MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
û = u + α v
(F.84)
függvényt, amely a vizsgált rendszer egészére érvényes. A v függvénynél előírjuk,
hogy homogén peremfeltételeket 226 teljesítő legyen az S
1
tartományban, azaz
v = 0 → S1
− en.
(F.85)
Az α v tagot az u függvény egy adott állapotához tartozó variációjának nevezzük. A
variációk száma végtelen, de mindegyiküknek teljesítenie kell az S1
-re vonatkozó
peremfeltételt. Bármilyen v függvényt is veszünk fel, α = 0 esetén az eredeti
függvényhez jutunk. Ebből az állításból következik, hogy bármelyik rögzített x
esetén α v valóban u adott konfigurációjának változása, variációja. Ezt a variációt
fogjuk a továbbiakban δu
-val jelölni:
δ u = α v .
(F.86)
δ u matematikai neve az u függvény első variációja.
Ha az u függvény első deriváltjának variációját akarjuk kiszámítani, akkor a
következőt kapjuk eredményül:
⎛ du ⎞ ⎛ dv ⎞ d ( αv)
dδu
δ ⎜ ⎟ = α ⎜ ⎟ = =
(F.87)
⎝ dx ⎠ ⎝ dx ⎠ dx dx
Legyen most például a vizsgálandó függvényünk F F ( x, u,
u′ )
= . Rögzített x érték
esetén írjuk fel először az alábbi növekmény számításának lépéseit:
∂F
∂F
∆ F = F( x, u + α v, u′ + αv′ ) − F( x, u, u′ ) = F ( x, u,
u′ ) + α v + α v′
+
∂u
∂u′
2
( αv) 2( αv)( αv′
)
2 2
∂ F ∂ F ∂F ∂F
2
....... F( x, u, u′ ) v v′
O( ),
2
(F.88)
+ + + − = α + α + α
2! ∂u 2! ∂u∂u′ ∂u ∂u′
ahol az utolsó tag a korábban már használt Landau-szimbólum. Az F függvény első
variációja ennek segítségével:
⎡ ∆F ⎤ ⎛ ∂F ∂F ⎞ ∂F ∂F
δ F = α lim = α ⎜ v + v ′ ⎟ = α v + α v ′ =
α→0
⎣
⎢ α ⎦
⎥
⎝ ∂u ∂u′ ⎠ ∂u ∂u′
(F.89)
∂F
∂F
= δ u + δu′
.
∂ u ∂ u ′
Gyakorlásképpen megmutatjuk ugyanennek az eredménynek egy másik előállítási
módját:
⎡dF ( u + α v,
u′ + αv′
) ⎤ ∂F ∂F ∂F ∂F
δ F = α ⎢
⎥ = α v + α v′ = δ u + δu′
. (F.90)
⎣ dα ⎦ ∂u ∂u′ ∂u ∂u′
α= 0
Harmadik előállítási változatként felhívjuk a figyelmet az F függvény első
variációjának és a teljes deriváltnak az analógiájára. A teljes derivált jelen esetben:
226
Gyakran felvetődő kérdés a virtuális elmozdulások tételének reakciószámításra történő
alkalmazásakor, hogy a támaszpontokat elmozdító virtuális elmozdulások megsértik-e a homogén
peremfeltételekre vonatkozó előírást. Fontos tudnunk, hogy az ilyen jellegű elmozdulás-rendszerek
egy teljesen külön feladatot jelentenek, ilyenkor a szerkezet egészére ható egyensúlyi erőrendszeren
értelmezzük a virtuális külső munka zérus értékűségét, és nem az eredeti (rugalmas) szerkezet
egyensúlyát jelentő virtuális elmozdulás-rendszert vizsgáljuk (gondoljunk ennél az utóbbinál például
a potenciális energia stacionaritási tételének alkalmazására, amikor már szigorú követelmény a
virtuális elmozdulás-rendszernél az előírt elmozdulások figyelembevétele).
10.06.20. 264