MECHANIKA - MSc
MECHANIKA - MSc
MECHANIKA - MSc
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Bojtár: Mechanika <strong>MSc</strong><br />
Előadásvázlat<br />
A feszültségtenzorok felbontása deviátoros és hidrosztatikus (gömbi)<br />
komponensekre<br />
Ez a művelet elsősorban a fizikai tartalommal bíró változatoknál hasznos (lásd a matematikai<br />
alapokat a Függelékben a másodrendű tenzorok felbontásáról).<br />
Például a Cauchy-tenzornál:<br />
⎡σátl<br />
0 0 ⎤<br />
σ = σhid<br />
+ σdev<br />
, ahol σ =<br />
⎢<br />
0 0<br />
⎥<br />
átl<br />
,<br />
átl<br />
(<br />
x y z<br />
) / 3<br />
hid ⎢<br />
σ<br />
⎥<br />
σ = σ + σ + σ (4.18/a)<br />
⎢⎣<br />
0 0 σ ⎥<br />
átl ⎦<br />
⎡ S x τxy τxz<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎥<br />
σ = S = yx S y yz , S x x átl , S y y átl , S<br />
dev ⎢τ τ ⎥ = σ − σ = σ − σ z = σz − σátl<br />
. (4.18/b)<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢⎣<br />
τzx τzy Sz<br />
⎥⎦<br />
A felbontás első komponensét hidrosztatikus, vagy gömbi (vagy pedig néha átlagos)<br />
feszültségtenzornak nevezik. Ez a tenzor a vizsgált pont környezetének átlagos<br />
normálfeszültségét adja meg.<br />
A második komponens neve deviátor (vagy deviátoros) tenzor (számítási módja: eredeti<br />
feszültségtenzor mínusz hidrosztatikus feszültségtenzor), egy térbeli pont átlagos<br />
nyírófeszültségi viszonyairól ad információt.<br />
Megjegyezzük, hogy kis alakváltozású testeknél a deviátoros tenzort s szimbólummal<br />
jelöljük.<br />
A feszültségtenzor sajátértékei és sajátvektorai: főnormálfeszültségek,<br />
főirányok.<br />
Az alakváltozástenzor vizsgálatánál elmondottakhoz hasonlóan számíthatók a<br />
feszültségtenzorok sajátértékei (lásd még: matematikai alapok, Függelék). Az általánosított<br />
sajátérték-feladat a Cauchy-tenzorra felírva:<br />
(σ − σI)<br />
⋅ n = 0.<br />
(4.19)<br />
Karakterisztikus egyenlete:<br />
3 2<br />
σ − I<br />
1<br />
σ + I<br />
2<br />
σ− I<br />
3<br />
= 0 .<br />
(4.20)<br />
Az egyenlet 3 gyöke a három sajátérték, amelyeket mechanikai tartalmuk alapján főnormálfeszültségnek,<br />
vagy rövidebben főfeszültségnek nevezünk:<br />
σ<br />
1<br />
≥ σ<br />
2<br />
≥ σ3<br />
.<br />
(4.21)<br />
A karakterisztikus egyenlet együtthatói a feszültségtenzor invariánsai:<br />
2 2<br />
I1<br />
= σ1<br />
+ σ<br />
2<br />
+ σ3<br />
= tr σ , I 1<br />
2<br />
= ((tr σ ) − tr( σ )) = σ<br />
2<br />
1σ<br />
2<br />
+ σ1σ3<br />
+ σ2σ3<br />
, (4.22)<br />
I<br />
3<br />
= σ1σ2σ3<br />
= detσ .<br />
A főirányokat a sajátvektorok adják, számításuk a szokásos matematikai lépésekkel oldható<br />
meg. A sajátvektorok – a főirányok – homogén izotrop anyagnál megegyeznek a megfelelő<br />
alakváltozás-tenzor főirányaival.<br />
Megjegyezzük, hogy mechanikai szempontból a főfeszültségek olyan síkokhoz tartozó<br />
normálfeszültségek, mely síkoknál nincs nyírófeszültségi komponens.<br />
10.06.20. 51
Change language