MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
⎡i1, s
⋅i 1 1
i1, s
⋅i 1 2
i1, s
⋅i ⎤ ⎡
1 3
i1, s
⋅i 2 1
i1, s
⋅i 2 2
i1, s
⋅i
⎤
2 3
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
K =
1
⎢i2, s
⋅i 1 1
i2, s
⋅i 1 2
i2, s
⋅ i
1 3 ⎥ , K =
2
⎢i2, s
⋅i 2 1
i2, s
⋅i 2 2
i2, s
⋅i
2 3 ⎥ ,
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣
i3, s
⋅i 1 1
i3, s
⋅i 1 2
i3, s
⋅i 1 3 ⎦ ⎣
i3, s
⋅i 2 1
i3, s
⋅i 2 2
i3, s
⋅i
2 3 ⎦
(3.51/a)
⎡i1, s
⋅i 3 1
i1, s
⋅i 3 2
i1, s
⋅i
⎤
3 3
⎢
⎥
K = i
3
⎢ 2, s
⋅i 3 1
i2, s
⋅i 3 2
i2, s
⋅i
3 3 ⎥ ,
⎢⎣
i3, s
⋅i 3 1
i3, s
⋅i 3 2
i3, s
⋅i
3 3 ⎥⎦
vagy tömörebb jelöléssel (a mátrix sorszámára és a „kimaradó” indexre utaló számozással):
⎡ 0 k13 −k12 ⎤ ⎡ 0 k23 −k22 ⎤ ⎡ 0 k33 −k32
⎤
K =
⎢
k
1 13
0 k
⎥
11
, K
⎢
k
2 23
0 k
⎥
21
, K
⎢
3
k33 0 k
⎥
⎢
−
⎥
=
⎢
−
⎥
=
⎢
−
31 ⎥
. (3.51/b)
⎢⎣ k12 −k11 0 ⎥⎦ ⎢⎣ k22 −k21 0 ⎥⎦ ⎢⎣ k32 −k31
0 ⎥⎦
Ezeket a tenzorokat hívják az adott bázis görbületi tenzorainak. Segítségükkel végezhető el
minden – az adott bázishoz tartozó – fontos mechanikai művelet, így például az
alakváltozások számítása az eltolódásokból. Mielőtt tovább folytatnánk ezek meghatározását,
gyakorlásul megadjuk a korábbiakban már vizsgált hengerkoordináták esetén ezen görbületi
tenzorok értékét:
∂ s = ∂r, ∂ s = r∂ϑ,
∂ s = ∂z
1 2 3
i = sin ϑ i + cos ϑ i , i = cos ϑi − sin ϑ i , i = i .
1 x y 2 x y 3 z
⎡ 0 1/ r 0⎤
K = K
1 3
= 0, K =
⎢
1/ r 0 0
⎥
.
2 ⎢
−
⎥
(3.52)
⎢⎣
0 0 0⎥⎦
Természetesen a számítás gömbkoordináta-rendszer esetén is hasonló módon végezhető el,
de ennek részleteire most nem térünk ki.
Folytassuk az alakváltozás-komponensek számítását. Deriváljuk most az
u = u1i1 + u2i2 + u3i3
(3.53)
alakban megadható elmozdulásvektort az egyes koordináták szerint:
∂ u ∂u1 ∂u2
∂u
=
3
i1 + i2 + i3 + i1 ( u3k12 − u2k13 ) + i2 ( u1k13 − u3k11 ) + i3 ( u2k11 − u1k12
),
∂s ∂s ∂s ∂s
1 1 1 1
∂ u ∂u1 ∂u2
∂u
=
3
i1 + i2 + i3 + i1 ( u3k22 − u2k23 ) + i2 ( u1k23 − u3k21 ) + i3 ( u2k21 − u1k
22 ),
(3.54)
∂s2 ∂s2 ∂s2 ∂s2
∂ u ∂u1 ∂u2
∂u
=
3
i1 + i2 + i3 + i1 ( u3k32 − u2k33 ) + i2
( u1 33 3 31 ) 3 ( 2 31 1 32 )
∂s3 ∂s3 ∂s3 ∂s
k − u k + i u k − u k .
3
Az alakváltozások most már egyszerűen számolhatók:
10.06.20. 43