MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
9.8. ábra: Nyomaték számítása
Használjuk fel a szimmetriát az ábrán látható módon. Mivel az „A” pontban nincs
elfordulás, alkalmazhatjuk Castigliano III. tételét:
~
∂ Π B
ϕ A = = 0 .
∂ M A
PR
Írjuk fel a nyomaték függvényét M A segítségével: M z = − M A + (1 − cosΘ)
.
2
~
π
2
∂ M z ∂ Π B 1 ⎡ PR ⎤
Mivel = −1 , így = ∫ ⎢−
M A + (1 − cos Θ)
⎥ ( −1)
R dΘ
.
∂ M A ∂ M A EI
0
⎣ 2 ⎦
Innen a keresett eredmény:
PR 2
PR 2
M A = (1 − ) , illetve M z = ( − cosΘ)
.
2 π
2 π
Energiatételek nemlineárisan rugalmas, illetve rugalmas képlékeny anyagú
szerkezetek vizsgálatára
A potenciális energia illetve a kiegészítő potenciális energia minimumtételeinél
hangsúlyoztuk, hogy lineárisan rugalmas anyagú szerkezetek vizsgálatára érvényesek.
Greenberg 134 azonban már 1949-ben kimutatta, hogy bizonyos korlátozásokkal a tételek
kiterjeszthetők nemlineárisan rugalmas anyagú, sőt képlékeny szerkezetek vizsgálatára is.
Ilyen esetekben az energiafüggvények konvexitását kell megkövetelnünk (lásd a Druckerféle
stabilitási posztulátumokat az anyagmodelleknél). Ennek alapján nemlineárisan
rugalmas anyagú szerkezeteknél gyakorlati feladatokra alkalmas változatot pl. Crotti és
Engesser dolgozott ki a róluk elnevezett tétel formájában (lásd a korábbi példát).
Megjegyezzük, hogy lineárisan rugalmas anyagoknál a belső alakváltozási
energiafüggvények kvadratikus jellege automatikusan biztosította a konvexitást.
Rugalmas-képlékeny anyagú szerkezetek vizsgálatára az energiatételeknek két változata
használatos:
A./ Greenberg minimumtétele:
Π & ( u& ) = Ψ( ε& ) dV − g&
⋅u& dV − tˆ
⋅u& dS . (9.42)
∫ ∫ ∫ &
V V S t
Az u& kompatibilis sebességmezők közül az a valódi, mely minimalizálja a fenti
funkcionált, amely a potenciális energia változását jellemzi. A jobb oldal első tagja a
rugalmas-képlékeny anyagú szerkezet belső energiáját jelöli.
134 Herbert Greenberg (1921 – 2007) amerikai matematikus, a variációs elvek képlékenységtani
alkalmazásáról ismert.
10.06.20. 151