MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
belső
∂W
( X, t)
T
ρ
0
= F& 1 T
: P −∇0
⋅q % + ρ0
r , ahol q% = J − F ⋅q
. (7.38)
∂t
1 T
Ebben a képletben a q% = J − F ⋅q
hőáram az eredeti rendszer egységnyi felületére
vonatkozik, ezért volt szükséges az átalakítás a korábban már használt Nanson-formula (lásd
az első és negyedik előadást) segítségével.
T
Megjegyezzük, hogy az anyagmodelleknél tanultak szerint az F & : P tag a Green-Lagrange
alakváltozástenzor időbeli változást kifejező alakjának és a második Piola-Kirchhoff
feszültségtenzornak a szorzatával is helyettesíthető, vagyis ilyenkor a jobb oldal első tagjának
E:S & -t kell írnunk.
Az alapegyenletek „gyenge” változata Lagrange-féle leírásmódban
Gyakorlati feladatok megoldásánál az előbb bemutatott, úgynevezett „erős” egyenleteket
sokszor „gyenge” (vagy másféle elnevezéssel: „variációs”) változatukkal helyettesítik. A
gyenge változat diszkretizált alakját nagyon sokszor használják különböző közelítő
megoldásokban (lásd például a „végeselemes modellezés” numerikus technikáit).
A gyenge változatot először a Lagrange-leírásmód esetére mutatjuk be. Írjuk fel újból a
mozgásmennyiség egyenletét, a sebesség deriváltjának helyébe most a gyorsulásvektort írva (
u & =a ):
P⋅∇ 0
+ ρ 0b − ρ 0a = 0 . (7.39)
Szorozzuk meg ezt a kifejezést egy elmozdulásmező variációjával és integráljuk az egész
(kezdeti) tartományon:
∫ δ u ⋅ ( P ⋅∇
0
+ ρ 0b − ρ 0a)
dΩ 0
= 0 , (7.40)
Ω0
Az Ω
0
tartomány Γ
0
határán az alábbi perem-, kezdeti- és folytonossági feltételeket vesszük
figyelembe (ha a tartománynál két indexet kell használnunk, a kezdeti állapotra utaló „nulla”
felső indexbe kerül):
a./ peremfeltételek:
t előírt terhek a határ
0 0
Γ részén ( Γ =Γ − Γ ),
0
t
t
0
u
(7.41/a)
0
u előírt elmozdulások a határ Γ
u
részén.
(7.41/b)
b./ kezdeti feltételek (nulla időpillanatban az egész tartományra vonatkoznak,
továbbá kielégítik a peremfeltételeket):
P( X,0) = P0 ( X) , u& ( X,0) = v0( X)
, (7.42)
c./ folytonossági (szakadásmentességi) feltétel 95 :
0
n ⋅ P
0
= 0 a határ Γ
b
részén. (7.43)
A mozgásmennyiség egyenletében szereplő első tag átalakítása 96 (megadjuk indexes alakban
is a jobb ellenőrizhetőség kedvéért):
∂(
δu)
∫ δu⋅P⋅∇0 d Ω
0
= ∫ ∇0 ⋅( δu⋅ P) d Ω0 − ∫ : PdΩ0
. (7.44/a)
∂X
Ω0 Ω0 Ω0
95 Az f ( X ) szimbólum jelentése a következő: f ( X ) lim ( f ( X ) f ( X ))
= + ε − −ε .
10.06.20. 103
ε→0
96 T
Újból emlékeztetünk a Függelékre: div( A u) = div A ⋅ u + A : grad u