.
L
. (12.28)
Vizsgáljuk meg most a feszültségek értékeit:
σ
11
= Eε 11
=− E( yv′′ − g3γ′
6
) , σ
12
= Gε 12
= Gg3, yγ 6
. (12.30)
Behelyettesítve ezeket a nyomatékokra korábban felírt, (12.24) alatti összefüggésekbe a
következőket kapjuk:
M
3
= EIv′′ − F13 γ ′
6
, m3 = − F13 v′′ + F33 γ ′
6
, f2 = F44 γ
6
, (12.31)
ahol
L

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
2 2 3
∫ ,
13 ∫ 3
,
33 ∫ 3
,
44 ∫ 3, y
. (12.32)
A A A A
I = y dA F = Eyg dA F = Eg dA F = Gg dA
Beírva ezeket a tagokat a mozgásegyenletekbe, a végső egyenletrendszer v−re és γ6
− ra :
( EIv′′ )′′ −( F13 γ′ 6) ′′ − q2 = ( J3vɺɺ
′)′ −( I13γɺɺ 6)
′ −mvɺɺ
, (12.33)
( F v′′ )′ −( F γ ′ )′ + F γ = I vɺɺ ′ − I γɺɺ . (12.34)
13 33 6 44 6 13 33
Az egyenletek tényleges megoldásai természetesen g
3
felvételétől függenek.
12.1 Példa: Harmadfokú nyírási modell
Vegyük fel g
3
függvényét egy harmadfokú polinom formájában (itt ci
-k ismeretlen
állandók):
2 3
g3 = c1 y + c2 y + c3
y . (12.35)
Az egyszerűség kedvéért tételezzünk fel izotróp, prizmatikus gerendát négyszög
keresztmetszettel és h magassággal. Fogadjuk el továbbá, hogy a felső és alsó élen
nincsenek megoszló nyíróerők, így
σ = τ = . (12.36)
12 12
0
y=±
h / 2
Ebből az következik, hogy (figyelembe véve az előző pontban σ12
A
6
g
3, y y =± h / 2
-re felírt képletet):
= 0 . (12.37)
γ nyírási szögelfordulás definíciójából adódik, hogy ε
12
= γ
6
, ebből pedig az
adódik, hogy: g = 3, y
1 .
y = 0
Ezeket a feltételeket felhasználva a polinom együtthatóinak számítására, azt kapjuk,
hogy:
c 4 4 3
1
1, c 2
0, c −
= =
3
= ⇒
2 3
2
3h
g = y −
3h
y .
(12.38)
A függvényt most már be lehet írni az előzőekben megadott egyenletekbe az eltolódás
és a nyírási szögelfordulás meghatározásához.
2D Timoshenko 181 -modell („lineáris nyírási modell”).
A Timoshenko-modell a nyírási alakváltozásokat konstansnak tételezi fel, így egy metszetben
az eredő nyíróerő:
F2 = ∫ σ
12
dA= kγ6GA
, ε
12
=γ
6
. (12.39)
A
Itt k egy korrekciós tényező, γ
6
pedig egy (Timoshenko javasolta) átlagos, jellemző nyírási
alakváltozás. A nyírási alakváltozási energia ebben az esetben:
1 1 2
Enyírás
= F2 γ
6
= kγ 6GA
. (12.40)
2 2
Vizsgáljuk meg most részletesebben k és γ
6
jelentését. Számítsuk ki először a nyíróerő és az
alakváltozási energia értékét másféleképpen, a geometriai egyenletek szolgáltatta
összefüggések segítségével:
181 Sztyepán Prokofjevics Tyimosenko (angol névváltozatban: Stephen P. Timoshenko) (1878 – 1972)
ukrán származású mérnök, a modern mérnöki mechanika megteremtőinek egyike.
10.06.20. 194
y=0

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
∫ ∫ ɶ (12.41)
F dA Gg dA GA
2
= σ
12
=
3, yγ 6
=γ6 ,
A
A
1 1 1
Enyírás
= σ ε dA= Gg γ dA= γ ˆ GA
2 2 2
∫
2 2 2
12 12 ∫ 3, y 6 6
. (12.42)
A
A
Ezekben az egyenletekben γɶ
6
az ε12
alakváltozás-komponens geometriai átlaga,
6
(12.42) alatti nyírási energiából számítható átlagos érték:
γ
∫
g dA γ g dA
2 2
6 3, y
6 3, y
A
2
6
ˆ
6
A
ˆγ pedig a
ɶ γ = , γ =
.
(12.43)
A
A
Ha összehasonlítjuk a nyíróerő és a nyírási energia kétféleképpen kiszámított értékeit, akkor
meghatározhatjuk γ és k paramétereket: 6
2
⎛ ⎞
2
g
2 3, y
dA
g
2
3, y
dA
∫
ˆ
⎜∫
γ6 A
γɶ
ɶ
6
γ6
⎝ A ⎠⎟
γ
6
= = γ
6
, k = = =
. (12.44)
2
ɶγ ˆ
2
6 g dA γ6 γ6
A g dA
∫
A
3, y
3, y
Az első képlet azt mutatja, hogy γ
6
az ε
12
nyírási alakváltozás energiaértelmű átlaga, a
második pedig azt, hogy k a γɶ
6
nyírási alakváltozásnak geometriai, a ˆγ
6
alakváltozásnak
pedig energia átlaga.
Megjegyezzük, hogy például négyszög keresztmetszetű gerendák esetében k = 5/6. Szintén
fontos kommentár, hogy több kutató vizsgálatai kimutatták k fenti képletéről, hogy csak az itt
is alkalmazott feltételek megléte esetén elfogadható, jelentős nemlineáris hatások (pl. nagy
mozgásokkal járó nagyfrekvenciás rezgések esetén) módosításra szorul.
A Timoshenko-modell nyíróerő számítási módjának a geometriai egyenletekkel való
összevetéséből következik, hogy ennél a modellnél:
g = y , (12.45)
3
ezért is szokás lineáris nyírási gerenda-modellnek nevezni ezt a változatot. Ha ezt a g
3
függvényt helyettesítjük be a keresztmetszeti paraméterek eredeti képleteibe, akkor a
következőt kapjuk:
I13 = I33 = J3 , F13 = F33 = EI , F44
= k GA .
(12.46)
Ha ezekkel a paraméterekkel írjuk fel a két alapvető mozgásegyenletet, akkor az eredmény
(állandó keresztmetszetű gerendát feltételezve):
EIv′′′′ − EI γ′′′ 6
− q2 = J
3vɺɺ ′′ − J ɺɺ
3γ′ 6
− mvɺɺ , EI v′′′ − EI γ ′′
6
+ k GAγ 6
= J3vɺɺ ′ − J ɺɺ
3γ6
. (12.47)
Ha a második egyenletet újból deriváljuk, majd kivonjuk az elsőből, akkor a második mellé
egy átalakított első egyenlet társítható:
EI v′′′ − EI γ ′′
6
+ k GAγ 6
= J
3vɺɺ ′ − J ɺɺ
3γ6 , kGAγ ′
6
+ q2
= mvɺɺ. (12.48)
A két egyenlet össze is vonható. Deriváljuk az elsőt s szerint, majd a második egyenletet
használjuk fel γ 6 különböző (s és t szerinti) deriváltjainak kiszámítására. Ezeket rendre az
első egyenletbe helyettesítve kiküszöbölhetjük ezt a változót.
Az új összevont egyenlet:
4
EI
J ⎛
3
∂ v ⎞
EIv′′′′ − ( mv&& ′′ − q′′ 2 ) − q2 = J3v&& ′′ − ⎜m − q&& 4 2 ⎟ − mv&&. (12.49)
kGA kGA ⎝ ∂t
⎠
∫
∫
A
10.06.20. 195

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
A mechanikai szakirodalomban gyakran használják a Ψ =Θ3 − γ 6 teljes elfordulási szöget.
A kis alakváltozások körében maradva a nyírási szögtorzulást ilyenkor így kell kifejezni:
γ 6 = v ′− Ψ.
(12.50)
Ha ezt helyettesítjük be a két mozgásegyenletből álló rendszer utolsó változatába, akkor az új
alak:
EI Ψ ′′ + k GA( v′
− Ψ ) = J
3Ψ
&& ,
(12.51)
k GA v′′ − Ψ ′ + q = mv && .
( )
Ez a variáns csak formailag különbözik az előzőekben levezett változattól.
Réteges keresztmetszetű gerendák vizsgálata a nyírási alakváltozás
figyelembevételével
A számítás alapelve ugyanaz, mint amit az előzőekben alkalmaztunk, az elemzés az N
rétegből álló szendvics-keresztmetszet g 3 függvényének meghatározására irányul.
2
12.3. Réteges gerenda metszete
Tételezzük fel, hogy az i-edik réteg elmozdulásai az előzőekben elmondottaknak megfelelően
jellemezhetők:
( i) ( i) ( i) ( i)
u1 = − yv′
+ g
3
γ
6
, u2 = v , u
3
= 0 .
(12.52)
Az egyes rétegekben keletkező alakváltozások:
( )
( i) ( i) ( i) ( i)
22 33 13 23
0
( ) ( )
i i i
( i)
∂u1 ( i) ( i)
∂u1 ∂u2
( i)
ε
11
= = − yv′′ + g
3
γ′
6
, ε
12
= + = g
3,yγ6
,
∂s ∂y ∂s
ε = ε = ε = ε =
Használjunk minden egyes rétegnél harmadfokú függvényt
( i) ( i) ( i)
2 3
3 2 3
.
( i)
3
g megadására:
(12.53)
g = y + c y + c y . (12.54)
Tételezzük fel, hogy az egyes rétegek között nincs csúszás, így az u 1 eltolódás és a σ 12
nyírófeszültség megoszlása folytonos:
i
( i+
1)
u s, y , t − u ( s, y , t) = 0, i = 1,2,...., N −1,
( )
( i )
( i )
( )
1 + 1 1 i+
1
( i) ( i) ( i)
( i+
1 )
( )
σ s, y , t − σ s, y , t = 0, i = 1, 2,...., N −1,
12 i+ 1 12 i+
1
itt σ = G ε .
12 12
(12.55)
10.06.20. 196

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Azt is az elfogadható feltételek közé soroljuk, hogy az alsó és felső élen nincs nyíróerő,
vagyis σ 12 = 0 az y = y1 és y = yN
+ 1 síkoknál. Ebből az is következik, hogy
( 1 )
( )
( N )
( )
ε s, y , t = 0, ε s, y , t = 0 .
(12.56)
12 1 12 N + 1
Figyelembe véve valamennyi eddigi feltételt, 2N darab egyenletet tudunk felírni 2N
ismeretlen ( ( i ) ( i
c )
2
és c3 , i = 1, 2,..., N ) meghatározására:
2 ( i) 3 ( i) 2 ( i+ 1) 3 ( i+
1)
i+ 1 2 i+ 1 3 i+ 1 2 i+
1 3
y c + y c − y c − y c = 0, i = 1,2,...., N −1 ,
( i) ( i) ( i) 2 ( i) ( i+ 1) ( i+ 1) ( i+ 1) 2 ( i+ 1) ( i+
1) ( i)
i+ 1 2
+
i+ 1 3
−
i+ 1 2
−
i+
1 3
= −
2G y c 3G y c 2G y c 3 G y c G G ,
( 1) 2 ( 1) ( N) 2 ( N)
1 2 1 3 N + 1 2 N + 1 3
2y c + 3y c =− 1 , 2y c + 3y c =−1 .
i = 1,2,...., N −1 ,
Az együtthatók meghatározását szolgáló illusztráló példát láthatunk az ábrán:
(12.57)
12.4. ábra: Háromrétegű gerenda metszete
( ) ( ) ( )
1 3 2
A rétegek nyírási rugalmassági modulusai: G = G = 10G
. Az egyenletrendszerek
felírása és megoldása (a szimmetria miatt az elvileg hat ismeretlenes feladat most csak három
ismeretlent tartalmaz) után az egyes rétegekhez tartozó függvények:
( 1) 3 2 8 3 ( 2) 19 3 ( 3)
3 2 8 3
g3 = y + y + y , g
2 3
= y − y , g
2 3
= y− y + y . (12.58)
2
h 3h 3h h 3h
Ezek a függvények használhatók a Timoshenko-modell korábban bemutatott egyenleteiben,
először k és γ
6
, majd pedig az elmozdulások és elfordulások számítására.
Rugalmasan ágyazott gerenda vizsgálata.
A továbbiakban kizárólag a Bernoulli-Navier-modellt fogjuk használni kvázistatikus
módon terhelt, és egyszerű Winkler 182 -ágyazattal megtámasztott gerendák elmozdulásainak
és igénybevételeinek vizsgálatára.
182 E. Winkler (1835 -1888) német mérnök, hajlított szerkezetek, főleg többtámaszú gerendák
vizsgálatával foglalkozott. Vonatkozó munkája: „ Vorträge über Eisenbahnbau”, Prága, 1875.
10.06.20. 197

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
12.5. ábra: Rugalmasan ágyazott gerenda
Az alapvető differenciálegyenletek a terhelt és terheletlen szakaszokon (k az ágyazási
együttható, v az eltolódás függvénye):
4 4
d v
d v
EI + kv = p , EI + kv = 0 .
4 4
dx
dx
(12.59)
a x
A megoldást v= e alakban keresve a homogén változat számára behelyettesítés után a
következő egyenletet kapjuk:
⎛
4 k ⎞ ⎜a
+ v=
0 .
⎜⎝ EI ⎠⎟
(12.60)
Ebből
a =± β (1 ± i) ⇐
1/ 4
⎛ k ⎞
i = −1, ahol β = ⎜
⎜⎝ 4EI
⎠⎟
. (12.61)
Az általános megoldás:
β x
v = e
−β x
Acos β x + Bsin β x + e C cos β x + Dsin
β x , (12.62)
[ ] [ ]
ahol A,B,C és D ismeretlen állandók, meghatározásuk egy adott feladatnál figyelembe vehető
peremfeltételektől függ.
A./ Koncentrált erővel terhelt végtelen hosszú gerenda
12.6. ábra: Egyetlen erővel terhelt gerenda
A szimmetria miatt elegendő a szerkezet egyik felét vizsgálni. A peremfeltétel:
x → ∞ , v és deriváltjai → 0 . (12.63)
Ezt felhasználva A = B = 0 , és így a megoldás a
−β x
v= e C cos β x + Dsin
β x
(12.64)
( )
alakra redukálódik. További feltételek az elfordulásra és a most az egyszerűség
kedvéért T-vel jelölt nyíróerőre (utóbbit P-től végtelen közel jobbra értelmezzük):
P P Pβ
v′ (0) = 0 , T =− EIv′′′
(0) = − ⇒ ezekből C = D = = . (12.65)
3
2 8β
EI 2k
A keresett eltolódásfüggvény:
Pβ x
Pβ x
v e ( cos x sin x)
e 2 sin
⎛ π
= −β β + β = −β x
⎞
⎜β + 2k
2k
⎜⎝ 4⎠ ⎟
. (12.66)
10.06.20. 198

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Az elfordulás, nyomaték és nyíróerő számításához vezessük be az alábbi
függvényeket (mindegyiket x > 0 esetre értelmeztük):
−βx
Pβ
f1( β x) = e ( cos β x + sin βx)
⇒ v= f1
2k
,
(12.67)
2
−βx
1
Pβ
f2( β x) = e sin β x =− f ′
1
⇒ Θ= v′
= − f2
,
2β
k
(12.68)
−β x f ′
2
f ′′
1
P
f3( β x) = e ( cos βx −sin
β x) = =− ⇒ M = EIv′′
=− f ,
2
3
β 2β 4β
(12.69)
3 2 1
4 ( ) cos
−β
′ ′′ ′′′
f β x = e x β x = − = − = ⇒ T =− EI v′′′
=− f
2 3
4
.
2β 2β 4β
2
(12.70)
3
Tájékoztatásul megadjuk táblázatos formában a különböző függvények értékeit:
B./ Fél-végtelen gerenda
12.7. ábra: Fél-végtelen gerenda, bal oldali végén terhelve
Most a kezdőpontban koncentrált erőt és egy nyomatékot helyeztünk el. A
peremfeltételek és az együtthatók:
P +βM A
M
A
EIv′′ = M
A
, EIv′′′
=− T = P ⇒ C = , D =−
3 2
2β
EI 2β
EI
. (12.71)
Az eltolódásfüggvény valamint az elfordulás, nyomaték és nyíróerő:
−βx
e
2β
v =
3
[ P cos β x + βM A(cos βx−sin β x) ] = ( Pf4( β x) + βM A
f3( βx)
) ⇒
2β
EI
k
(12.72)
10.06.20. 199

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
2
2β
2β
v(0) = ( P +β M A ),
Θ =− [ Pf1( β x) + 2 βM A
f4( β x)
], k
k
(12.73)
Pf2( βx)
M = + M
A
f ( β x) 1
, T =− Pf3( β x) + 2 βM A
f2( β x)
.
k
(12.74)
C./ Véges méretű gerendák
Vizsgáljuk meg az ábrán látható, középen egy koncentrált erővel terhelt gerendát és
hasonlítsuk össze a C és E pontok lehajlásait.
12.8. ábra: Két pont lehajlásának arányai
Ilyen feladatoknál is a megoldásfüggvényben szereplő négy állandó meghatározása a
cél. Jelen esetben a következő x ≥ 0 esetére négy peremfeltételt tudjuk felhasználni
erre a célra:
v′ ( L / 2) = 0, EIv′′′ ( L / 2) = P / 2, EIv′′ (0) = 0, EIv′′′
(0) = 0. (12.75)
Az innen adódó négyismeretlenes egyenletrendszer megoldása után a középső és a
szélső pontok eltolódásai:
2 cos ch 2 cos( / 2) ch( / 2)
vC
= P β + β L + βL , v
P L L
E
=
β β β . (12.76)
2k sin β L + sh βL k sin β L + sh βL
A két elmozdulás arányában osztályozni lehet a rugalmas ágyazaton nyugvó
gerendákat (lásd az ábrán feltüntetett függvényt):
vE
4cos( βL / 2) ch( βL
/ 2)
=
. (12.77)
v 2 + cos β L + ch βL
Azokat a gerendákat, amelyeknél:
C
a./ β L < 1, rövid gerendáknak nevezzük (a végpont elmozdulása közel egyenlő a
középpontéval, a gerenda viselkedése merev),
b./ 1

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
c./ β L> 3 , hosszú gerendáknak nevezzük (a végkeresztmetszet eltolódására már nincs
jelentős hatással a középső erő).
Ezt az osztályozást egyébként másféle terhek alkalmazása esetén is használják a
mechanikában. Megjegyezzük, hogy egyes szerzők a határt a pontosság növelése
érdekében 1 és 3 helyett 0,6-re illetve 5-re javasolják felvenni.
D./ Egyenletes távolságokban rugalmasan alátámasztott gerenda
12.2 Példa:
12.9. ábra: Pontonként alátámasztott gerenda
Egyszerűsíti a számítást, ha a diszkrét rugórendszert folytonos ágyazással és így a
diszkrét rugóerőket ( R i = Kvi
, K a rugóállandó) szakaszonként állandó megoszló
ágyazási reakcióval helyettesítjük (lásd a „b” ábrarész szaggatott vonallal megrajzolt
szakaszai helyett feltüntetett folytonos görbét). Megjegyezzük, hogy részletesebb
elemzéssel kimutatható, hogy ez a helyettesítés csak az a ≤ π /( 4β)
korlát betartása
esetén ad elfogadható pontosságú eredményeket. A helyettesítő állandó egyszerűen
számítható:
R K
K
= v = k v = q ⇒ k = .
(12.78)
a a
a
Határozzuk meg az ábrán látható nagyon hosszú gerenda egy tetszőleges pontjának
elmozdulás-függvényét, illetve a maximális lehajlást. A gerenda keresztmetszete 10x15 cm
méretű téglalap (10 cm a szélesség), anyagának rugalmassági modulusa 200 GPa. A terhelés
4 m hosszan működik, intenzitása 175 kN/m. A rugalmas ágyazás együtthatója k = 14 Mpa.
10.06.20. 201

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
12.10. ábra: Megoszló teherrel terhelt gerenda vizsgálata
Egy tetszőleges A pont
P x = p dx terhelés hatására létrejövő ∆ v eltolódása 183 :
p dx −βx
∆ v = βe ( cosβ x + sinβx)
.
2k
A teljes eltolódás integrálással számítható:
a
b
p dx −β x
p dx −β x
vA
= ∫ βe ( cosβ x + sinβ x) + β ( β + β ) =
2
∫ e cos x sin x
k
2k
0 0
p −βa
−βb
p
= ( 2 − e cos βa − e cosβ b) = ⎡2
−
4 ( β ) −
4 ( β ) ⎤
2 2
⎣ f a f b ⎦ .
k
k
1/ 4
6
⎛ k ⎞ ⎛ 14⋅10
⋅12
⎞
Az egyes paraméterek: β = ⎜ ⎟ = ⎜
⎟ = 0,888
9
3
4 ⎠
4 200 10 0,1 0,15
m
⎝ EI ⎝ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎠
Vizsgáljuk az eltolódás értékét pontosan középen, így a és b értékei megegyeznek:
a = b = 2 m,
vagyis
β L = 3 ,552, βa
=βb
= 1,776 .
A legnagyobb eltolódás mindezek figyelembevételével:
175
v
max
= ⎡2 − ( −0 0345) − ( − 0 0345)
⎤ = 0 0129
2⋅14000
⎣ , , ⎦ , m.
A megoszló reakció legnagyobb értéke:
6
k v = 14 ⋅10
⋅0,0129=
180,6 kN / m .
max
1/ 4
−1
.
Felhasznált irodalom:
1./ Ugural, A.C. – Fenster, S.K.: Advanced Strength and Applied Elasticity, Edward Arnold, 1984.
2./ Budynas, R.G.: Advanced Strength and Applied Stress Analysis, McGraw-Hill,1999.
3./ Kaliszky S. – Kurutzné K. M. – Szilágyi Gy.: Szilárdságtan, Egyetemi Tankönyv, 2000.
4./ Nayfeh, A. H. – Pai, P. F.: Linear and nonlinear structural mechanics, John Wiley, 2004.
183 Megjegyezzük, hogy itt az elemi hosszon ható megoszló terhet koncentrált erővel helyettesítettük
és a (12.66)-os képletet alkalmaztuk.
10.06.20. 202

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
13. Előadás: Felületszerkezetek mechanikai modellezése. Lemezek
alapvető egyenletei
A következő két előadás felületszerkezetek vizsgálatával foglalkozik. Először egy általános
bevezetés segítségével bemutatjuk az ilyenkor használatos koordinátarendszereket 184 és
mechanikai változókat, majd ezek után a lemezek illetve héjak mechanikai
alapegyenleteinek ismertetése következik. Megjegyezzük, hogy a vizsgált téma természetéből
adódóan a tenzorjelölések mellett gyakran használunk mátrixokat is az egyenletek felírásánál.
Általános megjegyzések:
A./ Kezdeti görbületek 185 :
Az ábrán a felületszerkezetek nemlineáris vizsgálatához szükséges koordinátarendszerek
láthatók egy héjszerkezeti elemen illusztrálva. Az x,y,z görbe vonalú ortogonális rendszer a
deformálatlan hivatkozási rendszert jelöli (az ábrán például x és y feszíti ki a deformálatlan
felületet, z pedig merőleges rá). A vázlaton a ξ , η,
ζ bázis tartozik a deformált alakhoz (a
megváltozott állapotban ξ és η a terhelt felületelem tengelyei). A harmadik (a,b,c jelzésű)
rögzített derékszögű globális koordinátarendszert elsősorban a kezdeti görbületek számítására
fogjuk használni.
13.1. ábra: A kezdeti és a pillanatnyi állapothoz tartozó bázisok
Az egyes bázisoknál az alábbi egységvektor rendszereket használjuk:
184 Különösen fontosak lesznek ezek az alapfogalmak akkor, amikor a későbbikben nemlineáris
hatások elemzésével is kiegészítjük az itt leírtakat.
185 Lásd a [ 4 ] alatti honlapot és a „Függelék”-et.
10.06.20. 203

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
x,y,z
⇒ j j , j ; ξ,
η,
ζ ⇒ i , i , i ; a,
b,
c i , i , i . (13.1)
1 , 2 3
1 2 3 ⇒
a
b
c
A következő ábrán egy általános (elemi méretű) héjelem látható, a deformáció előtti
és utáni állapotban. Az egyik pontnál berajzoltuk az eltolódások u,v,w értékét is.
Megjegyezzük, hogy a „kalappal” jelölt bázisok a deformált rendszer további módosításához
tartoznak (például amikor nyírási szögtorzulások hatását is figyelembe vesszük a mechanikai
modellnél).
13.2. ábra: Héjelem a kezdeti és a pillanatnyi bázisban
Az ábrán kijelölt, a deformálatlan helyzethez tartozó „A” pont P helyzetvektorát ismertnek
tételezzük fel, így teremtve kapcsolatot az a,b,c és az x,y,z rendszerek között:
P = p1( x,
y)
i a + p2
( x,
y)
ib
+ p3(
x,
y)
i c ,
(13.2)
ahol
∂P
∂P
j1 = = p1 ,xia + p2,xib + p
3,xic , j2
= = p1,yi a
+ p2,yib + p
3,yic
,
∂x
∂y
(13.3)
3
( ) ( ) ( )
j = j × j = p p − p p i + p p − p p i + p p − p p i .
1 2 2,x 3,y 3,x 2,y a 3,x 1,y 1,x 3,y b 1,x 2,y 2,x 1,y c
Megjegyezzük, hogy ebben a fejezetben is használjuk a jobb alsó indexnél a deriválásra utaló
vesszős szimbólumot.
A bázisvektorok közötti kapcsolat mátrixok segítségével:
⎡ j1 ⎤ ⎡ p1,x p2,x p ⎤
3,x ⎡ia
⎤
⎢
⎥
j= j = T i =
⎢
j
⎥
2
= p1 ,y
p2,y p
⎢
3,y i
⎥
abc ⎢ ⎥ b
. (13.4)
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢⎣ j ⎥
3 ⎦
⎢ p2,x p3,y p3,x p2,y p3,x p1 ,y
p1 ,x
p3,y p1,x p2,y p2,x p ⎥
⎣ − − − ⎢
1,y ⎦ ⎣i
⎥
c ⎦
Az ortogonális transzformáló tenzort jelöltük most T-vel (mátrix alakban T ). Az x,y,z
rendszer bázisvektorainak deriváltjaira lesz szükségünk, ha az eredeti, deformálatlan
szerkezet alakját jellemző, úgynevezett görbületi tenzorok előállításánál, ezért a következő
lépésben ezek számítását mutatjuk be. Felhasználva a
∂ j j jm j jm
j
j ∂ ∂
m m j 0 j n j j n
m m
, ∂ ∂
⋅ = ⋅ = ⋅
n
= − ⋅
m
, ⋅ ∂
n
= − ⋅ jm
(13.5)
∂x ∂y ∂x ∂x ∂y ∂y
összefüggéseket (az indexismétlések most nem jelentenek összegzést!), a következőt kapjuk:
10.06.20. 204

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
(13.6)
∂ j 0 j 0 j
= K1 ⋅ j , ∂ = K
2
⋅ j ,
∂ = 0, ahol
∂x ∂y ∂z
0 0
⎡ j1 ,x
⋅ j1 j1 ,x
⋅ j2 j1 ,x
⋅ j3 ⎤ ⎡ 0 k5 −k
⎤
1
0 0 ∂T
T ⎢
⎥ ⎢ 0 0 ⎥
K1 ⇒ K = ⋅ T = j
1
2,x j1 j2,x j2
j2,x
j3 k5 0 k61
x ⎢
⋅ ⋅ ⋅
⎥
= ⎢− − ⎥ , (13.7)
∂
0 0
⎢
⎣ j3,x ⋅ j1 j3,x ⋅ j2 j3,x
⋅ j ⎥ ⎢
3 ⎦ k1 k61
0 ⎥
⎣ ⎦
0 0
⎡ j1 ,y
⋅ j1 j1 ,y
⋅ j2 j1 ,y
⋅ j ⎤ ⎡
3
0 k4 −k
⎤
62
0 0 ∂T
T ⎢
⎥ ⎢ 0 0 ⎥
K
2
⇒ K = ⋅ T = j
2
2,y j1 j2,y j2
j2,y
j3 k4 0 k2
y
⎢ ⋅ ⋅ ⋅ ⎥ = ⎢− − ⎥ . (13.8)
∂
⎢
0 0
j3,y ⋅ j1 j3,y ⋅ j2 j3,y
⋅ j ⎥ ⎢
3
k62 k2
0 ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
0
A két K tenzort (mátrixot) kezdeti görbületi tenzornak (mátrixnak) nevezik a
felületszerkezetek mechanikájában. Az egyes elemek részletesen:
3
0 ∂j3 ∂j
∂T
1
1 j
k1 = ⋅ j1 = − ⋅ j3 = − ∑ T3 j
= −p1, xx
( p2, x
p3, y
− p3, x
p2,
y
) −
∂x ∂x ∂x
j=
1
−p ( p p − p p ) − p ( p p − p p ) , (13.9)
2, xx 3, x 1, y 1, x 3, y 3, xx 1, x 2, y 2, x 1, y
∂j
∂j
∂T
∂j
∂j
∂T
k T , k T ,
3 3
0 3 2 2 j 0 3
2
2 j
2
= ⋅ j2 = − ⋅ j3 = − ∑ 3 j 61
= ⋅ j2 = − ⋅ j3 = −∑
3 j
∂y ∂y j= 1 ∂y ∂x ∂x j=
1 ∂x
∂j ∂j ∂T
∂j ∂j
∂T
k T , k T ,
k
3 3
0 3 1 1 j 0 2 1
1 j
62
= ⋅ j1 = − ⋅ j3 =− ∑ 3 j 5
= ⋅ j1 = − ⋅ j2 =−∑
2 j
∂y ∂y j= 1 ∂y ∂x ∂x j=
1 ∂x
∂j
∂j
∂T
3
0 2 1
1 j
4
= ⋅ j1 = − ⋅ j2 =−∑
T2
j
∂y ∂y j=
1 ∂y
.
0 0 0
A görbületi mátrixok elemei közül k61,
k1 és k
5
az első az x tengely (pontosabban –x) körüli
kezdeti csavarási görbületet, a másik kettő pedig az y illetve z tengelyek körüli kezdeti
spirális és hajlítási görbületet jelenti. Hasonlóan: k az y tengely körüli csavarási görbületet,
0
k
2
az –x körüli spirális, és
0
62
0
k
4
pedig a z körüli hajlítási görbületet jelöli.
0 0 0 0
0 0
Ha k61 = k62 = k4 = k5 = 0 , akkor x és y tengelyeket főtengelyeknek, k1 -t és k2
-t pedig
főgörbületeknek nevezik. Megjegyezzük, hogy héjaknál és lemezeknél ∂j/
∂ z mindig
zérus, mert az egyenes vonalú z tengely merőleges a hivatkozási felületre.
Megjegyezzük, hogy mivel P a deformálatlan állapothoz tartozó „A” referenciapont
helyzetvektora, ezért ha a deformálatlan felület elegendően sima, akkor
∂P
0 0
P, x y
= P, y x
és mivel j1 = = P, x
illetve j
2
= P, y
⇒ k61 = −P, y x
⋅ j3 = −P, x y
⋅ j3 = k62
. (13.10)
∂x
B./ Síkbeli alakváltozások és a görbületek megváltozásai.
Az előző pontban bemutatott (13.2) számú ábrán a referenciafelület egy elemét ábrázoltuk
alakváltozások előtti és utáni állapotban. A rajzon ξˆ
és η ˆ jelöli x és y deformálódott
tengelyeit, i1ˆ
és i2ˆ
pedig ξ ˆ és η ˆ tengelyek egységvektorait. Ha például γ6
-tal jelöljük a
síkbeli nyírási deformációt ( γ
6
= γ
61
+ γ
62
), akkor kimondható, hogy ξ és η csak akkor
egyezik meg ξ ˆ és η ˆ tengelypárokkal, ha γ
6
zérus.
10.06.20. 205

