MECHANIKA - MSc

More documents

Recommendations

Info

Bojtár: Mechanika <strong>MSc</strong> Előadásvázlat x = X + tY , y = Y 4.10. ábra. Nyírt test vizsgálata A gradiens-tenzor: ⎡1 t⎤ ⎡0 1⎤ −1 ⎡1 −t⎤ F = ⎢ , F , F 0 1 ⎥ & = ⎢ = 0 0 ⎥ ⎢ 0 1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . A sebesség-gradiens tenzor illetve szimmetrikus és ferdén szimmetrikus két komponense a következők lesznek: −1 ⎡0 1⎤ 1 ⎡0 1⎤ 1 ⎡ 0 1⎤ L = FF & = ⎢ , D , W 0 0 ⎥ = 2 ⎢ = 1 0 ⎥ 2 ⎢ −1 0 ⎥ . ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ A Jaumann-modell egyenlete a rugalmas anyagmodell felhasználásával a következő lesz (a J index a Jaumann-modellhez illesztett anyagi paraméterekre utal): σ & = λ J tr D I + 2G J D + W ⋅ σ + σ ⋅ W T . ( ) Írjuk fel részletesen ezt az egyenletet és vegyük figyelembe véve, hogy tr D = 0: ⎡ σ & τ & ⎤ 0 1 1 0 1 1 0 1 x x y J ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ G σ τ ⎤ ⎡ σ τ ⎤ x x y x x y ⎡ ⎤ ⎢ = + + τ y x σ ⎥ ⎢ y 1 0 ⎥ 2 ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ −1 0 ⎥ σ y x σ y 2 σ ⎢ y x σ y −1 0 ⎥ . ⎣ & & ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Most is három differenciálegyenletet kaptunk: dσ x dσ y dτ x y J 1 = τ x y, = −τ x y , = G ( σ x − σ y ) . dt dt dt 2 A Jaumann-modellhez tartozó megoldások: J J σ = − σ = G (1 − cos t), τ = G sin t . x y x y Vizsgáljuk meg most a Truesdell-modellt. Ebben az esetben: σ & = λ T tr D + 2 G J D + L ⋅ σ + σ ⋅L T − (tr D) σ . Részletesen kifejtve: ⎡ σ & τ & ⎤ 0 1 0 1 0 0 x x y T ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ G σ τ ⎤ ⎡ σ τ ⎤ x x y x x y ⎡ ⎤ ⎢ = + + τ y x σ ⎥ ⎢ y 1 0 ⎥ ⎢ 0 0 ⎥ ⎢ σ ⎥ ⎢ ⎥ y x σ ⎢ y σ y x σ y 1 0 ⎥ . ⎣ & & ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ A differenciálegyenletek: dσ x dσ y dτ x y T = 2 τ x y, = 0, = G − σ y . dt dt dt A Truesdell-modellhez tartozó megoldások (az új indexek új anyagi változókra utalnak): T 2 T σ = G t , σ = 0, τ = G t . x y x y A Green-Naghdi-modellhez először a poláris felbontás segítségével meg kell határoznunk az R forgató tenzort. A 2.8 példában már bemutattuk az ehhez szükséges lépéseket (mátrix diagonizálása, sajátértékek, stb.), most itt csak az eredményeket közöljük ( µ a sajátértékeket jelöli): i 10.06.20. 60
Bojtár: Mechanika <strong>MSc</strong> Előadásvázlat 2 2 ⎡1 t ⎤ 2 + t ± t 4 + t F T F = ⎢ , µ , ( 1,2) 2 i = i = t 1 t ⎥ . ⎣ + ⎦ 2 Megadjuk a zárt formában 46 felírt megoldást 47 : G 2 σ = − σ = 4G cos 2β ln cosβ+βsin 2β −sin β , x y ( ) G t τ x y = 2G cos 2β( 2β − 2 tg 2β ln cosβ − tg β) , tg β = . 2 A következő ábrán az idő függvényében ábrázoltuk a háromféle modell által szolgáltatott nyírófeszültség változását (a nyírási rugalmassági modulussal normált értéke látható a függőleges tengelyen). Mindhárom esetben ugyanazokat a rugalmas anyagi jellemzőket használtuk. Az eredmény arra hívja fel a figyelmet, hogy ilyen esetekben az anyagi paramétereket mindig a modellhez illesztve kell meghatározni, mert különben élesen eltérő eredményeket kapunk ugyanannak a feladatnak a vizsgálatakor. 