MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
− W% ( σ)
dV + u% ⋅ t dS + u% ⋅g
dV
(9.18)
∫ ∫ ∫
V Su
V
negatív kiegészítő potenciális energiának – az egyensúlyi és reakció-eloszlási egyenleteket
kielégítő egyensúlyi mezők felett – pedig maximuma van. A fentieket jól szemlélteti a
nyeregpont geometriai formája is. W % ( σ)
a fajlagos belső kiegészítő potenciális energiát
jelöli. Természetesen mindkét esetben feltétel a fizikai egyenletek teljesülése.
A továbbiakban:
- az anyagot lineárisan rugalmasnak tekintjük (a kivételeket külön jelezzük), és
- nem foglalkozunk dinamikai hatásokkal.
A BSc Szilárdságtanban tanultakra hivatkozva ismételjük át a számunkra fontos
energiafüggvényeket:
A./ A potenciális energia
Külső potenciál: a vizsgált testre ható külső erők potenciális energiája. Csak konzervatív
(kizárólag a helytől függő energiafüggvénnyel rendelkező) erőknek lehet külső potenciális
energiája. A külső potenciális energia a külső munka ellentettje:
Π = − W = −f ⋅e − tˆ
⋅u dS − g ⋅u dV .
K
K
∫ ∫ (9.19)
St
Belső potenciál: a testben keletkező alakváltozások potenciális energiája. A feszültségeknek
az alakváltozásokon végzett belső munkája ellentettjeként számítjuk.
1
10.06.20. 141
V
Π : :
2 ε D ε
B
= − WB
= ∫ dV . (9.20)
V
Teljes potenciál: a külső és a belső potenciál összege.
Π =Π + .
(9.21)
K
Π B
B./ A potenciális energia állandóértékűségének tétele
A potenciális energia állandóértékűségének tétele azt mondja ki, hogy egy lineárisan
rugalmas test geometriailag lehetséges általánosított elmozdulás-alakváltozás-rendszerei
közül az a tényleges, vagyis a test egyensúlyi helyzetének megfelelő rendszer, amelynél a
teljes potenciális energiája állandó értékű, más szóval stacionárius. A tétel a rugalmas test
egyensúlyát fejezi ki.
ˆ
1
Π = −f ⋅e−∫ t ⋅u dS −∫ g ⋅ u dV + ε: D: ε dV = stacionárius !
2
∫ (9.22)
St
V V
Stabilis egyensúlyi állapotban lévő szerkezetek esetén a potenciális energiára vonatkozó fenti
tételt a potenciális energia minimumtétele néven használjuk: Lineárisan rugalmas anyagú
testek esetén az összes geometriailag lehetséges elmozdulás/alakváltozás-rendszer közül az a
tényleges, vagyis a test stabilis egyensúlyi helyzetének is megfelelő rendszer, amelynél a
teljes potenciális energiának minimuma van.
C./ A potenciális energia és állandóértékűségi tételének alkalmazásai