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Az ábrán feltüntetett „A”, „B” és „C” sarokpontokhoz tartozó eltolódások az alábbi módon
írhatók fel:
„A” ⇒ u = uj + vj + wj
,
(13.11)
1 1 2 3
∂u1
„B” ⇒ u2 = u1 + dx = u1
+
∂x
0 0 0 0 0 0
+ ⎡( u, x
vk5 wk1 ) j1 ( v, x
uk5 wk61) j2 ( w, x
uk1 vk61)
j ⎤
⎢⎣
− + + + + + − −
3⎥⎦
dx , (13.12)
∂u1
„C” ⇒ u3 = u1 + dy= u1
+
∂y
0 0 0 0 0 0
+ ⎡( u, y
vk4 wk62) j1 ( v, y
uk4 wk2 ) j2 ( w, y
uk62 vk2 ) j ⎤
⎢⎣
− + + + + + − −
3⎥⎦
dy . (13.13)
Ezekben a képletekben u, v és w az „A” referenciapont x, y és z irányú eltolódásait jelölik. Az
ábrán látható élhossz-változások az előbbi képletek bemutatásával:
A′ B′= dx j + u − u =
(13.14)
1 2 1
0 0 0 0 0 0
= ⎡(1 u, x
vk5 wk1 ) j1 ( v, x
uk5 wk61) j2 ( w, x
uk1 vk61)
j ⎤
⎢⎣
+ − + + + + + − −
3⎥⎦
dx ,
A′ C′= dy j + u − u =
2 3 1
0 0 0 0 0 0
= ⎡( u, y
vk4 wk62) j1 (1 v, y
uk4 wk2 ) j2 ( w, y
uk62 vk2 ) j ⎤
⎢⎣
− + + + + + + − −
3⎥⎦
dy .
Jelöljük a ξ ˆ és η ˆ tengelyek irányába eső fajlagos alakváltozásokat e 1
és e 2
-vel:
(13.15)
A′ B′−dx
e1 = =− 1+ (13.16)
dx
+ (1 + u − vk + wk ) + ( v + uk + wk ) + ( w −uk − vk ) ,
0 0 2 0 0 2 0 0 2
, x 5 1 , x 5 61 , x 1 61
A′ C′−dy
e2 = =− 1+ (13.17)
dy
+ ( u − vk + wk ) + (1 + v + uk + wk ) + ( w −uk − vk ) .
0 0 2 0 0 2 0 0 2
, y 4 62 , y 4 2 , y 62 2
Az alakváltozások segítségével most már az i1ˆ és i2ˆ
egységvektorok is számíthatók (a
„kalap” szimbólum az elforgatott koordinátarendszerre utal, lásd az előző oldalon levő
ábrát):
A′ B′
ˆ ˆ ˆ
A′ C′
i1ˆ = = T11 j1 + T12 j2 + T13 j3
, i ˆ = = Tˆ 21j 2
1
+ Tˆ ˆ
22j2 + T23 j3
, (13.18)
(1 + e1
) dx
(1 + e2
) dy
ahol
0 0 0 0 0 0
ˆ
1+ u, x
− vk5 + wk1 ˆ
v, x
+ uk5 + wk61 ˆ
w, x
− uk1 + vk61
T11 = , T12 = , T13
=
, (13.19)
1+ e 1+ e 1+
e
21
1 1 1
0 0
0 0 0 0
, y
−
4
+
62
1+ v
ˆ
, y
+ uk4 + wk2 w
ˆ
, y
−uk62 −vk2
T22 = , T23
=
1+
e2
1+ e2 1+
e2
u vk wk
Tˆ =
,
A nyírási deformáció (13.18) segítségével 186 :
−1 −1
γ = γ +γ = sin ( i ⋅ i ) = sin ( Tˆ Tˆ + Tˆ Tˆ + Tˆ Tˆ
) . (13.20)
6 61 62 1ˆ
2ˆ
11 21 12 22 13 23
1
Megjegyezzük, hogy a képletben szereplő sin − szimbólum azonos az arcsin jelöléssel. A két
összetevő ( γ61 és γ
62
) közötti kapcsolat a síkbeli nyírási alakváltozások dualitása
segítségével írható fel ( ε 12
= ε 21
). Mivel
186 A ξ,
η bázis ortogonális, de a ˆ , ˆ
adódik (13.20).
ξ η bázis általában nem az, ezért iˆ iˆ cos ( / 2 )
10.06.20. 206
1 2
.
⋅ = π − γ . Innen

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
ε
12
= (1 + e1 ) dxsin γ61 / dx és ε
21
= (1 + e2 ) dysin γ
62
/ dy , (13.21)
így a két komponens közötti kapcsolati egyenlet:
(1 + e )sin γ = (1 + e )sin γ . (13.22)
1 61 2 62
A deformált elemre merőleges harmadik egységvektor a másik kettő ismeretében számítható:
ˆ
i1ˆ
× i2ˆ
i3 = i3 = = T31j1 + T32 j2 + T33 j3
, (13.23)
i × i
1ˆ
2ˆ
ahol
T = ( Tˆ Tˆ − Tˆ Tˆ ) / R , T = ( Tˆ Tˆ − Tˆ Tˆ ) / R , T = ( Tˆ Tˆ − Tˆ Tˆ
) / R , (13.24)
31 12 23 13 22 0 32 13 21 11 23 0 33 11 22 12 21 0
R = ( Tˆ Tˆ − Tˆ Tˆ ) + ( Tˆ Tˆ − Tˆ Tˆ ) + ( Tˆ Tˆ − Tˆ Tˆ
) = i × i = cos γ .
2 2 2
0 12 23 13 22 13 21 11 23 11 22 12 21 1ˆ
2ˆ
6
Az i1ˆ
és i2ˆ
valamint i3
egységvektorok felhasználásával felírható az x,y,z illetve ξ, η,
ζ
rendszerek közötti kapcsolat. Mátrixokkal:
⎡i ⎤ ⎡
1
i ⎤ ⎡
ˆ j ⎤ ⎡Tˆ 1 11
Tˆ 12
Tˆ
⎤
13 ⎡ j ⎤
1
1
i ˆ ˆ ˆ 2
= Γ⋅ i 2ˆ
T j 2
T21 T22 T
23
j
= ⋅ =Γ⋅ 2
,
(13.25)
i 3
i ⎢ 3ˆ
j ˆ ˆ ˆ
3 T j
31
T32 T
⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ 33
⎢⎣ 3
⎢ ⎥
⎥
⎣
⎦
⎦
ahol
−1
⎡cos γ61 sin γ61 0⎤ ⎡ cos γ62 −sin γ61
0 ⎤
1
Γ=
sin γ62 cos γ
62
0 = −sin γ62 cos γ61
0
. (13.26)
cos
γ6
⎢ 0 0 1 ⎥ ⎢ 0 0 cos γ
⎣ ⎦ ⎣ 6⎥⎦
Az irányvektorok változásait (a vektorok előbb megadott képleteit valamint a transzformáló
mátrix ortogonalitási tulajdonságát – inverze egyenlő a transzponáltjával – kihasználva) az
előző pontban bemutatott módon lehet kiszámítani. Mivel
∂i j
∂i j
∂i j ∂i
∂i
k
j ∂ik
⋅ i
j
= ⋅ i
j
= 0 , ⋅ ik = − ⋅i j
, ⋅ ik = − ⋅i
j
,
(13.27)
∂x ∂y ∂x ∂x ∂y ∂y
így a változásokat megadó deriváltak az alábbi módon számíthatók:
⎡i1,x ⋅i1 i1 ,x
⋅i2 i1 ,x
⋅i3
⎤
∂i
⎢ ⎥
= K1 ⋅ i , ahol K = i
1 2,x i1 i2,x i2 i2,x
i3
x
⎢
⋅ ⋅ ⋅
⎥
=
(13.28)
∂
⎢
⎣i3,x ⋅i1 i3,x ⋅i2 i3,x
⋅i
⎥
3 ⎦
⎡ 0 k5 −k1
⎤
∂T
T 0 T
=
⎢
k5 0 k
⎥
⎢
− −
61⎥ = T + T K T .
1
∂x
⎢⎣
k1 k61
0 ⎥⎦
⎡i1,y ⋅i1 i1,y ⋅i2 i1,y
⋅i
⎤
3
∂i
⎢ ⎥
= K
2
⋅ i , ahol K = i
2 2,y i1 i2,y i2 i2,y
i3
y
⎢ ⋅ ⋅ ⋅ ⎥ =
(13.29)
∂
⎢i3,y ⋅i1 i3,y ⋅i2 i3,y
⋅i
⎥
⎣
3 ⎦
⎡ 0 k4 −k62
⎤
∂T
T 0 T
=
⎢
k4 0 k
⎥
⎢
− −
2
⎥
= T + T K T .
2
∂y
⎢⎣
k62 k2
0 ⎥⎦
A K mátrixok ismét a görbületeket tartalmazzák, de most a deformált állapotban adják meg
ezek értékét. Az egyes elemek:
10.06.20. 207

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
∂i
k ∑ T T T k T k T k ,
(13.30)
∂
3
1
0 0 0
1
= − ⋅ i3 = −
1m,x 3m
−
21 61
+
22 1
+
23 5
x m=
1
∂i
k T T T k T k T k ,
3
2
0 0 0
2
= − ⋅ i3 = − ∑ 2m,y 3m
+
11 2
−
12 62
−
13 4
∂y m=
1
∂i
k T T T k T k T k ,
3
2
0 0 0
61
= − ⋅ i3 = − ∑ 2m,x 3m
+
11 61
−
12 1
−
13 5
∂x m=
1
∂i
k T T T k T k T k ,
3
1
0 0 0
62
= − ⋅ i3 = −∑
1m,y 3m
−
21 2
+
22 62
+
23 4
∂y m=
1
∂i
k T T T k T k T k ,
3
1
0 0 0
5
= ⋅ i2 = ∑ 1m,x 2m
−
31 61
+
32 1
+
33 5
∂x m=
1
∂i
k T T T k T k T k ,
3
2
0 0 0
4
= − ⋅ i1 = −∑
2m,y 1m
−
31 2
+
32 62
+
33 4
∂x m=
1
Megjegyezzük, hogy a fenti görbületek nem jelentenek valódi változásokat, hiszen a
deriválást a deformálatlan dx és dy értékek alapján végeztük, és nem a ξ és η tengelyek
mentén létrejövő valódi hosszakkal számoltunk.
Ha γ 61 = γ 62 = e 1 = e2
= 0,
akkor k 1 és k2
az η és − ξ körüli hajlítási görbületeket jelöli,
k61 és k 62 a − ξ és η tengelyek körüli csavarási görbületeket adja meg, k 4 és k5
pedig az
η és ξ tengelyek ζ tengely szerinti „spirális” görbülete.
C./ Ortogonális virtuális elfordulások
A ξ , η,
ζ bázis i j
egységvektorainak a δΘ
i
virtuális merevtestszerű elfordulások
következtében létrejövő variációi 187 :
⎡δi1 ⎤ ⎡ 0 δΘ3 −δΘ2 ⎤ ⎡i1
⎤
⎢
i
⎥ ⎢
2 3
0
⎥ ⎢
1
i
⎥
⎢
δ
⎥
=
⎢
−δΘ δΘ
⎥ ⎢
2
⎥
, ahol (13.31)
⎢⎣ δi
⎥
3 ⎦ ⎢⎣ δΘ2 −δΘ1 0 ⎥⎦ ⎢⎣ i ⎥
3 ⎦
δΘ = i ⋅δ i = − i ⋅δ i = T δ T + T δ T + T δT ,
1 3 2 2 3 31 21 32 22 33 23
δΘ = i ⋅δ i = − i ⋅δ i = T δ T + T δ T + T δT ,
2 1 3 3 1 11 31 12 32 13 33
δΘ = i ⋅δ i = − i ⋅δ i = T δ T + T δ T + T δT .
3 2 1 1 2 21 11 22 12 23 13
C/1. Virtuális elfordulások a nyírási alakváltozások elhanyagolása esetén
(13.32)
Vékony felületszerkezeteknél (az esetleges normálerők mellett) alapvetően a hajlítási
hatások a jelentősek, a nyírási hatások kicsik és így elhanyagolhatók. Ez jelen esetben
γ 61 = γ 62 = γ 6 = 0 feltételt jelenti és így:
i = i i = i illetve Tˆ
= T , Tˆ
= T ,
(13.33)
1 ,
1ˆ 2 2ˆ
1 i 1 i 2 i 2 i
valamint Γ is egységmátrix lesz. Ha figyelembe vesszük, hogy ebben az esetben
187 A virtuális elfordulások számításánál felhasználtuk a δ i = Θ i = Θ T j = δ ( T j)
összefüggést,
valamint a kiindulási bázisra érvényes δ j = 0 feltételt. Ennek segítségével (13.32) végül
módon számítható.
δ i =δ T T
10.06.20. 208
T

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
2
2
2
2
T 11 + T12
+ T13
= T21
+ T22
+ T13
= 1
(13.34)
feltétel is teljesül, akkor az él-alakváltozások variációiból a következőt kapjuk:
0 0
0 0
0 0
δ e1 = T11
δ(
u,
x − vk5
+ wk1
) + T12δ(
v,
x + uk5
+ wk61)
+ T13δ(
w,
x − uk1
− vk61
), (13.35)
10.06.20. 209
2
δ e = T δ( u − vk + wk ) + T δ ( v + uk + wk ) + T δ( w − uk − vk )
0 0 0 0 0 0
2 21 , y 4 62 22 , y 4 2 23 , y 62 2
Írjuk fel i1 és i 2 variációit a transzformációs képletek variációinak segítségével:
δ i = j δ T + j δ T + j δ T = (13.36)
1 1 11 2 12 3 13
0 0 0 0 0 0 1
= ⎡( u, x
k5 v k1 w) j1 ( v, x
k5 u k61 w) j2 ( w, x
k1 u k61 v)
j ⎤
⎢⎣ δ − δ + δ + δ + δ + δ + δ − δ − δ
3⎥⎦ −
1+
e1
− δe1
i1
,
1 + e1
δ i = j δ T + j δ T + j δ T = (13.37)
2 1 21 2 22 3 23
0 0 0 0 0 0 1
= ⎡( u, y
k4 v k62 w) j1 ( v, y
k4 u k2 w) j2 ( w, y
k62 u k2 v)
j ⎤
⎣⎢
δ − δ + δ + δ + δ + δ + δ − δ − δ
3⎥⎦ −
1+
e2
δe2
− i2
.
1 + e2
Behelyettesítve ezeket a képleteket a virtuális elfordulásokra felírt
δΘ
1
= i3 ⋅δi2 , δΘ
2
= −i 3
⋅δ i1
összefüggésekbe és felhasználva az egységvektorokra és
variációikra felírt eddigi kapcsolati egyenleteket, a következőt kapjuk eredményül:
0 0 0 0
(1 + e ) δΘ + T ( δu −k δ v + k δ w) + T ( δ v + k δ u + k δ w)
+ (13.38)
(13.39)
1 2 31 , x 5 1 32 , x 5 61
+ T ( δw −k δu −k δ v) = 0 ,
0 0
33 , x 1 61
2
− (1 + e ) δΘ + T ( δu −k δ v + k δ w) + T ( δ v + k δ u + k δ w)
+
0 0 0 0
2 1 31 , y 4 62 32 , y 4 2
+ T ( δw −k δu −k δ v) = 0 .
0 0
33 , y 62 2
C/2. Virtuális elfordulások a nyírási alakváltozások figyelembevétele esetén
Ha γ
6
nem zérus, akkor a
2 2 2
Tˆ + Tˆ + Tˆ ˆ 2 ˆ 2 ˆ 2
= T + T + T = 1
(13.40)
11 12 13 21 22 13
egyenlőség, valamint ˆT elemeinek számítására alkalmazott képletekből kiindulva az
élek nyúlásainak variációira az alábbi összefüggéseket tudjuk felírni:
δ e1 = Tˆ 11δ t11 + Tˆ 12δ t ˆ
12
+ T13δ
t13
,
(13.41)
δ e ˆ ˆ ˆ
2
= T21δ t211 + T22δ t22 + T23δ
t23,
ahol
0 0 0 0
δ t =δ (1 + u − vk + wk ) =δu −k δ v + k δ w , (13.42)
11 , x 5 1 , x 5 1
δ t =δ ( v + uk + wk ) =δ v + k δ u + k δ w,
0 0 0 0
12 , x 5 61 , x 5 61
δ t =δ ( w −uk − vk ) =δ w −k δu −k δ v,
0 0 0 0
13 , x 1 61 , x 1 61
δ t =δ ( u − vk + wk ) =δu −k δ v + k δ w,
0 0 0 0
21 , y 4 62 , y 4 62
δ t =δ (1 + v + uk + wk ) =δ v + k δ u + k δ w,
0 0 0 0
22 , y 4 2 , y 4 2
δ t =δ ( w −uk − vk ) =δ w −k δu −k δ v .
0 0 0 0
23 , y 62 62 , y 62 2

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Írjuk fel most az i1 ˆ és i2
ˆ egységvektorok variációit:
1
δ i = ( j δ t + j δ t + j δt − i δ e ) ,
1ˆ
1 11 2 12 3 13 1ˆ
1
1+
e1
1
δ i = ( j δ t + j δ t + j δt − i δ e ) .
2ˆ
1 21 2 22 3 23 2ˆ
2
1+
e2
6 1ˆ 2ˆ 1ˆ 2ˆ
6
(13.43)
(13.44)
Mivel sin γ
6
= i1ˆ ⋅ i2ˆ
, variációja a szükséges helyettesítések után:
δ γ = ( δi ⋅ i + i ⋅δi
) / cos γ = (13.45)
( Tˆ 21
−sin γ6Tˆ 11) δ t11 + ( Tˆ ˆ ˆ ˆ
22
−sin γ6T12 ) δ t12 + ( T23 −sin γ6T13 ) δt13
= +
cos γ
6(1 + e1
)
( Tˆ 11
−sin γ6Tˆ 21) δ t21 + ( Tˆ ˆ ˆ ˆ
12
−sin γ6T22 ) δ t22 + ( T13 −sin γ6T23 ) δ t23
+
cos γ
6(1 + e2
)
.
Az egyes komponensek variációi:
(1 + e2 )cos γ62 δ γ6 −sin γ61 δ e1 + sin γ62 δe2
δ γ
61
=
,
(1 + e1 )cos γ
61
+ (1 + e2 )cos γ62
(13.46)
(1 + e1 )cos γ61 δ γ
6
+ sin γ61 δ e1 −sin
γ62 δe2
δ γ
62
=
.
(1 + e1 )cos γ
61
+ (1 + e2 )cos γ62
(13.47)
Az elfordulások variációi végül (felhasználva a i3 ⋅i 1ˆ =i3
⋅ i2ˆ
= 0 értéket):
i i cos γ61 sin
62
1 2 3 2ˆ
3 1ˆ
3
cos
γ
δΘ = δ ⋅ = δ ⋅ − δ
6
cos
⋅
γ
γ
i
6
=
(13.48)
cos γ61
= (
31 21 32 22 33 23)
cos
6(1 2) δ t +
e
T δ t + T δ t sin γ62
−
(
31 11 32 12 33 13)
γ +
cos
6(1 1) δ t +
e
T δ t + T δ
γ +
t .
i i sin γ61 cos
62
2 1 3 2ˆ
3 1ˆ
3
cos
γ
δΘ = −δ ⋅ = δ ⋅ − δ
6
cos
⋅
γ
γ
i
6
= (13.49)
sin γ61
= (
31 21 32 22 33 23)
cos
6(1 2) δ t +
e
T δ t + T δ t cos γ62
−
(
31 11 32 12 33 13)
γ +
cos
6(1 1) δ t +
e
T δ t + T δ
γ +
t .
1 1
δΘ
3
= ( δ i1 ⋅i2 −δ i2 ⋅ i1) = δ γ62 −δ γ
61
+ ( δ i1ˆ ⋅i2ˆ −δ i2ˆ ⋅ i1ˆ
) =
2 2cos γ6
(13.50)
( Tˆ 21
−sin γ6Tˆ 11) δ t11 + ( Tˆ ˆ ˆ ˆ
22
−sin γ6T12 ) δ t12 + ( T23 −sin γ6T13 ) δ t13
= −
2cos γ
6(1 + e1
)
( Tˆ 11
−sin γ6Tˆ 21) δ t21 + ( Tˆ ˆ ˆ ˆ
12
−sin γ6T22 ) δ t22 + ( T13 −sin γ6T23 ) δ t23
− +δ γ62 −δ γ61
2cos γ (1 + e )
.
6 2
D./ A görbületek variációi
A (13.48-13.50) alatti variációkat, valamint a (13.28), (13.29) és (13.31) alatti
összefüggéseket figyelembe véve integráljuk ezen változók és egy tetszőleges m nyomaték
szorzatát a deformálatlan „A” területű elemen (X és Y jelen esetben x és y peremértékeit
jelentik) 188 :
188 Megjegyezzük, hogy mindegyik egyenletben alkalmaztunk parciális integrálást, lásd például
(13.51)-ben −mi3 δ i1, x
tag átalakítását.
10.06.20. 210

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
∫ mδ k1 dx dy= ∫ m( −i1, x
⋅δ i3 −i3 ⋅δ i1,
x
) dx dy =
(13.51)
A
A
⎛
∂m
⎞
x=
X
= m i i i i mi i ∫ ⎜− ⋅δ + ⋅δ + ⋅δ ⎟
dx dy − mi ⋅δ i dy =
⎜⎝
⎠ ∫
A
1, x 3 3 1 3, x 1 3 1 x=
0
∂x
y
⎛ ∂m
⎞
= mk mk ∫ ⎜ δΘ − δΘ + δΘ dx dy + mδΘ
dy
⎜⎝ ∂x
⎟⎠
∫
x=
X
5 1 2 61 3⎟
2 x=
0
,
A
y
∫ mδ k2 dx dy= ∫ m ( −i 2, y
⋅δ i3 −i3 ⋅δ i2,
y
) dx dy =
(13.52)
A
A
⎛
∂m
⎞
y=
Y
= ∫ −m i2, y
⋅δ i3 + i3 ⋅δ i2 + mi3, y
⋅δ i2 dx dy − mi3 ⋅δ i2 y=
0
dx=
⎜
⎝
∂y
⎠
⎟ ∫
A
x
⎛ ∂m
⎞
y=
Y
= ∫ mk δΘ + δΘ −mk δΘ dx dy + mδΘ
y=
dx
⎜⎝
∂y
⎟⎠
∫
A
⎛ ∂m
4 2 1 62 3 1 0
,
∫
x=
X
mδ k61 dx dy = ∫ ⎜ δΘ
1
+ mk5δΘ2 − mk1δΘ3 ⎟ dx dy − mδΘ1 dy ,
x=
0
∂x
∫ A A ⎝
⎠
(13.53)
y
⎛
∂m
∫ y=
Y
mδ k62 dx dy = ∫ ⎜ − δΘ
1
+ mk4δΘ 1
+ mk2δΘ 3 ⎟ dx dy + mδΘ2 dx ,
y=
0
∂y
∫ (13.54)
A A x
⎝
⎠
⎛ ∂m
⎞
y=
Y
mδ k4 dx dy = ⎜ − δΘ3 − mk2δΘ2 − mk62δΘ 1 ⎟ dx dy + mδΘ3 dx ,
y=
0
⎝ ∂y
⎠
⎛ ∂m
⎞
x=
X
mδ k5 dx dy = ⎜ − δΘ3 − mk1δΘ1 − mk61δΘ2 ⎟ dx dy − mδΘ3 dy .
x=
0
⎝ ∂x
⎠
∫ ∫ ∫ (13.55)
A A x
∫ ∫ ∫ (13.56)
A A y
Ezeket az egyenleteket tömör mátrix formában is megadhatjuk (a képletekben I az
egységmátrix):
1 1 2 2
A A ⎝ ∂x
⎠
y
⎢⎣ δ k ⎥
5 ⎦ ⎢⎣ δΘ ⎥ ⎢ ⎥
3 ⎦ ⎣δΘ3 ⎦ x=
0
y=
Y
⎞
⎞
x
x=
X
⎡−δ k61⎤ ⎡δΘ1 ⎤ ⎡δΘ1
⎤
m
m
⎢
k
⎥ ⎛ ∂ ⎞
dx dy I mK
⎢ ⎥
dx dy m
⎢ ⎥
⎢
δ
⎥
= − ⎜ + ⎟ ⎢
δΘ
⎥
+
⎢
δΘ
⎥
dy
∫ ∫ ∫ , (13.57)
⎡−δ k2 ⎤ ⎡δΘ1 ⎤ ⎡δΘ1
⎤
m
m
⎢
k
⎥ ⎛ ∂ ⎞
dx dy I mK
⎢ ⎥
dx dy m
⎢ ⎥
⎢
δ
⎥
= − ⎜ + ⎟ ⎢
δΘ
⎥
+
⎢
δΘ
⎥
dx
∫ ∫ ∫ . (13.58)
62 2 2 2
∂y
A A x
⎢ k
⎝
⎠
⎣ δ ⎥
4 ⎦ ⎢⎣ δΘ ⎥ ⎢ ⎥
3 ⎦ ⎣δΘ3 ⎦ y=
0
Integrálva a fenti két egyenletet kapjuk a végeredményt:
⎡−δ k61⎤ ⎡δΘ1 ⎤ ⎡δΘ1 ⎤ ⎡−δ k2 ⎤ ⎡δΘ1 ⎤ ⎡δΘ1
⎤
⎢
k
⎥ ∂ ⎢ ⎥
1 2
K
⎢ ⎥
1 2
,
⎢
k
⎥ ∂ ⎢ ⎥
62 2
K
⎢ ⎥
⎢
δ
⎥
= δΘ − δΘ δ = δΘ −
2
δΘ2
∂x
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ∂y
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢⎣ δ k ⎥
5 ⎦ ⎢⎣ δΘ ⎥
3 ⎦ ⎢⎣ δΘ ⎥ ⎢
3 ⎦ ⎣ δ k ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
4 ⎦ ⎣δΘ3 ⎦ ⎣δΘ3
⎦
. (13.59)
A fenti egyenletek azt mutatják, hogy a görbületek variációi az eltolódásoktól, valamint azok
első és második deriváltjaitól függenek:
δk ⇐ δu, δv, δw, δu , δv , δw , δu , δv , δw , δu , δv , δw , δu , δv , δw , δu , δv , δ w
j , x , x , x , y , y , y , xx , xx , xx , yy , yy , yy , xy , xy , xy
E./ Lokális elmozdulások és a Jaumann-alakváltozások
Az ebben a pontban közölt levezetések a későbbiekben a nemlineáris felületszerkezetei
vizsgálatoknál lesznek fontosak, a lineáris elemzéseknél kihagyhatók.
10.06.20. 211

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Az ábra az AB deformálatlan szakaszt, majd terhelés utáni új alakját (
A ′ B′
) ábrázolja.
Az „A” és „B” pontok helyzetvektorai:
∂R
A
0 0
R A = R o + z j3 , R B = R B + dx = R A + [(1
+ zk1
) j1
+ zk61j2
]dx , (13.60)
∂x
∂R o
ahol = j 1. Az ábrán látható d ~ x él-hosszt az alábbiak szerint számítjuk:
∂x
AB 1 0 0
dx%
= R
A
− R
B
= τ dx , j ⎡
1 ( 1 zk1 ) j
1
zk61 j ⎤
% = = + +
2
dx
dx%
τ ⎣ ⎦ , (13.61)
ahol
0 0
( 1 zk1 ) ( zk61)
2 2
τ = + + . (13.62)
13.3. ábra: Görbült vonalszakasz kezdeti és deformált állapota
Megjegyezzük, hogy ~
0
j 1 = j csak abban az esetben teljesül, ha k
1 61 kezdeti csavarási görbület
értéke zérus. Az „A” pont elmozdulásvektora, illetve x szerinti deriváltja Voigt jelölésekkel:
u = u v w J + z i − z
(13.63)
[ ] .
3 j 3
∂ u = ⎡ u,x v,x w,x
⎤ J + u v w K1 J + z k1i + 1
k61i + 2
j − τ 1
j1
∂x
⎣
⎦
% . (13.64)
A ɶ ξ tengely menti lokális alakváltozás (ismét tenzorjelöléssel):
⎛ ∂u
⎞
u + dx + dxɶ
j u i
1ɶ
− dx
1
x
⎟
⋅ ɶ − ɶ
⎜⎝
∂
⎠ 1 ∂u ε
11
= = ⋅ i 1,
1ɶ + j ⋅
1ɶ i −
1ɶ
(13.65)
dxɶ
τ ∂x
ahol i 1ɶ a ɶ ξ tengely irányába eső egységvektor. Ha a feladatnál elhanyagoljuk a nyírási
hatásokat, az A′ és B′ pontok helyzetvektorai:
R = R + i , 3
(13.66)
A′ O′
z
0
[ ] ( )
∂R
A′
R
B′ = R
A′ + dx= R
A′
+ ⎡( 1+ e1 + zk1)
i1 + zk61i
⎤
2
dx
∂x
⎣
⎦
, (13.67)
10.06.20. 212

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
ahol
∂RO′
/ ∂ x = (1 + e1 ) i1
. (13.68)
Az előbb említett i 1ɶértékét is ki tudjuk számítani ezeknek a helyzetvektoroknak a
segítségével:
RB′ -R
A′ 1
iɶ
= = ⎡
1
( 1 + e1 + zk1)
i1 + zk61i
⎤
2 ,
A′ B′
τɶ
⎣ ⎦
(13.69)
ahol
2 2
1 1 zk61
τ ɶ = (1 + e zk ) + ( ) . (13.70)
Megjegyezzük, hogy ha a lokális elmozdulásokból keletkező lokális elfordulások hatása
elhanyagolható, akkor az egységvektor képlete egyszerűsödik:
1 i ⎡
0 0
1 ( 1 e 1 zk 1 ) i 1 zk 61 i ⎤
ɶ = ⎢ + + + 2
τ ⎣ ⎥⎦
. (13.71)
Ez az egyszerűsítés lényegében a kis alakváltozások hatásának elfogadását jelenti.
Ha az egységvektorra és elmozdulás-deriváltra kapott képleteket behelyettesítjük az ε 11
alakváltozásra felírt összefüggésbe, akkor a következőt kapjuk:
1+ e1 + zk1
0 0 0 0
ε 11 = (( u, x − vk5 + wk1 ) T11 + ( v, x + uk5 + wk61)
T12
+ (13.72)
ττɶ
0 0 zk61
0 0 0 0
+ ( w, x −uk1 − vk61) T13 + zk1 + T11 ) + (( u, x − vk5 + wk1 ) T21 + ( v, x + uk5 + wk61)
T22
+
ττɶ
0 0 0
1+ e1 + zk1
+ ( w, x −uk1 − vk61) T23 + zk61 + T21) −i ⋅ j + j ⋅i
− 1=
1ɶ 1ɶ 1ɶ 1ɶ [ 1+ e1 + zk1
] +
ττɶ
zk61 τɶ
+ [(1 + e1 ) i1 ⋅ i2 + zk61]
− 1= −1.
ττɶ
τ
Sorfejtés és elhanyagolások után az alábbi egyszerűsített változatát szokás használni a fenti
képletnek:
0
ε = e + z k − ( 1+
e k . (13.73)
[ ]
11 1 1 1)
Megjegyezzük, hogy ebben az egyszerűsített változatban nem szerepel
10.06.20. 213
1
~
k , így a ξ és ξ
tengelyek menti tengelyirányú alakváltozások megegyeznek ( i ~ = i1). Az ( 1+ e1
) tényezőre
azért van szükség, mert k1
nem valódi görbület ( k viszont igen), és ε 11 − t a deformálatlan
hosszhoz viszonyítva definiáltuk. Ha e 1 kicsiny ( 1+ e 1 ≅ 1), akkor a most felírt redukált alak
még tovább egyszerűsíthető:
0
ε = e + z(
k − ) . (13.74)
11 1 1 k1
Mivel a merevtestszerű mozgásokból nem keletkezik alakváltozás, a ζ tengelyt rögzíteni
lehet, és a hozzá nagyon közeli pontok elmozdulásait az alábbi módon is fel lehet írni:
0
u1 ( x, y,z,t) = u1 ( x, y,t) + z ⎡⎣
Θ2 ( x, y,t) − Θ20
( x, y ) ⎤⎦
,
0
2 ( ) =
2 ( ) − ⎡⎣
Θ1 ( ) − Θ10
( )
0
u3 ( x, y,z,t) = u3
( x, y,t ) .
0
Ezekben az egyenletekben ( i = 1, 2,3)
u x, y,z,t u x, y,t z x, y,t x, y ⎤⎦
,
0
1
1
0
61
(13.75)
u i azoknak a referenciapontoknak a lokális
koordinátarendszerhez viszonyított elmozdulásait jelenti, amelyek a referenciafelületen
vannak. Θ1 és Θ2
a megfigyelt héjelem ξ és η tengelyekhez viszonyított elfordulásait