4.11. ábra: Azonos anyagállandók hatása a különböző objektív modelleknél Befejezésül megjegyezzük, hogy ma már léteznek olyan törekvések is, amelyek megkísérlik másféle modellalkotással, objektív sebességek bevezetése nélkül kiküszöbölni a rotációs hatások okozta nehézségeket (lásd például Matolcsi és Ván munkáját 48 ), de ezekre most nem térünk ki, csak az említett szakirodalmat ajánljuk az olvasónak. 46 Ennél a modellváltozatnál meglehetősen nehézkes a megoldás, célszerűbb numerikus eljárást használni, vagy esetleg valamilyen matematikai programot segítségül hívni. 47 Dienes 1979-es munkája alapján: „On the analysis of rotation and stress rate in deforming bodies”, Acta Mechanica, Vol. 32, pp. 217-232. 48 Matolcsi, T. – Ván, P.: Can material time derivative be objective, Physics Letters, A 353, pp. 109 – 112, 2006. 10.06.20. 61
Page 1 and 2:
Bojtár Imre MECHANIKA - MSc Elektr
Page 3 and 4:
Bojtár: Mechanika MSc Előadásvá
Page 5 and 6:
Page 7 and 8:
Page 9 and 10: Bojtár: Mechanika MSc Előadásvá
Page 59: Bojtár: Mechanika MSc Előadásvá
Page 111 and 112:
Page 113 and 114:
Page 115 and 116:
Page 117 and 118:
Page 119 and 120:
Page 121 and 122:
Page 123 and 124:
Page 125 and 126:
Page 127 and 128:
Page 129 and 130:
Page 131 and 132:
Page 133 and 134:
Page 135 and 136:
Page 137 and 138:
Page 139 and 140:
Page 141 and 142:
Page 143 and 144:
Page 145 and 146:
Page 147 and 148:
Page 149 and 150:
Page 151 and 152:
Page 153 and 154:
Page 155 and 156:
Page 157 and 158:
Page 159 and 160:
Page 161 and 162:
Page 163 and 164:
Page 165 and 166:
Page 167 and 168:
Page 169 and 170:
Page 171 and 172:
Page 173 and 174:
Page 175 and 176:
Page 177 and 178:
Page 179 and 180:
Page 181 and 182:
Page 183 and 184:
Page 185 and 186:
Page 187 and 188:
Page 189 and 190:
Page 191 and 192:
Page 193 and 194:
Page 195 and 196:
Page 197 and 198:
Page 199 and 200:
Page 201 and 202:
Page 203 and 204:
Page 205 and 206:
Page 207 and 208:
Page 209 and 210:
Page 211 and 212:
Page 213 and 214:
Page 215 and 216:
Page 217 and 218:
Page 219 and 220:
Page 221 and 222:
Page 223 and 224:
Page 225 and 226:
Page 227 and 228:
Page 229 and 230:
Page 231 and 232:
Page 233 and 234:
Page 235 and 236:
Page 237 and 238:
Page 239 and 240:
Page 241 and 242:
Page 243 and 244:
Page 245 and 246:
Page 247 and 248:
Page 249 and 250:
Page 251 and 252:
Page 253 and 254:
Page 255 and 256:
Page 257 and 258:
Page 259 and 260:
Page 261 and 262:
Page 263 and 264:
Page 265 and 266:
Page 267 and 268:
Page 269 and 270:
Page 271 and 272:
Page 273 and 274:
Page 275 and 276:
Page 277 and 278:
Page 279:
show all

MECHANIKA - MSc

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?