MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
hosszváltozására alkalmazott „mérnöki” alakváltozás hossznövekményre vett integrálja
segítségével számítják:
l
dl dl l
dex = ⇒ e
x
= ln ln
x
l
∫ = = λ . (2.3)
l l
l0 0
A logaritmikus alakváltozást elsősorban a nagy méretváltozások, illetve az anyagok
határteherbíráshoz közeli állapotainak leírására használják. Megjegyezzük, hogy ha az
alakváltozások kicsik (a határ körülbelül: ε < 0,02 ), akkor a mérnöki és a valódi
alakváltozás jó közelítéssel egyenlőnek tekinthető 14 :
2 3
l l − l
ε
0
x
ε
x
e
x
= ln = ln(1 + ) = ln(1 + ε
x
) = ε
x
− +
l0 l0
2 ! 3 !
− .... , (2.4)
vagyis ha ε → 0 , akkor e → ε .
2.1 Példa
x x x
Az egyetlen irányban mért alakváltozások önmagukban sokszor nem elegendőek
többdimenziós feladatok helyes modellezésére. Ezt illusztrálja a következő feladat. Az ábrán
látható 1∗ 1 –es méretű, négyzet alakú 2D próbatestet x irányban húzzuk, y irányban nyomjuk,
a terhelés hatására létrejött új mérete így: 2∗
0,5 . A megváltozott alak szintén az ábrán
látható. Vizsgáljuk meg az átló x′ tengely irányú alakváltozását különböző típusú 1D
alakváltozás paraméterekkel!
2.1. ábra: 2D alakváltozás vizsgálata
2,062
a./ Mérnöki alakváltozás használatával: ε
x ′ = − 1 = 0,4577 ;
1, 414
A koordinátatengelyek irányában a mérnöki alakváltozások:
2
ε
x
= − 1 = 1,0 ,
1
0,5
ε
y
= − 1 = − 0,5; Ha ezt a két nyúlást egy 2 x 2-es mátrixba helyezzük és a
1
Függelék (F.45)-ös képletében megadott transzformáció segítségével kiszámítjuk az
átló nyúlását ( l x′ x
és a többi hasonló paraméter az iránykoszinuszokat jelöli), akkor a
következőt kapjuk (most csak egyetlen elem fontos számunkra):
14 Ez tulajdonképpen a természetes alakváltozás függvényének érintő egyenessel való közelítését
jelenti.
10.06.20. 15