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
jelenti, Θ10 és Θ20
pedig ugyanezekhez a tengelyekhez viszonyított kezdeti elfordulás
értéke. Mivel a ξ , η,
ζ lokális koordinátarendszer a megfigyelt héjelemhez illesztett rendszer
és a ξ, η sík érintősíkja a deformálódott referenciafelületnek, akkor erre a lineáris változatra
felírhatók az alábbi összefüggések:
0 0 0 0 0
u = u = u = Θ = Θ = Θ = Θ = ∂u / ∂ x = ∂u / ∂ y = , (13.76)
1 2 3 1 2 10 20 3 3
0
0 0 0 0
∂u1 ∂u2 ∂u1 ∂u2
e
1
= , e
2
= , γ
6
= + ,
∂x ∂y ∂y ∂x
∂Θ2 ∂Θ1 ∂Θ1 ∂Θ2
0 0
k
1
= , k
2
= − , k
61
= − , k
62
= , k6 = k61 + k
62
,
∂x ∂y ∂x ∂y
0 ∂Θ 0 ∂Θ 0 ∂Θ 20 10 10 0 ∂Θ
20 0 0 0
k
1
= , k
2
= − , k
61
= − , k
62
= , k6 = k61 + k
62
.
∂x ∂y ∂x ∂y
A felületszerkezetek vizsgálatánál használatos, úgynevezett Jaumann-féle alakváltozás a
deformált rendszerhez tartozó lokális elmozdulásvektor segítségével az alábbi formában
adható meg:
∂u
l
0
u l = u1i1
+ u2i
2 + u3i3
⇒ ε J = ⋅ i1
= e1
+ z( k1
− k1
) ≡ε11
, (13.77)
∂x
vagyis a Jaumann-féle alakváltozás megegyezik ε 11 alakváltozás korábban számított
értékével.
Lemezek 189 vizsgálata
A továbbiakban bemutatjuk a lemezek kis geometriai változásokhoz tartozó, statikus és
dinamikus hatásokat egyaránt figyelembe venni képes alapegyenleteit. Először azzal a
modelltípussal foglalkozunk, amikor a nyírás hatását (a Bernoulli-Navier-gerendamodellhez
hasonlóan) nem vesszük figyelembe, majd áttekintjük a nyírási hatások modellezési
technikáját is.
A./ Kirchhof-Love-féle „klasszikus” lemezmodell
A vizsgálat során feltételezzük, hogy a deformálódott keresztmetszetek síkok maradnak és
alakváltozás után is merőlegesek a referenciasíkra (ez a nyírás hatásának elhanyagolását
jelenti).
A/1. Derékszögű négyszög alaprajzú lemezek
A lemez mérete 0 ≤ x≤ a és 0 ≤ y ≤b
között változik. A 13.4. ábra a deformáció előtt és
után egy elemi hasáb segítségével ábrázolja a változásokat (h a lemez vastagsága).
Egy tetszőleges pont (kicsiny) eltolódásai az alábbi módon számíthatók:
u = u + zΘ = u − zw , u = v− zΘ = v− zw , u = w,
1 2 , x 2 1 , y 3
ahol u, v és w a referenciapont x, y és z irányú elmozdulásai.
(13.78)
Az alakváltozások:
189 A lemez fogalmának mechanikai definícióját a BSc „Tartók Statikája” című tárgy adta meg.
10.06.20. 214

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
∂u1 ∂u2
ε 11 = = u, x − zw, xx , ε 22 = = v, y − zw,
yy,
∂x
∂y
(13.79)
13.4. ábra: Elemi hasáb deformáció előtt és után
∂u1 ∂u2
ε 12 = + = u, y + v, x − 2 zw,
xy,
ε 33 = ε 13 = ε 23 = 0 .
∂y
∂x
A lemezelméletnek azt a változatát, amikor a fenti
feltételeket elfogadjuk, Kirchhoff-Love 190 -modellnek
(vagy más néven „klasszikus” modellnek) nevezzük.
Az elmozdulásvektor és idő szerinti deriváltjai (a j
egységvektorok az x ,y, z rendszerhez tartoznak) az
alábbi egyenletekkel adhatók meg:
u = u j + u j + u j , u= ɺɺ ( uɺɺ − zwɺɺ ) j + ( vɺɺ − zwɺɺ ) j + wɺɺ j , (13.80)
illetve u variációja:
1 1 2 2 3 3 , x 1 , y 2 3
( x) ( y)
δ u = δu − zδ w j + δ v− zδ w j +δ wj
. (13.81)
, 1 , 2 3
A gyorsulásvektor és az elmozdulás-variáció segítségével már felírható a rendszer kinetikus
energiájának variációja a Hamilton-elv képletéhez:
δ K = − ρuɺɺ ⋅δ u dAdz =− (( I0uɺɺ − I1 wɺɺ , x ) δ u + ( I0vɺɺ − I1 wɺɺ , y ) δ v + I0wɺɺ δ w+
(13.82)
A
∫ ∫
∫
z A A
+ ( I wɺɺ − I uɺɺ ) δ w + ( I wɺɺ − I vɺɺ
) δ w ) dA=
2 , x 1 , x 2 , y 1 , y
{ ( 0 1 , ) ( 0 1 , ) ⎡
0 ( 2 , 1 ) , ( 2 , 1 ) ⎤
x y x x y , y }
−∫ I uɺɺ − I wɺɺ δ u + I vɺɺ − I wɺɺ δ v + ⎢I wɺɺ − I wɺɺ − I uɺɺ − I wɺɺ − I vɺɺ
⎥ δ w dA−
⎣
⎦
190 Augustus Edward Hough Love (1863 – 1940) angol fizikus, sokat foglalkozott szilárdságtani
kérdésekkel. Kiváló mechanikai tankönyvei nagyban hozzájárultak a mérnökképzés színvonalának
emeléséhez. Kirchhoff és Love életrajza és a lemezmodell létrejöttének történetét bemutató
összefoglaló a Tanszék honlapján olvasható „Kirchoff, Love és a klasszikus lemezmodell” címen. A
lap jobb oldalán látható kettőjük fényképe (baloldalt Kirchhoff).
10.06.20. 215

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
t
ahol
x=
a
y=
b
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ 2
ɺɺ, x 1ɺɺ ⎣ ⎥⎦ x=
0 ∫ ⎢ 2
ɺɺ, y 1
ɺɺ
⎣ ⎥⎦
y x y=
0
∫
− I w − I u δ wdy − I w − I uv δ wdx ,
I0 I1 I2 = ρ ⎡1 z z ⎤ ⎢ ⎥ dz .
[ ]
Megjegyezzük, hogy I 1 = 0
középsíkkal.
∫ ⎣
2
⎦
(13.83)
z
, ha a sűrűség állandó, és a referenciasík megegyezik a
Számítsuk ki most a potenciális energia variációját az alakváltozások segítségével 191 (itt, és a
további képletekben q
3
a z irányú megoszló terhelést jelenti):
∫ ∫ [ ] dAdz ∫
δ Π = σ δ ε +σ δ ε +σ δ ε +σ δ ε +σ δ ε +σ δ ε − q δ wdA =
11 11 22 22 33 33 23 23 13 13 12 12 3
z A A
= ⎡
11 ( u, x z w, xx ) 22 ( v, y z w, yy ) 12 ( u, y v 2 z w, xy ) ⎤
∫ ∫ ⎢σ δ − δ +σ δ − δ +σ δ +δ − δ ⎥ dz dA− q3δ wdA =
⎣
⎦ ∫
A z A
ahol
∫
= − ⎡N 1 ux N6 uy N2 vy N6 vx M1 wxx M 2 wyy 2M6 wxy
q3
w⎤
⎣⎢
δ + δ + δ + δ − δ − δ − δ − δ ⎥⎦
dA =
A
∫
= − ⎡( N1, x N6, y ) u ( N2, y N6, x) v ( M1, xx M 2, yy 2 M 6, xy q3)
w⎤
⎢ + δ + + δ + + + − δ ⎥ dA+
⎣
⎦
y
A
x=
a
1 6 ( 1, 2 6, )
⎤
x y 1 , x ⎥⎦
x = 0
+ ⎡
∫ ⎢N δ u + N δ v + M + M δ w− M δ w dy +
(13.84)
⎣
∫
y= b
⎤
( x, y) = (0,0),( a, b)
6 2 2, y 6, x 2 , y ⎥⎦
y=
0
6 ( x, y) = ( a,0),(0, b)
+ ⎡
⎢N δ u + N δ v + ( M + 2 M ) δ w−M δ w dx−2 M δ w
,
⎣
x
∫ ∫ . (13.85)
[ ] = [ σ σ σ ] [ ] = [ σ σ σ ]
N N N dz és M M M z dz
1 2 3 11 22 12 1 2 3 11 22 12
z
z
13.5. ábra: Igénybevételek
A feszültségek és az alakváltozások kapcsolata mátrix alakban:
191 A jobb oldalon levő első integrál az általános alak, utána következik a jelenlegi modellnek
megfelelő változat.
10.06.20. 216

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
⎡ N1
⎤ ⎡ u,x
⎤
⎢
N
⎥ ⎢
v
⎥
2
,y
⎡σ11
⎤ ⎛ ⎡ u ⎤ ⎡
,x
w ⎤ ⎞ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
,xx
⎢ ⎜ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎟ ⎢ N ⎥ ⎢u
6
,y
+ v ⎥
,x
σ
⎥
22
= D v,y − z w,yy
⇒ ⎢ ⎥ = D% ⎜ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎟
⎢ ⎥ . (13.86)
⎢ ⎥ M −w
1
,xx
⎢ ⎜
12
u,y v,x 2w
⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣σ ⎥⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎝ ⎣ + ⎦ ⎣ ,xy ⎦ ⎠ ⎢M
⎥ ⎢ −w
⎥
2
,yy
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢⎣ M −2w
6 ⎥⎦ ⎢⎣ ,xy ⎥⎦
Helyettesítsük be most a gerendamodellezésnél is használt Hamilton-féle variációs elv
képletébe az eddig kiszámított energiavariációkat. Emlékeztetőül (lásd még az előző fejezetet
illetve a „Függelék” D pontját):
t
∫ ( δΠ
b
+δΠk −δ K)
dt = 0 . (13.87)
0
Ha a δ u, δv
és δ w elmozdulás-variációkat zérussal tesszük egyenlővé, továbbá a külső
potenciálnál figyelembe vesszük a lineáris csillapítás hatását is ( µ i csillapítási
együtthatókkal), akkor a következő három mozgásegyenletet kapjuk:
N + N = I u&& − I w&& + µ u, &
1,x 6,y 0 1 ,x 1
N + N = I v&& − I w&& + µ v, &
6,x 2,y 0 1 ,y 2
( ) ( )
M + 2M + M = q + I w&& − I w&& − I u&& − I w&& − I v&& + µ w & .
1,xx 6,xy 2,yy 3 0 2 ,x 1
,x 2 ,y 1
,y
3
(13.88)
Ahogy azt már a gerendamodell bemutatásánál említettük, a fenti egyenletek tényleges
megoldása során alkalmazott peremfeltételek a megoldási módszer típusától függenek:
x = 0, a ⇒ δ u = 0 vagy N ; δ v = 0 vagy N ; δ w = 0 vagy M + 2 M − I u&& + I w&&
;
1 6 1, x 6, y 1 2 , x
illetve δ w = 0 vagy M .
(13.89)
, x
1
y = 0, b ⇒ δ u = 0 vagy N ; δ v = 0 vagy N ; δ w = 0 vagy M + 2 M − I v&& + I w&&
;
6 2 2, y 6, x 1 2 , y
illetve δ w = 0 vagy M . (13.90)
, y
2
( x, y) (0,0),( a, b),( a,0),(0, b) w 0 vagy M6
= ⇒ δ = (13.91)
A belső potenciális energia felírásánál az előző ábrán látható Q 1 és Q2
keresztirányú
nyíróerő-komponenseket is figyelembe vehetjük 192 . Ekkor a variáció függvénye:
δΠ
t
= ∫ ( N1 δ u, x
+ N6 δ u, y
+ N2 δ v, y
+ N6 δv, x
− M1 δ w, xx
− M
2
δ w,
yy
− (13.92)
∫
A
−M δ w − M δw − q δ w+ Q δ w + Q δ w −Q δ w −Q δ w dA=
6 , xy 6 , yx 3 1 , x 2 , y 1 , x 2 , y)
= − ( N + N ) δ u + ( N + N ) δ v + ( Q + Q − q ) δ w − ( M + M − Q ) δ w −
A
1, x 6, y 2, y 6, x 1, x 2, y 3 1, x 6, y 1 , x
∫
( ) ) ( ( ) ) x =
− M + M − Q δ w dA+ N δ u + N δ v + Q + M δ w − M δ w a
dy +
2, y 6, x 2 , y 1 6 1 6, y 1 , x
y
y= b ( x, y) = (0,0),( a, b)
∫ ( N6 u N2 v ( Q2 M
6, x) w M
2
w, y
) dx 2M y 0
6
w .
=
( x, y) = ( a,0),(0, b)
x
δ u , δv,
δ w,
δw,
x és δ w,
y
+ δ + δ + + δ − δ − δ
Ha ezt helyettesítjük be a Hamilton-féle variációs elv képletébe, és
variációk zérus értékét vesszük figyelembe, akkor az átalakított mozgásegyenletek új
alakban:
x=
0
192 A módosítás az összenergiát nem változtatja meg.
10.06.20. 217

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
N + N = I u&& − I w&& + µ u, &
1,x 6,y 0 1 ,x 1
N + N = I v&& − I w&& + µ v, &
6,x 2,y 0 1 ,y 2
Q + Q = q + I w&&
+µ w, &
1,x 2,y
3 0 3
−M − M + Q = I w&&
− I v, &&
6,x 2,y 2 2 ,y 1
M + M − Q = − I w&&
+ I u. &&
1,x 6,y 1 2 ,x 1
(13.93)
Az ehhez a változathoz illeszkedő peremfeltételek:
x = 0, a ⇒ δ u = 0 vagy N ; δ v = 0 vagy N ; δ w = 0 vagy Q + M ; δ w = 0 vagy M , (13.94)
1 6 1 6, y , x
1
y = 0, b ⇒ δ u = 0 vagy N ; δ v = 0 vagy N ; δ w = 0 vagy Q + M ; δ w = 0 vagy M , (13.95)
6 2 2 6, x , y
2
( x y) a b a b w M 6
, = (0,0),( , ),( ,0),(0, ) ⇒ δ = 0 vagy .
(13.96)
Megjegyezzük, hogy ha a most bemutatott öt egyenlet közül az elsőt balról (vektoriálisan)
megszorozzuk j
1
× -tel, a másodikat j2
× -tel, a harmadikat j3
× -tel, a negyediket j
1
× -tel és
az ötödiket j2
× -tel, majd összeadjuk őket és még hozzájuk adjuk a j 3 × ( N 6 − N 6 )
zérusértékű tagot, akkor az átalakított egyenleteket az alábbi tömör mátrixegyenletek
formájában írhatjuk fel:
∂F
∂F
M
α β ∂M
∂
α β
+ = IF
, + + j1 × Fα
+ j2
× Fβ
= IM
,
(13.97)
∂x ∂y ∂x ∂y
ahol
Fα
= N1j1 + N6j2 + Q1 j3 , Fβ
= N6j1 + Nj2 + Q2 j3
, M = − M j + M j ,
α 6 1 1 2
(13.98)
M = − M
2j + 1
M6j2 , I = M
( I2 w&& − , y
I1v&& ) j + 1
( − β
I2 w&& + , x
I1u&& ) j2
,
(13.99)
I = ( I u&& − I w&& + µ u& ) j + ( I v&& − I w&& + µ v& ) j + ( q + I w&& + µ w& ) j . (13.100)
F 0 1 , x 1 1 0 1 , y 2 2 3 0 3 3
Mivel ennél a „klasszikus” modellnél a keresztirányú nyírási alakváltozást zérusnak
tételeztük fel, az öt mozgási alapegyenletből az utolsó kettő adja Q 1 és Q2
értékét. Ezeket
felhasználva:
Q2 = M
2, y
+ M
6, x
+ I2 w&&
, y
− I1v&&
,
(13.101)
Q = M + M + I w&&
− I u&&
.
1 1, x 6, y 2 , x 1
Mivel az általunk most vizsgált lemez homogén – izotróp, ebben az esetben a feszültségek és
a fajlagos igénybevételek az alábbi anyagi paraméterek segítségével számolhatók:
⎡σ11 ⎤ ⎡1 ν 0 ⎤ ⎡ u ⎤ ⎡
, x
w ⎤
, xx
⎢ E
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
σ
⎥
22
=
⎢
ν 1 0
⎥
v
2
, y
− z w,
yy
,
⎢ ⎥ 1− ν ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢⎣ σ ⎥
12 ⎦ ⎢⎣ 0 0 (1 − ν ) / 2⎥⎦ ⎢u, y
+ v ⎥ ⎢
, x
2w
⎥
⎣ ⎦ ⎣ , xy ⎦
(13.102)
⎡ N1 ⎤ ⎡1 ν 0 ⎤ ⎡ u ⎤
, x
⎢ Eh
N
⎥ ⎢ ⎥
2
=
⎢
ν 1 0
⎥
v
2
, y
,
1
⎢ ⎥
(13.103)
⎢ ⎥ − ν ⎢ ⎥
⎢⎣ N ⎥
6 ⎦ ⎢⎣ 0 0 (1 − ν ) / 2⎥⎦ ⎢u, y
+ v ⎥
⎣ , x ⎦
⎡M1 ⎤ ⎡1 ν 0 ⎤ ⎡ w ⎤
3
, xx
⎢ Eh
M
⎥ ⎢ ⎥
2
= −
⎢
ν 1 0
⎥
w
2
, yy
.
12(1 )
⎢ ⎥
(13.104)
⎢ ⎥ − ν ⎢ ⎥
⎣⎢ M
6 ⎦⎥ ⎢⎣ 0 0 (1 − ν) / 2⎥⎦ ⎢2w
⎥
⎣ , xy ⎦
10.06.20. 218

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Ha ezeket az igénybevétel-elmozdulás kapcsolati egyenleteket behelyettesítjük az első három
3
mozgásegyenletbe, akkor azok a következő alakot öltik ( I1 = 0 és I 2 = ρh
/ 12 értékkel
számolva, mivel feltételezzük, hogy a sűrűség állandó és a referenciafelület a középsík):
3
Eh ⎡ 1 1 ⎤
(1 )
2
,
(1 )
, 1
,
1 ⎢
u
xx
+ + ν v
xy
+ − ν u
yy
2 2 ⎥
=ρ hu&&
+ µ u&
− ν ⎣
⎦
(13.105)
3
Eh ⎡ 1 1 ⎤
v (1 )
2 yy
+ + ν u, xy
+ (1 − ν ) v, xx
=ρ hv + µ
2v,
1− ν ⎢
⎣ 2 2 ⎥
&& &
⎦
3
Eh
1 3
∆∆ w= q
2
3
− ρ hw&& + ρ h ( w&& , xx
+ w&& , yy
) − µ
3w&
.
12(1 − ν ) 12
A lemez síkjába eső és rá merőleges eltolódások ennél a modellnél függetlenek egymástól.
Egyensúlyi feladatok esetén az első két egyenlet jobb oldala zérus, és a harmadiknál is csak a
külső (általában megoszló) terheket kell figyelembe venni.
Megjegyezzük, hogy ezeknél a feladatoknál az utolsó egyenletet szokás a klasszikus elmélet
Kirchhoff-Love differenciálegyenletének nevezni.
A/2. Különleges alaprajzok: kör alaprajzú lemezek
Az ábrán látható R sugarú, h vastagságú lemezt vizsgáljuk.
13.6. ábra: Kör alakú lemez
Egy elemi méretű résznél 193 :
∂j1 1 ∂j2
1
dx = dr, dy = r dΘ⇒ = j2 , = − j1
. (13.106)
∂y r ∂y r
j , j bázisvektorok minden más térbeli deriváltja zérus. A kezdeti görbületek közül
A 1 2, j3
193
A képlet levezetésénél vegyük figyelembe a (13.2) és (13.3) alatt leírtakat:
P = r cos Θ i + r sin Θi → j = cos Θ i + sin Θ i , j = −r sin Θ i + r cos Θ i , vagyis:
a b 1 a b 2
a b
∂ j
1
1
= −sin Θ ia
+ cos Θ ib
= j , stb.
2
∂Θ
r
10.06.20. 219

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
0 0 0 0 0 0 0 1
k1 = k2 = k61 = k62 = k5 = 0, K = 0, k
1 4
= .
r
Az elmozdulásvektor:
⎛ z ⎞
u = u1j1 + u2j2 + u3j3 = ( u − zw, r ) j1 + ⎜v − w, Θ ⎟ j2 + w j3
. (13.107)
⎝ r ⎠
Deriváltjai:
∂u
⎛ z z ⎞
= ( u, r
− zw, r r
) j1 + ⎜v, r
− w, rΘ
+ w
2 , Θ ⎟ j2 + w, r
j3
, (13.108)
∂x ⎝ r r ⎠
∂u
1 ⎛ z ⎞ 1 ⎛ z
⎞
= ⎜u 1
, Θ
− zw, rΘ − v + w, Θ ⎟ j1 + ⎜v, Θ
− w, ΘΘ
+ u − zw, r ⎟ j2 + w, Θj3
,
∂y r ⎝ r ⎠ r ⎝ r ⎠ r
(13.109)
∂ u 1 = − w, r
j1 − w, Θj2
.
(13.110)
∂z
r
Az alakváltozások:
∂u ε
11
= ⋅ j
1
= u, r
− zw,
rr
,
∂x
∂u 1 ⎡ 1 ⎤
ε
22
= ⋅ j
2
= v, Θ
+ u − z ( w, ΘΘ
+ w,
r ) ,
∂y r ⎢
⎣ r ⎥
⎦
∂u
∂u
1 ⎡ 2 ⎤
ε
12
= ⋅ j2 + ⋅ j1 = v, r
+ u, Θ
− v − z(2 w, rΘ − w,
Θ) ,
∂x ∂y r ⎢
⎣ r ⎥
⎦
ε =ε = ε = 0 .
33 13 23
(13.111)
Az elmozdulásvektor idő szerinti második deriváltját illetve variációját helyettesítsük be a
kinetikus energia előzőekben is használt képletébe:
1
δ K = −∫ (( I0u&& − I1 w&& , r
) δ u + ( I0v&& − I1 w&& , Θ) δ v + I0w&& δ w + ( I2 w&& , r
− I1 u&& ) δ w,
r
+ (13.112)
r
A
1 1
+ ( I
2 w &&
, Θ
− I
1 v && ) δ w
, Θ ) r dr d Θ =
r r
1 1
= −∫ (( I0u&& − I1 w&& , r
) δ u + ( I0v&& − I1 w&& , Θ) δ v + ( I0w&& − ( I2 rw&& , r
− I1 ru&&
),
r
−
r
r
A
o
1 1 r=
R ⎡1
⎤
− ( I w − I v) ) δ w)
r dr dΘ − ⎡I w − I u⎤
δ wr dΘ − I w − I v δ wdr
r r
&& && ⎣ && && ⎦ ⎢ && && ⎥
.
∫ ∫ ⎣ ⎦
2 , Θ 1 , Θ 2 , r 1 2 , Θ 1
r
Θ r=
0
r
Helyettesítsük be az alakváltozásokat is a potenciális energia függvényébe:
1 1 1
δΠ
t
= ∫ ( N1 δ u, r
+ N6 δ u, Θ
+ N2 δ v, Θ
+ N6 δv, r
− M1 δ w, rr
− M
2 2
δ w,
ΘΘ
−
r r r
A
1 1 1 1 1 2
− M
6
δ w, rΘ − M
6
δ w, Θr + N2δu − N6δv − M
2
δ w, r
+ M
2 6
δ w, Θ
− q3δ w + Q1 δ w,
r
+
r r r r r r
1 1
+ Q2 δ w, Θ
− Q1 δw, r
− Q2 δw,
Θ)
r dr dΘ =
r
r
= − ( rN ) + N − N δ u + N + ( rN ) + N δ v +
∫ { 1 , r 6, Θ 2} { 2, Θ 6 , r 6}
A
Θ=Θ
Θ= 0
10.06.20. 220

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
1
+ (( rQ1 ), r
+ Q2, Θ
− q3) δ w − (( rM1 ), r
+ M
6, Θ
− rQ1 − M
2
) δ w, r
− ( M
2, Θ
+ rM
6, r
− rQ2
+
r
⎡
1
⎤
+ 2 M ) δ w ) dr dΘ + ∫ ⎢
N δ u + N δ v + ( Q + M ) δ w − M δ w
⎥
r dΘ +
⎦
(13.113)
6 , Θ
1 6 1 6, Θ
1 , r
r
Θ ⎣
Θ=Θo
1 ⎤
( r, Θ ) = (0,0),( R, Θ o )
6 2 2 6, r 2 , Θ 6 ( r, Θ ) = ( R,0),(0, Θo
)
r ⎥
⎦Θ=
0
⎡
+ ∫ ⎢
N δ u + N δ v + ( Q
r ⎣
+ M ) δ w − M δw dr − 2 M δ w
.
A feszültségkomponensek:
⎡σ11 ⎤ ⎧⎡ u ⎤ ⎡
, r
w ⎤⎫
, rr
⎢ ⎪⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎥⎪
σ
⎥
22
= D ⎨⎢ ( v, Θ
+ u) / r ⎥ − z ⎢ ( w, ΘΘ
+ rw,
r
) / r ⎥⎬. (13.114)
⎢ ⎥
2
⎢σ ⎥ ⎪⎢ 12
( u, Θ
+ rv, r
− v) / r⎥ ⎢(2rw, rΘ − 2 w,
Θ) / r ⎥⎪
⎣ ⎦ ⎩⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎭
Az igénybevételek:
⎡ N1
⎤
⎢
N
⎥
⎢ ⎥
⎡
⎢
⎢
, r
( v + u) / r
2
, Θ
⎢ N ⎥ ⎢ ( u
6
, Θ
+ rv,
r
− v) / r ⎥
⎢ ⎥ = D ⎢ ⎥
⎢M1
⎥ ⎢ −w,
rr ⎥
2
⎢M
⎥ ⎢ − ( w
2
, ΘΘ
+ rw,
r
) / r ⎥
⎢ ⎥ ⎢
2
⎥
⎢M
(2rw 6 ⎥ ⎢−
, rΘ
− 2 w,
Θ) / r ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Ha ismét behelyettesítjük az energiafüggvényeket a Hamilton-féle variációs elvbe és
figyelembe vesszük δu , δv,
δ w,
δ wΘ és δ w,
r zérus voltát, akkor a következő
mozgásegyenleteket kapjuk a kör alakú lemezre:
∂N1 1 ∂N6
N1 − N2
+ + = I0u&& − I1 w&& , r
+ µ
1u& ,
∂r r ∂Θ r
(13.116)
∂N6 1 ∂N2 2N6
I1
+ + = I0 v&& − w&& , Θ
+ µ
2v& ,
∂r r ∂Θ r r
(13.117)
∂Q1 1 ∂Q2 Q1
+ + = q
3
+ I
0 w && + µ
3 w & ,
∂r r ∂Θ r
(13.118)
∂M
6
1 ∂M
2
2M
6
I2
− − − + Q2 = w&& , Θ
− I1v&& ,
∂r r ∂Θ r r
(13.119)
∂M1 1 ∂M
6
M1 − M
2
+ + − Q
1
= − I
2 w &&
, r
+ I
1 u && .
∂r r ∂Θ r
(13.120)
A peremfeltételek:
1 ∂M
6
r = 0, a ⇒δ u = 0 vagy N1 ; δ v = 0 vagy N6 ; δ w = 0, vagy Q1
+ ; r ∂Θ
δ w = 0 vagy M .
(13.121)
, r
1
u
⎤
⎥
⎥
r=
R
r=
0
% . (13.115)
Θ = 0, Θ ⇒δ u = 0 vagy N ; δ v = 0 vagy N ; δ w = 0, vagy Q + M
, Θ
2
o
6 2 2 6, r
δ w = 0 vagy M . (13.122)
( r, Θ ) = (0,0),( R, Θ ),( R,0),(0, Θ ) ⇒ δ w = 0, vagy M .
(13.123)
o
o
Ha a lemez anyaga izotróp, akkor az igénybevételek számítása a klasszikus anyagi
paraméterek segítségével adható meg:
6
10.06.20. 221

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
⎡ N1 ⎤ ⎡1 ν 0
⎤ ⎡
u ⎤
, r
⎢ Eh
⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢
⎥
N = ν 1 0 2
, Θ
+
⎢ ⎥ 1− ν ⎢ ⎥ ⎢
( v u) / r ⎥
, (13.124)
⎢⎣ N ⎥ 6 ⎦ ⎢⎣ 0 0 (1 − ν ) / 2 ⎥⎦ ⎢
, Θ
, r
( u + rv − v) / r⎥
⎣
⎦
⎡ M1 ⎤ ⎡1 ν 0
⎤ ⎡
w ⎤
, rr
⎢ Eh
⎥ ⎢ ⎥ ⎢
2 ⎥
M = ν 2
ΘΘ
+
r
⎢
2
1 0
⎥ 1− ν ⎢ ⎥ ⎢
( w, rw,
) / r ⎥
. (13.125)
⎢⎣ ⎥ ⎢ 6 ⎦ ⎣ − ν
⎥⎦ 2
M 0 0 (1 ) / 2 ⎢
, rΘ
−
, Θ
( rw w ) / r ⎥
⎣
⎦
Ha ezeket az igénybevétel-elmozdulás elmozdulás függvényeket helyettesítjük be a harmadik, negyedik
3
és ötödik mozgásegyenletbe és figyelembe vesszük, hogy I 1 = 0 és
I 2 = ρh
/12 , valamint
elimináljuk Q1
− et és
Q2 − t , akkor az új mozgásegyenlet (az első kettő a vízszintes
hatásokra csak az inercia-tagoknál módosul):
3 3
Eh
h
∆∆ w= q
2 3
− ρ hw&& + ρ ∆w&& − µ
3w&
.
(13.126)
12 1− ν
12
( )
Megjegyezzük, hogy itt természetesen a koordinátarendszer típusának megfelelő poláris ∆
2 2
∂ 1 ∂ 1
∂
operátort kell alkalmaznunk (lásd a „Függelék”-et: ∆ = + +
2 2 2
∂ r r ∂ r r
∂Θ ).
A/3. Általános alakú lemezek
13.7. ábra: Általános alakú lemez
Az ábrán látható lemez görbült határfelületének megfelelően ilyenkor görbült ortogonális z,
y, z koordinátarendszert célszerű használni. A határokra alkalmazzuk az
0 ≤ x≤
X , 0≤
y ≤Y
feltételeket. A kezdeti görbületek:
0 0 0 0 ∂ j1 0 ∂j 2 0 ∂j 1 0 ∂j
2
0
k 1 = k 2 = k 61 = k 62 = 0, = k 5 j 2 , = − k 5 j 1 , = k 4 j 2 , = − k
4
j
1
.
(13.127)
∂x ∂x ∂ y ∂y
Az x,y,z rendszerben használt egységvektorok összes többi deriváltja zérus. Az
elmozdulásvektor komponensei megegyeznek a derékszögű lemeznél bemutatottal:
u = u + z Θ = u − zw , u = v − z Θ = v − zw , u = w
.
(13.128)
1 2 , x
2 1 , y
3
Az elmozdulás-deriváltak deriváltak a görbületek figyelembevételével:
∂ u
0 0 0 0
= ( u , x − zw , xx − k 5 v + zk 5 w , y ) j 1 + ( v, x − zw , yx + k 5 u − zk 5 w , x )
j 2 + w
, x
j
3
,(13.129)
∂x
10.06.20.
222

