MECHANIKA - MSc

More documents

Recommendations

Info

Bojtár: Mechanika <strong>MSc</strong> Előadásvázlat ∑ M ix = 0 = dz dy ⎛ ∂σ y ⎞ dz ⎛ ∂τ yz ⎞ dy = g ydxdydz − g zdxdydz + ⎜ σ y + dy ⎟ dxdz − ⎜ τ yz + dy ⎟ dxdz 2 2 ⎝ ∂y ⎠ 2 ⎝ ∂y ⎠ 2 dz ⎛ ∂σ z ⎞ dy ⎛ ∂τ zy ⎞ dz dy −σ ydxdz − z dz dxdy zy dz dxdy zdxdy 2 ⎜σ + z ⎟ + ⎜ τ + ⎟ + σ + ⎝ ∂ ⎠ 2 ⎝ ∂z ⎠ 2 2 dy dz ⎛ ∂τ xz ⎞ dy ⎛ ∂τ xy ⎞ dz τxzdzdy − τxydzdy − τ xz + dx dzdy + 2 2 ⎜ ∂x ⎟ ⎜ τ xy + dx ⎟ dxdy − ⎝ ⎠ 2 ⎝ ∂x ⎠ 2 −τ dxdydz + τ dxdydz = 0 ⇒ τ = τ . yz zy yz zy c./ Az energiamérleg egyenlete: Amint azt az ötödik előadásban láttuk, a jelenlegi feltételek esetén (ez megfelel az izentróp deformációnak és a hőmérsékleti hatások elhanyagolásának) az energiamérleg egyenletéből a σ : ε & = ∂W ∂W ⋅ ε & ⇒ σ = ∂ ε ∂ ε (7.57) hiperelasztikus anyagmodell következik. Ez adja meg jelen esetben a feszültségek és alakváltozások kapcsolatát leíró kapcsolati (vagy más néven fizikai) egyenleteket. d./ Geometriai egyenletek: Ezek az egyenletek az alakváltozások és az elmozdulások kapcsolatát írják le. Az előzőekben azért nem említettük őket külön, mert a különböző alakváltozás tenzorok bevezetésekor (második hét, illetve a henger- és polárkoordinátás változat a harmadik hét előadásában,) ezt már megtettük. Most megismételjük a kis alakváltozások definíciójára derékszögű koordinátarendszerben már egyszer megadott összefüggéseket: ⎡ 1 1 ∂u 1 ⎛ ∂u ∂v ⎞ 1 ∂u ∂w ⎤ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎢ ⎜ + ⎟ ⎜ + ⎟⎥ ⎢ ε x γ x y γ x z 2 2 ⎥ ⎢ ∂x 2 ⎝ ∂y ∂x ⎠ 2 ⎝ ∂z ∂x ⎠⎥ ⎢ ⎥ 1 1 ⎢ 1 ⎛ ∂v ∂u ⎞ ∂v 1 ⎛ ∂v ∂w ⎞⎥ ε = ⎢ γ y x ε y γ ⎥ y z = ⎢ ⎜ + ⎟ ⎜ + ⎟⎥ . (7.58) ⎢ 2 2 ⎥ ⎢ 2 ⎝ ∂x ∂y ⎠ ∂y 2 ⎝ ∂z ∂y ⎠⎥ ⎢ 1 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ γ 1 w u 1 w v w z x γ ⎥ ⎛ ∂ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ∂ ⎞ ∂ z y ε z ⎢ ⎥ ⎣⎢ 2 2 ⎦⎥ ⎜ + ⎟ ⎜ + ⎢ ⎟ ⎣2 ⎝ ∂x ∂z ⎠ 2 ⎝ ∂y ∂z ⎠ ∂z ⎥ ⎦ A geometria egyenletek ebben az esetben tehát a hat darab független alakváltozáskomponenst kapcsolják össze a három elmozdulás-függvénnyel a differenciálási utasítások segítségével. Szokás a geometriai egyenleteket is mátrix-egyenlet segítségével megadni: ε = L u , (7.59) ahol az ε vektor az alakváltozástenzor hat független elemét tartalmazza (Voigt előírásainak megfelelően rendezve), u az elmozdulások vektora, L pedig egy 6× 3- 10.06.20. 108
Bojtár: Mechanika <strong>MSc</strong> Előadásvázlat as, differenciálási utasításokat tartalmazó mátrix. Elemei közvetlen kapcsolatban vannak a Cauchy-egyenletnél megadott S mátrixszal: T S = L . (7.60) Azokat az (általánosított) alakváltozás-mezőket, amelyek megfelelnek a geometriai egyenletekben megadott kapcsolati előírásoknak - és emellett kielégítik az adott feladat elmozdulási peremfeltételeit -, geometriailag lehetséges alakváltozásoknak nevezzük. Egyensúlyi