MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
T
T
( ( 0( ))
0( ) )
1
2
. (8.13)
1 T 1 ⎛ ∂δu
j ∂δu
⎞
i
= (( ∇( δ u)
) + ∇( δu)
) ⇔ δ ei j
= +
2 2 ⎜
∂xi
∂x
⎟
⎝
j ⎠
−T
−1 − −1
δ e = F δ EF = F ∇ δ u + ∇ δ u F =
Az alapvető variációs változatok megadása után a gyenge alak felírásához ugyanazokat a
lépéseket hajtjuk végre, mint az előző előadásban a virtuális teljesítmény elvének
megfogalmazásakor, de ahogy a bevezetőben említettük, most nem sebesség, hanem
elmozdulás-variációt alkalmazunk. Megjegyezzük, hogy a vizsgált pillanatnyi
konfigurációhoz tartozó perem- és kezdeti feltételek 104 ugyanazok, mint amiket a
korábbiakban alkalmaztunk:
Peremfeltételek: u = u az Su
tartományon, t = t az St
tartományon.
Kezdeti feltételek (nulla időpontban a tartomány egészére vonatkoznak):
u x , t = u X , u& x , t = u& X .
( ) ( ) ( ) ( )
t= 0 0 t=
0 0
Nem ismételjük meg harmadszor is a mozgásmennyiség megmaradási tételére épülő
átalakítás-sorozatot, csak a végeredményt adjuk meg ( g = ρ b ):
∫
( ) ( )
⎡⎣
σ : ∇ δu − g − ρu && ⋅δu⎤⎦
dV − t ⋅δ u dS = 0 . (8.14)
V S t
Ez az egyenlet tovább finomítható, ha az elmozdulás-variáció gradiense helyett az Almansi-
Hamel-féle alakváltozás-tenzor variációjának értékét írjuk be a képletbe 105 :
⎡⎣
σ : δe − ( g − ρu && ) ⋅δu⎤⎦
dV − t ⋅δ u dS = 0 . (8.15)
∫
V S t
Ez a kifejezés az Euler-bázisban megfogalmazott virtuális munkatétel, vagy más néven a
nagy változásokat leíró pillanatnyi konfigurációra vonatkozó virtuális elmozdulások
tétele. A kis elmozdulásoknál felírt változathoz hasonlóan ez a megfogalmazás is független
az anyagi viselkedéstől, tehát bármilyen anyag esetében alkalmazható.
A virtuális elmozdulások tétele Lagrange-rendszerben
Lagrange-rendszerben már az előző fejezetben megadtunk egy lehetséges felírási módot.
Most az előírt felületi erők alakját kicsit egyszerűsítjük egyetlen formális integrállá, és a
néhány sorral korábban az Euler-rendszerre jellemző alakot használjuk a könnyebb
összehasonlíthatóság végett:
T
⎣
⎡P : δF − ( g0 − ρ0u && ) ⋅δu⎦
⎤ dV0 − t0 ⋅δ u dS0
= 0 . (8.16)
∫
V0 St0
Ugyanez az egyenlet a második Piola-Kirchhoff-féle feszültségtenzor segítségével is
megadható 106 :
⎡⎣
S : δE − ( g0 − ρ0u && ) ⋅δu⎤⎦
dV0 − t0 ⋅δ u dS0
= 0
(8.17)
∫
V0 S t 0
∫
∫
∫
∫
104 Kezdeti feltételeknek most elmozdulási és sebesség-értékeket választottunk.
105 A (8.14)-es egyenlet átalakításánál figyelembe vettük az elmozdulásgradiens-tenzor szimmetrikus
és antimetrikus tenzorok összegére való felbonthatóságát, továbbá azt a tényt, hogy a szimmetrikus
Cauchy-féle feszültségtenzornak az antimetrikus tenzorral való kétpont-szorzata zérus.
106 A transzformáció az első Piola-Kirchoff-tenzor átalakításából is kiindulhat, de felhasználhatjuk a
σ : δ e dV = S : δ E dV0
összefüggést is, közvetlenül az Euler-féle alakból kiindulva.
10.06.20. 115