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
∂ u =
0 0 0 0
( u, y − zw, xy − k4v + zk4 w, y
) j1 + ( v, y − zw, yy + k4u − zk4 w, x)
j2 + w, yj3
, (13.130)
∂y
∂ u = − wx
j1 − wyj2
∂z
. (13.131)
Az alakváltozások:
∂u 0 0
ε
11
= ⋅ j
1
= u, x
− k5 v − z( w, xx
− k5 w,
y
) ,
∂x
∂u 0 0
ε
22
= ⋅ j
2
= v, y
− k4 u − z( w, yy
− k4 w,
x) ,
∂y
(13.132)
∂u
∂u
0 0 0 0
ε
12
= ⋅ j2 + ⋅ j1 = u, y
+ v, x
− k4v + k5 u − z( w, xy
+ w, yx
− k4 w, y
+ k5 w,
x) ,
∂x
∂y
ε
33
= ε
13
= ε
23
= 0 .
A kinetikus energia variációja:
δ K = −∫ (( I0u&& − I1 w&& , x
) δ u + ( I0v&& − I1 w&& , y
) δ v + I0w&& δ w + ( I2 w&& , x
− I1 u&& ) δ w,
x
+ (13.133)
A
∫
+ ( I w&& − I v&& ) δ w ) dA= − (( I u&& − I w&& ) δ u + ( I v&& − I w&&
) δ v +
2 , y 1 , y 0 1 , x 0 1 , y
A
+ ⎡
⎣I w&& − ( I w&& − I u&& ) − ( I w&& − I v&& ) ⎤
⎦ δ w)
dA − ⎡
⎣I w&& − I u&&
⎤
⎦ δ wdy −
0 2 , x 1 , x 2 , y 1 , y 2 , x 1
y
y=
Y
∫
⎡
⎣
&& &&
2 , y 1
y=
0
x
− I w − I v⎤
⎦ δ wdx .
A potenciál variációja:
∫
δΠ = ( N δ u + N δ u + N δ v + N δv − M δ w − M δ w − M δ w − M δ w +
t 1 , x 6 y 2 , y 6 , x 1 , xx 2 , yy 6 , xy 6 , yx
A
∫
x=
X
x=
0
∫
+ k N δu − k N δv − k M δ w + k M δ w + k N δu − k N δv − k M δ w + k M δ w −
0 0 0 0 0 0 0 0
4 2 4 6 4 2 , x 4 6 , y 5 6 5 1 5 6 , x 5 1 , y
−q3δ w+ Q1 δ w, x
+ Q2 δ w, y
−Q1 δw, x
−Q2 δ w, y)
dA =
= − (( N + N − k N − k N ) δ u + ( N + N + k N + k N ) δ v + ( Q + Q − q ) δ w −
A
0 0 0 0
1, x 6, y 4 2 5 6 2, y 6, x 4 6 5 1 1, x 2, y 3
− ( M + M −Q − k M − k M ) δ w − ( M + M − Q + k M + k M ) δ w ) dA+
∫
0 0 0 0
1, x 6, y 1 4 2 5 6 , x 2, y 6, x 2 4 6 5 1 , y
+ ( N δ u + N δ v + ( Q + M ) δ w − M δ w ) x X dy +
y
=
1 6 1 6, y 1 , x x=
0
y=
Y
( x, y) = (0,0),( X , Y )
∫ ( N6 u N2 v ( Q2 M
6, x) w M
2
w, y
)
y 0
dx 2 M
6
w . (13.134)
= ( x, y) = ( X ,0),(0, Y )
x
+ δ + δ + + δ − δ − δ
A feszültségek:
0 0
⎡σ11 ⎤ ⎧⎡ u, x
− k5 v ⎤ ⎡ w, xx
− k5 w ⎤⎫
, y
⎢ ⎥ ⎪⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥⎪
⎢
σ
22
⎥
= D ⎨⎢ v, y
+ k4u ⎥ − z ⎢ wyy + k4 w,
x ⎥⎬
, (13.135)
0 0 0 0
⎢σ ⎥ ⎪⎢ 12
u, y
+ v, x
− k4v + k5 u⎥ ⎢w, xy
+ w, yx
− k4 w, y
+ k5 w ⎥⎪
⎣ ⎦ ⎩⎣ ⎦ ⎣ , x ⎦⎭
és az igénybevételek:
10.06.20. 223

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
N
⎡
0
⎡ 1 ⎤
, x 5
⎢
0
N
⎥ ⎢
⎥
⎢ 2 ⎥ ⎢ v, y
+ k4u
⎥
0 0
⎢ N ⎥ ⎢
6
u, y
+ v, x
− k4v + k5u
⎥
⎢ ⎥ = D ⎢
0
⎥
⎢M1
⎥ ⎢ − w, xx
+ k5 w,
y ⎥
⎢
0
M ⎥ ⎢
2
−w, yy
− k4 w ⎥
, x
⎢ ⎥ ⎢
⎥
0 0
⎢⎣ M
6 ⎥⎦ ⎢⎣ −w, xy
− w, yx
+ k4 w, y
− k5 w,
x ⎥⎦
u
− k v
⎤
% . (13.136)
A képletekben szereplő D és D ɶ mátrixok az anyagi merevségeket, vagyis az
anyagmodelleket képviselik. Most is behelyettesítjük az energiafüggvények variációit a
Hamilton-féle variációs elv képletébe, majd δu, δv, δ w, δw, x
és δ w,
y
zérus értékét
figyelembe véve felírjuk az általános mozgásegyenleteket:
0 0 0 0
N + N − k N − k N = I u&& − I w&& + µ u& , N + N + k N + k N = (13.137)
1, x 6, y 4 2 5 6 0 1 , x 1 6, x 2, y 4 6 5 1
= I v&& − I w&& + µ v& , Q + Q = q + I w&& + µ w& ,
(13.138)
0 1 , y 2 1, x , y 3 0 3
−M − M − k M − k M + Q = I w&& − I v&& (13.139)
0 0
,
6, x 2, y 4 6 5 1 2 2 , y 1
M M k M k M Q I w&& I u&& (13.140)
0 0
.
1, x
+
6, y
−
4 2
−
5 6
−
1
= −
2 , x
+
1
A szükséges peremfeltételek:
(13.141)
x = 0, X ⇒δ u = 0, vagy N ; δ v = 0 vagy N ; δ w = 0 vagy Q + M ; δ w = 0 vagy M
1 6 1 6, y , x
1;
y = 0, Y ⇒δ u = 0 vagy N ; δ v = 0 vagy N ; δ w = 0 vagy Q + M ; δ w = 0 vagy M ,
6 2 2 6, x , y
2
( x, y) = (0,0),( X , Y),( X ,0),(0, Y ) ⇒ δ w = 0, vagy M .
Szorozzuk meg a mozgásegyenletek közül az elsőt (ismét vektoriálisan) j1
× -tel, a másodikat
j × -tel, a harmadikat j × -tel, a negyediket ismét j × -tel, az ötödiket j × -tel, majd adjuk
2
3
össze az egyenleteket, kiegészítve az összeget a j 3 × ( N 6 − N 6 ) értékkel. Formailag
ugyanazokhoz a mátrixegyenletekhez jutunk, amelyeket a derékszögű négyszög lemezeknél
már bemutattunk.
A Q 1 és Q2
nyíróerőket újból a két utolsó mozgásegyenletből határozhatjuk meg, így az első
három egyenlet az u, v és w elmozdulásfüggvények meghatározására használhatók. A
nyíróerők képletei:
0 0
Q = M + M + k M + k M + I w&
− I &
,
(13.142)
Q
2 2, y 6, x 4 6 5 1 2 , y 1v
1 1, x 6, y 4 2 5 6 2
&
, x − 1
1
0 0
= M + M − k M − k M + I w&
I u&
. (13.143)
6
2
Fontos megjegyzés, hogy a derékszögű és köralakú lemezek egyenletei az itt bemutatott
általános egyenletekből egyszerűsítéssel megkaphatók. Például
0
0
a./ négyszög lemezeknél k 4 = k5
= 0 egyszerűsítés alkalmazható,
b./ köralakú lemezeknél pedig:
0 0
k5 = 0, k4
= 1/ r, dx = dr , dy = rdΘ , dA = r dr dΘ
,
1 ∂( rNi ) 1 ∂( rQi ) 1 ∂( rM
i
)
Ni, x
= , Qi , x
= , M
i,
x
= .
r ∂r r ∂r r ∂r
10.06.20. 224

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
B./ Lemezmodell nyírási hatásokkal
B/1. A vizsgálatnál alkalmazott görbevonalú koordinátarendszer
Az ábrán egy elemi szál változása látható.
13.8. ábra: Nyírási hatások figyelembevétele
Az x,y,z görbevonalú bázis koordinátái 0 ≤ x≤ X , 0≤ y ≤ Y határok között változnak. Egy
tetszőleges pont elmozdulásainak számításánál most a nyírási hatást is figyelembe vesszük:
u = u + zΘ + g( z) γ = u − zw + gγ
,
1 2 5 , x 5
u = v − zΘ + g( z) γ = v − zw + gγ
,
2 1 4 , y 4
(13.144)
u3
= w .
A g(z) függvény – a nyírási hatásokat is figyelembe vevő gerendamodellekhez hasonlóan – a
nyírási torzulásokat adja meg, γ4 és γ
5
pedig a nyírási szögelfordulás (lásd a következő
ábrát):
13.9. ábra: A nyírási torzulás
Az elmozdulásvektor deriváltjai:
∂ u = 0 0 0 0 0
( u − , x
zw − , xx
k5 v + zk5 w + , y
g γ − 5, x
gk γ 5 4) j + 1
( v − , x
zw + , yx
k5 u − zk5 w + , x
∂x
10.06.20. 225

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
+ gγ + gk γ )j + w j , (13.145)
0
4, x 5 5 2 , x 3
∂ u = 0 0 0 0 0
( u − , y
zw − , xy
k4v + zk4 w + , y
g γ − 5, y
gk γ 4 4) j + 1
( v − , y
zw + , yy
k4u − zk4 w + , x
∂y
+ gγ + gk γ ) j + w j ,
(13.146)
0
4, y 4 5 2 , y 3
∂ u = ( g, z γ
5 − w, x) j1 + ( g, z γ
4 − w, y
) j2
∂z
.
(13.147)
Az alakváltozások:
∂u 0 0 0
ε
11
= ⋅ j
1
= u, x
− k5 v − z( w, xx
− k5 w, y
) + g( γ5, x
− k5 γ4),
∂x
(13.148)
∂u 0 0 0
ε
22
= ⋅ j
2
= v, y
+ k4 u − z( w, yy
+ k4 w, x
) + g( γ
4, y
+ k4 γ5),
∂y
∂u
∂u
0 0 0 0
ε
12
= ⋅ j2 + ⋅ j1 = u, y
+ v, x
− k4v + k5 u − z( w, xy
+ w, yx
− k4 w, y
+ k5 w,
x
) +
∂x
∂y
+ g( γ + γ + k γ − k γ ),
0 0 0
4, x 5, y 5 5 4 4
u u u u
ε
13
= ∂ ⋅ j3 + ∂ ⋅ j1 = gzγ5 , ε
23
= ∂ ⋅ j3 + ∂ ⋅ j2 = gzγ4 , ε
33
= 0 .
∂x ∂z ∂y ∂z
Az időszerinti deriváltak és az elmozdulás-variáció meghatározása után előállíthatók az
energiavariációk:
δ K = −∫ (( I0u&& − I1 w&& , x
+ I &&
3γ5) δ u + ( I0v&& − I1 w&& , y
+ I &&
3γ4) δ v + I0w&& δ w + ( I2 w&& , x
− I1u&&
− I &&
4γ5 ) δ w,
x
+
Itt
A
+ ( I w&& − I v&& − I && γ ) δ w + ( I u&& − I w&& + I && γ ) δ γ + ( I v&& − I w&& + I && γ ) δ γ ) dA,
(13.149)
ahol
2 , y 1 4 4 , y 3 4 , x 5 5 5 3 4 , y 5 4 4
∫
2
[ ] ⎡
I3 I4 I5 = ∫ ρ ⎣ g zg g ⎤ ⎦ dz .
(13.150)
z
δΠ = ( N δ u + N δ u + N δ v + N δv − M δ w − M δ w − M δ w − M δ w +
t 1 , x 6 , y 2 , y 6 , x 1 , xx 2 , yy 6 , xy 6 , yx
A
0 0 0 0
4 2 4 6 4 2 , x 5 1 , y 1 , x 2 , y 1 , x 2 , y 3
k N δu − k N δv − k M δ w + k M δ w + Q δ w + Q δ w − Q δw − Q δ w − q δ w +
+ ( q − m k − m k ) δ γ + m δ γ + m δ γ + ( q + m k + m k ) δ γ + m δ γ +
0 0 0 0
2 1 5 6 4 4 6 4, x 2 4, y 1 2 4 6 5 5 6 5, y
(13.151)
+ m δ γ ) dA = − (( N + N
0
− k N
0
− k N ) δ u + ( N + N
0
+ k N
0
+ k N ) δ v +
∫
1 5, x 1, x 6, y 4 2 5 6 2, y 6, x 4 6 5 1
A
0 0 0
1, x 2, y 3 1, x 6, y 1 4 2 5 6 , x 2, y 6, x 2 4 6
+ ( Q + Q − q ) δ w − ( M + M − Q − k M − k M ) δ w − ( M + M − Q + k M +
+ k M ) δ w + ( m + m + m k + m k − q ) δ γ + ( m + m + m k + m k −
0 0 0 0 0
5 1 , y 6, x 2, y 1 5 6 4 2 4 6, y 1, x 2 4 6 5
∫
−q ) δ γ ) dA + ( N δ u + N δ v + ( Q + M ) δ w − M δ w + m δ γ + m δ γ ) x X dy +
∫
=
1 5 1 6 1 6, y 1 , x 1 5 6 4 x=
0
y
y=
Y
( x, y) = (0,0),( X , Y )
6 2 2 6, x 2 , y 2 4 6 5 y= 0 6 ( x, y) = ( X ,0),(0, Y )
+ ( N δ u + N δ v + ( Q + M ) δ w − M δ w + m δ γ + m δ γ ) dx − 2M δ w
y
[ m1 m2 m6 ] = ∫ g [ σ11 σ22 σ
12 ] , [ q1 q2 ] = ∫ g, z [ σ13 σ23]
dz (13.152)
magasabbrendű komponenseket jelölnek.
A hajlítási és nyírási feszültségek:
z
z
10.06.20. 226

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
0 0
⎡σ11 ⎤ ⎡ u, x
− k5 v ⎤ ⎡ w, xx
− k5 w ⎤
, y
⎢
⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥
σ
⎥
22
= D ( v
hajl.
, y
+ k4 u − z w, yy
+ k4 w,
x
+
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
0 0 0 0
⎢⎣ σ ⎥
12 ⎦
⎢u, y
+ v, x
− k4v + k5 u⎥ ⎢w, xy
+ w, yx
− k4 w, y
+ k5 w ⎥
⎣ ⎦ ⎣ , x ⎦
(13.153)
0
⎡ γ5, x
− k5 γ ⎤
4
⎢
0 ⎥
+ g ⎢ γ
4, y
+ k4 γ5
⎥ ) ,
⎢
0 0
4, x 5, y
k5 5
k ⎥
⎣γ + γ + γ −
4
γ
4 ⎦
⎡σ23 ⎤ ⎡γ
4 ⎤
⎢ ⎥ = D g
. , z
.
nyír ⎢ ⎥
(13.154)
⎣σ13 ⎦ ⎣γ5
⎦
Az igénybevételek:
0
⎡ N1
⎤ ⎡ u, x
− k5
v ⎤
⎢
0
N
⎥ ⎢
⎥
2
v, y
+ k4u
⎢ ⎥ ⎢
⎥
0 0
⎢ N ⎥ ⎢
6
u, y
+ v, x
− k4v + k5u
⎥
⎢ ⎥ ⎢
0
⎥
⎢M1
⎥ ⎢ − w, xx
+ k5 w,
y ⎥
ˆ 0
M
2
D ⎢ w, yy
k4 w ⎥ ⎡q1 ⎤ ) ⎡γ5
⎤
⎢ ⎥ = − −
, x
,
h
⎢
⎥ ⎢ D .
ny
⎢ ⎥
q
⎥ = ⎢ ⎥ (13.155)
0 0
M
6
−w, xy
− w, yx
+ k4 w, y
− k5 w
⎣ 2 ⎦ ⎣γ4
⎦
⎢ ⎥ ⎢
, x ⎥
⎢ 0
m ⎥ ⎢
1
γ5, x
− k
⎥
5
γ4
⎢ ⎥ ⎢
⎥
0
⎢ m2
⎥ ⎢ γ
4, y
+ k4 γ5
⎥
⎢ ⎢
0 0 ⎥
m
⎥
⎣ ⎦ ⎣ γ
4, x
+ γ
5, y
+ k5 γ5 − k4 γ4
⎦
A különböző D mátrixok ismét az anyagmodelleket jelentik.
A Hamilton-féle variációs elv képletébe behelyettesített energia-variációknál
δu, δv, δ w, δ γ4, δ γ5 , δ w, y
és δ w,
x
zérussá tételéből hét darab mozgásegyenletet kapunk a csillapítás szokásos
figyelembevételével:
0 0
N + N − k N − k N = I u&& − I w&& + I && γ + µ u& (13.156)
1, x 6, y 4 2 5 6 0 1 , x 3 5 1
,
N N k N k N I v&& I w&& I && v& (13.157)
0 0
6, x
+
2, y
+
4 6
+
5 1
=
0
−
1 , y
+
3γ 4
+ µ
2
,
1, x
+
2, y
=
3
+
0
+ µ
3
,
Q Q q I w&& w& (13.158)
m m m k m k q I && I v&& I w&& &
(13.159)
0 0
,
6, x
+
2, y
+
1 5
+
6 4
−
2
=
5γ 4
+
3
−
4 , y
+ µ
4γ4 m m m k m k q I && I u&& I w&& &
(13.160)
0 0
,
1, x
+
6, y
−
2 4
−
6 5
−
1
=
5γ 5
+
3
−
4 , x
+ µ
5γ5 −M − M − k M − k M + Q = I w&& − I v&& − I γ&& , (13.161)
0 0
6, x 2, y 4 6 5 1 2 2 , y 1 4 4
M + M − k M − k M − Q = − I w&& + I u&& + I γ&&
(13.162)
0 0
.
1, x 6, y 4 2 5 6 1 2 , x 1 4 5
A peremfeltételek: (13.163)
x = 0, X ⇒δ u = 0 vagy N ; δ v = 0 vagy N ; δ w = 0 vagy Q + M ; δ w = 0 vagy M ;
δ γ = 0 vagy m ; δ γ = 0 vagy m .
4 6 5 1
1 6 1 6, y , x
1
y = 0, Y ⇒δ u = 0 vagy N ; δ v = 0 vagy N ; δ w = 0 vagy Q + M ; δ w = 0 vagy M ;
δ γ = 0 vagy m ; δ γ = 0 vagy m .
6 2 2 6, x , y
2
4 2 5 6
10.06.20. 227

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
( x, y) = (0,0),( X , Y ),( X ,0),(0, Y ) ⇒δ w = 0 vagy M .
6
Ismét alkalmazhatjuk a korábbiakban szokásos beszorzást, összeadást valamint j 3
× ( N 6
− N 6
)
taggal való kiegészítést. Az első három egyenletet j 1
× -tel, j
2
×-tel illetve j
3
× -tel szorozzuk,
majd a hatodik és hetedik egyenlet következik ( j 1
× -tel és j
2
×-tel szorozzuk őket).
A végső mátrixegyenlet formailag megegyezik a klasszikus derékszögű lemeznél
bemutatottal, azzal a kivétellel, hogy az egyenletben szereplő I F és I M tartalma más:
I = ( I u&& − I w&& + I && γ + µ u& ) j + ( I v&& − I w&& + I && γ + µ v& ) j + ( q + I w&& + µ w& ) j , (13.164)
F 0 1 , x 3 5 1 1 0 1 , y 3 4 2 2 3 0 3 3
I = ( I w&& − I v&& − I && γ )j + ( I w&& + I u&& + I && γ ) j . (13.165)
M 2 , y 1 4 4 1 2 , x 1 4 5 2
A hatodik és hetedik egyenletet Q1 és Q
2
számítására használhatjuk, így a maradék öt
egyenlet u,v,w valamint γ4 és γ
5
meghatározására szolgál. Q1 és Q
2
jelen esetben az
egységnyi hosszra eső keresztirányú nyíróerő intenzitást jelenti:
[ Q1 Q2 ] = ∫ [ σ13 σ23 ] dz ,
(13.166)
z
vagyis geometriai átlagként kell őket figyelembe venni, míg q 1 és q2
energiaértelmű átlagot
jelent ugyanarra a változóra. Ha g = z (vagyis elsőrendű vagy más néven lineáris nyírási
elmélettel dolgozunk), akkor Q1 = q1 és Q2 = q2
B/2. Négyszög és kör alaprajzú lemezek
0 0
Négyszög alakú lemezeknél k4 = k5 = 0 feltétellel kell számolnunk. Kör alakú lemezeknél
kicsit összetettebb az átváltás:
0 0
k5 = 0, k4
= 1/ r, dx = dr, dy = rdΘ ,
(13.167)
illetve
1 ∂ ( rN ) ( ) ( ) ( )
i
1 ∂ rQi 1 ∂ rM
i
1 ∂ rmi
Ni, x
= , Qi , x
= , M
i, x
= , mi , x
= . (13.168)
r ∂r r ∂r r ∂r r ∂r
Az alapegyenleteket felírjuk kör alaprajz esetére:
∂N1 1 ∂N6
N1 − N2
+ + = I0u&& − I1 w&& , r
+ I &&
3γ 5
+ µ
1u&
,
∂r r ∂Θ r
(13.169)
∂N6 1 ∂N2 2N6
I1
+ + = I0 v&& − w&& , Θ
+ I &&
3γ 4
+ µ
2v&
,
∂r r ∂Θ r r
∂Q1 1 ∂Q2 Q1
+ + = q
3
+ I
0 w && + µ
3 w, &
∂r r ∂Θ r
∂m6 1 ∂m2 2m6
I4
+ + − q2 = I &&
5γ4 − w&&
, Θ
+ I3v&&
+ µ
4γ&
4,
∂r r ∂Θ r r
∂m1 1 ∂m6
m1 − m2
+ + − q
1
= I &&
5γ5 − I
4 w &&
, r
+ I
3 u && + µ
5γ&
5
,
∂r r ∂Θ r
∂M
6
1 ∂M
2
2M
6
I2
− − − + Q2 = w&&
, Θ
− I1v&&
− I &&
4γ4
,
∂r r ∂Θ r r
∂M1 1 ∂M
6
M1 − M
2
+ + − Q
1
= − I
2 w &&
, r
+ I
1 u && + I &&
4γ5
.
∂r r ∂Θ r
A peremfeltételek kör alaprajzú lemez esetén:
(13.170)
10.06.20. 228

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
1 ∂M
6
r = 0, a ⇒δ u = 0 vagy N1; δ v = 0 vagy N6; δ w = 0 vagy Q1 + ; δ w, r
= 0 vagy M1;
r ∂Θ
δγ = 0 vagy m ; δγ = 0 vagy m ,
4 6 5 1
Θ = 0, Θ ⇒δ u = 0 vagy N ; δ v = 0 vagy N ; δ w = 0 vagy Q + M ; δ w = 0 vagy M ;
0 6 2 2 6, r , Θ
2
δγ = 0 vagy m ; δ γ = 0 vagy m .
4 2 5 6
( r, Θ ) = (0,0),( a, Θ ),( a,0),(0, Θ ) ⇒δ w = 0 vagy M .
0 0 6
B/3 Különböző nyírási-torzulási függvények
Ha például a g(z) függvényt harmadrendű polinomnak választjuk, akkor az úgynevezett
harmadrendű nyírási lemezelmélethez jutunk:
3
4z
g( z) = z − .
(13.171)
2
3h
Ha a függvény lineáris, vagyis
g( z) = z ,
(13.172)
akkor a lineáris nyírási lemezelméletről, más néven Reissner 194 -
Mindlin 195 -Hencky-lemezmodellről beszélünk a mechanikában.
Ennél a változatnál
ε
23
= γ4, ε
13
= γ
5, q1 = Q1 , q2 = Q2 , m1 = M1, m2 = M
2,
(13.173)
m6 = M
6, I3 = I1, I4 = I5 = I2.
A nyíróerők:
0 0
Q2 = M
2, y
+ M
6, x
+ k4 M
6
+ k5 M1 + I2 w&&
, y
− I1v&&
− I &&
2γ4 − µ
4γ&
4,
(13.174)
0 0
Q = M + M − k M − k M + I w&&
− I u&&
− I && γ − µ γ&
.
1 1, x 6, y 4 2 5 6 2 , x 1 2 5 5 5
Ha izotróp rétegekből álló szendvics lemezt kívánunk vizsgálni, akkor a réteges
keresztmetszetű gerendánál alkalmazott technika segítségével lehet felépíteni g(z)
függvényét. Ha például a gerendáknál bemutatott három rétegből álló metszetet tekintjük egy
lemez felépítésének, akkor a keresett függvény:
2 3 3
⎡ h h ⎤ 3z 8z ⎡ h h ⎤ 19z
g( z) =
⎢
U ( z + ) − U ( z + ) ( z ) U ( z ) U ( z ) ( z )
2 2
2 3 ⎥
+ + +
h 3h ⎢
+ − − − +
3 3 ⎥
(13.175)
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3h
2 3
⎡ h h ⎤ ⎛ 3z 8z
⎞
⎢
U z U z
⎥ ⎜ z
2 ⎟
+ ( − ) − ( − ) − + ,
⎣ 3 2 ⎦ ⎝ h 3h
⎠
ahol U(x) a Heaviside 196 -féle egységfüggvény ( U ( t − t0) = 1, ha t ≥ t0, egyébként értéke 0 ).
Megjegyezzük, hogy rétegelt lemezeknél γ 4 és γ 5 között nemlineáris kapcsolatot szokás
feltételezni, de ezzel a hatással most nem foglalkozunk.
194 Eric Reissner (1913 - 1996) német származású amerikai tudós. Elsősorban az aeronautikában
alkalmazható felületszerkezetek vizsgálatával foglalkozott.
195 Raymond David Mindlin (1906 – 1987) amerikai mechanikus és fizikus. A gyakorlati és elméleti
mechanika számos területén alkotott jelentős műveket. Az ő fényképe látható ezen az oldalon.
196 Oliver Heaviside (1850 – 1925) angol villamosmérnök és matematikus. Komoly eredményeket
ért el az elméleti villamosságtan kutatásában.
10.06.20. 229

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Klasszikus lemez analitikus megoldása derékszögű négyszög alaprajz
esetén.
Határozzuk meg egy derékszögű négyszög alaprajzú, a x b méretű, peremein csuklós
megtámasztású lemez w(x,y) eltolódásfüggvényét. A lemez vastagsága állandó, anyaga
izotróp és lineárisan rugalmas, a terhelés kvázi-statikus.
Az analitikus megoldást Navier javaslata alapján írjuk fel. Navier a keresett
eltolódásfüggvényt végtelen sorok segítségével javasolta megadni:
∞ ∞ mπx
nπy
w( x, y)
= ∑ ∑ Wmn
sin sin . (13.176)
m= 1 n=
1 a b
A képletben szereplő W paraméterek ismeretlen állandókat jelentenek. A külső terhelést
mn
szintén végtelen sor alakjában kell felírni, hogy a biharmonikus differenciálegyenlet teljes
egészében átalakítható legyen:
∞ ∞ mπx
nπ y
qz
( x, y)
= ∑ ∑ Pmn
sin sin . (13.177)
m= 1 n=
1 a b
A P együtthatókat a tényleges terhelés adataiból a kettős Fourier 197 -
m n
sorok segítségével lehet meghatározni:
Segédlet a kettős Fourier-sorok alkalmazására
Határozzuk meg egy (2a) x (2b) tartományon értelmezett és
ismert f(x,y) függvény sorba fejtett alakjának F együtthatóit:
∞ ∞ mπx
nπ
y
f ( x, y)
= ∑ ∑ Fmn
sin sin . (13.178)
m= 1 n=
1 a b
⎛
Szorozzuk be mindkét oldalt sin k π y ⎞ ⎜
dy
⎜⎝ b ⎟
függvénnyel, majd integráljuk y = 0-tól b-
⎠
b
ig: ∫ f ( x, y)
sin dy = ∑ ∑ Fmn
sin ∫ sin sin dy . (13.179)
mn
b
kπy ∞ ∞ mπx nπ y kπy
0 b m= 1 n=
1 a 0 b b
Az integrálásban ha
b
n y k y
n k π π
∫ sin sin dy 0,
0 b b
(13.180)
ha pedig
b
2 nπ
y b
n = k ⇒ ∫ sin dy = .
0 b 2
(13.181)
Megismételve a szorzást és az integrálást x irányban, az eredmény:
a
2 mπx a
∫ sin dx = .
0 a 2
(13.182)
Így a függvény együtthatói a következőképpen számíthatók:
a b
4
mπx
nπ
y
Fmn
= ∫ ∫ f ( x, y)
sin sin dxdy .
ab a b
(13.183)
0 0
197 Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830) kiváló francia matematikus és fizikus. Elsősorban
hőtani kutatásairól és az általa kidolgozott matematikai sorokról ismert. Arcképe látható ezen az
oldalon.
10.06.20. 230

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Ennek az eredménynek a felhasználásával sok gyakorlati terhelési esetre zárt alakban
megadhatók a keresett P együtthatók. Például:
m n
a./ Konstans terhelés:
p
16 p
, ( , 1,3,5,...)
π mn
0
mn = m n =
2
b./ Lineáris megoszló teher:
p
mn
8 p0
cos mπ
= − ( m, n = 1,3,5,...)
2
π mn
c./ Parciális megoszló teher:
p
mn
16 p0
mπξ
nπη
= sin sin
2
π mn a b
mπc
nπd
⋅sin
sin
2a
2b
( m, n = 1,2,3,... )
d./ Koncentrált erő:
p
mn
4P mπξ
nπη
= sin sin , = 1,2,3,...
ab a b
( m n )
e./ Féloldali parciális teher:
10.06.20. 231

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
p
p
8p
0
mn = =
2
π
mn
16 p
0
mn =
2
⎨ ⎪ =
π
mn
( m, n 1,3,5,... )
( m, 2,6,10,... )
( n 1,3,5,... )
⎧⎪ ⎪ =
⎪⎩
f./ Élteher:
p
4 p mπξ
sin , 1,2,3,...
πan
a
0
mn = =
( m n )
Ha a végtelen sorokkal felírt közelítést a lemez statikus vizsgálatához szükséges
biharmonikus differenciálegyenletbe helyettesítjük, akkor a következő alakot kapjuk:
⎡ 4 4 2 2 4 4 4
m π 2m n π n π ⎤ m x n y 1 m x n y
W
π π π π
mn
+ + sin sin P sin sin
4 2 2 4
mn
a a b b
=
⎢⎣
⎥⎦
a b D a b
Pmn
Wmn
=
, így a megoldás :
(13.184)
2
⎡⎛ 2 2
4 m ⎞ ⎛n
⎞⎤
Dπ
2 +
2
a
b
⎢⎜
⎟ ⎜
⎟
⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎥⎦
1 ∞ ∞ Pmn
mπx
nπy
w( x,
y)
=
4
∑ ∑
sin sin .
2
Dπ
m= 1 n=
1 ⎡⎛ 2 2
m ⎞ ⎛n
⎞⎤
a b
+
2 ⎜
2
⎝ a
⎟⎠ ⎜⎝ b
⎟⎠
⎢⎣
⎥⎦
A fenti egyenletben
3
Eh
D = . (13.185)
2
12 1−ν
( )
Az eltolódás függvényébe most már a terheléstől függő állandókat kell behelyettesítenünk.
Az eltolódásfüggvény segítségével – további deriválásokkal – természetesen az
igénybevételek is számíthatók:
∞ ∞ ⎡ 2 2
2 ⎛ m ⎞ ⎛ n ⎞
⎤ mπx nπy
M1
= π D ∑ ∑ ⎢⎜ ⎟ + ν⎜ ⎟ ⎥Wmn
sin sin ,
m= 1n=
1⎢⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ ⎥ a b
⎣
⎦
∞ ∞ ⎡ 2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎤ π π
∑ ∑ ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ mn
m= 1n=
1⎢⎝ b ⎠ ⎝ a ⎠ ⎥ a b
2 n m m x n y
M 2 = π D + ν W sin sin ,
⎣
⎦
∞
∞
2
mn mπx nπy
M12
= −π D( 1− ν)
∑ ∑ Wmn
cos cos .
ab a b
m= 1n=
1
(13.186)
10.06.20. 232

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Felhasznált irodalom:
1./ Nayfeh, A. H. – Pai, P. F.: Linear and nonlinear structural mechanics, John Wiley, 2004.
2./ Szilard, R.: Theory and analysis of plates, Prentice Hall, 1974.
3./ Timoshenko, S. P. – Woinowsky-Krieger, S.: Lemezek és héjak elmélete, Műszaki Könyvkiadó,
1966.
4./ http://en.wikipedia.org/wiki/Curvature
5./ Thomas, G. B. – Weir, M. D. – Hass, J. – Giordano, F. R. : Thomas-féle Kalkulus, III. kötet,
Typotex, 2007.
6./ Szőkefalvi N. Gy. – Gehér L. – Nagy P.: Differenciálgeometria, Műszaki Könyvkiadó, 1979.
14. Előadás: Rugalmas héjak alapvető mechanikai egyenletei
A héjak alapvetően abban különböznek a lemezektől, hogy rendelkeznek kezdeti görbülettel
(kivéve az úgynevezett „síkhéj” mechanikai modellt, amely kis elmozdulások esetén
egyszerűen a membrán- és lemez hatás nem kapcsolt összegzését jelenti). Szerepük már az
ókortól kezdve igen jelentős volt a mérnöki alkotások között (gondoljunk akár a római
Pantheon gyönyörű kupolájára – lásd az alábbi képet –, vagy a keleti építészet komplexen
összefüggő térbeli szerkezeteire):
A modern felületszerkezetek
első változatai a XIX. század
végén jelentek meg, először
többnyire valamilyen térbeli
acél merevítéssel ellátott
üveg- vagy acélburkolatú
héjként (ezeket az első
változatokat sokan inkább a
burkolt térbeli keretszerkezetek
közé sorolják), majd
később, a XX. század
közepétől már a merész
ívelésű vasbeton héjak
jelentették az „igazi” tervezési
és kivitelezési kihívást a
héjakat szeretők számára.
A kezdeti változatok között
megemlítjük az orosz Suhov 198
1890-es években létrehozott
hatalmas szerkezeteit (lásd a
következő képeken a Nyizsnij-
Novgorodban 1895-ban
megépült óriási merevített
198 Vlagyimir Grigorjevics Suhov (1853 – 1939) orosz építőmérnök, elsősorban héjak, tartályok és
nagyméretű térbeli szerkezetek tervezésével foglalkozott.
10.06.20. 233

