MECHANIKA - MSc
MECHANIKA - MSc
MECHANIKA - MSc
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Bojtár: Mechanika <strong>MSc</strong><br />
Előadásvázlat<br />
∂P<br />
∂<br />
∂(<br />
δu<br />
)<br />
u d u P d P d<br />
∫ ∫ ∫<br />
ji<br />
i<br />
δ<br />
i<br />
Ω<br />
0<br />
= ( δ<br />
i ji<br />
) Ω0 −<br />
ji<br />
Ω0<br />
∂X ∂ ∂<br />
Ω0 j<br />
X<br />
Ω0 j<br />
X<br />
Ω0<br />
j<br />
(7.44/b)<br />
Ebben a kifejezésben a jobb oldal második tagja átalakítható<br />
T<br />
∫ δ F : P dΩ<br />
(7.45)<br />
0<br />
Ω0<br />
alakra, az első tagot pedig a Gauss-tétel és a peremekre előírt feltételek segítségével<br />
módosítjuk 97 :<br />
0 0<br />
δu ⋅n ⋅ P dΓ 0<br />
+ δu ⋅ n ⋅P<br />
dΓ0<br />
. (7.46)<br />
∫<br />
Γ 0<br />
∫<br />
0<br />
Γb<br />
0<br />
Itt a második tag a folytonossági feltétel miatt zérus (<br />
n ⋅ P = 0 ), az elsőt pedig tovább<br />
finomíthatjuk, ha a virtuális elmozdulásmező egyes peremrészeken való zérus értékét is<br />
figyelembe vesszük:<br />
Γ 0<br />
0<br />
u n P d<br />
ndim .<br />
0<br />
0 ∑ ( u e<br />
i<br />
)(ei ti<br />
) d<br />
0<br />
i=<br />
1 0<br />
Γt i<br />
∫ δ ⋅ ⋅ Γ = ∫ δ ⋅ ⋅ Γ . (7.47)<br />
(7.47)-ben a peremfeltételeket részekre osztottuk: n<br />
dim.<br />
a feladat dimenziószámát jelenti,<br />
térbeli esetben például 3. Figyelembe véve az átalakításokat – és rendezve az egyes tagokat –<br />
a tétel (előjelváltással) az alábbi formában adható meg:<br />
∫<br />
0<br />
δF : P dΩ − ρ δu⋅b<br />
dΩ − δu ⋅ e )(e ⋅ t ) dΓ<br />
+ δu<br />
⋅ ρ a Ω = 0. (7.48)<br />
T<br />
0 0 0<br />
Ω0 Ω0<br />
∫<br />
3<br />
∑ ∫ (<br />
i i i 0 ∫ 0<br />
d<br />
0<br />
i= 1 Γ<br />
0<br />
Ω0<br />
ti<br />
Ez az egyenlet az előbb bemutatott mechanikai egyenletek úgynevezett gyenge alakja, a<br />
mechanikában a virtuális munkák tétele néven ismert. Az első tagot belső-, a második és<br />
harmadik tagot külső-, az utolsó (negyedik) tagot pedig kinetikus virtuális munkának<br />
nevezik.<br />
Az alapegyenletek „gyenge” változata Euler-féle leírásmódban<br />
A variációs alak előállítása nagyon hasonló az előzőhöz, a különbség alapvetően az, hogy a<br />
variálandó próbafüggvényt most nem az elmozdulások, hanem a sebességek szolgáltatják.<br />
A kiindulási egyenlet most is az impulzus- tétel, ezt szorozzuk a virtuális sebességekkel és<br />
integráljuk az egész (pillanatnyi helyzethez tartozó) tartományon:<br />
∫<br />
⎛ ∂σ<br />
⎞<br />
ji<br />
δ vi + ρbi − ρvi<br />
dΩ = 0<br />
⎜<br />
∂x<br />
& ⎟<br />
. (7.49)<br />
Ω ⎝ j ⎠<br />
Alakítsuk át az első tagot:<br />
∫ ∂σ ⎡<br />
ji ∂ ∂ ( δvi<br />
) ⎤<br />
δvi dΩ = ⎢ ( δviσ ji ) − σ<br />
ji ⎥ dΩ<br />
∂x ∫ j<br />
∂x j<br />
∂x<br />
. (7.50)<br />
Ω<br />
Ω ⎢⎣<br />
j ⎥⎦<br />
A jobb oldali integrálban szereplő első tagot tovább alakítjuk a Gauss-tétel, valamint a<br />
perem- illetve folytonossági feltételek segítségével:<br />
∂<br />
( δ vi σ<br />
ji ) d Ω = δ v i<br />
n<br />
j σ ∫ ji<br />
d Γ + δ vin j σ<br />
jid<br />
Γ<br />
∂x<br />
∫ ∫ . (7.51)<br />
Ω j<br />
Γb<br />
Γ<br />
∫ gi,<br />
idΩ = ∫ ni gidΓ + ∫ ni gi<br />
dΓ<br />
.<br />
Ω Γ Γb<br />
97<br />
Emlékeztetőül a (folytonossági feltétellel bővített) Gauss-tétel: <br />
10.06.20. 104
Change language