MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Az anyagmodellekben szereplő változók
A klasszikus fenomenológiai modellek az alakváltozások és a feszültségek kapcsolatát írják
le. A megfelelő párok kiválasztásához a termodinamika első főtörvényét kell felhasználnunk,
amely az energia-megmaradás általános elvét fejezi ki: környezetétől elszigetelt
rendszerben – bármilyen folyamatok is mennek végbe a rendszeren belül – az energiák
összege állandó 52 .
Az első főtörvény többféle matematikai alakban is felírható, mi most az alábbi tömör
formában adjuk meg:
K & + U & = P + Q , (5.1)
ahol K a kinetikus energia, U a belső energia, P a külső erők teljesítménye, Q pedig a külső
hőhatás. Az egyenlet bal oldala a szerkezet teljes belső energiájának időbeli megváltozását, a
jobb oldal pedig a külső energia megváltozását jelenti.
Az egyes komponensek Lagrange- és Euler-rendszerben is felírhatók. A továbbiakban a
nullával indexelt tagok a Lagrange-, a nulla nélküliek pedig az Euler-rendszerben adott
változók.
1
1
K = ∫ρ0 v⋅v
dV0
= ∫ρ
v⋅v
dV , U
2
2
∫ ρ = ∫ ρ
0
u dV0
u dV , (5.2)
P
∫
V
0
V
= V0
⋅ v dA + ∫f
⋅ v dV = ∫ T⋅
v dA+
∫ f ⋅ v dV
0 0
, (5.3)
= T
0 0
A
V
0
Q =−
0
∫q ⋅ n
0
dA0
+ ∫ρ0
r dV0
= − ∫q⋅n
dA+
∫
A
V
0
ρr dV . (5.4)
A V A
V
0 0
Ezekben a képletekben v a sebesség vektora, ρ a sűrűség, u (most nem elmozdulást jelöl!)
az egységnyi tömeghez tartozó belső energia, T és f a felületi és térfogati erőket jelentik, q a
szerkezetből kifelé irányítottnak felvett (egységnyi felülethez tartozó) hőáram-vektor, n egy
elemi felület normálvektora, az r függvény pedig a szerkezet belsejében levő, egységnyi
tömegre vonatkozó hőforrás-változás (a hőforrás jelen esetben energia dimenziójú, a rendszer
belsejében levő belső hőtermelő eszköz (pl. elektromos melegítő, kazán, stb.).
Az időbeli változást leíró tagok:
1 d
d
1
K& ⎡
⎤
= ( ρ dV ) ( ρ dV ( ) ρ dV ρ dV
2 ∫ ⎢
v⋅ v + v ⋅ v) = ⋅ + ⋅ = ⋅ =
⎣dt
dt ⎥
⎦ 2
∫ v& v v v& ∫ v v& (5.5)
V V V
= ∫ v⋅(
σ⋅∇+
f) dV .
V
V
52 Ha a rendszer nem zárt, akkor a rendszer energiája pontosan annyival nő, amennyivel a környezeté
csökken (a változás természetesen fordított irányban is érvényes). Megjegyezzük, hogy ennek az
alapvető elvnek a megformálása sok tudós nevéhez fűződik: első nyomai már milétoszi Thalész
munkáiban felbukkantak, Galilei is említi egy változatát egyik publikációjában. Első –
matematikailag is megformált – leírását Gottfried Wilhelm Leibnitznél találjuk, majd Antoine
Lavoisier, Pierre-Simon Laplace, Benjamin Thompson (ismertebb nevén Sir Rumford) és Thomas
Young is sokat foglalkozott vele. Young volt egyébként az első, aki az „energia” kifejezést a ma
szokásos értelemben használta a főtörvénnyel kapcsolatban. A XIX. század második felében is sok
tudós (Gaspard-Gustave Coriolis, Jean-Victor Poncelet, Julius Robert von Mayer, stb.) végzett ezzel
kapcsolatos kutatásokat.
10.06.20. 64