MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Ezt differenciálva megkapjuk a képlékeny állapot feltételét jelző (dF = 0) egyenletet:
∂F
∂F
T
dσ + dHk
= 0 ⇒ a dσ − Aλ
= 0,
∂σ
∂H
k
(6.19)
T ∂F ⎡ ∂F ∂F ∂F ⎤ 1 ∂F
ahol a = = ⎢ , , ....., ⎥ és A= − dHk
.
∂σ ⎢⎣
∂σ x
∂σ y
∂τ xy ⎥⎦
λ ∂H
k
Az a vektor neve a képlékenységtanban: folyási vektor. Írjuk fel most az alakváltozások
növekményeire vonatkozó feltételt:
rug képl -1
dε = dε + dε = D ⋅ dσ + λ a . (6.20)
Itt a képlékeny alakváltozás növekmény számításánál az előzőekben bevezetett normalitási
T
törvény segítségével helyettesítettük be. Szorozzuk be balról az egyenletet a D−
vel , majd
T
a dσ helyére írjuk be az Aλ tagot. Így az egyenletből kifejezhető λ :
T
a D
λ =
T d ε . (6.21)
A + a Da
Helyettesítsük be ezt az alakváltozás növekményeket kifejező előző egyenletbe és rendezzük
a kifejezést a feszültségnövekményekre 83 :
T
⎡ Daa D ⎤
ep
dσ
= ⎢D − d =
T
⎥ ε D dε . (6.22)
⎢⎣
A + a Da ⎥⎦
Ez a képlet a (kis alakváltozásokra vonatkozó) általános rugalmas-képlékeny
anyagmodell, D ep pedig a rugalmas-képlékeny anyagi merevségi mátrix. Értéke a
rugalmas anyagi viselkedés modellezésétől (D), a folyási felület típusától (a) és a
keményedés modellezésétől (A) függ.
A Haigh-Westergaard-tér koordinátáinak felhasználása a folyási vektor
számítására
Ebben az esetben a folyási feltételt
alakban kell megadni. A folyási vektor:
F = f ( I , J , Θ )
(6.23)
1 2
∂F ∂I
∂F ∂ J ∂F
∂Θ
T
1
2
a = + + = C1 a1 + C2 a2 + C3
a3
∂I1 ∂σ ∂ J ∂σ ∂Θ ∂σ
2
. (6.24)
Ha figyelembe vesszük, hogy
∂Θ 3 ⎡ 1 ∂I3 3I
∂ J ⎤
3 2
= − ⎢ − ⎥ , (6.25)
3
2
∂σ 2cos3Θ ⎢ J ∂σ J
2
2
∂σ
⎣
⎥
⎦
akkor a folyási vektor komponensei:
T ∂I1
T ∂ J
2 1
a1 = = [ 1 1 1 0 0 0 ], a2
= = ⎡sx sy sz 2
yz
2
xz
2 ⎤
xy
,
2 J
⎣ τ τ τ
∂σ
∂σ
⎦
∂I ⎡ J J J
a s s s s s s
∂σ
⎢
⎣ 3 3 3
T 3 2 2 2 2 2 2
3
= =
y z
− τ
yz
+ ,
x z
− τ
xz
+ ,
x y
− τ
xy
+ ,
2
(6.26)
(6.27)
83 Felhívjuk az olvasó figyelmét, hogy a (6.21) és (6.22)-es egyenletekben szereplő
eredménye természetesen skalár.
T
a Da szorzat
10.06.20. 91