MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
∂ e
∂ e
∂ e
( k + 1 ) + ∆u
= 0 , ( k + 1) + ∆v
= 0 , ( k + 1) + ∆w=
0 . (10.34)
∂ x
∂ y
∂ z
Deriváljuk az első összefüggést x, a másodikat y, a harmadikat z szerint, majd az egyenleteket
adjuk össze és most már az alakváltozás-invariánsra alkalmazott Laplace-operátor
segítségével írjuk fel az új egyenletet. A következőt kapjuk (felhasználva az úgynevezett
∂ ∂
Young-féle ∆ = ∆
∂x
∂x
tételt):
2 2 2
∂ e ∂u ∂ e ∂v ∂ e ∂w
( k + 1) + ∆ +
2
( k + 1) + ∆ +
2
( k + 1)
+ ∆ = 0. (10.35/a)
2
∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
( )
k + 1 ∆ e+ ∆ e= 0 ⇒ ∆ e( k + 2) = 0 . (10.35/b)
Mivel k ≠ − 2 , így ∆e = 0 , vagyis e harmonikus függvény.
Alkalmazzuk ennek ismeretében most a Laplace-operátort újból az első
differenciálegyenletre:
⎡ ∂ e ⎤ ∂ e ∂ ⎡ ∂ e ⎤
∆ ( k + 1 ) = ( k + 1) ∆ = ( k + 1) ∆ e= 0 ⇒ ∆ ( k + 1)
+∆∆ u = 0. (10.36)
⎢ ∂ x⎥ ∂ x ∂ x ⎢ ∂ x⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Így végül:
4
4
∂ u ∂ u ∂ u
∆∆ u = 0 = + 2 + = 0 ,
(10.37/a)
4 2 2 4
∂ x ∂x
∂y
∂ y
illetve teljesen hasonlóan a másik két eltolódásfüggvényre:
∆∆v = 0 , ∆∆w
= 0 . (10.37/b)
A Navier-Lamé-egyenletek alkalmazása mechanikai feladatok megoldására
Az elmozdulásmódszerre alapuló megoldási technikát már a XIX. században sikerrel
alkalmazták sok fontos feladat vizsgálatára.
Az első jelentős eredményt Kelvin (adataira vonatkozóan lásd a VI. fejezet lábjegyzetét)
publikálta 147 . Végtelen kiterjedésű, lineárisan rugalmas közegben elhelyezkedő koncentrált
erő hatására keletkező elmozdulások (illetve feszültségek) függvényét határozta meg. A
javasolt (sok lépését tekintve erősen heurisztikus) levezetés részletei iránt érdeklődőknek
8 alatti kiváló művét ajánljuk tanulmányozásra (II. kötet, XIV.
Todhunter és Pearson [ ]
fejezet, „Sir William Thomson munkássága” címmel), most csak cikkének végeredményét
közöljük. A vizsgált kontinuum x,y,z tengelyekkel jelölt koordinátarendszerének
kezdőpontjában elhelyezkedő F erővektor hatására az x koordinátájú pontban keletkező u
eltolódásvektor és az ugyanott létrejövő σ feszültségtenzor értéke az alábbi módon
számítható:
T
1 ⎡3 − 4ν
F x ⎤
u = ⎢ F + x⎥
,
16 (1 )
3
πG − ν ⎣ R R ⎦
⎡
⎤
σ = (1 − 2 ν) ( − − ) − ,
8 (1 )
4
T
1 T T T 3F x T
3 ⎢ I F x F x xF xx
2 ⎥
π − ν R ⎣ R ⎦
(10.38)
147 Sir William Thomson (Lord Kelvin): „Note on the Integration of the Equations of Equilibrium of
an Elastic Solid”, Cambridge and Dublin Mathematical Journal – Math. and Phys. Papers, Vol. 1.
pp. 97-99, 1848.
10.06.20. 161