MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
π t
π t
x3( t) = − (1 + bt)sin , y3( t) = (1 + bt) cos ;
2 2
Számítsuk ki a deformáció-gradiens tenzort, és vizsgáljuk meg, hogy milyen „a” és
„b” mellett lesz pozitív a Jacobi-determináns:
Írjuk fel először az elem egy belső pontjának pillanatnyi koordinátáit a háromszög
területkoordinátáinak 10 A
segítségével ( ξ
i
i
= ):
A
x = x ( t) ξ + x ( t) ξ + x ( t) ξ , y = y ( t) ξ + y ( t) ξ + y ( t) ξ .
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
1.2 Példa
A kezdeti konfigurációnál (t = 0 pillanatban):
X = X ξ + X ξ + X ξ , Y = Y ξ + Y ξ + Y ξ
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 .
Helyettesítsük be ide a deformálatlan konfiguráció koordinátáit:
X = X = 0, X = 2, Y = Y = 0, Y = 1. A két kifejezésből azt kapjuk, hogy:
1 3 2 1 2 3
1
X = 2 ξ2 , Y = ξ3 → ξ2 = X , ξ3
= Y .
2
Helyettesítsük be ezeket (és a mozgásegyenleteket is) az általános pont koordinátáit
meghatározó kifejezésekbe:
π t
π t
x( X, t) = X (1 + at) cos − Y (1 + bt)sin ,
2 2
π t
π t
y( X , t) = X (1 + at)sin + Y (1 + bt) cos .
2 2
A deformációgradiens-tenzor mátrixa innen már számítható:
⎡ ∂x ∂x ⎤ ⎡ π t π t ⎤
⎢ (1 + at)cos − (1 + bt)sin
∂X
∂Y
⎥ ⎢ 2 2 ⎥
F = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ .
⎢ ∂y ∂y ⎥ ⎢ π t π t
(1 + at)sin (1 + bt) cos ⎥
⎢⎣
∂X
∂Y
⎥⎦
⎣⎢ 2 2 ⎦⎥
A determináns: J = det( F ) = (1 + at)(1 + bt).
Ha a>0 és b>0, akkor a determináns
mindig pozitív. Ha a=b=0, akkor J = 1, ez a deformáció nélküli forgás esete. Ha
b = − a /(1 + at) , akkor J szintén konstans marad (ekkor a mechanikai változást
izochor 11 -nak nevezik).
Vizsgáljunk meg az origó körül állandó ω szögsebességgel forgó elemet. Határozzuk meg a
gyorsulásvektort anyagi és térbeli leírásmóddal, valamint számítsuk ki a deformációgradiens
mátrixát!
⎡x⎤ ⎡cosω
t −sinω
t⎤ ⎡X
⎤
x( t) = R( t) X ⇒ ⎢ .
y
⎥ = ⎢
sin t cos t
⎥ ⎢
Y
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ω ω ⎦ ⎣ ⎦
⎡vx
⎤ ⎡ x&
⎤ ⎡−sinω
t − cosω
t⎤ ⎡ X ⎤
A sebességvektor: ⎢ ω
.
v
⎥ = ⎢
y y
⎥ = ⎢
cosω
t −sinω
t
⎥ ⎢
Y
⎥
⎣ ⎦ ⎣ & ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
A gyorsulásvektor anyagi koordinátákkal:
10 Lásd például a végeselemes technikában használt lokális koordinátarendszereket.
11 Állandó térfogatú.
10.06.20. 12