MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
5./ Belytschko, T. – Liu, W.K. – Moran, B. : Nonlinear finite elements for continua and structures,
John Wiley, 2000.
3. Előadás: Az alakváltozások főértékei, az alakváltozások felbontása
fizikai tartalmuk alapján. A kis alakváltozásokhoz kapcsolódó
alapvető tételek
Főnyúlások, fajlagos főalakváltozások:
A test minden egyes pontjában található három olyan (egymásra merőleges) tengely, amely
tengelyekhez nem tartoznak nyírási alakváltozások. Ezeket a tengelyeket alakváltozási
főirányoknak, a velük megegyező irányú nyúlásokat pedig deformációs tenzorok esetében
főnyúlásoknak, alakváltozás tenzoroknál pedig fajlagos főalakváltozásnak nevezzük 26 .
Vizsgáljunk meg például egy-egy vonalelemet a kezdeti és a pillanatnyi bázisban, jelölje ezek
irányvektorát n0
és n . Legyen t0
és t ezekre merőleges, de egyébként tetszőleges irányú
vektor. A két eredeti irányvektor akkor esik egybe a főirányokkal, ha (most E tenzort
használva példaként):
n0 ⋅E⋅n0 ≠ 0 és n0 ⋅E⋅ t0
= 0 ,
(3.1)
illetve n⋅e⋅n ≠ 0 és n⋅e⋅
t = 0 .
Az alakváltozás-tenzorokra felírt egyenletekből következik, hogy E és C, valamint e és b −1
főirányai megegyeznek. Ha például a deformációs tenzorokat a főtengelyek irányába vetítjük,
akkor ugyanazt az értéket kell kapnunk, mintha a főnyúlások négyzetét szoroznánk az adott
normálvektorral:
2 1 2
n0 C=
0
n0
és n b − −
⋅ λ ⋅ = λ n .
(3.2)
Innen kapjuk a főnyúlások meghatározására szolgáló sajátérték-feladatokat:
2
2
C- λ I ⋅ n = 0 és b -λ I ⋅n = 0.
(3.3)
( 0 ) 0 ( )
A sajátérték-feladatokhoz tartozó karakterisztikus egyenletek általános alakja:
ˆ3 ˆ2
− λ + I λ − I ˆ λ + I = 0 ,
(3.4)
1 2 3
ahol az I
i
együtthatók a feladat invariánsai. Például a deformációs tenzorok esetében:
1 2 2
1 2 2
I1 = trC vagy I1= tr b , I2 = ⎡( tr C) − tr C ⎤ vagy I2
= ⎡( tr b)
− tr b ⎤ ,
2 ⎣ ⎦ 2 ⎣ ⎦
I3 = det( C) vagy I3
= det( b) .
(3.5)
Ugyanezek az invariánsok természetesen a sajátértékek segítségével is számíthatók. Például a
Green-Lagrange-tenzor főértékeivel 27 :
I1 = 3+ 2( E1 + E2 + E3 ),
I2 = 3+ 4( E1 + E2 + E3 ) + 4 ( E1E2 + E2E3 + E3E1
) ,
(3.6)
I = 1+ 2E 1+ 2E 1+
2 E .
( )( )( )
3 1 2 3
26 A mérnöki gyakorlatban az egyszerűség kedvéért gyakran mindkét esetben ugyanazt a „főnyúlás”
elnevezést használják.
27 Az átalakításnál a C = I + 2E
kapcsolati összefüggést vettük figyelembe.
10.06.20. 31