MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
⎡ε%
T x
0 lx x
lx y x
0 l
x
x x
l
′ ∗⎤ ⎡ε
⎤ ⎡ ′ ′ ⎤ ⎡ε
⎤ ⎡ ′ xy′
⎤
⎢ ⎥ = T ⎢ T
0
⎥ = ⎢
y
lxy′ l
⎥ ⎢
y′ y
0
⎥ ⎢ ⇒
y
lx′ y
l
⎥
⎣ ∗ ∗⎦ ⎣ ε ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ε ⎦ ⎣ y′
y ⎦
2 2 1 1
% ε
x′ = lx′ x
ε
x
+ lx′
y
ε
y
= 1 + ( − 0,5) = 0,25 (eredeti szögekkel számítva),
2 2
2 2
⎛ 2 ⎞ ⎛ 0,5 ⎞
ˆ ε
x ′ = ⎜ 1 + ( − 0,5) = 0,91137
2,062
⎟ ⎜
2,062
⎟
(pillanatnyi konfiguráció
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
szögeivel számítva).
Ezek a transzformációk nem adtak jó eredményt.
2,062
b./ Logaritmikus alakváltozás használatával: e
x ′ = ln = 0,377 .
1, 414
A tengelyirányú logaritmikus nyúlások segítségével kiszámított transzformált
alakváltozások:
1 1
e %
x ′ = ln(2) + ln(0,5) = 0 , (eredeti szögekkel),
2 2
2 2
⎛ 2,0 ⎞ ⎛ 0,5 ⎞
e ˆx
′ = ⎜ ln(2) + ln(0,5) = 0,61116
2,062
⎟ ⎜
2,062
⎟
(megváltozott szögekkel).
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Ezekkel a transzformációkkal sem kaptunk helyes eredményt.
c./ Az eltérések oka az, hogy nagy alakváltozásoknál az eddig bemutatott változók
már nem használhatók transzformációra (nem tenzormennyiségek). Ha az eredetileg
négyzet alakú tárcsa oldalainak elmozdulása kicsiny lenne, akkor az átló közelítő
⎡εx
0 ⎤
alakváltozása transzformációval is számítható, az ⎢
0
⎥ tenzor jól jellemezné a
⎣ ε
y ⎦
tárcsa deformációit.
3D alakváltozás-tenzorok
Az 1D alakváltozások bevezetésénél a logaritmikus jellemző kivételével véges méretű
kezdeti l hosszak változását vizsgáltuk. Két- illetve három dimenzióban ettől eltérően az
elemi hosszak ( dx, dX ,...) megváltozása segítségével definiálják az alakváltozásokat. Kicsiny
alakváltozások esetén egyféle, nagy alakváltozások esetén többféle alakváltozás-tenzor
használatos. Az alakváltozás-tenzorokkal szemben támasztott legfontosabb követelmény,
hogy ha a test csak merevtestszerű eltolódást és/vagy elfordulást végez, akkor az
alakváltozás-tenzor valamennyi elemének zérusnak kell lennie!
A továbbiakban először a tetszőlegesen nagy alakváltozások esetén használható tenzorokat
mutatjuk be.
Green-Lagrange-féle 15 alakváltozás-tenzor (E)
A nagy alakváltozások vizsgálatára numerikus számításokban talán leggyakrabban használt
tenzor egy elemi hosszúságú anyagi vektor ( d X ) hossznégyzetének megváltozását méri.
15 Egyes – főleg francia – munkákban néha Green-Saint Venant-féle tenzorként is említik. Adhémar
Jean Claude Barre de Saint-Venant (1797 – 1886) kiváló francia tudós volt, ő foglalta össze először
a szilárdságtan különböző tételeit összefüggő rendszerré.
10.06.20. 16