MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Egy 2D tárcsaelem az ábrán látható változás-sorozaton megy keresztül. Határozzuk meg D
értékét az egységnyi időlépcsőkkel eltérő különböző fázisokban!
a./ Az első fázisból a másodikba (nyírás):
⎡1 at⎤ ⎡0 a⎤ −1
⎡1
−at⎤
F = ⎢ , F = , F
;
0 1
⎥ & ⎢ =
0 0
⎥ ⎢
0 1
⎥ x
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
( X , t ) = X + atY , y ( X , t ) = Y 0 ≤t
≤ 1 .
2.6. ábra: Összetett alakváltozási folyamat vizsgálata
-1 0 1 0
L =F&
⎡ a⎤ ⎡ a⎤
⋅ F = ⎢ D= .
0 0
⎥ →
2
⎢
a 0
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Számítsuk ki most a Green-Lagrange-féle alakváltozás-tenzort is:
1 T 1 ⎡ 0 at ⎤
E = ( F ⋅ F-I) = .
2 2
2 2 ⎢
at a t ⎥
⎣ ⎦
Ennek időbeli változása:
1 0
E= & ⎡ a ⎤
.
2
2
⎢
a 2a t
⎥
⎣ ⎦
Megjegyzendő, hogy E & 22
nem zérus, jóllehet D
2 2
értéke nulla.
b./ Második fázisból a harmadikba:
x( X, t) = X + aY , y( X, t) = (1 + bt) Y , 1 ≤ t ≤ 2 , t = t − 1 .
Határozzuk meg itt is D mellett a Green-Lagrange-féle tenzort és változását.
⎡1 a ⎤ 0 0
1 1 1
F = , F&
⎡ ⎤ ⎡
, F
+ bt − a⎤
⎢ = − =
,
0 1+ bt
⎥ ⎢
0 b
⎥
1+
bt
⎢
0 1
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1 1 0 0
L =F&
− ⎡ ⎤ 1 ⎡0 0⎤
⋅ F = ,
1+ bt
⎢
0 b
⎥ D=
.
⎣ ⎦ 1+ bt
⎢
0 b
⎥
⎣ ⎦
1 T 1 ⎡0 a ⎤ 1 ⎡0 0 ⎤
E= ( F ⋅ F-I) = , E= &
.
2
2 2 ⎢
a a + bt( bt + 2) ⎥
2 ⎢
0 2 b( bt + 1) ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
c./ Harmadik fázisból a negyedikbe:
10.06.20. 27