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
héjat, vagy az 1897-ben ugyanott épült kettősen görbült felületszerkezetet (utóbbiról
kivitelezés közben készült a kép)):
A XX. század sok nagyszerű alkotása közül talán az egyik legszebbként a kiváló finn
építész, Saarinen 199 new-yorki repülőtéri csarnokát mutatjuk illusztráló példának, mellette
egy gyönyörű (merevített) gömbhéj képe látható (egy amerikai Disney-parkban található):
Rengeteg magyar és idegen nyelvű könyv foglalkozik a mérnöki héjszerkezetek
matematikájával és mechanikájával, valamint a gyakorlati építés kérdéseivel. Külön
3 − 11 alatt felsorolt művekre. A honlapok
felhívjuk a figyelmet az irodalomjegyzékben [ ] [ ]
közül a [ 6] és [ 7 ] alatti a legszebb alkotásokat és a legismertebb felületszerkezeti tervezőket
mutatja be, míg a [ 8 ] alatt a héjakkal kapcsolatos legfrissebb kutatásokról olvashatók
hasznos információk.
A továbbiakban – a lemezeknél már bemutatott alapelveket felhasználva – bemutatjuk az
ismertebb héjelméletek alapvető egyenleteit, illetve néhány fontosabb héjszerkezet kezdeti
görbületeinek számítását.
Klasszikus (Kirchhoff-féle) lineáris héjelmélet
Az alábbi hat ábrán hat különböző geometriájú héjat láthatunk:
199 Eero Saarinen (1910 – 1961) finn építész, a XX. század egyik meghatározó építész egyénisége. Ő
tervezte például a Missouri folyót Saint Louis-nál áthidaló hatalmas ívet is.
10.06.20. 234

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
- általános vezérgörbéjű hengerhéjat,
- kör vezérgörbéjű hengerhéjat,
- spirál alakban csavarodó héjat,
- kónikus héjat,
- vezérgörbével előállított hengerszimmetrikus héjat, illetve
- gömbhéjat.
14.1. ábra: Általános és kör vezérgörbéjű hengerhéj
14.2. ábra: Spirál alakú héj és kónikus héj
10.06.20. 235

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
14.3. ábra: Hengerszimmetrikus héj és gömbhéj
A héjszerkezetek más változatait is ábrázolhatnánk, egészen a teljesen szabálytalan alaprajzú
és geometriájú kettősen görbült változatig. Mindegyikben közös, hogy a deformáció előtti
referenciafelületüket x,y,z görbült ortogonális koordinátarendszerben ábrázoljuk j 1, j 2, j 3
egységvektorok segítségével (a z tengely mindig merőleges a referenciafelületre). Szükség
lesz a,b,c inercia-rendszerre is ( i a ,i b,ic bázisvektorokkal), a kettő között pedig a már
ugyancsak bemutatott T transzformációs tenzor írja le a kapcsolatot (lásd a 13. hét előadását).
A./ Hengerhéjak
Vizsgáljuk meg az első ábrán látható általános hengerhéjat. A héj felülete ebben az esetben
egy úgynevezett generátorfüggvény transzformálásával állítható elő. A vezérgörbe egy
tetszőleges pontjának P helyzetvektora a következőképpen adható meg:
P = B( Θ ) ib
+ C( Θ)
ic,
. (14.1)
2 2
2 2
így dx = dx , dy = dP
= B dΘ + C dΘ = dΘ B + C
( ) ( )
, Θ , Θ , Θ , Θ
Az egységvektorok:
∂ P B, Θ
C,
Θ
j1 = ia , j2 = = i i , j
2 2
b
+
2 2
c 3
= j1 × j2
.
∂ y B + C B + C
, Θ , Θ , Θ , Θ
(14.2)
A transzformációs mátrix és a kezdeti görbületek mátrixa ezeknek az egységvektoroknak a
segítségével előállítható. Ha a generátor kör (lásd a 14.1. ábra jobb oldali képét), akkor P
értéke (r a héj sugara, h pedig egy x irányú távolság):
P = hia + r sinΘ ib + r cosΘic
⇒ dx = dh, dy = r d Θ ,
(14.3)
illetve az egységvektoroké:
j1 = ia , j2 = cosΘib −sin Θ ic , j3
= sin Θ ib + cos Θ ic
.
(14.4)
A kezdeti görbületek az előző előadáson felírt összefüggések segítségével számíthatók:
0 0 0 0 0 0 1
k1 = k61 = k5 = k62 = k
4
= 0 , k
2
= .
r
(14.5)
A spirális szerkezetű héjnál (14. 2. ábra bal oldali képe) a helyzetvektor:
P = r cos( Θ−Φ ) i + r sin( Θ−Φ ) i + ( rΘtan Ψ + rΦ cot Ψ ) i , (14.6)
a b c
10.06.20. 236

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
dx =
2 2 r
( rdΘ ) + ( rdΘtan Ψ ) = dΘ
,
cos Ψ
dy =
2 2 r
( rdΦ ) + ( rdΦcot Ψ ) = dΦ
.
sin Ψ
Az egységvektorok:
∂ P
j1 = =−sin( Θ−Φ)cos Ψ ia + cos( Θ−Φ)cos Ψ ib + sin Ψ ic
∂ x
,
∂ P
j2 = = sin( Θ−Φ)sin Ψ ia −cos( Θ−Φ)sin Ψ ib + cos Ψ ic
∂ y
,
(14.7)
(14.8)
(14.9)
j3 = cos( Θ − Φ)
i a + sin( Θ − Φ)
i b .
(14.20)
A transzformációs tenzor előállításához szükséges kezdeti görbületek:
2 2
0 0 0 cos Ψ 0 sin Ψ 0 0 sin 2Ψ
k4 = k5 = 0, k1 = , k2 = , k61 = k62
= − .
(14.21)
r r 2r
0 0
Felhívjuk a figyelmet, hogy ez az első – általunk tárgyalt – felületszerkezet, ahol k és k
értéke nem zérus.
B./ Kónikus héj
61 62
A kónikus héjnál (14. 2. ábra jobb oldali képe) a helyzetvektor, az egységvektorok, és a
görbületek:
P = xsinα cosΘ i + xsinα sin Θ i + ( C − x cos α) i ⇒ dx = dx, dy = xsin α dΘ , (14.22)
a b 0
c
∂ P
j1 = = sinα cosΘ ia + sin α sin Θib −cos α ic
,
∂ x
∂ P
j2 = =−sin Θ ia
+ cos Θib
,
∂ y
(14.23)
(14.24)
j3 = j1
× j2
= cosα
cos Θi
a + cosαsin
Θi
b + sin α i c .
(14.25)
0 0 0 0 0 1 0 1
k1 = k61 = k5 = k62 = 0, k2 = , k4
= .
(14.26)
x tan α x
C./ Vezérgörbével generált forgásszimmetrikus héj
A 14.3 ábra bal oldali képén látható héjnál a pozícióvektor és az egységvektorok:
P = a i + r sin Θ i + r cos Θ i , ⇒ dx = ( da) + ( dr) = da 1 + r , (14.27)
2 2 2
a b c , a
dy = r dΘ , ( itt r = r( a)),
∂ P 1
j1 = = ( i
2
a
+ r, a
sinΘ ib + r,
a
cos Θic) ,
∂ x 1+
r
, a
(14.28)
∂P
j2 = = cosΘib
−sin Θic
,
(14.29)
∂ y
1
j3 = j1
× j2
= ( −r,
a i a + sin Θi
b + cos Θi
c ).
(14.30)
2
1+
r
, a
A transzformációs mátrix és kezdeti görbületek ezek felhasználásával az eddig is használ
alapelveknek megfelelően számolhatók.
10.06.20. 237

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
D./ Gömbhéj
A helyvektor, az egységvektorok és a görbületek (a 14.3. ábra jobb oldali vázlatán látható a
héj képe):
P = r sinΘcosΦ ia + r sin ΘsinΦ ib + r cos Θic
, ⇒ dx = r dΘ , dy = r sin ΘdΦ , (14.31)
∂P
j1 = = cosΘcos Φ ia + cosΘsin Φib −sin Θic
,
∂x
(14.32)
∂P
j2 = =−sinΦ ia
+ cos Φ ib
∂y
,
(14.33)
j = j × j = sin ΘcosΦ
i + sin Θsin
Φ i + cos Θi
.
(14.34)
3 1 2
a
b
c
0 0 0 0 1 0 1 0 1
k61 = k5 = k62 = 0, k1 = , k2 = , k4
= .
r r r tanΘ
(14.35)
E./ Kettősen görbült (általános) héj
Általános esetre is a 13. hét előadásán bemutatott kezdeti görbületeket kell kiszámítanunk, ha
a héj további elemzését akarjuk elvégezni. Vizsgáljunk egy állandó h vastagságú,
0 ≤ x ≤, 1≤ y ≤ Y tartományban elhelyezkedő héjat. Egy tetszőleges pontjának
eltolódásvektora:
u = u j + u j + u j = ( u + zΘ ) j + ( v− zΘ ) j + wj
.
(14.36)
1 1 2 2 3 3 2 1 1 2 3
A képletben u, v és w a három tengely irányában létrejövő eltolódások értéke, Θ1 és Θ
2
pedig a deformálódott állapothoz tartozó két elfordulás. Az elfordulások értelmezését segíti
az alábbi ábra:
14.4. ábra: Az elfordulások értelmezése
10.06.20. 238

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
A kezdeti görbületek miatt Θ1 ≠w, és Θ2 ≠ w, , bár az elfordulásokat jelen vizsgálatban
y
kicsinek tételezzük fel. Így az ábra (és az előző előadás 13.19 alatti egyenletei) alapján a
lineáris tagok figyelembevételével:
ˆ
−1 T23 −1 T23
0 0
Θ
1
= tan = tan = w, y
−u k62 − vk2
,
T ˆ
22 T22
(14.37)
ˆ
−1 T13 −1 T13
0 0
Θ
2
= − tan =− tan = − w, x
+ u k1 + vk61
T Tˆ
. (14.38)
11 11
Az előzőekhez hasonlóan a
1
tan − szimbólum az arctan jelöléssel egyenértékű. Az
elmozdulásvektor deriváltjai:
∂ u 0 0 0 0 0 0
( u , x
z 2, x
vk 5
z 1k 5
wk1 ) j ( v 1 , x
z 1, x
uk 5
z 2k 5
wk61)
j 2
∂x
+ ( w
0 0 0
−uk − zΘ k − vk
0
+ zΘ k ) j .
(14.39)
, x 1 2 1 61 1 61 3
10.06.20. 239
x
∂ u = 0 0 0 0 0 0
( u + , y
z Θ − 2, y
vk + 4
z Θ 1k + 4
wk62 ) j + ( v − 1 , y
z Θ + 1, y
uk + 4
z Θ 2k + 4
wk2
) j + 2
∂y
+ ( w −uk − zΘ k − vk + zΘ k ) j ,
(14.40
0 0 0 0
, y 62 2 62 2 1 2 3
∂ u =Θ −Θ
∂z
2j
.
1 1j2 (14.41)
Az alakváltozások: (14.42)
∂u 0 0 0
ε
11
= ⋅ j
1
= u, x
− k5 v + k1 w+ z( Θ
2, x
+ k5Θ1
) ,
∂x
∂u 0 0 0
ε
22
= ⋅ j
2
= v, y
+ k4u + k2 w+ z( −Θ
1, y
+ k4Θ2) ,
∂y
∂u
∂u
0 0 0 0 0
ε
12
= ⋅ j2 + ⋅ j1 = u, y
+ v, x
− k4v + k5u + k6 w+ z( Θ2, y
−Θ
1, x
+ k4Θ 1
+ k5Θ2) ,
∂x
∂y
ε = 0, ε = z( k Θ −k Θ ), ε = z( k Θ −k
Θ ) .
0 0 0 0
33 13 61 1 1 2 23 2 1 62 2
A fenti alakváltozás-komponensek felírásánál feltételeztük a k 61 = k62
= k6
/ 2
egyenlőséget, ami a lineáris héjelmélet sima és deformálatlan felületeire igaz. Mivel a
keresztirányú nyírási deformációkat az ún. klasszikus elméletben zérusnak tekintik, így
0 0 0 0
ε = z( k Θ −k Θ ) =ε = z( k Θ −k
Θ ) = 0.
(14.43)
13 61 1 1 2 23 2 1 62 2
Az elmozdulásvektor idő szerinti deriváltjait illetve variációját felírva kiszámíthatjuk a
kinetikus energia variációját:
δ K = − ρuɺɺ ⋅δ u dz dA = − (( I uɺɺ + I Θɺɺ
) δ u + ( I vɺɺ − I Θɺɺ
) δ v + I wɺɺ δ w+
(14.44)
∫ ∫
∫
A z A
+ ( I Θ ɺɺ + I uɺɺ ) δΘ + ( I Θɺɺ
− I vɺɺ
) δΘ ) dA,
2 2 1 2 2 1 1 1
0 1 2 0 1 1 0
ahol I 0 , I 1 és I 2 értékeit már a 13. heti előadáson meghatároztuk.
A belső potenciál is felírható a korábbi lemezfeladatokhoz hasonlóan: (14.45)
∫ ∫
δ Π = ( σ δε +σ δε +σ δε ) dz dA = ( N δ u + N δ u + N δ v + N δ v +
b 11 11 22 22 12 12 1 , x 6 , y 2 , y 6 , x
A z A
0 0
1 2, x 2 1, y 6 2, y 6 1, x 4 2 4 6
+ M δΘ −M δΘ + M δΘ −M δΘ + k N δu −k N δ v +
+ k M δΘ + k M δΘ + k N δu−k N δ v + k m δΘ + k M δΘ +
0 0 0 0 0 0
4 2 2 4 6 1 5 6 5 1 5 6 2 5 1 1
∫
0
0
0

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
+ k N δ w + k N δ w + k N δ w + Q δΘ − Q δΘ − Q δΘ + Q δΘ dA =
0 0 0
)
1 1 2 2 6 6 1 2 2 1 1 2 2 1
∫
= − (( N + N −k N − k N + k Q + k Q ) δ u + ( N + N + k N +
0 0 0 0 0
1, x 6, y 4 2 5 6 1 1 62 2 2, y 6, x 4 6
A
0 0 0 0 0 0
5 1 61 1 2 2) (
1, x 2, y 1 1 2 2 6 6) (
1, x 6, y
+ k N + k Q + k Q δ v + Q + Q −k N −k N −k N δ w+ M + M −
−Q −k M −k M ) δΘ − ( M + M − Q + k M + k M ) δΘ ) dA+
∫
0 0 0 0
1 4 2 5 6 2 2, y 6, x 2 4 6 5 1 1
+ (( N + k M ) δ u + ( N + k M ) δ v + ( Q + M ) δ w+ M δΘ ) x X dy +
y
∫
0 0
=
1 62 6 6 2 6 1 6, y
1 2 x=
0
+ (( N + k M ) δ u + ( N + k M ) δ v + ( Q + M ) δ w− M δΘ ) y Y dx −
x
0 0
=
6 1 6 2 61 6 2 6, x
2 1 y=
0
−2 M δ w
.
( x, y) = (0,0),( X , Y )
6 ( x, y) = ( X ,0),(0, Y )
Az anyagmodell egyenlete:
0 0 0
⎡σ ⎤ ⎛⎡ 11
u, x
− k5 v + k1 w ⎤ ⎡ Θ
2, x
+ k5Θ ⎤⎞
⎜ ⎢ 1 ⎥⎟
0 0 0
σ 22
= D ⎜
⎜⎢ v, y
k4u k2 w z 1, y
k ⎥⎟
⎜⎢
+ + + −Θ +
4Θ2
⎥⎟
. (14.46)
⎢ ⎥
⎜
0 0 0 0 0
12
u, y
v, x
k4v k5u k6 w 2, y 1, x
k4 1
k
⎣σ ⎦ ⎜⎝ ⎢⎣ + − + + ⎥⎦ ⎢⎣ Θ −Θ + Θ +
5Θ2⎥⎦
⎟⎠
Az igénybevételek az anyagmodell segítségével:
0 0
⎡ N ⎤ ⎡
1
u, x
− k5 v + k1
w ⎤
0 0
N
2
v, y
+ k4u + k2
w
0 0 0
N
6
u, y
v, x
k4v k5u k6
w
+ − + +
= Dɶ .
0
M
1
2, x
k
(14.47)
Θ +
5Θ1
0
M
2
−Θ
1, y
+ k4Θ2
0 0
⎢⎣ M
6⎥⎦ ⎢⎣ Θ2, y
−Θ
1, x
+ k4Θ 1
+ k5Θ2
⎥⎦
Az eddig alkalmazott módszert követve a Hamilton-féle variációs elvet használjuk fel a
mozgásegyenletek előállítására:
0 0 0 0
N1, x
+ N6, y
−k4 N2 − k5 N6 + k1 Q1 + k62Q2 = I0uɺɺ
+ I1Θɺɺ
2,
(14.48)
0 0 0 0
N + N + k N + k N + k Q + k Q = I vɺɺ
− I Θɺɺ
,
6, x 2, y 4 6 5 1 61 1 2 2 0 1 1
0 0 0
Q1, x
+ Q2, y
−k1 N1 −k2 N2 − k6 N6 = I0 wɺɺ
,
0 0
−M −M −k M − k M + Q = I Θɺɺ
− I vɺɺ
,
2, y 6, x 4 6 5 1 2 2 1 1
M − M −k M −k M − Q = I Θ ɺɺ + I uɺɺ
.
0 0
1, x 6, y 4 2 5 6 1 2 2 1
A peremfeltételek:
0
x = 0, X ⇒ δ u = 0 vagy N + k M ; δ v = 0 vagy N
0
+ k M ; (14.49)
1 62 6 6 2 6
δ w = 0 vagy Q + M ; δΘ = 0, vagy M .
1 6, y 2 1
y = 0, Y ⇒ δ u = 0 vagy N + k M ; δ v = 0 vagy N + k M ;
0 0
6 1 6 2 61 6
δ w = 0 vagy Q + M ; δΘ = 0, vagy M .
2 6, x 1 2
( x, y) = (0,0),(0, Y ),( X ,0),( X , Y ) ⇒ δ w = 0 vagy M .
Szorozzuk meg a mozgásegyenletek közül az elsőt j1
× -tel, a másodikat j2
× -tel, a
harmadikat j3
× -tel, a negyediket ismét j × -tel, az ötödiket j × -tel, majd adjuk össze őket
1
2
6
10.06.20. 240

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
és használjuk fel a 13. előadáson a j egységvektorok deriváltjaira bemutatott
összefüggéseket. A következő tömör formájú mátrixegyenletekhez jutunk:
∂F
∂F
α β ∂M
∂M
α
β
+ = I F , + + j1 × Fα
+ j2 × Fβ
= I M
, (14.50)
∂x
∂y
∂x
∂y
ahol
F = N j + N j + Q j , F = N j + N j + Q j ,
(14.51)
α
1 1 6 2 1 3 β 6 1 2 2 2 3
Mα
=− M6j1 + M1j2 , Mβ
= − M
2j1 + M6j2
,
(14.52)
IF = ( I0uɺɺ + I1Θ ɺɺ
2) j1 + ( I0vɺɺ − I1Θ ɺɺ
1) j2 + I0wɺɺ j3
,
(14.53)
IM = ( I2Θɺɺ 1
− I1vɺɺ ) j1 + ( I2Θ 2
+ I1uɺɺ ) j2
.
(14.54)
Megjegyezzük, hogy a második mátrixegyenletből hiányzó tagot (a „z” tengely körüli
nyomatéki egyensúlyt kifejező tagot) a linearitás miatt szokták kihagyni, ezért az innen
hiányzó j 3 egységvektor együtthatóját nullának feltételezzük:
0 0 0 0
N6 − N6 + k1 M6 − k2 M6 + k62M 2 − k61M1 = 0 .
(14.55)
A keresztirányú nyíróerőket ( Q1 -et és Q2
-t ) most a negyedik és ötödik mozgásegyenletből
lehet kifejezni:
0 0
Q2 = M 2, y + M6, x + k4 M6 + k5 M1 + I2Θɺɺ
1 − I1vɺɺ
,
(14.56)
0 0
Q = M + M −k M −k M − I Θɺɺ
− I uɺɺ
.
1 1, x 6, y 4 2 5 6 2 2 1
F./ Mozgásegyenletek kör vezérgörbéjű hengerhéjnál
Megismételjük a hengerhéjaknál már megadottt paramétereket:
0 0 0 0 0 0 1
dy = a d Θ , k1 = k61 = k5 = k62 = k
4
= 0 , k
2
= ,
a
(14.57)
ahol most az a paraméter jelenti a hengerhéj sugarát. Az elfordulások (az általános, kettősen
görbült héjalaknál megadott szögelfordulási képletből kiindulva):
v
Θ 1 = w, y − , Θ 2 =− w,
x .
(14.58)
a
A nyíróerők:
vɺɺ
Q1 = M 2, y + M 6, x + I2 ( wɺɺ , y − ) − I1vɺɺ , Q2 = M1, x + M 6, y + I2 wɺɺ , x − I1uɺɺ , (14.59)
a
és az alakváltozások:
w v, y
v,
x
ε 11 = u, x − zw, xx , ε 22 = v, y + − z( w, yy − ), ε 12 = u, y + v, x − z(2 w,
xy − ). (14.60)
a a a
Megjegyezzük, hogy ebben az esetben w, x y= w, y x= w, xΘ
/ a = w,
Θ x .
Az igénybevételek:
⎡ u ⎤
⎡ N ⎤ , x
1
v,
y w / a
N
2
+
N
u
6
, y + v,
x
= Dɶ .
M
(14.61)
1 w
−
, xx
M 2 w, yy v,
y / a
− +
M ⎢⎣ 6⎥⎦ ⎢− 2 w, x y + v,
x / a
⎣
⎥⎦
10.06.20. 241

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
A nyíróerők meghatározása utáni három mozgásegyenlet:
N + N = I uɺɺ − I wɺɺ (14.62)
1, x 6, y 0 1 , x ,
1 2 1 1
N6, x + N2, y + ( M6, x + M, y ) = ( I0 + I1 + I
2 2) vɺɺ − ( I1 + I2 ) wɺɺ
, y ,
a a a
a
1 1
M1, xx + 2 M 6, xy + M 2, yy − N2 = I0wɺɺ + ( I1uɺɺ − I2 wɺɺ , x ), x + ( I1vɺɺ − I2 wɺɺ , y + I2 vɺɺ
),
y .
a
a
A peremfeltételek: (14.63)
x = 0, X ⇒ δ u = 0 vagy N ; δ v = 0 vagy N + M / a ; δ w = 0 vagy Q + M ;
δ w = 0 vagy M ;
, x
1
1 6 6 1 6, y
y = Y ⇒ δ u = N δ v = N δ w = Q + M ;
0, 0 vagy 6 ; 0 vagy 2 ; 0 vagy 2 6, x
δ( w − v / a) = 0 vagy M
, y
2 ;
( x, y) = (0,0),(0, Y ),( X ,0),( X , Y ) ⇒ δ w = 0 vagy M ;
Héjelmélet a nyírási hatások figyelembevételével
Ennél az elméleti változatnál hozzáadjuk az elmozdulás-vektorhoz a nyírási hatásokat:
u = u j + u j + u j = ( u + zΘ + gγ ) j + ( v− zΘ + gγ ) j + wj
, (14.64)
1 1 2 2 3 3 2 5 1 1 4 2 3
ahol γ4 és γ5
a héj nyírás következtében létrejövő extra elfordulások, g pedig a nyírási
torzulás függvénye
.
Megjegyezzük, hogy az előző ábra vázlata és a hozzá kapcsolódó számítási mód a Θ1 és Θ2
elfordulásokról továbbra is érvényes. A g nyírási torzulási függvényekre ugyanazokat a
változatokat lehet alkalmazni, mint amilyeneket a gerenda- illetve lemezmodelleknél már
használtunk. Megjegyezzük, hogy lineáris nyírási torzulás esetén Reissner-Mindlinhéjmodellről
beszélünk.
6
Az elmozdulásvektor deriváltjai:
∂ u = 0 0 0 0
( u + , x
z Θ − 2, x
vk + 5
z Θ 1k + 5
wk + 1
g γ − 5, x
gk γ 5 4)
j + 1
∂x
0 0 0 0
+ ( v −zΘ + uk + zΘ k + wk + gγ + gk γ )j +
, x 1, x 5 2 5 61 4, x 5 5 2
0 0 0 0 0 0
, x 1 2 1 61 1 61 1 5 61 4
j3
+ ( w −uk − zΘ k − vk + zΘ k − gk γ −gk
γ ) .
∂ u = 0 0 0 0
( u + , y
z Θ − 2, y
vk + 4
z Θ 1k + 4
wk + 62
g γ − 5, y
gk γ 4 4)
j + 1
∂y
0 0 0 0
, y 1, y 4 2 4 2 4, y 4 5 2
+ ( v −zΘ + uk + zΘ k + wk + gγ + gk γ )j +
0 0 0 0 0 0
, y 62 2 62 2 1 2 62 5 2 4
j3
+ ( w −uk − zΘ k − vk + zΘ k − gk γ − gk γ ) .
∂ u = ( Θ + g γ z ) j + ( −Θ + g γ ) j
∂z
2 , 5 1 1 , z 4 2 .
Az alakváltozások:
∂u 0 0 0 0
ε
11
= ⋅ j
1
= u, x
− k5 v + k1 w+ z( Θ
2, x
+ k5Θ 1) + g( γ5, x
−k5 γ4)
,
∂x
(14.65)
(14.66)
(14.67)
(14.68)
10.06.20. 242

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
∂u 0 0 0 0
ε
22
= ⋅ j
2
= v, y
+ k4u + k2 w+ z( −Θ
1, y
+ k4Θ 2) + g ( γ
4, y
+ k4 γ5)
,
∂y
∂u
∂u
0 0 0
ε
12
= ⋅ j2 + ⋅ j1 = u, y
+ v, x
− k4v + k5u + k6 w+ z(
Θ2, y
−Θ
1, x
+
∂x
∂y
0 0 0 0
4 1 5 2 4, x 5, y 5 5 4 4
+ k Θ + k Θ ) + g( γ +γ + k γ −k
γ ) ,
0 0 0 0
13
g, z 5
g k1 5
k61 4 23
g, z 4
g k62 5
k2 4 33
(14.69)
(14.70)
ε = γ − ( γ + γ ) , ε = γ − ( γ + γ ) , ε = 0 . (14.71)
A kinetikus energia variációja az elmozdulásvektor deriváltjainak és variációjának
felhasználásával számítható:
δ K =− ρuɺɺ ⋅δ u dz dA=− (( I uɺɺ + I Θ ɺɺ + I ɺɺ γ ) δ u + ( I vɺɺ − I Θ ɺɺ + I ɺɺ γ ) δ v + I wɺɺ
δ w+
∫ ∫
∫
A z A
0 1 2 3 5 0 1 1 3 4 0
+ ( I2Θ ɺɺ 2
+ I1uɺɺ + I4ɺɺ γ5) δΘ
2
+ ( I2Θ ɺɺ 1
− I1vɺɺ − I4ɺɺ γ4) δΘ
1
+ ( I3uɺɺ
+ I4Θ ɺɺ
2
+ I5ɺɺ
γ5)
δ γ
5
+
+ ( I vɺɺ − I Θ ɺɺ + I ɺɺ γ ) δ γ ) dA .
(14.72)
3 4 1 5 4 4
Az I0, ...., 5
variációja:
b
I paraméterek definícióját a korábbiakban már megadtuk. A belső energia
∫ ∫ ( 11 11 22 22 12 1 13 13 23 23) dz dA ∫ ( N1 u,
x (14.73)
A z A
δ Π = σ δ ε +σ δ ε +σ δ ε +σ δ ε +σ δ ε = δ +
+ N δ u + N δ v + N δ v + M δΘ −M δΘ + M δΘ −M
δΘ +
6 , y 2 , y 6 , x 1 2, x 2 1, y 6 2, y 6 1, x
0 0 0 0 0 0 0 0
4 2 4 6 4 2 2 4 6 1 5 6 5 1 5 6 2 5 1 1
0 0 0 0 0 0 0
1 1 2 2 6 6 2 1 5 6 4 1 61 2 2 4 6 4,
+ k N δu −k N δ v + k M δΘ + k M δΘ + k N δu −k N δ v + k M δΘ + k M δΘ +
+ k N δ w+ k N δ w+ k N δ w+ ( q −m k −m k − s k − s k ) δ γ + m δ γ x +
0 0 0 0
2 4, y ( 1 2 4 6 5 1 1 2 62)
5 6 5, y 1 5, x
+ m δ γ + q + m k + m k −s k − s k δ γ + m δ γ + m δ γ +
0 0 0
1 2 2 1 1 2 2 1) (( 1, x 6, y 4 2 5 6 1 1
+ Q δΘ −Q δΘ −Q δΘ + Q δΘ dA= − N + N −k N − k N + k Q +
A
0 0 0 0 0 0
62 2) ( 2, y 6, x 4 6 5 1 61 1 2 2) ( 1, x , y 1 1
+ k Q δ u + N + N + k N + k N + k Q + k Q δ v+ Q + Q −k N −
0 0 0 0
2 2 6 6) ( 1, x 6, y 1 4 2 5 6)
2
−k N −k N δ w+ M + M −Q −k M −k M δΘ −
0 0 0 0 0
2, y 6, x 2 4 6 5 1 1 6, x 2, y 1 5 6 4 2 1 61
− ( M + M − Q + k M + k M ) δΘ − ( m + m + m k + m k − q + s k +
∫
0 0 0 0 0 0
2 2 4 1, x 6, y 2 4 6 5 1 1 1 2 62 5 1 62 6
y
+ s k ) δ γ − ( m + m −m k −m k − q + s k + s k ) δ γ ) dA+ (( N + k M ) δ u +
0
=
6 2 6 1 6, y
1 2 1 5 6 4 x=
0
+ ( N + k M ) δ v + ( Q + M ) δ w+ M δΘ + m δ γ + m δ γ ) x X dy +
∫
0 0
6 1 6 2 61 6 2 6, x
2 1 2 4
+ (( N + k M ) δ u + ( N + k M ) δ v + ( Q + M ) δ w−M δΘ + m δ γ +
x
y=
Y
( x, y) = (0,1),( X , Y )
6 5 y= 0 6 ( x, y) = ( X ,0),(0, Y )
+ m δ γ ) dx−2 M δ w
.
A képletben s 1 és s 2 az egyes nyírófeszültség-komponensek eredőjét jelentik:
s = gσ dz , s = gσ
dz .
1 13 2 23
A feszültségek és az alakváltozások kapcsolata:
∫ ∫ (14.74)
z
z
∫
10.06.20. 243

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
0 0 0
⎡σ
⎤ , 5 1 2, 5 1
11
u x − k v + k w Q x + k Θ
0 0 0
22 D (
v
hajl.
, y k4u k2 w z 1, y k4 2
⎢ ⎥ 12
0 0 0 0 0
⎣σ
⎦ ⎢u, y + v, x − k4v + k5u + k6 w⎥ ⎢Q2, y −Θ 1, x + k4Θ 1 + k5Θ2⎥
σ = + + + −Θ + Θ +
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡
0
5, x k ⎤
γ − 5 γ4
0
+ g
γ 4, y + k4 γ5
) ,
0 0
⎢γ 4, x + γ 5, y + k5 γ5 −k4 γ
⎣
4⎥
⎦
0 0
⎡σ23⎤ ⎧
⎡γ4⎤
⎡k62γ 5 + k2 γ ⎤⎫
4
= D ⎪g . , z − g ⎪ .
⎢ ⎥ nyír
⎨
⎢ ⎥
0 0
⎬
⎣σ13 ⎦ γ5 k 1 γ 5 + k
⎪⎩
⎣ ⎦ ⎢⎣
61γ4
⎥⎦
⎪⎭
(14.75)
(14.76)
Az igénybevételek:
⎡ 0 0
u, x − k5 v + k1
w ⎤
⎡ N ⎤ 0 0
1
v, y + k4u + k2
w
N
2 0 0 0
u, y + v, x − k4v + k5u + k6
w
N
6
0
M
Θ 2, x + k5Θ
⎡q
⎤ ⎡ γ ⎤
2
4
1
1
0
M q
γ
5
2 = Dɶ −Θ 1, y + k4 Θ
2
,
1
Dˆ 0 0
.
s = M6
0 0
2 k 62 5 k
(14.77)
γ + 2 γ4
Θ2, y −Θ 1, x + k4Θ 1 + k5Θ2
m1 s 0 0
⎢⎣ 1 ⎥⎦ ⎢
⎣k1 γ 5 + k61γ4
⎥
⎦
0
γ5, x −k5 γ
4
m2
0
⎢ m
γ
6
⎥
4, y + k4 γ
⎣ ⎦
5
0 0
⎣
⎢ γ 4, x + γ 5, y + k5 γ5 −k4 γ4
⎥⎦
A mozgásegyenleteket ismételten a Hamilton-elv felhasználásával kapjuk. Ezek az egyenletek
bármilyen héjtípus esetére alkalmazhatók, csak a kezdeti görbületek lesznek különbözőek.
0 0 0 0
N1, x + N6, y −k4 N2 − k5 N6 + k1 Q1 + k62Q2 = I0uɺɺ
+ I1Θɺɺ
2 ,
(14.78)
0 0 0 0
N + N − k N + k N + k Q + k Q = I vɺɺ
− I Θɺɺ
,
6, x 2, y 4 6 5 1 61 1 2 2 0 1 1
0 0 0
1, x + 2, y − 1 1 − 2 2 − 6 6 = 0
ɺɺ ,
Q Q k N k N k N I w
0 0 0 0
6, x + 2, y + 1 5 + 6 4 − 2 + 1 61 + 2 2 = 5ɺɺ
γ 4 + 3ɺɺ− 4Θ1
m m m k m k q s k s k I I v I
0 0 0 0
1, x + 6, y − 2 4 − 6 5 − 1 + 1 1 + 2 62 = 5ɺɺ
γ 5 + 3ɺɺ
+ 4Θ2
m m m k m k q s k s k I I u I
−M −M −k M − k M + Q = I Θɺɺ
− I vɺɺ
,
0 0
2, y 6, x 4 6 5 1 2 2 1 1
M M k M k M Q I ɺɺ I uɺɺ
.
0 0
1, x + 6, y − 4 2 − 5 6 − 1 = 2Θ 2 + 1
10.06.20. 244
ɺɺ
ɺɺ
,
,

