MECHANIKA - MSc

More documents

Recommendations

Info

Bojtár: Mechanika <strong>MSc</strong> Előadásvázlat Klasszikus lemez analitikus megoldása derékszögű négyszög alaprajz esetén. Határozzuk meg egy derékszögű négyszög alaprajzú, a x b méretű, peremein csuklós megtámasztású lemez w(x,y) eltolódásfüggvényét. A lemez vastagsága állandó, anyaga izotróp és lineárisan rugalmas, a terhelés kvázi-statikus. Az analitikus megoldást Navier javaslata alapján írjuk fel. Navier a keresett eltolódásfüggvényt végtelen sorok segítségével javasolta megadni: ∞ ∞ mπx nπy w( x, y) = ∑ ∑ Wmn sin sin . (13.176) m= 1 n= 1 a b A képletben szereplő W paraméterek ismeretlen állandókat jelentenek. A külső terhelést mn szintén végtelen sor alakjában kell felírni, hogy a biharmonikus differenciálegyenlet teljes egészében átalakítható legyen: ∞ ∞ mπx nπ y qz ( x, y) = ∑ ∑ Pmn sin sin . (13.177) m= 1 n= 1 a b A P együtthatókat a tényleges terhelés adataiból a kettős Fourier 197 - m n sorok segítségével lehet meghatározni: Segédlet a kettős Fourier-sorok alkalmazására Határozzuk meg egy (2a) x (2b) tartományon értelmezett és ismert f(x,y) függvény sorba fejtett alakjának F együtthatóit: ∞ ∞ mπx nπ y f ( x, y) = ∑ ∑ Fmn sin sin . (13.178) m= 1 n= 1 a b ⎛ Szorozzuk be mindkét oldalt sin k π y ⎞ ⎜ dy ⎜⎝ b ⎟ függvénnyel, majd integráljuk y = 0-tól b- ⎠ b ig: ∫ f ( x, y) sin dy = ∑ ∑ Fmn sin ∫ sin sin dy . (13.179) mn b kπy ∞ ∞ mπx nπ y kπy 0 b m= 1 n= 1 a 0 b b Az integrálásban ha b n y k y n k π π ∫ sin sin dy 0, 0 b b (13.180) ha pedig b 2 nπ y b n = k ⇒ ∫ sin dy = . 0 b 2 (13.181) Megismételve a szorzást és az integrálást x irányban, az eredmény: a 2 mπx a ∫ sin dx = . 0 a 2 (13.182) Így a függvény együtthatói a következőképpen számíthatók: a b 4 mπx nπ y Fmn = ∫ ∫ f ( x, y) sin sin dxdy . ab a b (13.183) 0 0 197 Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830) kiváló francia matematikus és fizikus. Elsősorban hőtani kutatásairól és az általa kidolgozott matematikai sorokról ismert. Arcképe látható ezen az oldalon. 10.06.20. 230
Bojtár: Mechanika <strong>MSc</strong> Előadásvázlat Ennek az eredménynek a felhasználásával sok gyakorlati terhelési esetre zárt alakban megadhatók a keresett P együtthatók. Például: m n a./ Konstans terhelés: p 16 p , ( , 1,3,5,...) π mn 0 mn = m n = 2 b./ Lineáris megoszló teher: p mn 8 p0 cos mπ = − ( m, n = 1,3,5,...) 2 π mn c./ Parciális megoszló teher: p mn 16 p0 mπξ nπη = sin sin 2 π mn a b mπc nπd ⋅sin sin 2a 2b ( m, n = 1,2,3,... ) d./ Koncentrált erő: p mn 4P mπξ nπη = sin sin , = 1,2,3,... ab a b ( m n ) e./ Féloldali parciális teher: 10.06.20. 231
Page 1 and 2:
Bojtár Imre MECHANIKA - MSc Elektr
Page 3 and 4:
Bojtár: Mechanika MSc Előadásvá
Page 5 and 6:
Page 7 and 8:
Page 9 and 10:
Page 11 and 12:
Page 13 and 14:
Page 15 and 16:
Page 17 and 18:
Page 19 and 20:
Page 21 and 22:
Page 23 and 24:
Page 25 and 26:
Page 27 and 28:
Page 29 and 30:
Page 31 and 32:
Page 33 and 34:
Page 35 and 36:
Page 37 and 38:
Page 39 and 40:
Page 41 and 42:
Page 43 and 44:
Page 45 and 46:
Page 47 and 48:
Page 49 and 50:
Page 51 and 52:
Page 53 and 54:
Page 55 and 56:
Page 57 and 58:
Page 59 and 60:
Page 61 and 62:
Page 63 and 64:
Page 65 and 66:
Page 67 and 68:
Page 69 and 70:
Page 71 and 72:
Page 73 and 74:
Page 75 and 76:
Page 77 and 78:
Page 79 and 80:
Page 81 and 82:
Page 83 and 84:
Page 85 and 86:
Page 87 and 88:
Page 89 and 90:
Page 91 and 92:
Page 93 and 94:
Page 95 and 96:
Page 97 and 98:
Page 99 and 100:
Page 101 and 102:
Page 103 and 104:
Page 105 and 106:
Page 107 and 108:
Page 109 and 110:
Page 111 and 112:
Page 113 and 114:
Page 115 and 116:
Page 117 and 118:
Page 119 and 120:
Page 121 and 122:
Page 123 and 124:
Page 125 and 126:
Page 127 and 128:
Page 129 and 130:
Page 131 and 132:
Page 133 and 134:
Page 135 and 136:
Page 137 and 138:
Page 139 and 140:
Page 141 and 142:
Page 143 and 144:
Page 145 and 146:
Page 147 and 148:
Page 149 and 150:
Page 151 and 152:
Page 153 and 154:
Page 155 and 156:
Page 157 and 158:
Page 159 and 160:
Page 161 and 162:
Page 163 and 164:
Page 165 and 166:
Page 167 and 168:
Page 169 and 170:
Page 171 and 172:
Page 173 and 174:
Page 175 and 176:
Page 177 and 178:
Page 179 and 180: Bojtár: Mechanika MSc Előadásvá
Page 229: Bojtár: Mechanika MSc Előadásvá
Page 279: Bojtár: Mechanika MSc Előadásvá
show all

MECHANIKA - MSc

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?