egyenletek polárkoordináta-rendszerben Az x,y,z rendszerben felírt egyensúlyi egyenleteket transzformációs összefüggésekkel is átalakíthatjuk polárkoordinátás változattá. Egyszerűen felírhatjuk azonban őket vetületi egyenletek felhasználásával is. Például az ábra jelöléseit felhasználva (kétdimenziós esetben) egyszerűen megadható a sugárirányú vetületi egyenlet: 7.2. ábra: Az egyensúly vizsgálata poláris koordináta-rendszerben ⎛ ∂σ r ⎞ ⎛ ∂σ Θ ⎞ dΘ dΘ ⎜σr + dr⎟( r + dr) dΘ − σrr dΘ − ⎜σΘ + dΘ⎟dr sin − σΘdr sin + (7.61) ⎝ ∂r ⎠ ⎝ ∂Θ ⎠ 2 2 ⎛ ∂τr Θ ⎞ dΘ dΘ + ⎜ τ r Θ + dΘ⎟ dr cos − τ r Θdr cos + Fr r dr dΘ = 0 . ⎝ ∂Θ ⎠ 2 2 dΘ d Figyelembe véve, hogy kis szögeknél: sin Θ d ⇒ , cos Θ ⇒1, továbbá elhanyagolva a 2 2 2 magasabbrendűen kicsiny tagokat, az egyenlet egyszerűsíthető. Ugyanígy felírható a sugárra merőleges vetületi egyenlet is, és így végül a két egyensúlyi feltétel az alábbi formában adható meg: ∂σ 1 ∂τ r r Θ σ r −σΘ + + + Fr = 0 , (7.62) ∂r r ∂Θ r 1 ∂σ ∂τ 2τ Θ r Θ r Θ + + + FΘ = 0 . (7.63) r ∂Θ ∂r r 10.06.20. 109
Page 1 and 2:
Bojtár Imre MECHANIKA - MSc Elektr
Page 3 and 4:
Bojtár: Mechanika MSc Előadásvá
Page 5 and 6:
Page 7 and 8:
Page 9 and 10:
Page 11 and 12:
Page 13 and 14:
Page 15 and 16:
Page 17 and 18:
Page 19 and 20:
Page 21 and 22:
Page 23 and 24:
Page 25 and 26:
Page 27 and 28:
Page 29 and 30:
Page 31 and 32:
Page 33 and 34:
Page 35 and 36:
Page 37 and 38:
Page 39 and 40:
Page 41 and 42:
Page 43 and 44:
Page 45 and 46:
Page 47 and 48:
Page 49 and 50:
Page 51 and 52:
Page 53 and 54:
Page 55 and 56:
Page 57 and 58: Bojtár: Mechanika MSc Előadásvá
Page 107: Bojtár: Mechanika MSc Előadásvá
Page 159 and 160:
Page 161 and 162:
Page 163 and 164:
Page 165 and 166:
Page 167 and 168:
Page 169 and 170:
Page 171 and 172:
Page 173 and 174:
Page 175 and 176:
Page 177 and 178:
Page 179 and 180:
Page 181 and 182:
Page 183 and 184:
Page 185 and 186:
Page 187 and 188:
Page 189 and 190:
Page 191 and 192:
Page 193 and 194:
Page 195 and 196:
Page 197 and 198:
Page 199 and 200:
Page 201 and 202:
Page 203 and 204:
Page 205 and 206:
Page 207 and 208:
Page 209 and 210:
Page 211 and 212:
Page 213 and 214:
Page 215 and 216:
Page 217 and 218:
Page 219 and 220:
Page 221 and 222:
Page 223 and 224:
Page 225 and 226:
Page 227 and 228:
Page 229 and 230:
Page 231 and 232:
Page 233 and 234:
Page 235 and 236:
Page 237 and 238:
Page 239 and 240:
Page 241 and 242:
Page 243 and 244:
Page 245 and 246:
Page 247 and 248:
Page 249 and 250:
Page 251 and 252:
Page 253 and 254:
Page 255 and 256:
Page 257 and 258:
Page 259 and 260:
Page 261 and 262:
Page 263 and 264:
Page 265 and 266:
Page 267 and 268:
Page 269 and 270:
Page 271 and 272:
Page 273 and 274:
Page 275 and 276:
Page 277 and 278:
Page 279:
show all

MECHANIKA - MSc

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?