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
A peremfeltételek:
(14.79)
0 0
x = 0, X ⇒ δ u = 0 vagy N + k M ; δ v = 0 vagy N + k M ;
1 62 6 6 2 6
δ w = 0 vagy Q + M ; δΘ = 0 vagy M ; δ γ = 0 vagy m ; δ γ = 0 vagy m ;
1 6, y 2 1 4 6 5 1
y = 0, Y ⇒ δ u = 0 vagy N + k M ; δ v = 0 vagy N + k M ;
0 0
6 1 6 2 61 6
δ w = 0 vagy Q + M ; δΘ = 0 vagy M ; δ γ = 0 vagy m ; δ γ = 0 vagy m .
2 6, x 1 2 4 2 5 6
( x, y) = (0,0),(0, Y ),( X ,0),( X , Y ) ⇒ δ w = 0 vagy M .
6
Felhasznált irodalom:
1./ Nayfeh, A. H. – Pai, P. F.: Linear and nonlinear structural mechanics, John Wiley, 2004.
2./ Szilard, R.: Theory and analysis of plates, Prentice Hall, 1974.
3./ Timoshenko, S. P. – Woinowsky-Krieger, S.: Lemezek és héjak elmélete, Műszaki Könyvkiadó,
1966.
4./ Flügge, W.: Stresses in shells, Springer, 1973.
5./ http://en.wikipedia.org/wiki/Thin-shell_structure
6./ http://en.structurae.de/structures/stype/index.cfmID=1009
7./ http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_thin_shell_structures
8./ http://www.iass-structures.org/
9./ Menyhárd I.: Héjszerkezetek számítása és szerkesztése, Műszaki Könyvkiadó, 1968.
10./ Csonka P.: Héjszerkezetek, Akadémiai Kiadó, 1981.
11./ Hegedűs I.: Héjszerkezetek, BME, 1999.
12./ Novozsilov, V. V.: Thin Elastic Shells, Lowe Publ., 1958.
13. Koiter, W. T.: Theory of Thin Shells, Springer, 1969.
10.06.20. 245

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Függelék
Bojtár Imre: Mechanika MSc c.
előadásvázlatához
10.06.20. 246

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
A./ Matematikai összefoglaló
A következő oldalakon – természetesen csak ismétlő jelleggel, hiszen nem lehet célunk a már
ismertnek feltételezett matematikai tudásanyag újbóli tanítása – összefoglaljuk a
legfontosabb matematikai változókat, valamint a gyakoribb matematikai egyenleteket és
eljárásokat. Megjegyezzük, hogy itt mindazon matematikai fogalmakat összegyűjtöttük,
amelyek egyáltalán előfordulhatnak a következőkben bemutatott téma tanulmányozása
során, többségükre azonban viszonylag ritkán lesz szükségünk.
A tárgy tanulmányozása során használt matematikai változók és jelöléseik
Matematikai típusaik szerint felsoroljuk azokat a változókat, amelyeket munkánk során
használni fogunk:
Skalárok
Ezeket többnyire a hőmérséklet, tömeg, sűrűség, stb. jelölésére alkalmazzuk és az alábbi
változótípusokkal jelöljük őket: a, b, c , α , β ,γ ,....
Vektorok
Az erő, az elmozdulás, a sebesség, stb. fogalmának használatakor lesz rájuk. Többnyire
vastag kisbetűket használunk azonosításukra 200 : f, u , v, ...
Néhány fontos megjegyzés:
- Egyes feladatoknál szükségünk lesz a vektorok indexes jelölésének használatára.
Általános esetben 3D euklideszi térben fogalmazzuk meg a egyenleteinket 201 , ezért az
alábbi jelölési technikát fogadjuk el az indexes és vastag kisbetűs vektorjelölések
között:
u = u1 e1
+ u2
e
2
+ u3
e3
= u i
ei
, (F.1)
ahol az e vektorok a három darab – koordinátatengely irányú – egységvektort
i
jelentik, az u
i
skalárok pedig az u vektor tengelyirányú skalár vetületei. A kapcsolat
tömör felírásakor felhasználtuk az úgynevezett Einstein-féle szummakonvenciót, ami
azt jelenti, hogy az azonos indexeket tartalmazó tagokat össze kell adni az adott
kifejezés értelmezésekor (lásd magát az előbbi definíciót). Megjegyezzük, hogy ebben
az előadásvázlatban az indexek értéke alapértelmezésben mindig egytől háromig
változik. Ha ettől eltérünk bármilyen irányban (kevesebb vagy több lesz a futó index
végértéke), akkor azt külön jelölni fogjuk. Ugyancsak mindig felhívjuk a figyelmet
arra, ha egy egyenletben vagy képletben az azonos indexeket tartalmazó tagoknál nem
tekintjük érvényesnek a szumma-konvenciót.
200 Kivéve természetesen az indexes, vagy mátrixos jelölési módot, ahol nincs vastag betűs kiemelés.
201 Megjegyezzük, hogy elsősorban jobbkezes koordináta-rendszert használunk.
10.06.20. 247

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
- Az egységvektorok skaláris szorzatából kapott számhalmazt Kronecker 202 -delta
tenzornak fogjuk hívni és jelölésére a görög delta betűt használjuk, két indexszel
ellátva:
e ⋅e = δ . (F.2)
i
j
i j
A skaláris szorzatból kapott kilenc számból három darab egységnyi értékű (amikor i =
j), az összes többi szám értéke zérus.
- A vektorokkal végzett műveletek nagyon fontosak lesznek számunkra. Az
összeadás, kivonás, skalárral való szorzás mellett az előbb már említett skalár
szorzatra 203 :
u⋅ v = ui vi
, (F.3)
egy vektor hosszának
( u ) 1/ 2
i
ui
1/ 2
u = ( u⋅ u) = ≥0
(F.4)
módon történő számítására, illetve a vektoriális szorzatra
u× v = u e × v e = u v e × e
(F.5)
( )
i i j j i j i j
hívjuk fel emlékeztetőül a figyelmet, megemlítve még a hármas szorzat
(u × v) ⋅w
(F.6)
fontosságát is.
- Használni fogjuk a három futó indexszel ellátott, úgynevezett permutációs (vagy
más néven Levi-Civita 204 -) szimbólumot. Matematikai jele: ε . A szimbólum
elemeinek értéke:
⎧ 1, ha az indexek sorrendje:123, 231 vagy 312, ⎫
⎪
⎪
ε
i j k
= ⎨−1, ha az indexek sorrendje:132, 213 vagy 321, ⎬.
⎪ 0, ha vannak egyforma indexek. ⎪
⎩
⎭
Megjegyezzük, hogy a permutációs szimbólum segítségével például a vektoriális
szorzás is egyszerűsíthető, hiszen mivel az egységvektorok vektoriális szorzata:
e × e = ε e , (F.7)
i j i j k k
a vektoroké pedig:
w =u× v = u e × v e = u v e × e =ε u v e = w e , (F.8)
( )
i j k
i i j j i j i j i j k i j k k k
ahol w1 = u2v3 − u3v2 w2 = u3v1 − u1v3 w3 = u1v2 − u2v1
, , .
A skalárt eredményező hármas szorzat számítására is felhasználható a Levi-Civitaszimbólum:
(u× v) ⋅ w = V =ε u v w = u v − u v w − u v − u v w − u v −u v w . (F.9)
i j k i j k
( ) ( ) ( )
2 3 3 2 1 3 1 1 3 2 1 2 2 1 3
- A vektorok jelölésére a hagyományos lineáris algebrai szimbólumrendszert is
használni fogjuk, mindig egyszer aláhúzva a vektorként jelölt értéket:
202 Leopold Kronecker (1823 – 1891) német matematikus, főleg számelmélettel foglalkozott. Tőle
származik a következő kijelentés: „Isten teremtette az egész számokat, az összes többi az ember
műve.”
203 A két vektor közé tett ponttal jelöljük ezt a műveletet.
204 Tullio Levi-Civita (1873 – 1941) olasz matematikus, főleg tenzorszámítással foglalkozott, de
mechanikai munkái is jelentősek.
10.06.20. 248

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
⎡u1
⎤
u = ui
= u =
⎢
u
⎥
⎢ 2 ⎥
, (F.10/a)
⎢⎣
u ⎥
3 ⎦
vagy például ugyanez sorvektorként:
T
u = u u u . (F.10/b)
Másodrendű tenzorok 205
[ ]
1 2 3
Többnyire a mechanikai feszültségek és alakváltozások megadására fogjuk őket használni.
Jelölésükre a vastagon szedett nagybetűket, vagy a vastagon szedett görög betűket használjuk
(kivéve most is az indexes illetve mátrixos jelölést), például: σ, ε, A,B ,....
Fontos megjegyzések a jegyzetben használt tenzorokhoz:
- A másodrendű tenzort az alábbiak szerint definiáljuk:
a = B c , (F.11)
ahol a B tenzor az a és c vektorok között kapcsolatot leíró lineáris operátor. A
másodrendű tenzor 3 x 3, vagyis összesen kilenc elemet tartalmaz, szokásos indexes
jelölési módja így: B . A két vektor közötti kapcsolat indexes és lineáris algebrai
írásmóddal:
i j
a = B c , a = B c.
(F.12)
i i j j
- Gyakran fogjuk használni egyenleteinkben két vektor tenzor- (más
elnevezéssel direkt-, mátrix-, diád-) szorzatát. Ennek szimbolikus alakja:
u ⊗ v , (F.13)
205 A „tenzor” elnevezés latin eredetű (tensi: nyújtani, feszíteni), mechanikai alkalmazásokból terjedt
el más szakterületekre is.
Első matematikai definíciója William Rowan Hamiltontól (lásd az első fejezet lábjegyzetét)
származik 1846-ból, mechanikai alkalmazásként pedig először Woldemar Voigt (lásd az 5. fejezet
lábjegyzetét) 1898-as publikációjában olvashatunk róla. A tenzorszámítás jórészt ma is használatos
matematikai technikáját Gregorio Ricci-Curbastro (1853 -1925, olasz matematikus) dolgozta ki az
1890-es években.
Fogalmát ma már a természettudományok számos területén használják, legáltalánosabb definícióját
pedig a matematika csoportelméleti (az algebrai struktúrák elemzésével foglalkozó tudományág)
meghatározása szerint szokták megadni: eszerint a tenzorok olyan mennyiségek, amelyek az
önábrázolás direkt szorzatai szerint transzformálódnak. A direkt szorzatban előforduló tényezők
száma szerint nevezzük a tenzorokat első-, másod-, harmad- stb. rendűnek. Más tudományterületek
(absztrakt algebra, geometriai vektoralgebra, kategóriaelmélet, matematikai fizika, lineáris algebra)
ettől eltérő definíciókat is használnak. Mi ebben a tárgyban feladataink jellege miatt elsősorban a
lineáris algebrában szokásos meghatározást fogadjuk el, az itteni Függelékben közölt definíció
ehhez illeszkedik.
Megjegyezzük, hogy egyes műszaki munkákban is szokás a vektorokat elsőrendű-, a skalárokat
pedig nulladrendű tenzorokként definiálni. Mi nem követjük ezt a jelölésmódot, és a tenzor
elnevezést csak a másod- illetve magasabbrendű változatokra fogjuk használni.
10.06.20. 249

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
a művelet eredménye pedig egy másodrendű tenzor, melynek elemei az ui
v
j
(vagy
T
másképpen: u v ) szorzattal értelmezhetők. A tenzorszorzat nem kommutatív, vagyis
ha u ≠ v , akkor
u ⊗ v≠v ⊗ u, ( u ⊗ v )( w ⊗ x) ≠( w ⊗ x)( u ⊗ v ). (F.14)
- Minden másodrendű tenzor megadható diádok lineáris kombinációjával:
A = A e ⊗ e . (F.15)
i j
Az ilyen típusú felbontásra mechanikai feladatoknál sokszor van szükség.
10.06.20. 250
i
- A tenzorok lineáris algebrai – mátrixos – megadását is használni fogjuk
egyenleteinkben. Ilyenkor vagy kapcsos zárójelbe tett vastag betűvel, vagy kettős
aláhúzással (és vékony betűvel) jelöljük a tenzort (többnyire ezt a jelölést
használjuk!):
⎡ A11 A12 A ⎤
13
[ A]
= A = A21 A22 A
23
.
(F.16)
⎢ A31 A32 A33
⎥
⎣
⎦
Megjegyezzük, hogy a mátrix elemeinek jelölésére szokás kisbetűket is használni (
a , a , stb. ).
11 12
- Egy tenzor szimmetrikus, ha megegyezik transzponáltjával ( S =S T ), és ferdén
szimmetrikus, ha megegyezik transzponáltja ellentettjével ( B = − B T ). A ferdén
szimmetrikus tenzor főátlójában zérus elemek vannak. Minden tenzor egyértelműen
felbontható egy szimmetrikus és egy ferdén szimmetrikus tenzor összegére:
1 T 1 T
A =S +B, ahol S = ( A + A ),
B = ( A− A ). (F.17)
2 2
- Egy tenzor nyomának (rövidítése „tr”, vagy „sp”) definícióját a tenzorszorzat
segítségével adják meg. Az u ⊗ v szorzatnál az eredményül kapott másodrendű
tenzor mátrix alakjának főátlóbeli elemeit összeadva az u⋅ v = ui vi
skalárhoz
jutunk, amit a tenzorszorzat nyomának fogunk hívni:
tr(u ⊗ v) = u ⋅ v = ui vi
. (F.18)
Ezt felhasználva a másodrendű tenzor nyomának az alábbi módon számítható skalárt
nevezzük:
tr A = tr A e ⊗ e = A tr e ⊗ e = A e ⋅ e = A δ = A . (F.19)
( ) ( j) ( j)
j
i j i j i j i i j i i j i j i i
- Egységtenzort állíthatunk elő a Kronecker-delta és az egységvektorok
segítségével:
I = δ e ⊗ e = e ⊗ e ;
(F.20)
i j
i
j
j
- Minden tenzor felbontható egy úgynevezett gömbi és egy deviátoros tenzor
összegére:
1 1
A = G + D, ahol G = α I, α = tr A = Ai i
. (F.21)
3 3
1
A deviátoros rész (D) előállításának alapelve: dev( •) = (•) − tr( •)
I .
3
j

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
- Két tenzor úgynevezett „kétpontos” szorzatánál a műveleti jel egy kettőspont,
az eredmény a kettős belső összeadás miatt skalár. Az értelmezés a következő:
c = A : B = Ai j
B
i j
. (F.22)
Megjegyezzük, hogy a kétpontos tenzorszorzat szintén számítható a nyom
segítségével:
T
T
A:B = B:A = tr( A B ) = tr( B A ) . (F.23)
A másodrendű tenzorok kétpontos szorzatának tulajdonságaiból adódnak a következő
összefüggések:
T
T
A : BC = B A : C= AC : B
(F.24)
( ) ( ) ( )
- A tenzorokkal az összeadás, kivonás és szorzás művelete értelmezhető, az
osztásé nem. A szorzás műveleténél ügyelni kell a szimbólumok típusára, például két
tenzor úgynevezett skaláris szorzatánál belső indexek szerint összegezve újabb
tenzort kapunk, a szorzás szimbóluma ilyen esetben egy pont a két tenzor között
(kivéve természetesen az indexes jelölést):
C = A⋅ B, A B = C , C = A B .
(F.25)
i j j k i k
Ugyanez érvényes vektor és tenzor skaláris szorzatára:
v = A ⋅ u, v = A u , v = Au .
(F.26)
i i j j
Megjegyezzük, hogy sokszor az egyszerűség kedvéért elhagyjuk a „pontot”, csak
egyszerűen egymás mellé írjuk a tenzorok, vagy a vektor jelét:
C = A⋅ B = A B, v = A ⋅ u = A u . (F.27)
- A különböző mechanikai egyenletek értelmezésénél használják a tenzorok
alábbi minősítését (az értelmezés az A tenzorra vonatkozik):
-
pozitív szemi-definit tenzor ( v ⋅ Av ≥ 0 minden v ≠ 0 vektorra),
pozitív definit tenzor ( v ⋅ Av > 0 minden v ≠ 0 vektorra),
negatív szemi-definit tenzor ( v ⋅ Av ≤ 0 minden v ≠ 0 vektorra),
negatív definit tenzor ( v ⋅ Av < 0 minden v ≠ 0 vektorra).
- Egy tenzor normája egy nem-negatív valós szám, értékét kétpontos szorzat
segítségével határozhatjuk meg:
2
2
A ( A : A)
1/ = ( A )
1/
i
A ≥0
. (F.28)
=
j i j
A tenzor determinánsa szintén skalár, számításánál a tenzor mátrix alakját használjuk:
⎡a11 a12 a ⎤
13
det A = det A = det
a 21 a 22 a
23
. (F.29)
⎢a 31 a 32 a 33⎥
⎣
⎦
Egy tenzort akkor és csakis akkor nevezünk szingulárisnak, ha determinánsa zérus.
Ha determinánsa zérustól különböző, akkor nem-szinguláris tenzornak hívjuk. Ebben
-1
az esetben kiszámítható az inverz tenzor (jele: A ), melynek a következő
tulajdonságai vannak:
-1 -1
−1 −1
A A = A A = I, A A = A A = I .
(F.30)
Ha az (azonos méretű) A és B tenzor egyaránt invertálható, akkor igaz a következő
állítás:
( ) 1 1 1
A B − B − A
−
= . (F.31)
10.06.20. 251

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
- Egy tenzort ortogonális tenzornak hívunk, ha a transzponáltjával való szorzata
egységtenzort ad eredményül:
T T
Q Q = Q Q = I .
(F.32)
Ilyen tenzorral transzformálva két, egymáshoz képest θ szöget bezáró vektort, a
transzformálás után sem a vektorok hossza, sem a köztük levő szög nem változik,
vagyis:
Q u⋅Q v = u ⋅ v .
(F.33)
Ezt a transzformációt ábrázolja a következő ábra:
F.1. ábra: Ortogonális transzformáció
- Voigt 206 szabálya: szimmetrikus másodrendű tenzorok vektorba rendezésére
fogjuk használni, a mechanikai egyenletek felírásánál lesz igen hasznos. A szabály
megkülönbözteti a feszültség- (kinetikus Voigt-szabály), illetve az
alakváltozástenzorok (kinematikus Voigt-szabály) elemeinek átrendezését:
a./ Kinetikus Voigt-szabály:
σ =
σ
σ
11
⎡ 11 12
⎤ ⎢ ⎥
⎢ 22
21 ⎥ ⇒ σ=
⎢
σ
⎥
⎣σ
σ
22
⎦
⎢σ
⎥
12
b./ Kinematikus Voigt-szabály:
ε =
⎡ε
⎢ ⎣ ε
11
21
ε
ε
12
22
⎡σ
⎣
⎡ ε
⎤ ⎢
⎥ ⇒ε = ⎢
ε
⎦
⎢⎣
2ε
11
22
12
⎤
⎦
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
, σ =
, ε =
⎡σ
⎢
⎢
σ
⎢⎣
σ
⎡ε
⎢
⎢
ε
⎢⎣
ε
11
21
31
11
21
31
ε
ε
ε
σ
σ
σ
12
22
32
12
22
32
ε
ε
ε
σ
σ
σ
13
23
33
13
23
33
⎡σ
⎢
⎤ ⎢
σ
⎥ ⎢σ
⎥
⇒σ=
⎢
⎥ ⎢σ
⎦ ⎢σ
⎢
⎢⎣
σ
⎡ ε
⎢
⎤ ⎢
ε
⎥ ⎢ ε
⎥
⇒ε = ⎢
⎥ ⎢2ε
⎦ ⎢2ε
⎢
⎢⎣
2ε
11
22
33
23
13
12
11
22
33
23
13
12
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥ . (F.34)
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥ . (F.35)
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
206 Woldemar Voigt (1850 – 1919) német fizikus, elsősorban kristályfizikai kutatásairól ismert.
10.06.20.
252

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Magasabbrendű tenzorok
Elsősorban az anyagmodellek bemutatásakor illetve használatakor lesz rájuk szükségünk.
Vastag nagybetűkkel 207 fogjuk őket jelölni: C, D,….
Megjegyzések a magasabbrendű tenzorokhoz:
- Egy n-ed rendű tenzor általános alakja: Ai 1 i2 ..... i
e e ...... e
n i
⊗
1 i
⊗ ⊗
2
i
. Mechanikai
n
számításainkban elsősorban negyedrendű tenzorokra lesz szükségünk, ezeknek
4
3 = 81 elemük van, hiszen indexes jelöléssel alakjuk A
i j k l
módon írható fel.
- Ha két másodrendű tenzort (A és B) tenzorszorzattal kapcsolunk össze, akkor egy
negyedrendű D tenzort kapunk: D = A ⊗ B ↔ D
i j k l
= Ai j
B
k l
.
- Egy negyedrendű tenzor (A) és egy másodrendű tenzor (B) kétpont szorzata egy
másodrendű tenzort ad eredményül: A :B = A B e ⊗ e .
- Egy harmadrendű tenzor (A) és egy másodrendű tenzor (B) kétpont szorzata egy
vektort ad eredményül: A :B = A B e .
Tenzorok sajátértékei és sajátvektorai
i j k j k i
A mechanikai feladatoknál gyakran lesz szükségünk a sajátértékek számítására. A tenzorok
viszonylag kicsiny mérete miatt a számításoknál elegendő az általánosított sajátértékfeladat
karakterisztikus egyenletének megoldásával számítani a sajátértékeket. Az alábbi
egyenletekben most összegzés nélkül használjuk az indexek ismétlését (λ az A tenzor
keresett sajátértéke, ˆn a keresett sajátvektora):
Anˆ = λ nˆ →( A− λ I ) nˆ
= 0 → det( A− λ I) = 0→
i j k l
i i i i i i
3 2
λ I1λ I2λ
I3 0,
→ − + − = (F.36)
ahol a karakterisztikus egyenlet együtthatóit a tenzor első, második és harmadik
invariánsának nevezzük:
-1
I ( A) = tr A = λ + λ + λ , I ( A) = tr A det A = λ λ + λ λ + λ λ , (F.37)
1 1 2 3 2 1 2 1 3 2 3
3
( A)
= det( A)
= λ1λ
2λ
3
;
I
Az (F.36)-os egyenlet megoldására többféle módszer ismert. Alkalmazható Cardano 208
képlete vagy valamelyik modern matematikai szoftver (Mathematica, Maple, stb.), de akár
zsebszámológéppel is számíthatók az egyenlet gyökei a Simo-Hughes-féle algoritmus
segítségével (lásd az elméleti részleteket a [ 15 ] alatti könyvben). Az algoritmus lépései:
- Számítsuk ki az (F.37) alatti képletben felsorolt mindhárom invariánst.
- Számítsuk ki az alábbi segédváltozókat:
1 3 1 2 3
r = ( − 2I1 + 9I1I2 − 27 I3) , q = ( I1 − 3 I2) , θ = arccos ( r / q ) .
54 9
k l
i
j
207 Egyes könyvek speciális betűtípusokat használnak erre a célra. Ebben a jegyzetben ettől
eltekintünk, de – megkülönböztetésül a másodrendű tenzoroktól – mindig pontosan megadjuk, hogy
milyen tenzorral dolgozunk.
208 Gerolamo Cardano (1501 – 1576) olasz matematikus. Elsősorban a harmadfokú egyenlet
megoldására kidolgozott képletéről és kardántengely megalkotásáról ismert.
10.06.20. 253

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
- Az egyes sajátértékek a segédváltozók és az invariánsok felhasználásával a
következőképpen határozhatók meg:
1 1
λ1 = − 2 q cos ( θ / 3 ) + I1, λ2 = − 2 q cos{ ( θ+ 2 π)
/ 3 } + I1
,
3 3
(F.38/a)
1
λ3 = −2 q cos{ ( θ− 2 π)
/ 3 } + I1
.
3
A sajátértékek számítása után a sajátvektorok a Simo-Hughes-algoritmus segítségével a
következőképpen adódnak:
- Abban az esetben, ha mindhárom sajátérték különböző, akkor:
λ ⎛
i
2 I ⎞
3
nˆ ˆ
i
⊗ ni = A
3 2
−( I1
− λi
) A + I
.
2λi I1λi I3
λ
(F.38/b)
− + ⎜⎝ ⎟
i ⎠
- Ha két sajátérték egyenlő, (például: λi ≠ λ
j
= λk
), akkor
nˆ ⊗ nˆ = I−nˆ ⊗ nˆ .
(F.38/c)
j j i i
- Ha mindhárom sajátérték egyforma, akkor
nˆ ⊗ nˆ = I.
(F.38/d)
i
i
Itt, a tenzorok sajátértékeinek vizsgálatánál említjük meg azt is, hogy sajátértékek és a
hozzájuk tartozó sajátvektorok segítségével elvégezhető minden tenzor úgynevezett
spektrálfelbontása:
A = AI = ( A nˆ
) ⊗nˆ
= λ nˆ
⊗nˆ
, (F.39)
i
i
3
∑
i=
1
és ugyancsak itt jegyezzük meg, hogy a Cayley 209 -Hamilton 210 -tétel értelmében minden
tenzor kielégíti saját karakterisztikus egyenletét 211 :
3 2
A − I A + I A − I I = 0 .
(F.40)
Vektorok és tenzorok transzformációja
1
2
Mechanikai számításokban nagyon gyakran van szükség két különböző koordinátarendszer
közötti transzformáció végrehajtására. Ezeket a műveleteket egy T másodrendű
transzformációs mátrix segítségével lehet elvégezni.
1
T ortogonális mátrix ( T
− = T T ), elemeit a koordinátarendszerek közötti szögek
koszinuszainak segítségével lehet kiszámítani (lásd a következő ábrát):
T = cos θ ( e , e% ) = e ⋅e% . (F.41)
i j i j i j
i
3
i
i
209 Arthur Cayley (1821 – 1895) angol matematikus, főleg lineáris algebrai kutatásokkal
foglalkozott.
210 Sir William Rowan Hamilton (1805 – 1865) ír matematikus és fizikus. Optikával, dinamikával és
algebrával foglalkozott.
211 3
Ahol A =A ⋅ A ⋅ A , stb.
10.06.20. 254

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
F.2. ábra: Koordinátarendszerek közötti szögek értelmezése
A két koordinátarendszer egységvektorai közötti transzformációs kapcsolat:
T
e% = Te = T e ⇔ e = T e% = T e% . (F.42)
i i ji j i i i j j
Egy tetszőleges u vektor esetén, amely a két különböző bázisban
u% i
= u ⋅ e%
i,
ui = u ⋅ei
(F.43)
a fenti módon írható fel, a következőképpen adható meg a transzformáció:
T
u% = T u ⇔ u = Tu% . (F.44)
Fontos megjegyeznünk, hogy jelen értelmezésben u és u% fizikailag ugyanazt a vektort
jelenti, csupán két különböző koordinátarendszerben ábrázoljuk a koordinátáikat.
Ugyanezt a transzformációt természetesen arra is felhasználhatjuk, ha egy darab adott vektort
akarunk ugyanabban a koordinátarendszerben elforgatni . Ilyenkor a transzformáló mátrix és
inverze az oda-vissza forgatás céljára használhatók.
Példaként mutatjuk a következő ábra vázlatát:
F.3. ábra: Vektor transzformációja és elforgatása
Az első esetben az (x,y) rendszerben (1,1) koordinátákkal rendelkező vektor
koordinátáit transzformáljuk a ( ξ, η ) bázisba, majd megismételjük a transzformációt
vissza a ( ξ, η ) bázisból vissza az (x,y) rendszerbe:
10.06.20. 255

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
⎡ξ⎤ T ⎡x⎤ ⎡ 2⎤
⎡ 2 / 2 2 / 2⎤
⎡1⎤
⎢ = T ⇒ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ,
η
⎥ ⎢
y
⎥ ⎢
0 2 / 2 2 / 2 1
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢⎣ −
⎥⎦
⎣ ⎦
⎡x⎤ ⎡ξ⎤ ⎡1⎤
⎡ 2 / 2 − 2 / 2⎤ ⎡ 2 ⎤
⎢ T
.
y
⎥ = ⎢ ⎥ ⇒ ⎢
1
⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣η⎦ ⎣ ⎦ ⎢⎣
2 / 2 2 / 2 ⎥⎦
⎣ 0 ⎦
A második esetben csak az (x,y) rendszert használjuk. Elforgatjuk a ( 2,0 )
koordinátájú vektort az (x,y) síkban eredeti helyzetéhez képest 45 fokkal az óramutató
irányában és a számítással most megkapjuk az elforgatott vektor koordinátáit
ugyanabban a rendszerben:
⎡1⎤
⎡ 2 / 2 − 2 / 2⎤ ⎡ 2 ⎤
uelforg. = Tueredet
i
= ⎢ .
1
⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎢⎣
2 / 2 2 / 2 ⎥⎦
⎣ 0 ⎦
Ha az elforgatást az „ellenkező” (jelen esetben az óramutató járásával ellentétes)
irányban akarjuk elvégezni, akkor a transzformáló mátrix inverzét kell használnunk:
T
⎡ 2⎤ ⎡ 2 / 2 2 / 2⎤
⎡1⎤
ueredet i
= T uelforg.
= ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢
0 2 / 2 2 / 2 1
⎥ .
⎣ ⎦ ⎢⎣ −
⎥⎦
⎣ ⎦
Másodrendű tenzorok esetén a transzformáció (a vektorokéhoz hasonló értelmezésekkel) a
következőképpen hajtható végre:
A% T T
T
= AT ⇔ A = TAT % . (F.45)
Mechanikai feladatoknál gyakran használatos függvénytípusok és néhány
alapvető matematikai művelet
Mechanikai feladatainkban leggyakrabban az alábbi függvénytípusokkal fogunk
találkozni 212 :
- a független változó skalár: Φ = Φ( t) , u = u(
t) , A = A(
t)
, (skalár-skalár, skalár-vektor,
és skalár-tenzor függvények),
- a független változó vektor: Φ = Φ( u ) , v = v(
u) , A = A(
u)
, (vektor-skalár, vektorvektor,
vektor-tenzor függvények)),
- a független változó tenzor: Φ = Φ ( A) , u = u( A) , B = B( A)
, (tenzor-skalár, tenzorvektor,
tenzor-tenzor függvények).
A következőken emlékeztetőül felírjuk néhány gyakoribb függvénytípus gradiensének
számítási módját.
Vektor-skalár függvény gradiense
Egy folytonos Φ ( x)
skalár mező (ilyen például a hőmérséklet vagy az anyag sűrűsége) az x
helyen Taylor 213 -sorba fejthető az alábbi módon:
Φ ( x + dx) = Φ ( x) + dΦ + o( dx) ,
(F.46)
212 A felsorolásban dőlt betűvel kiemeltekre külön is kitérünk az összefoglalóban.
213 Brook Taylor (1685 – 1731) angol matematikus. Függvénytani vizsgálatai tették híressé nevét.
10.06.20. 256

