MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
x( X, t) = X + a(1 − t) Y , y( X, t) = (1 + b) Y , 2 ≤ t ≤ 3 , t = t − 2 .
⎡1 a(1 − t) ⎤ 0
1 1 1 ( 1)
F = , F & ⎡ − a⎤ − ⎡ + b a t − ⎤ 1 ⎡0
−a⎤
⎢ = , F =
,
0 1+ b
⎥ ⎢
0 0
⎥
1+
b
⎢
0 1
⎥ L =
,
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 1+ b
⎢
0 0
⎥
⎣ ⎦
1 ⎡ 0 −a⎤
D=
2(1 + b)
⎢
−a
0
⎥
⎣ ⎦ ,
1 ⎡0 a ⎤ 1 0 0
E= , E= & ⎡ ⎤
2
2
⎢
a a + bt( bt + 2)
⎥
2
⎢
0 2 b( bt + 1)
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
d./ Negyedik fázisból az ötödikbe:
x( X, t) = X , y( X, t) = (1 + b − bt) Y , 3 ≤ t ≤ 4 , t = t − 3 .
⎡1 0 ⎤ 0 0
1 1 1 0 1 0 0
F = , F & ⎡ ⎤ ⎡
= , F + b − bt ⎤ ⎡ ⎤
⎢ − =
, L =
0 1+ b − bt
⎥ ⎢
0 −b ⎥
1+ b − bt
⎢
0 1
⎥
1+ b − bt
⎢
0 −b
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
D = L .
A Green-Lagrange-féle alakváltozás-tenzor az ötödik konfigurációban zérus lesz,
mivel itt ( t = 4− nél ) F = I .
Érdekes kiszámítani a deformáció-sebesség tenzor idő szerinti integrálját a teljes
sorozatot figyelembe véve:
4
1 ⎡0 a⎤ ⎡0 0 ⎤ 1 ⎡ 0 −a⎤ ⎡0 0 ⎤
∫ D( t ) dt =
2
⎢
a 0
⎥ + ⎢ + + =
0 ln(1 + b) ⎥
2(1 + b)
⎢
−a 0
⎥ ⎢
0 − ln(1 + b)
⎥
0
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
ab ⎡0 1⎤
=
2(1 + b)
⎢
1 0
⎥
⎣ ⎦ .
Az integrál zérustól különböző, pedig az ötödik fázis az eredeti állapottal megegyező,
vagyis D nem pontos jellemzője a teljes deformációnak.
Az F gradienstenzor szorzat alakú (poláris) felbontása
Nagy alakváltozásokkal járó egyes folyamatokban – különösen akkor, ha jelentős forgási
hatások is vannak – sokszor célszerű a gradiens tenzort szorzat alakban felbontani. Ezt a
következőképpen hajtják végre:
F = R ⋅ U ,
(2.36)
ahol
-1
T
T
R = R és U = U . (2.37)
Amikor az euleri bázisban óhajtjuk kiszámítani egy vonaldarab hosszát, akkor ezzel a
felbontással az alábbi módon adhatjuk meg egy elemi szakasz hosszát:
dx = R⋅U⋅ dX
, (2.38)
ahol a szimmetrikus U a nyúlási alakváltozásokat jellemzi (megjegyezzük, hogy az U – I
másodrendű tenzort Biot 25 -féle alakváltozási tenzornak nevezik), R pedig a merevtestszerű
elfordulásokat jellemzi. A két vonalelem, dx és dX kapcsolatának leírásához a pillanatnyi és
25 Maurice Anthony Biot (1905 – 1985) belga-amerikai fizikus. A pórusokkal lazított, de egyébként
rugalmas (poroelasztikus) anyagokban lezajló folyamatok modellezésének kiváló kutatója volt,
továbbá viszkoelasztikus anyagokkal és irreverzibilis termodinamikával is sokat foglalkozott.
Magyarul is megjelent Kármán Tódorral együtt írt kiváló könyve: Matematikai módszerek, Műszaki
Könyvkiadó, 1967.
10.06.20. 28