MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
N
⎡
0
⎡ 1 ⎤
, x 5
⎢
0
N
⎥ ⎢
⎥
⎢ 2 ⎥ ⎢ v, y
+ k4u
⎥
0 0
⎢ N ⎥ ⎢
6
u, y
+ v, x
− k4v + k5u
⎥
⎢ ⎥ = D ⎢
0
⎥
⎢M1
⎥ ⎢ − w, xx
+ k5 w,
y ⎥
⎢
0
M ⎥ ⎢
2
−w, yy
− k4 w ⎥
, x
⎢ ⎥ ⎢
⎥
0 0
⎢⎣ M
6 ⎥⎦ ⎢⎣ −w, xy
− w, yx
+ k4 w, y
− k5 w,
x ⎥⎦
u
− k v
⎤
% . (13.136)
A képletekben szereplő D és D ɶ mátrixok az anyagi merevségeket, vagyis az
anyagmodelleket képviselik. Most is behelyettesítjük az energiafüggvények variációit a
Hamilton-féle variációs elv képletébe, majd δu, δv, δ w, δw, x
és δ w,
y
zérus értékét
figyelembe véve felírjuk az általános mozgásegyenleteket:
0 0 0 0
N + N − k N − k N = I u&& − I w&& + µ u& , N + N + k N + k N = (13.137)
1, x 6, y 4 2 5 6 0 1 , x 1 6, x 2, y 4 6 5 1
= I v&& − I w&& + µ v& , Q + Q = q + I w&& + µ w& ,
(13.138)
0 1 , y 2 1, x , y 3 0 3
−M − M − k M − k M + Q = I w&& − I v&& (13.139)
0 0
,
6, x 2, y 4 6 5 1 2 2 , y 1
M M k M k M Q I w&& I u&& (13.140)
0 0
.
1, x
+
6, y
−
4 2
−
5 6
−
1
= −
2 , x
+
1
A szükséges peremfeltételek:
(13.141)
x = 0, X ⇒δ u = 0, vagy N ; δ v = 0 vagy N ; δ w = 0 vagy Q + M ; δ w = 0 vagy M
1 6 1 6, y , x
1;
y = 0, Y ⇒δ u = 0 vagy N ; δ v = 0 vagy N ; δ w = 0 vagy Q + M ; δ w = 0 vagy M ,
6 2 2 6, x , y
2
( x, y) = (0,0),( X , Y),( X ,0),(0, Y ) ⇒ δ w = 0, vagy M .
Szorozzuk meg a mozgásegyenletek közül az elsőt (ismét vektoriálisan) j1
× -tel, a másodikat
j × -tel, a harmadikat j × -tel, a negyediket ismét j × -tel, az ötödiket j × -tel, majd adjuk
2
3
össze az egyenleteket, kiegészítve az összeget a j 3 × ( N 6 − N 6 ) értékkel. Formailag
ugyanazokhoz a mátrixegyenletekhez jutunk, amelyeket a derékszögű négyszög lemezeknél
már bemutattunk.
A Q 1 és Q2
nyíróerőket újból a két utolsó mozgásegyenletből határozhatjuk meg, így az első
három egyenlet az u, v és w elmozdulásfüggvények meghatározására használhatók. A
nyíróerők képletei:
0 0
Q = M + M + k M + k M + I w&
− I &
,
(13.142)
Q
2 2, y 6, x 4 6 5 1 2 , y 1v
1 1, x 6, y 4 2 5 6 2
&
, x − 1
1
0 0
= M + M − k M − k M + I w&
I u&
. (13.143)
6
2
Fontos megjegyzés, hogy a derékszögű és köralakú lemezek egyenletei az itt bemutatott
általános egyenletekből egyszerűsítéssel megkaphatók. Például
0
0
a./ négyszög lemezeknél k 4 = k5
= 0 egyszerűsítés alkalmazható,
b./ köralakú lemezeknél pedig:
0 0
k5 = 0, k4
= 1/ r, dx = dr , dy = rdΘ , dA = r dr dΘ
,
1 ∂( rNi ) 1 ∂( rQi ) 1 ∂( rM
i
)
Ni, x
= , Qi , x
= , M
i,
x
= .
r ∂r r ∂r r ∂r
10.06.20. 224