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
ahol (és a további hasonló képletekben is) az o (•)
tag az úgynevezett Landau 214 -szimbólum.
Ennek a tagnak mindig gyorsabban kell zérushoz tartania, mint ahogy d x → 0 .
A jobb oldalon szereplő dΦ tagot a Φ ( x)
függvény teljes differenciáljának hívják. Ez a tag
jellemzi az x valamint az x + dx helyek között a függvény változását:
∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ
dΦ = ⋅ dx
= dxi
= dx1 + dx2 + dx3
. (F.47)
∂x
∂x ∂x ∂x ∂x
i
1 2 3
Megjegyezzük, hogy a továbbiakban gyakran fogjuk használni az alábbi tömör és egyszerű
∂Φ
jelölést: =Φ ,i .
∂
x i
Vezesük be most a nabla 215 -operátort az alábbi tartalommal:
∂ (•) ∂ (•) ∂ (•) ∂ (•)
∇ (•) = ei
= e1 + e2 + e3
.
(F.48)
∂xi
∂x1 ∂x2 ∂x3
Ennek felhasználásával a teljes differenciál és a függvény gradiense végül az alábbi alakban
írható fel:
∂Φ
dΦ = ∇Φ⋅d x, grad Φ =∇Φ = . (F.49)
∂
Tenzor-skalár függvény gradiense
Számítsuk ki egy nemlineáris, sima Φ = Φ( A)
tenzor-skalár függvény gradiensét, ahol A egy
másodrendű tenzor. Az előző ponthoz hasonlóan Taylor-sorba fejtve:
Φ ( A + d A)
= Φ(
A)
+ dΦ
+ o(
dA) ,
(F.50)
ahol a teljes differenciál részletes alakja:
T
∂Φ( A) ⎡ ⎛∂Φ( A)
⎞ ⎤
dΦ = : dA
= tr
dA
⎜
∂A
⎜⎝ ∂A
⎠⎟
. (F.51)
⎢⎣
⎥⎦
o( dA)
A Landau-szimbólum most: lim = 0 .
dA→0
dA
A keresett gradiens egy másodrendű tenzor lesz:
⎡ ∂Φ ∂Φ ⎤
.
∂a11 ∂a
13
∂Φ( A)
grad Φ ( A)
= = . . .
A
. (F.52)
∂ ∂Φ ∂Φ
.
∂a31 ∂a
⎢⎣
33 ⎥⎦
Ennek a műveletnek az illusztrálására bemutatunk egy kis példát:
Bizonyítsuk be, hogy egy A másodrendű tenzor esetén igaz az alábbi egyenlőség:
∂ det A
−T
= det A A .
(F.53)
∂A
A bizonyításhoz felhasználjuk a determinánsok számításánál alkalmazott
x i
e i
214 Lev Davidovics Landau (1908 – 1968) szovjet fizikus. Elsősorban a szélsőséges hőmérsékletek
fizikájával foglalkozott.
215 Az elnevezés az ógörög „hárfa” szóból származik. Hamilton (lásd a 10. lábjegyzetet) használta
először és a hárfára hasonlító alakja miatt adta neki ezt a nevet.
10.06.20. 257

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
( )
det AB = det Adet
B
(F.54)
tételt. Ennek segítségével felírhatjuk az alábbi egyenlőséget:
−
( ) ( 1 −
det A+ d A = det ⎡A I+A d A) ⎤
⎢
= det A det( I+A 1 d A
⎣
⎥⎦
). (F.55)
Az utolsó tag nagyon hasonlít a sajátérték-feladatnál alkalmazott összefüggésre, azzal
−
a kivétellel, hogy most A helyett A
1 d A szerepel a zárójelben és λ = −1. Ennek
figyelembevételével írjuk most fel az invariánsokat tartalmazó karakterisztikus
egyenletet:
−1
( I+A A) I
1
A -1 A) I2 ( A -1 A) I3
( A -1 A)
-1
1 tr( A d A) o( d A)
det d = 1 + ( d + d + d =
= + + (F.56)
Az elhanyagolásnál azt vettük figyelembe, hogy a második invariáns négyzetesen, a
harmadik pedig köbösen függ dA –tól, így mindkettő kellően kicsinynek tekinthető a
további számításoknál.
Használjuk most fel a gradiens-számításnál is alkalmazott sorfejtést 216 (csak most
Φ A skalár helyett detA tenzort használva), így az alábbi egyenlőséghez jutunk:
( )
⎡
T
⎛∂det
A⎞
⎤
det( A+ d A) = det A+ tr d A ⎜
+ o( d A)
⎜⎝ ∂A
⎠⎟
. (F.57)
⎢⎣
⎥⎦
Ugyanerre a kifejezésre van egy másik eredményünk is, amit a sajátérték-feladatos
átalakítással kaptunk ((F.55)-be behelyettesítve (F.56)-ot):
−
det( A+ d A) = det A ⎡1 tr( A 1 d A) ⎤
⎢ + ⎥ + o( d A)
=
⎣
⎦
−1
= det A + tr det A A d A + o d A . (F.58)
( ) ( )
Ezeket összehasonlítva (és felhasználva a kétpontszorzásra mondottakat):
∂ det A
−T
:d A = det A A : d A.
∂A
Ennek alapján az eredeti (F.53) állítás helyessége belátható.
Tenzor-tenzor függvény gradiense
(F.59)
Az előző pontokban bemutatott gondolatmenet segítségével az A(B) függvény Taylor-sora és
a teljes differenciál:
∂A( B)
A( B + dB) = A( B) + dA + o( dB), dA = : dB
. (F.60)
∂ B
A függvény gradiense:
∂A( B)
grad A( B)
= . (F.61)
∂ B
Egyéb fontos változók és műveletek
Felsorolásszerűen összegyűjtöttük néhány olyan műveleti utasítás képletét, amelyekre egyes
mechanikai vizsgálatoknál szükség lesz:
216 Lásd az (F.50) és (F.51)-es egyenleteket.
10.06.20. 258

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
(F.63)
- Nabla-operátor hengerkoordináta-rendszerben:
T ⎡ ∂ 1 ∂ ∂ ⎤
∇ = ⎢ , ,
∂r r ∂β
∂z
⎥
⎣ ⎦ . (F.62)
- Laplace 217 -operátor:
∂ (•)
2
2 2
∆ =∇⋅∇ =∇ ; ∇ (•)
= . ∂
2
x i
- Laplace-operátor hengerkoordináta-rendszerben:
- Hesse 218 -operátor:
2
2
∂ (•)
1 ∂(
•)
1 ∂ (•)
∂ (•)
∆ (•)
= + + + . (F.64)
2
2 2 2
∂r
r ∂r
r ∂β ∂z
∂
2 (•)
∇ ⊗ ∇ (•) = ei
⊗ e
∂x ∂x
i
j
2
j
. (F.65)
- Irány menti (Gateaux 219 -féle) derivált:
Φ x skalár függvényt a 3D térben. A
Vizsgáljunk egy ( )
( x) ( x , x , x ) állandó
Φ = Φ = értékű helyeket szintfelületnek hívják. A szintfelületen
1 2 3
x elemien kicsiny közelében (tőle legfeljebb d x távolságban) lévő pontoknál d Φ = 0 .
A felületre merőleges normális vektort a gradiens-képzés segítségével számíthatjuk
(most sorvektor formájában írtuk fel):
∂Φ ⎡∂Φ ∂Φ ∂Φ ⎤
grad Φ = → ⎢ ⎥ . (F.66)
∂x ⎣ ∂x1 ∂x2 ∂x3
⎦
Ha a szintfelületen egy adott x pontnál a normális irányú egységvektorra van
szükségünk, akkor ezt az eredményt már csak normálnunk kell (lásd még a következő
ábrát):
grad Φ
n =
grad Φ .
(F.67)
F.4. ábra: Irány menti derivált
217 Pierre-Simon de Laplace (1749 – 1827) kiváló francia matematikus. Csillagászattal és
mechanikai számításokkal is sokat foglalkozott.
218 Ludwig Otto Hesse (1811 – 1874) német matematikus. Főleg lineáris algebrával és az invariánsok
használatával foglalkozott.
219 René Eugéne Gateaux (1889 – 1914) kiváló francia matematikus. Az első világháborúban halt
meg 25 éves korában.
10.06.20. 259

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Vegyünk fel az x pontnál egy olyan u vektort, amely grad Φ irányával θ szöget zár be.
A
grad Φ ⋅ u
(F.68)
módon definiált szorzatot a Φ ( x)
függvény u vektor irányába eső irány menti vagy
más néven Gateaux-féle deriváltjának nevezik.
Az u vektor irányának (rögzített x körüli) változtatásával az irány menti derivált
maximumát akkor kapjuk amikor cos θ = 1 , vagyis u és n iránya megegyezik.
Minimumot cos θ = −1
-nél, vagyis az ellenkező irány esetén kapunk.
Az irány menti derivált azon speciális esetét, amikor az n irányú esetet számítjuk,
normál deriváltnak szokták nevezni. Ebben az esetben:
grad Φ⋅ n = grad Φ . (F.69)
- Vektormező gradiense: A vektorok gradiensének számítására kétféle változatot
használ a szakirodalom. Az egyik változatot jobb gradiensnek nevezik:
⎡ ∂u1 ∂u1 ∂u
⎤
1
⎢
⎥
∂x1 ∂x2 ∂x3
⎡u1
⎤
⎢
⎥
T ∂u ⎡
i
∂ ∂ ∂ ⎤ ⎢∂u2 ∂u2 ∂u
⎥
2
grad u = ( ∇ ⊗ u)
= ei
⊗ e
j
=
⎢
u
⎥
2
,
x ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ (F.70/a)
∂
j
∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x1 ∂x2 ∂x3
⎢u
⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥
⎣ 3 ⎦ ⎢∂u3 ∂u3 ∂u
⎥
3
⎢
⎥
⎣ ∂x1 ∂x2 ∂x3
⎦
míg a másik változat neve bal gradiens 220 :
⎡ ∂ ⎤ ⎡∂u1 ∂u2
∂u
⎤
3
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢
∂x1
⎥
⎢
∂x1 ∂x1 ∂x1
⎥
1 2 3
( grad u) T ⎢ ∂ ⎥ ⎢∂u
∂u
∂u
⎥
= ⎢ ⎥[ u1 u2 u3]
= ⎢ ⎥ . (F.70 / b)
⎢∂x2 ⎥
⎢∂x2 ∂x2 ∂x2
⎥
⎢ ∂ ⎥
⎢∂u1 ∂u2
∂u
⎥
3
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎣∂x3 ⎦ ⎣∂x3 ∂x3 ∂x3
⎦
Megjegyezzük még, hogy a vektormező gradiensének jelölésére sokszor használják a
diadikus szorzat nélküli szimbolikus képletet is: gradu ( )
= ∇ . Vigyázni kell, hogy
semmiképpen ne keverjük a vektormező divergenciájára vonatkozó jelöléssel
(lásd néhány sorral lejjebb: div u = ∇⋅u ).
- Vektorok szorzatának gradiense: ( grad( )) ( grad ) ( grad )
- Másodrendű tenzor gradiense: ( )
u T
T T T
u ⋅ v = u v + v u . (F.71)
T ∂Ai j
grad A = ∇ ⊗ A = ei ⊗e j ⊗ek
. (F.72)
∂x
k
∂ui
∂u1 ∂u2
∂u3
- Vektormező divergenciája: div u = ∇ ⋅ u = = + + .
∂xi
∂x1 ∂x2 ∂x3
Ha ez az érték zérus, a vektormezőt divergencia-mentesnek szokták mondani.
(F.73)
220 Megjegyezzük, hogy egyes művekben a ∇ ⊗u
és u ⊗∇ jelölésváltozatokkal is találkozhatunk.
10.06.20. 260

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
∂A
- Másodrendű tenzor divergenciája 221 i j
: div A = A⋅∇ = ei
. (F.74)
∂ x
- Vektormező divergenciája hengerkoordináta-rendszerben:
1 ∂ 1 ∂ uβ
∂ uz
div u = ∇⋅ u = ( r ur
) + + . (F.75)
r ∂r r ∂ β ∂ z
- Divergenciaszámításra vonatkozó hasznos összefüggések:
div( φ u) =φ divu + u ⋅grad φ,
div( φ A) =φ div A + A ⋅grad φ,
T
div( A u) = div A ⋅ u + A : grad u,
div( AB) = grad A : B + A div B.
j
(F.76)
- Vektormező rotációja:
∂u ⎛
3 2 1 3
rot u u j ∂u ∂u ⎞ ⎛ ∂u ∂u
⎞ ⎛ ∂u ∂u
⎞
= ∇× = e e e 2 1
i
×
j
= ⎜ − ⎟ 1
+ ⎜ − ⎟e2 + ⎜ − ⎟e3
. (F.77)
∂xi
⎝ ∂x2 ∂x3 ⎠ ⎝ ∂x3 ∂x1 ⎠ ⎝ ∂x1 ∂x2
⎠
Ha ez az érték zérus-vektor, akkor a vektormezőt rotáció-mentesnek (néha pedig
konzervatívnak) mondják.
- Vektormező rotációja hengerkoordináta-rendszerben:
⎛ 1 ∂u ∂u
1 ( )
z β ⎞ ⎛ ∂u ru
r ∂uz ⎞ ⎛ ∂ β ∂ur
⎞
rotu = ∇× u = ⎜ − ⎟er
+ ⎜ − ⎟eβ
+ ⎜ − ⎟ez
. (F.78)
⎝ r ∂ β ∂ z ⎠ ⎝ ∂z ∂r ⎠ r ⎝ ∂r
∂β
⎠
- Másodrendű tenzor rotációja:
⎡ ∂ ∂ ⎤
0 −
∂z
∂y
⎡a11 a12 a ⎤
13
∂ ∂ rot A = ∇× A = 0 − a21 a22 a23
=
∂z ∂x ⎢a 31 a
32 a ⎥
33
∂ ∂
⎣ ⎦
−
0
⎢
⎣ ∂y
∂x
⎥
⎦
⎡ ∂a21 ∂a ∂a22
∂a ∂a ∂a
− + − + − +
∂z ∂y ∂z ∂y ∂z ∂y
∂a11 ∂a31 ∂a12
∂a32 ∂a13 ∂a33
= − − −
∂z ∂x ∂z ∂x ∂z ∂x
∂a11 ∂a21 ∂a12
∂a22
∂a
∂a
− + − + − +
⎢
⎣
∂y ∂x ∂y
∂x ∂y ∂x
31 32 23 33
13 23
⎤
.
⎥
⎦
(F.79)
Integráltételek
A mechanika alapegyenleteinek felírásakor, a munka- és energiatételek használatakor és még
számos más mechanikai feladatnál van fontos szerepük a matematika integrálegyenleteinek.
221 Megjegyezzük, hogy egyes művekben ugyanezt ∇⋅ A módon jelölik. Előfordul az is, hogy (F.74)
transzponáltját használják a tenzor divergenciájának számítására: ( ∂A
/ ∂ x )e .
i j i i
10.06.20. 261

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
A matematikai eszköztár ismétlését ezekkel zárjuk.
- Divergenciatétel (Gauss 222 -tétel):
Legyen u(x) és A(x) egy V térfogaton (3D konvex zárt tartományban) értelmezett
sima vektor- és tenzormező.
A tartományt S felület határolja (lásd a következő vázlatot):
F.5. ábra: Divergenciatétel
Erre a tartományra igaz az alábbi két tétel:
u ⋅ n dS = div u dV , A ⋅ n dS = divA
dV
∫ ∫ ∫ ∫ . (F.80)
S V S V
- Gauss-Osztrogradszkij 223 -(Green 224 ) tétel:
Amennyiben a divergenciatétel képleteinél A =
figyelembe vesszük, hogy div( I)
- Green tételei:
Φ I helyettesítést alkalmazzuk és
Φ = grad Φ , akkor az alábbi tételhez jutunk:
∫ Φ n dS = ∫ grad Φ dV ;
(F.81)
S
V
Amennyiben az (F.81)-es képletnél Φ helyébe cgrad
Φ kifejezést írunk (c ismert
skalár), akkor a megfelelő behelyettesítések és átalakítások végrehajtása után a
Green-féle első integráltételhez jutunk:
( )
∫ c ∆Φ + grad c ⋅grad Φ dV = ∫ c grad Φ⋅n
dS . (F.82/a)
V
S
222 Carl Fridrich Gauss (1777-1855) német matematikus és fizikus, a világ legnagyobb tudósainak
egyike.
223 Mihail Vasziljevics Osztrogradszkij (1801 – 1862) orosz matematikus, elsősorban függvénytannal
foglalkozott.
224 George Green (1793 – 1841) kiváló angol fizikus, az energiaelvű számítások népszerűsítője a
mechanikában.
10.06.20. 262

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Ha az egyenletben felcseréljük c-t és Φ -t, majd az így kapott egyenletet kivonjuk
(F.82/a)-ból, megkapjuk a második Green-integráltételt:
c ∆Φ − Φ∆ c dV = c grad Φ − Φ grad c ⋅n
dS
- Stokes 225 -tétel:
V
( ) ( )
∫ ∫ . (F.82/b)
S
Ez a tétel nyitott felületekre és zárt vonalakra vonatkozó integrálokat kapcsol
össze, lásd az F.6 ábrát.
Vezessünk be egy (a felületen lévő ) C görbéhez tartozó, dx-szel jelölt érintővektort,
és egy felülethez tartozó n normálvektort. A görbe az ábrán látható jobbkezes
irányítottsággal rendelkezik. A felületen levő sima u vektormezőre érvényes az alábbi
tétel:
∫ u ⋅ dx = ∫ rot u ⋅n
dS . (F.83)
C
Ha a felület zárt, akkor a bal oldal zérusra redukálódik.
S
Variációszámítási alapfogalmak
F.6. ábra: A felület rajza a Stokes-tételhez
A mechanika variációs feladatainál (például a munka- és energiatételek alkalmazásánál)
szükségünk van az ehhez kapcsolódó matematikai fogalmak használatára. A számunkra
fontos változók és tételek:
- Variációs operátor: Jele δ , mindig egy adott matematikai mennyiség
megváltozására utal. Értelmezését egy u skalár függvénynek egy egyszerű
mechanikai feladatra való alkalmazásán illusztráljuk:
Legyen u = u(x) egy nyugalomban lévő mechanikai rendszer valamelyik
állapotjellemző függvénye, és tételezzük fel, hogy a vizsgált rendszer teljes külső S
határfelületének egy S1
-gyel jelölt részén a függvény előírt értékű, vagyis ott u = u .
Vezessünk be egy kicsinynek tekintett α paraméter segítségével egy
225 Sir George Gabriel Stokes (1819 – 1903) angol matematikus és fizikus. Áramlástani vizsgálatai
jelentősek.
10.06.20. 263

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
û = u + α v
(F.84)
függvényt, amely a vizsgált rendszer egészére érvényes. A v függvénynél előírjuk,
hogy homogén peremfeltételeket 226 teljesítő legyen az S
1
tartományban, azaz
v = 0 → S1
− en.
(F.85)
Az α v tagot az u függvény egy adott állapotához tartozó variációjának nevezzük. A
variációk száma végtelen, de mindegyiküknek teljesítenie kell az S1
-re vonatkozó
peremfeltételt. Bármilyen v függvényt is veszünk fel, α = 0 esetén az eredeti
függvényhez jutunk. Ebből az állításból következik, hogy bármelyik rögzített x
esetén α v valóban u adott konfigurációjának változása, variációja. Ezt a variációt
fogjuk a továbbiakban δu
-val jelölni:
δ u = α v .
(F.86)
δ u matematikai neve az u függvény első variációja.
Ha az u függvény első deriváltjának variációját akarjuk kiszámítani, akkor a
következőt kapjuk eredményül:
⎛ du ⎞ ⎛ dv ⎞ d ( αv)
dδu
δ ⎜ ⎟ = α ⎜ ⎟ = =
(F.87)
⎝ dx ⎠ ⎝ dx ⎠ dx dx
Legyen most például a vizsgálandó függvényünk F F ( x, u,
u′ )
= . Rögzített x érték
esetén írjuk fel először az alábbi növekmény számításának lépéseit:
∂F
∂F
∆ F = F( x, u + α v, u′ + αv′ ) − F( x, u, u′ ) = F ( x, u,
u′ ) + α v + α v′
+
∂u
∂u′
2
( αv) 2( αv)( αv′
)
2 2
∂ F ∂ F ∂F ∂F
2
....... F( x, u, u′ ) v v′
O( ),
2
(F.88)
+ + + − = α + α + α
2! ∂u 2! ∂u∂u′ ∂u ∂u′
ahol az utolsó tag a korábban már használt Landau-szimbólum. Az F függvény első
variációja ennek segítségével:
⎡ ∆F ⎤ ⎛ ∂F ∂F ⎞ ∂F ∂F
δ F = α lim = α ⎜ v + v ′ ⎟ = α v + α v ′ =
α→0
⎣
⎢ α ⎦
⎥
⎝ ∂u ∂u′ ⎠ ∂u ∂u′
(F.89)
∂F
∂F
= δ u + δu′
.
∂ u ∂ u ′
Gyakorlásképpen megmutatjuk ugyanennek az eredménynek egy másik előállítási
módját:
⎡dF ( u + α v,
u′ + αv′
) ⎤ ∂F ∂F ∂F ∂F
δ F = α ⎢
⎥ = α v + α v′ = δ u + δu′
. (F.90)
⎣ dα ⎦ ∂u ∂u′ ∂u ∂u′
α= 0
Harmadik előállítási változatként felhívjuk a figyelmet az F függvény első
variációjának és a teljes deriváltnak az analógiájára. A teljes derivált jelen esetben:
226
Gyakran felvetődő kérdés a virtuális elmozdulások tételének reakciószámításra történő
alkalmazásakor, hogy a támaszpontokat elmozdító virtuális elmozdulások megsértik-e a homogén
peremfeltételekre vonatkozó előírást. Fontos tudnunk, hogy az ilyen jellegű elmozdulás-rendszerek
egy teljesen külön feladatot jelentenek, ilyenkor a szerkezet egészére ható egyensúlyi erőrendszeren
értelmezzük a virtuális külső munka zérus értékűségét, és nem az eredeti (rugalmas) szerkezet
egyensúlyát jelentő virtuális elmozdulás-rendszert vizsgáljuk (gondoljunk ennél az utóbbinál például
a potenciális energia stacionaritási tételének alkalmazására, amikor már szigorú követelmény a
virtuális elmozdulás-rendszernél az előírt elmozdulások figyelembevétele).
10.06.20. 264

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
∂F ∂F ∂F
dF = dx + du + du′
. (F.91)
∂x ∂u ∂u′
Mivel – definíciószerűen – az x értékét a variációszámításnál rögzítettük, így dx = 0,
vagyis a teljes derivált egyszerű módosításából azonnal megkapjuk a függvény első
variációját.
- Elemi variációszámítási műveletek:
δ F ± F = δ F ± δF , δ F F = δF ⋅ F + F ⋅δF
,
( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
⎛ F ⎞
1
δF1 ⋅ F2 − F1 ⋅δF2
n
n−1
δ ⎜ ⎟ = , δ
2
( F1 ) = n( F1 ) δF1
,
⎝ F2 ⎠ F2
G = G( u, v, w) ⇒ δ G = δ G + δ G + δ G,
u v w
a a a a
⎛ du ⎞ dv d d ⎛ ⎞
δ ⎜ ⎟ = α = ( α v) = ( δu),
δ ⎜ u dx ⎟ = α v dx = α v dx = δu dx
⎝ dx ⎠ dx dx dx ⎝ 0 ⎠ 0 0 0
(F.92)
∫ ∫ ∫ ∫ .
Példa: Írjuk fel az F = F( x, y, u, v, u , v , u , v ) függvény variációját (itt
u
x
x x y y
∂u
∂F ∂F ∂F ∂F ∂F ∂F
= , stb.
): δ F = δ u + δ v + δ ux + δ vx + δ uy + δvy
.
∂ x
∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v
b
x x y y
Példa: Számítsuk ki az ∫ F( x, u, u′
) dx függvény variációját:
b b b
a
⎛ ∂F
∂F
⎞
δ F( x, u, u′ ) dx = δ F dx = ⎜ δ u + δu′
⎟ dx
⎝ ∂u
∂u′
⎠
∫ ∫ ∫ .
a a a
A funkcionálanalízis néhány alapvető fogalma
Az energiatételek alkalmazásánál, a peremérték-feladatok és a variációs megfogalmazások
között kapcsolatok elemzésénél szükségünk lesz a funkcionálanalízis néhány alapvető
9 alatti művet
fogalmának használatára. A részletesebb magyarázatokra igény tartóknak a [ ]
ajánljuk. A számunkra fontosabb összefüggések és tételek:
- Operátor, lineáris operátor: Operátoron olyan előírást értünk, amely egy halmaz
elemeihez hozzárendeli egy másik (vagy esetleg ugyanazon) halmaz elemeit:
T : X → Y . Az operátort lineárisnak nevezzük, ha a T operátor D tartománya
lineáris tér és teljesülnek az alábbi feltételek:
T( α x + β y) = αT( x) + βT( y), x, y ∈ D, α, β skalárok .
- Skaláris szorzat: Ha az X valós lineáris tér minden x,y elempárjához
hozzárendelhető egy x,
y valós szám, amelyre igazak az alábbi feltételek:
x, y = y, x , x + y, z = x, z + y, z , α x, y = α x, y ( α valós szám),
x, x ≥ 0, x, x = 0 (ha x = 0),
akkor az x,
y számot az x és y vektorok skaláris szorzatának nevezzük. A mi
mechanikai feladatainknál ez a skaláris szorzat általában függvényekre
értelmezett szorzatintegrál alakjában lesz értelmezhető, például:
10.06.20. 265

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
b
x, y = ∫ x( t) y( t)
dt . (F.93)
a
Megjegyezzük, hogy ha az x,y vektorok skaláris szorzata zérust ad ( x, y = 0)
,
akkor az elemeket egymásra ortogonálisaknak mondjuk.
- Az L lineáris operátort szimmetrikusnak nevezzük, ha teljesül rá az alábbi feltétel:
Lu, v = Lv,
u . (F.94)
- Az L lineáris operátor pozitív, ha szimmetrikus és minden u-ra:
, 0 Lu u ≥ .
Az egyenlőség csak u = 0 esetén teljesülhet.
- A kvadratikus funkcionál minimumtétele: Ha L szimmetrikus operátor, akkor az
Lu=f egyenlettel definiált peremérték-feladatnak létezik egy másik, az eredeti
peremérték-feladattal matematikailag egyenértékű variációs megfogalmazása:
1
F( u) = Lu, u − f , u . (F.95)
2
Amennyiben a peremérték-feladatnak van egy (peremfeltételeket is kielégítő) u
0
megoldása, akkor ez a megoldás stacionáriussá teszi az adott F(u) funkcionált. Ha
az operátor pozitív, akkor a funkcionálnak minimuma van.
A tétel fordítva is megfogalmazható: a funkcionált minimalizáló (vagy
stacionáriussá tevő) u
0
függvény mindig megoldása lesz az eredeti peremértékfeladatnak.
A görbület definíciója
Mivel ezen tárgy felületszerkezetekkel foglalkozó két fejezetében kiemelten fontos szerephez
jut a görbület fogalma, emlékeztetőül – nagyon röviden – megismétlünk néhány
alapfogalmat (további fontos részletek találhatók felületekről és a görbületek számításának
11 sorszámú BSc tankönyv 12. és 13. fejezetében,
technikájáról a [ 10 ] alatti honlapon, az [ ]
illetve a [ 12 ] alatti könyvben).
A görbület fogalma
A görbületnek a matematikában többféle meghatározása létezik. Mi a továbbiakban az egyik
legegyszerűbb, de mérnöki céljainkra megfelelő változatot használjuk, nevezetesen a
görbület egy adott felület adott pontjában az ott érintő síktól (görbék esetén az adott pontban
érintő egyenestől) való eltérést méri.
Illusztráló példaként ([ 10 ] alapján) egy síkgörbén mutatjuk be a görbület értelmezését:
10.06.20. 266

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
a./ Általános definíció
b./ Kör görbülete
F. 7. ábra: A görbület fogalmának definiálása
Az F.7/a ábra alapján látható, hogy a T egységvektor a görbén mozogva folyamatosan
elfordul. Görbületnek nevezzük az egységnyi elmozduláshoz tartozó elfordulás mértékét (s az
ívhossz szerinti koordináta a képletben):
dT
k = .
(F.96)
ds
A „b” ábrán a P pontban egy kör alkotta görbeszakasznál számítjuk a görbületet, amely
ebben az esetben az r sugár reciprokával egyenlő:
1
k kör
= .
(F.97)
r
A főgörbület fogalma
Ha egy felület adott pontján átmenő minden egyes görbénél kiszámítjuk a görbületek értékét,
akkor ezen értékek minimumát és maximumát az adott ponthoz tartozó főgörbületeknek
hívjuk és k1,
k
2
változókkal jelöljük:
k = k , k = k
(F.98)
Az F.8-as ábrán ([ ]
1 max 2 min
10 alapján) bemutatjuk egy elliptikus hiperboloid nyeregpontjához tartozó
főgörbületi síkokat:
Normálisvektor
Főgörbületi síkok
F.8. ábra:
Főgörbületek
Érintősík
10.06.20.
267

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
B./ Mechanikai rendszerek modellezésének lehetséges változatai
A különböző mechanikai modellezési stratégiák alapfeltevéseinek ismerete segít a közöttük
történő választásban. Az alábbi – teljesnek semmiképpen nem tekinthető – felsorolás ezt
kívánja megkönnyíteni.
- Klasszikus kontinuummechanikai modellezés
A legfontosabb jellemzője ennek a modelltípusnak a folytonosság feltételezése.
Folytonos maga az anyag, amit vizsgálunk (egymáshoz végtelenül közel
elhelyezkedő pontok sokasága építi fel) és folytonosak azok a matematikai függvények
(elmozdulás, sebesség, gyorsulás, feszültség, alakváltozás), amelyeket a közeg
(szerkezet) mechanikai számításánál figyelembe veszünk.
Szingularitásokat (torzulások a folytonos alakváltozási és feszültségmezőkben
lyukaknál, repedéseknél, koncentrált erőknél, stb.) ez a modell alapvetően nem kíván
figyelembe venni, legfeljebb ezen helyek izolált (elkülönített) kezelésével.
A folytonosság feltételezésének másik fontos következménye, hogy ezzel a modellel
nem tudunk fragmentációs (széttöredezési, szétesési) jelenségeket követni, hiszen
ilyen jelenségeknél maga a vizsgált tartomány hull szét különböző részekre.
Fenti megállapítások azt jelentik, hogy ezt a modellezést olyan esetekben célszerű
választani, amikor sem térben, sem időben nem kérdőjelezhető meg a vizsgált
szerkezet anyagi folytonossága. Homogén anyagú rugalmas, képlékeny és viszkózus
jelenségek (vagy ezek kombinációjának) modellezésére használható elsősorban a
kontinuummechanikai leírásmód.
Megjegyezzük, hogy történetileg a klasszikus kontinuummechanika tekinthet vissza a
legrégebbi alkalmazásra, már a XVIII. században ilyen modellekkel dolgozott Euler
vagy a francia mechanikai iskola számos képviselője.
- Diszkrét elemes modellezés 227
A mechanikai modellezés kontinuummechanikától alapvetően eltérő másik „végletét”
a diszkrét elemes modellezés jelenti. Ebben a leírásmódban az anyag egyáltalán nem
folytonos, hanem elkülönült részek halmazából áll, és ezen részek kölcsönhatását leíró
matematikai egyenletek segítségével kell a mechanikai viselkedést modellezni. A
részecskék méretétől függően az atomi szinttől kezdve a bolygó méretű
halmazelemekig számtalan változat létezik ma már. A diszkrét elemes mechanika
elsősorban az eleve laza (laza talaj, darabos termények, porok, stb.) vizsgálatára, vagy
a terhelés során széttöredező (fragmentálódó) anyagok elemzésére használható
előnyösen.
Néhány – mérnöki szempontból érdekesebb – változat:
o Molekuláris dinamika
Ez a legrégibb modell, 1957-ben alkotta meg Berni Alder és Thomas
Wainwright. Kezdetben főleg az anyag atomfizikai szintű viselkedésének
227 Megjegyezzük, hogy az MSc tárgyak között a Tartószerkezetek Mechanikája Tanszéken ezzel a
témakörrel külön előadás foglalkozik „Diszkrét elemes modellezés” címmel.
10.06.20. 268

