MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
E ⎡ ν
⎤
σ
3
=
⎢
e3
+ ( e1
+ e2
+ e3)
1+ ν
⎥ .
⎣ 1−
2ν
⎦
Helyettesítsük be a Cauchy-feszültségekre kapott értékeket a (második) Piola-
Kirchhoff-feszültségek számítására levezetett összefüggésekbe és írjuk be ide az
Almansi-Hamel-féle alakváltozásokra kapott eredményeket is:
η2η3
E ⎡ 1 ν ⎛ 1 1 1 ⎞⎤
S1 = ⎢ E
2 1
+ ⎜ E
2 1
+ E
2 2
+ E
2 3 ⎟⎥
,
η
1
1+ ν ⎣η1 1− 2ν ⎝ η1 η2 η3
⎠⎦
η1η3
E ⎡ 1 ν ⎛ 1 1 1 ⎞⎤
S2 = ⎢ E
2 2
+ ⎜ E
2 1
+ E
2 2
+ E
2 3 ⎟⎥
,
η
2
1+ ν ⎣η2 1− 2ν ⎝ η1 η2 η3
⎠⎦
η2η2
E ⎡ 1 ν ⎛ 1 1 1 ⎞⎤
S3 = ⎢ E
2 3
+ ⎜ E
2 1
+ E
2 2
+ E
2 3 ⎟⎥
.
η
3
1+ ν ⎣η3 1− 2ν ⎝ η1 η2 η3
⎠⎦
Írjuk be most E helyére a nyírási rugalmassági modulust, a Green-Lagrangealakváltozások
helyére pedig azok részletes értékét:
η2η3
G ⎡ 1− ν ⎛ 1 1 ⎞⎤
S1 = ⎢1 + ν − − ν ,
2 ⎜ +
2 2 ⎟⎥
η1 1− 2ν ⎣ η1 ⎝ η2 η3
⎠⎦
η1η3
G ⎡ 1− ν ⎛ 1 1 ⎞⎤
S2 = ⎢1
+ ν − − ν
2 ⎜ +
2 2 ⎟⎥
,
η2 1− 2ν ⎣ η2 ⎝ η1 η3
⎠⎦
S
η η G ⎡ 1− ν ⎛ 1 1
= 1+ ν − − ν +
⎣
⎝
2 1
3 ⎢
2 ⎜ 2 2
η3 1− 2ν η3 η2 η1
⎞⎤
⎟⎥
.
⎠⎦
A belső virtuális munka számításához szükséges kifejezés:
S ⋅δE = S1δ E1 + S2δ E2 + S3δ E3
, ahol δ E1 =η1 δη1 , δ E2 = η2 δη2 , δ E3 = η3 δη
3
.
A teljes térfogati integrál ezek után:
3
−∫ S ⋅δ EdV0 = − ( S1δ E1 + S2δ E2 + S3δE3
) L .
V0
A külső virtuális munka integráljának számításához az alábbi egyenleteket kell
figyelembe venni:
δ u = X δη , δ u = X δη , δ u = X δη ,
1 1 1 2 2 2 3 3 3
q =− p , q =− p , q =− p ,
(1) (2) (3)
1 2 3
A
q = q = −η η p , q = −η η p , q = −η η p .
(1) (1) (2) (3)
0 2 3 1 0 3 1 2 0 1 2 3
A0
A külső virtuális munka ezeknek megfelelően:
(1) (1) (2) (2) (3) (3) 3 (1) (2) (3)
q δ u dA + q δ u dA + q δ u dA = L q δη + q δη + q δη
∫ ∫ ∫
( )
0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 2 0 3
(1) ( 2) (3)
A0 A0 A0
A belső és külső virtuális munka összegének zérus voltát felhasználva:
−S η + q (1) δη + −S η + q (2) δη + −S η + q
(3) δη = .
( ) ( ) ( )
1 1 0 1 2 2 0 2 3 3 0 3
0
Ennek a kifejezésnek bármilyen δη1 , δη2 , δη3
variációra teljesülnie kell, így a három
zárójeles tag zérus voltát felhasználva három független nemlineáris egyenlethez
10.06.20. 118