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
leírására használták, de ma már makro-modellezésben is találkozhatunk
vele. A részecskéket kör (gömb) alakú szemcsék modellezik, a szemcsék
között kizárólag nyomóerők adódhatnak át, és a részecskék általában nem
képesek összetapadásra.
o Kör (gömb) alakú (makroméretű) részecskékből álló halmazok
Elsősorban abban különbözik az előző változattól, hogy a részecskék
szilárd anyagot is képesek modellezni, összetapadhatnak, szétválhatnak és
szükség esetén esetleg újból összetapadhatnak, vagyis a legkülönbözőbb
kapcsolati erők közvetítésére alkalmas a kötésük.
Peter Cundall amerikai építőmérnök fejlesztett ki ilyen típusú modelleket
1979-től kezdődően.
o Poligon (poliéder) alakú (makroméretű) részecskékból álló halmazok
Elvileg megegyezik a második változattal, de tetszőleges alakú szemcséket
képes figyelembe (ez a tényleges számításnál nagyon komoly eltéréseket
jelent, ezért is szokták élesen elkülöníteni az előzőtől!). Ugyancsak Peter
Cundall modelljei voltak az első használható változatok.
- Átmeneti modellek
Az átmeneti modellek a kontinuummechanikai feltételrendszer („minden folytonos”)
és a diszkrét elemekkel történő leírás („minden diszkrét”) közötti átmenet különböző
változatait jelentik. Sokféle formájuk van, csupán néhányat említünk közülük:
o Cosserat-kontinuum
Az 1900-as évek elején a kiváló francia matematikus, Eugene Cosserat
(1866 – 1931) mérnök testvérével együtt a klasszikus kontinuummechanika
módosítását javasolta, elméletükben az egyes anyagi
pontokhoz az eltolódási szabadságfokok mellett elfordulási változókat is
hozzá lehet rendelni. Inhomogenitások jellemzésére, kisméretű szerkezet
modellezésére az utóbbi évtizedekben sokan használják, numerikus
alkalmazásai is léteznek.
o Mindlin-kontinuum
Raymond David Mindlin (1906 – 1987) amerikai mérnök a Cosseratkontinuum
általánosítását javasolta 1936-ban. Az egyes pontokhoz rendelt
kinematikai szabadságfokok száma itt lényegesen nagyobb, a feszültségés
alakváltozástenzorok sem szimmetrikusak többé, így a matematikai
leírásmód lényegesen bonyolultabbá válik. Szemcseméret szintű
mechanikai vizsgálatoknál (például talajmechanikában) használják.
o Nemlokális kontinuum
A klasszikus kontinuummechanikával ellentétben itt nem lehet végtelen
kicsi méretű elemi cellákkal végzett műveletekre építeni a fizikai
10.06.20. 269

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
egyenleteket, az elemi tartományok véges méretűek. A feszültségek és
alakváltozások számításánál mindig egy adott környezet térfogati átlagát
veszik figyelembe. Ez a modell kiválóan alkalmas makroszinten is
heterogén anyagok (betonok, kőzetek, stb.) vizsgálatára, és széleskörűen
használják repedések környezetének elemzésére.
Az első változatokat a fizikában Voigt publikálta 1893-ban, de mérnöki
gyakorlati alkalmazásokra csak a huszadik század hatvanas éveinek került
sor (kiemelkedő Eringen és Bazant amerikai kutatók munkássága ezen a
téren).
o Perydinamikai-kontinuum
A legújabb (2000 környékén keletkezett, és ma még elsősorban csak
elméleti jellegű) modell a hagyományos kontinuummechanikai modell
differenciál-egyenletrendszer jellegű matematikai bázisát
integrálegyenletekkel helyettesíti, így elkerülhetők a rendszerben jelenlevő
szingularitások (pl. a repedések) elkülönített kezelése. Eddig elsősorban
törésmechanikai alkalmazásai ismertek.
Az átmeneti modellek mindegyike a kontinuummechanikában alkalmazott szoros
feltételrendszert kívánja feloldani valamilyen módon: a szabadságfok növelésével, a
heterogenitás figyelembevételével, a szinguláris feszültségi helyek számításba történő
bevonásával, stb.
C./ Megjegyzések a szilárdságtan munka- és energiatételeihez
A BSc Szilárdságtanban megismerkedtünk a különböző munkafogalmakkal és ezek variációs
egyenletekben (munkatételekben) való alkalmazásával. Most két – ott elhangzott – munkaés
egy energiatételhez fűzünk megjegyzést, hogy hangsúlyozzuk ezek fontosságát:
a./ Virtuális elmozdulások tétele
Írjuk fel a vizsgált mechanikai szerkezet S határoló felületére felírt munka képletét, és
alakítsuk át a Cauchy-összefüggés segítségével a felületen működő t erőket
feszültségekké :
t δ u dS = σ n δ u dS = σ δu n dS
∫ ∫ ∫ . (F.99)
i i ji j i ji i j
S S S
A Gauss-tétel alkalmazásával írjuk ezt át térfogati integrállá:
σ δ u n dS = σ δ u dV = σ δ u dV + σ δu dV
∫ ji i j ∫ ( ji i ),
j ∫ ji, j i ∫ ji i,
j
. (F.100)
S V V V
Az utolsó egyenlőségben szereplő két integrál közül most csak a másodikkal
foglalkozzunk, megjegyzésünk szempontjából az első nem fontos. Alakítsuk át ezt a
következőképpen:
1 1
∫ σ
jiδ ui, j
dV = ∫ ( σ
jiδ ui, j
+ σi jδ u
j, i ) dV = σi j ( δ ui, j
+ δ u
j,
i ) dV = σi jδεi jdV
2
∫
2
∫ .
V V V V
(F.101)
Látható, hogy a munka értékének számításakor a – tetszőleges (!) – elmozdulások
kicsiny variációját használtuk. Ez azt igazolja, hogy a virtuális elmozdulások
tételének alkalmazásakor a – tetszőleges anyagi viselkedés mellett – az
10.06.20. 270

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
alakváltozások típusa is tetszőleges lehet, vagyis a tételt alkalmazhatjuk nagy
alakváltozások esetében is.
b./ Virtuális erők tétele
Ismételjük meg az előbb bemutatott eljárást virtuális erők esetében:
δ t u dS = δσ n u dS = δσ u n dS
∫ ∫ ∫ . (F.102)
i i ji j i ji i j
S S S
Újból felhasználjuk a Gauss-tételt:
δσ u n dS = δσ u dV = δσ u dV + δσ u dV
∫ ji i j ∫ ( ji i ),
j ∫ ji, j i ∫ ji i,
j
. (F.103)
S V V V
Most is csak a második integrál fontos számunkra:
1 1
δσ
jiδ ui, j
dV = ( δσ
jiui, j
+ δσ
i ju j, i ) dV = δσ
i j ( ui, j
+ u
j,
i ) dV = δσi jεi jdV
2 2
∫ ∫ ∫ ∫ .(F.104)
V V V V
Az itt kapott képlet nagyon hasonló az előzőhöz, de tartalmát tekintve van egy
lényeges különbség: a feszültségek kicsiny variációját szorozzuk az elmozdulásgradiens
segítségével kapott alakváltozás-tenzorral. Ez azonban csak akkor ad
fizikailag értelmes értékét, ha a két mennyiség energia-értelemben egymással
kompatibilis, vagyis a virtuális erők tételét kizárólag kicsiny alakváltozások
esetében lehet alkalmazni.
Az elmondottak illusztrálására nézzük a következő egyszerű példát:
Példa: Az ábrán egy eredeti helyzetéből elmozdult, de már egyensúlyban lévő, merev
gerendát látunk, amire függőleges koncentrált erő és egy spirálrugó hatására keletkező
támasznyomaték 228 működik:
F.9. ábra: Virtuális erők tételének vizsgálata
Számítsuk ki a komplementer energia értékét:
δΠ % = δΠ % = θδ M + v δ F = 0 .
Írjuk fel a gerendára vonatkozó egyensúlyi egyenletet:
M + F l cos θ = 0 .
Ugyanez virtuális dinámokkal:
δ M + δF l cos θ = 0.
k
Fejezzük ki innen δ M értékét és írjuk be a kiegészítő munka képletébe:
δΠ % = ( −θl cos θ + v)
δ F y
= 0 .
y
y
y
228 Megjegyezzük, hogy a feladat szempontjából most közömbös, hogy a támaszrugó lineáris, vagy
nemlineáris fizikai viselkedésű.
10.06.20. 271

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Az eltolódás és elfordulás közötti (zárójelben lévő kifejezésből adódó) kapcsolati
egyenlet csak akkor igaz, ha mozgás kicsiny, hiszen ilyen esetben cos θ ≈ 1 és v = l θ .
Minden más esetben nem kompatibilisek egymással a tétel alapján vizsgálható
elmozdulások.
c./ Castigliano második tétele
Ez az eljárás – a virtuális erők tételéhez hasonlóan – arra alkalmas, hogy egy statikai
terhekkel, előírt deformációkkal és támaszmozgásokkal terhelt, rugalmas anyagú
szerkezet valamely pontjában a létrejövő eltolódás- vagy elfordulásvektor tetszőleges
irányú komponensét meghatározzuk.
Jelölje például P1 , P2
,......, P
m
a szerkezetre ható koncentrált terheket 229 . A terhek
támadáspontjai a terheletlen, deformálatlan állapothoz képest elmozdulhatnak. Jelölje
a továbbiakban u1, u2,......, u
m
a támadáspontokban a terheknek megfelelő irányú
elmozdulás-komponenseket 230 .
A szerkezet statikailag határozott vagy határozatlan egyaránt lehet. A reakciókat
jelölje R1 , R2,.., Rn , Rn+ 1,...,
Rn+ r
, ahol r a statikai határozatlanság foka, n pedig annyi,
ahány független egyensúlyi egyenlet írható fel az adott szerkezetnél (például általános
síkbeli erőrendszer esetén n=3 , általános térbeli erőrendszernél pedig n=6).
Az R1 , R2
,.., R
n
reakciók legyenek olyanok, hogy statikailag határozott megtámasztást
biztosítsanak (ez lényegében egy statikailag határozott „törzstartó” felvételének
tekinthető), R ,..., 1
R pedig az r darab „redundáns” reakció. A támaszoknál
n+ n+ r
legyenek adottak az előírt eɶ 1, eɶ 2,...., eɶ n, eɶ n+ 1,....,
eɶ n+
r
támaszmozgások 231 . Célunk a P
i
teher támadáspontjánál létrejövő u
i
elmozdulás meghatározása.
A terheletlen állapothoz viszonyított kiegészítő potenciált a P1 , P2
,......, P
m
statikai
terhek és az R ,..., n+ 1
Rn+ r
redundánsok, mint független változók függvényében
írhatjuk fel (a törzstartó reakcióit a statikai terhekből és a redundánsokból egyensúlyi
egyenletek segítségével ki tudjuk fejezni):
Π ɶ = Πɶ ( P,..., P , R ,...., R )
(F.105)
1 m n+ 1 n+
r
Vizsgáljuk meg, hogyan változik a külső és belső kiegészítő potenciál, ha a P
i
terhet
∆P i
-vel megváltoztatjuk. A keresett állapothoz tartozó u
i
elmozdulás a ∆ Pi
tehernövekményen ui
∆ Pi
kiegészítő munkát végez. A törzstartó reakcióin, amelyek
∆R1 , ∆R2,..., ∆ Rn
mértékben változnak meg azért, hogy a megváltozott teherrel fenn
tudják tartani az egyensúlyt, az előírt támaszmozgások végeznek kiegészítő munkát,
így a külső potenciál növekménye:
k i i j j
j=
1
n
∑
∆Π ɶ =−u ∆P − eɶ ∆R
(F.106)
229 Megjegyezzük, hogy a tétel megoszló terhekre is általánosítható, de ezzel most az egyszerűség
kedvéért nem foglalkozunk.
230 Ha P
i
erő, akkor u
i
eltolódást, ha pedig P
i
nyomaték, akkor u
i
elfordulást jelent.
231 Mint látni fogjuk, a „törzstartó” támaszainál ezeknek zérus értékűeknek kell lenniük ahhoz, hogy
a tétel érvényes legyen.
10.06.20. 272

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
A belső kiegészítő potenciál szintén megváltozik, hiszen a szerkezeten ébredő
feszültségek és a reakciók P
i
változása miatt módosulnak:
∆Π ɶ
b
= Π ɶ
b( P1 , P2 ,..., Pi − 1, Pi +∆Pi , Pi + 1,... Pm , Rn+ 1... Rn+
r
) −
(F.107)
−Πɶ
( P, P ,..., P , P, P ,... P , R ... R )
b 1 2 i− 1 i i+ 1 m n+ 1 n+
r
Mivel a Pi
-hez tartozó, általunk keresett állapotba vivő u1,...., um, eɶ 1,....,
e ɶ
n + r
elmozdulás-rendszernek kompatibilisnek kell lennie, teljesül a kiegészítő potenciális
energia tétele, vagyis igaz a
∂Π ɶ ∂Πɶ
k
∂Πɶ
=
b
0 ⇒ + = 0
(F.108)
∂Pi ∂Pi ∂Pi
összefüggés.
Követeljük meg most azt is, hogy mindazoknál a támaszoknál, amelyek a törzstartón
szerepelnek, az eɶ előírt támaszmozgások zérus értékűek legyenek. Ekkor a külső
j
kiegészítő potenciál megváltozásából a törzstartó támaszaihoz tartozó rész zérus:
n
∑e
ɶ j∆ Rj
= 0 , (F.109)
j=
1
és így:
⎛ ∆Pi u ⎞
i
∆Πɶ
b
lim − lim 0,
∆P→0 P
+ =
(F.110)
⎜ ⎟ ∆P→0
⎝ ∆
i ⎠ ∆Pi
azaz:
∂Πɶ
b ( P1 , P2 ,..., Pm , Rn+ 1,....
Rn+
r )
= ui
. (F.111)
∂Pi
Ezt az összefüggést nevezzük Castigliano második tételének.
Néhány további megjegyzés:
- Ahhoz, hogy a tételt használni tudjuk, először a reakciókat és a belső erőket ki
kell fejeznünk a terhek és – statikailag határozatlan tartó esetén – a redundáns
erők függvényében. Határozott szerkezetek esetén a szokásos egyensúlyi
egyenletek, határozatlan tartón pl. erőmódszer (vagy a kiegészítő potenciális
energia tétele) segítségével állapíthatjuk meg, hogyan függenek a reakciók és a
belső erők P -től. Csak ezután kezdhetünk hozzá a tétel alkalmazásához.
i
- Az előírt támaszmozgásoknak a törzstartó támaszainál zérus értékűeknek kell
lenniük. Ha tehát a vizsgált szerkezet határozott, akkor egyik támasz sem
mozdulhat el, ha pedig statikailag határozatlan, akkor csak olyan támaszmozgásrendszer
esetén érvényes a tétel, amikor az el nem mozduló támaszokkal
határozott törzstartót lehet kialakítani.
- Ha a szerkezet anyaga lineárisan rugalmas és nincsenek a tartón kezdeti
alakváltozások, akkor a belső potenciál és a belső kiegészítő potenciál egyenlő. A
szakirodalomban ezért néha nem a belső kiegészítő potenciált, hanem a belső
potenciált, tehát a szerkezet anyagában felhalmozódott alakváltozási energiát
használják a tételben.
10.06.20. 273

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
D./ A Hamilton-elv 232
A fizika számos területén (klasszikus mechanika, elektromosságtan, kvantummechanika, stb.)
alkalmazzák azt az (eredetileg mozgások vizsgálatára kidolgozott) variációs elvet, amelynek
első változatát először Pierre-Louis Moreau de Maupertius (1698 – 1759) francia
matematikus és filozófus dolgozta ki, később Euler és Lagrange is foglalkozott vele, de ma
ismert alakjában William Rowan Hamilton ír matematikustól származik (publikációja adatait
lásd a 12. fejezetben).
Az elv fizikai lényege eredeti formájában a következő:
A Hamilton-elv a mozgás természetéről tett állítás, amiből egy erőhatás alatt álló test
pályája meghatározható, illetve a kölcsönhatás és átalakulás egyenletei levezethetők. A
befutott pálya az elv szerint olyan, amelynek mentén számított hatás stacionárius, azaz a
pálya kicsiny odébb tolására nem változik.
Ha egy anyagi részecske pályáját a t idő függvényében x( t)
-vel, sebességét x&
( t)
-vel jelöljük,
akkor a segítségükkel felírható ún. Lagrange-függvény ( L( x( t), x& ( t), t)
ezek függvénye 233
lesz. A részecske t0 és t
1
időpontok (illetve x( t0) és x( t
1)
helyek) között befutott „valódi”
pályáját úgy találhatjuk meg, hogy a Lagrange-függvénnyel felírt
hatásintegrál stacionaritási feltételét:
t1
S = ∫ L( x( t), x& ( t), t)
dt
(F.112)
t0
vizsgáljuk 234 .
S = stac.
(F.113)
Megjegyezzük, hogy az L Lagrange-függvény a fizika egyes területein sokféle alakban
felírható. Az általános modellekkel nem foglalkozunk, csak a mi szilárdtest-mechanikai
feladataink számára fontos változatot adjuk meg, ennek felépítését azonban az alábbiakban
kissé részletesebben fogjuk elemezni.
Vizsgáljunk meg egy kis rezgéseket végző szilárd testet Euler-bázisban és írjuk fel a
mozgásegyenletét ( g
i
a rendszerre ható tömegerőket jelenti, u
i
az elmozdulásokat jelöli, ρ a
pillanatnyi sűrűség és t az időváltozó):
2
∂ ui
σ
ji, j
+ gi
= ρ (F.114)
∂
2
t
Alkalmazzunk erre a rendszerre a testet határoló S
u
részfelületen 235 homogén
peremfeltételeket teljesítő δ ui
virtuális elmozdulásmezőt, és írjuk fel a térfogati és felületi
erők által végzett virtuális munkát:
232 Egyes fizikai munkák a „stacionárius hatás elv”-ének, vagy röviden „hatáselv”-nek is nevezik.
233 Beleértve az explicit időfüggést is.
234 Megjegyezzük, hogy ha a rendszerben konzervatív erők (ilyen például a gravitációs és nem
ilyenek a súrlódási erők) hatnak, akkor a mozgási energia és a helyzeti energia különbségeként
megválasztott Lagrange-függvény a helyes Newton-törvényekhez vezet.
235 Az S
t
részfelületen pedig most is erő jellegű peremfeltételeket írunk elő t i
értékkel.
10.06.20. 274

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
∫ g δ u dV + ∫ t δu dS . (F.115)
V
i i i i
S
A második integrált alakítsuk át a peremfeltételek és a Gauss-tétel segítségével:
t δ u dS = σ n δ u dS = σ δ u dV = σ δ u dV + σ δu dV
∫ i i ∫ i j j i ∫ ( i j i ),
j ∫ i j, j i ∫ i j i,
j
. (F.116)
S S V V V
Használjuk most fel az (F.114) alatti egyenletet, a geometriai egyenleteket valamint a
feszültségtenzor szimmetriáját az (F.116)-ben lévő utolsó egyenlőség utáni két tag
átalakítására. Ez a két tag az átalakítás után:
∫
2
⎛ ∂ u ⎞
i
⎜ρ − g
2 i ⎟ δ ui dV + σi jδεi j
dV
∂t
∫ . (F.117)
V ⎝ ⎠
V
Ezt visszaírva megkapjuk a mozgásokra érvényes variációs egyenletet:
∫
2
⎛ ∂ u ⎞
i
σi jδε i j
dV = ∫ ⎜ gi − ρ u
2 ⎟δ i
dV + ti δui
dS
∂t
∫ . (F.118)
V V ⎝ ⎠
S
A bal oldal nem más, mint az elemi alakváltozási energia variációja:
∫
2
e
⎛ ∂ u ⎞
i
δΠ
b
dV = ∫ ⎜ gi − ρ u
2 ⎟δ i
dV + ti δui
dS
∂t
∫ . (F.119)
V V ⎝ ⎠
S
Ez tovább alakítható a külső terhekre vonatkozó peremfeltételek segítségével:
∫
2
e
⎛ ∂ u ⎞
i
δΠ
b
dV = ∫ ⎜ gi − ρ u
2 ⎟δ i
dV + ti δui
dS
∂t
∫ . (F.120)
V V ⎝ ⎠
St
Következő lépésként vegyük figyelembe, hogy a δ ui
virtuális elmozdulások az időnek is
függvényei és ennek megfelelően integráljuk az (F.119) alatti egyenletet két tetszőleges, de
egymást követő időpont között:
t1 t1 t1 t1
2
e
∂ ui
∫∫ δΠ
b
dV dt = ∫∫ giδ ui dV dt + ∫ ∫ tiδui dS dt −∫∫ ρ δu 2 i
dV dt (F.121)
∂t
t0 V t0 V t0 St
t0
V
Parciális integrálással számítsuk ki a jobb oldal utolsó tagjának határozott integrálját
(jelöljük J-vel):
t1
t
∫ 1
∂ui ∂ui ⎛ ∂δui
∂ρ ⎞
i
i
∂t ∫∫ ∂t ⎜
∂t ∂t
⎟
V
t t
0 0 V ⎝
⎠
. (F.122)
J = ρ δu dV − ρ + δu dV dt
A második tagnál a zárójelben levő, idő szerinti sűrűségderivált a tömegmegmaradásból
következő
∂ρ ∂( ρu&
= −
i )
(F.123)
∂t
∂xi
feltétel miatt elhagyható, hiszen ha (F.123)-at visszaírjuk a zárójelbe, akkor a második
zárójeles tag egy nagyságrenddel kisebb lesz, mint az ott szereplő első komponens.
Ha azt is figyelembe vesszük, hogy a kezdeti és végső időpontban az elmozdulás-variációk
értéke zérus, akkor a J kifejezés értéke a következő lesz:
t1 t1 t1
t
∂ui ∂δui ∂ui ∂ui 1 ∂ui ∂ui
∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ .(F.124)
J = − ρ dV dt = − ρ δ dV dt = − δ ρ dV dt = − δK dt
∂t ∂t ∂t ∂t 2 ∂t ∂t
t0 V t0 V t0 V t0
K-val a vizsgált rendszer kinetikus energiáját jelöltük. Írjuk ezt vissza az (F.120) alatti
egyenletbe, és vegyük figyelembe, hogy a rendszer teljes belső potenciális energiája az elemi
energia térfogati integráljaként kapható:
10.06.20. 275

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
t1 t1 t1
( )
∫ δ Π − K dt = ∫∫ g δ u dV dt + ∫ ∫ t δu dS dt . (F.125)
b i i i i
t0 t0 V t0 St
Figyelembe véve, hogy a jobb oldalon most a test teljes külső potenciális energiájának
ellentettje szerepel, végül a variációs egyenlet a következő alakú lesz:
t1
t0
( teljes )
δ∫ Π − K dt = 0 . (F.126)
Az (F.126)-os képlet szerint tehát jelen esetben az L Lagrange-függvény:
L = Π − K . (F.127)
teljes
Megjegyezzük, hogy sok munkában ennek a függvénynek az ellentettjével (negatív L-lel)
végzik el a számításokat. Ez – mivel csak stacionaritási feltételt vizsgálunk – nem okoz
gondot a feladat megoldásánál.
Az (F.127) alatti formában tehát a Hamilton-elv azt mondja, hogy egy dinamikai feladatnál
az S
u
részfelületen előírt peremfeltételeket kielégítő, valamint a kezdeti és végső időpontban
a test adott helyzetének megfelelő állapotokat teljesítő dinamikai pályák közül az lesz az
igazi, amelyik az adott Lagrange-függvényt stacionáriussá teszi.
E./ A feszültség- és alakváltozás-szimbólumok változása a mechanika
történetében
Mivel – főleg történeti okokból – egyes könyvekben az általunk használt szimbólumoktól
eltérő jelölésekkel is találkozhatunk, amikor a szerzők a feszültségeket, vagy az
alakváltozásokat használják a különféle egyenletekben, ezért ebben a pontban röviden
bemutatjuk a két alapvető mechanikai változó jelölésének az elmúlt évszázadokban
használatos ismertebb változatait. A tenzorok szimmetrikus voltát mindig feltételezzük, ezért
csak a főátlót és a fölötte levő elemeket adjuk meg. Valamennyi tenzor a kicsiny
változásokhoz tartozó állapotok leírásához tartozik.
a./ Alakváltozások
⎡ex x
ex y
e ⎤
x z
- Stokes 236 ⎢
⎥
jelölése a XIX. század közepéről: ε = ⎢ . ey y
ey z ⎥ .
⎢ . . e ⎥
⎣
z z ⎦
Sok mai munkában is előfordul ez a változat.
⎡e c b⎤
- Lord Kelvin 237 jelölése a XIX. század végén: ε =
⎢
. f a
⎥
⎢ ⎥
.
⎢⎣
. . g⎥⎦
A fizikusok sokáig használták, de a mérnökök körében nem terjedt el.
236 Cambridge Phil. Soc, Trans, Vol. 8, Math. and Phys. papers, Vol 1. pp. 75., 1845. Stokes-ról lásd
a 23-as lábjegyzetet.
237 „Elements of a Mathematical Theory of Elasticity”, Phil. Transactions, Vol. 146, pp. 481-498,
London, 1859. Kelvin-ről lásd a 6. fejezet lábjegyzetét.
10.06.20. 276

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
⎡xx x
y
x
z ⎤
- Kirchhoff 238 szimbólumrendszere: ε =
⎢
. yy
y
⎥
⎢
z ⎥
.
⎢⎣
. . z ⎥
z ⎦
Csak fizikusok illetve az elméleti rugalmasságtannal foglalkozók alkalmazták néhány
évtizedig a XIX. században.
⎡δ
x
gx y
gx z ⎤
- Saint-Venant 239 jelölése: ε =
⎢
. δ
y
g
⎥
⎢
y z ⎥
.
⎢⎣
. . δ ⎥
z ⎦
Bár a kiváló francia tudós a XIX. század közepén és második felében szinte minden más
kortársánál többet tett a szilárdságtan akkori eredményeinek összefoglaló jellegű
tisztázásáért és az elméleti alapok „rendbetételéért”, azonban ezt a jelölést rajta kívül
szinte senki nem alkalmazta.
⎡sx σ
x y
σ ⎤
x z
- Pearson 240 ⎢
⎥
jelölése: ε = ⎢ . sy
σ
y z ⎥ .
⎢ . . s ⎥
⎣
z ⎦
Pearson munkái ma is az aktívan használt anyagok közé tartoznak, ezt a sajátos
alakváltozásrendszer-jelölést azonban nem használta néhány kortárs angol szerzőn kívül
senki.
⎡ 1 1 ⎤
⎢ε x
γ
x y
γ
x z
2 2 ⎥
⎢
⎥
- Kármán Tódor 241 1
alakváltozásai: ε = ⎢ . ε ⎥
y
γ
⎢
y z
.
2 ⎥
⎢
. .
⎥
⎢
ε
z ⎥
⎢⎣
⎥⎦
Ezt az 1910-ben bevezetett jelölésrendszert alkalmazza ma világszerte a mechanikát
használók döntő többsége!
b./ Feszültségek
- Kelvin és Kirchhoff jelölései (a vonatkozó publikációk megegyeznek az
⎡X x
X
y
X
z ⎤
alakváltozásoknál említettekkel): σ =
⎢
. Yy
Y
⎥
⎢
z ⎥
.
⎢⎣
. . Z ⎥
z ⎦
238
„Vorlesungen über mathematische Physik”, Band I„Mechanik”, pp. 110-124, 1876. Kirchoff
adatait lásd a 4. fejezet lábjegyzetében. Külön életrajz is olvasható róla a tanszéki honlapon.
239 „Théorie de l’élasticité des corps solides de Clebsch”, Párizs, 1883. Saint-Venant-ról lábjegyzet
található a második fejezetben illetve életrajz a tanszéki honlapon.
240 Karl Pearson (1857 – 1936) kiváló angol matematikus, a matematikai statisztika tudományának
egyik megalapítója, a [ ] 14 alatti mű egyik szerzője. Jelölésrendszerét az idézett mű első kötetének
„B” függelékében vezette be (pp. 881-885).
241 Szőllőskislaki Kármán Tódor (Theodore von Kármán, 1881 – 1963) magyar származású –
Műegyetemen végzett – kiváló mérnök és fizikus. Az aerodinamika és aeronautika területén alkotott
jelentőset. Hivatkozott munkája: „Festigkeitsprobleme im Maschinenbau”,(in: „Encyklopädie der
mathematischen Wissenschaften”, Band IV., Heft 3.), 1910.
10.06.20. 277

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Ezt a jelölést nagyon sokáig, egészen a XX. század közepéig használta a német, francia
és orosz nyelvű szakirodalom.
⎡P U T ⎤
- Kelvin 242 és Tait másik javaslata a feszültségek jelölése: σ =
⎢
. Q S
⎥
⎢ ⎥
.
⎢⎣
. . R⎥⎦
Fizikusok használták a XIX. század végén.
⎡N1 T3 T2
⎤
- Lamé 243 indítványa: σ =
⎢
. N2 T
⎥
⎢
1 ⎥
.
⎢⎣
. . N ⎥
3 ⎦
A betűjelek a normál- és nyírófeszültségi komponensekre utalnak. Csak a francia
szakirodalomban használták, ott is csak a XIX. században.
- Saint-Venant javaslata (a publikáció megegyezik az alakváltozás-jelöléseknél
⎡tx x
tx y
t ⎤
x z
⎢
⎥
idézettel): σ = ⎢ . t
y y
t
y z ⎥ .
⎢ . . t ⎥
⎣
z z ⎦
Egyes fizikusoknál ma is előbukkan, de mérnökök csak elvétve használják.
- Pearson indítványa (a publikáció megegyezik az alakváltozás-jelöléseknél idézettel):
⎡xx xy xz ⎤
⎢
⎥
σ = ⎢ . yy
yz
⎥ .
⎢
. . zz
⎥
⎢⎣
⎥⎦
Matematikusok munkáiban a XX. század elejéig előfordult, mérnökök ritkán használták.
⎡σx τxy τ ⎤
xz
⎢
⎥
- Kármán Tódor feszültségei (hivatkozás, mint előbb): σ = ⎢ τyx σy τyz
⎥ .
⎢τzx τzy σ ⎥
⎣
z ⎦
Ezt az 1910-ben bevezetett jelölésrendszert alkalmazza ma a mechanikát használók
többsége!
Néhány további történeti megjegyzés a mechanikai alapváltozókkal kapcsolatban:
- A „nyírás” elnevezést először Kelvin és Tait használta a [ 37 ] alatti lábjegyzetben
idézett munkában.
- A Young-modulust először Navier említi ezen a néven, de széles körben
ugyancsak Kelvin és Tait publikációja nyomán terjedt el. Kármántól származik
viszont az „E” betűvel való jelölés, ezt ma szerte a világon így használják. A „G”
jelölést a nyírási rugalmassági modulusnak Saint-Venant adta (bár főleg Kármán
hatására terjedt el ezzel a jelöléssel).
242 A szerzőtárs: Peter Guthrie Tait angol mérnök: „General Theory of the Equilibrium of an Elastic
Solid”, Treatise on Natural Philosophy, Part II, pp.573-741, 1883.
243 „Lecons sur la mathématique de l’élasticité des corps solides”, Párizs, 1852. Lamé életének
adatairól lásd a 10. fejezet lábjegyzetét és a tanszéki honlapon lévő életrajzot.
10.06.20. 278

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
- Az anyagmodellek ma szokásos felírási módját (negyedrendű kapcsolati tenzorok
14 alatti munkájában, tőle vették
felhasználásával) először Pearson alkalmazta [ ]
át aztán később más szerzők.
Felhasznált irodalom:
1./ Holzapfel, G. A.: Nonlinear Solid Mechanics, Wiley 2001.
2./ Kurutzné dr. Kovács Márta: Klasszikus és módosított variációs elvek, BME, 2005.
3./ Scharle P.: Bevezetés a tenzorszámításba, ÉTI, 1978.
4./ http://hu.wikipedia.org/wiki/Tenzor
5./ Thomas, G. B. – Weir, M. D. – Hass, J. – Giordano, F. R.: Thomas-féle Kalkulus, I-II.
Typotex, 2006.
6./ Reddy, J. N.: Energy Principles and Variational Methods in Applied Mechanics, John Wiley,
2002.
7./ Richards, T. H.: Energy Methods in Stress Analyis, John Wiley 1977.
8./ Mang, H. – Hofstetter, G. : Festigkeitslehre, Springer, 2000.
9./ Popper Gy.: A végeselem-módszer matematikai alapjai, Műszaki Könyvkiadó, 1985.
10./ http://en.wikipedia.org/wiki/Curvature
11./ Thomas, G. B. – Weir, M. D. – Hass, J. – Giordano, F. R. : Thomas-féle Kalkulus, III. kötet,
Typotex, 2007
12./ Szőkefalvi N. Gy. – Gehér L. – Nagy P. : Differenciálgeometria, Műszaki Könyvkiadó, 1979.
13./ Love, A. E. H. : A treatise on the mathemathical theory of elasticity, Dover Publ., 1927.
14./ Todhunter, I. – Pearson, K. : A history of the theory of elasticity and of the strength of
materials, Cambridge Univ. Press, 1886-1893.
15./ Simo, J. C. – Hughes, T. J. R. : Computational Inelasticity, Springer, 1998.
16./ Ibrahimbegovic, A.: Nonlinear Solid Mechanics, Springer, 2009.
17./ Kozák I. – Szeidl, Gy. : Tenzorszámítás indexes jelölésmódban, Miskolci Egyetem, 2009.
18./ Fung, Y. C. – Pin Tong: Classical and computational solid mechanics, World Scientific, 2007.
10.06.20. 279