MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
2
2 2 2
2 2 2
2 2
∂ γ
x y ∂ ε ∂ ε
y
, ∂ γ
x
x z ∂ ε
x
∂ ε ∂ γ
y z
∂ ε
z
y ∂ ε
z
= +
= + , = + .
(3.25)
2 2
2 2
2
∂x
∂y
∂y
∂x
∂x
∂z
∂z
∂x
∂y
∂z
∂z
∂y
2
2
2
∂ ⎡∂γ y z
∂γ
z x
∂γ ⎤ ⎡
x y
∂γ
z x
∂γ
x y
∂γ ⎤
z
y z ∂ ε ∂
∂ εx
+ − = 2 , + − = 2 ,
∂z ⎢ x y z ⎥ x y x ⎢ y z x ⎥
⎣ ∂ ∂ ∂ ⎦ ∂ ∂ ∂ ⎣ ∂ ∂ ∂ ⎦ ∂y ∂z
2
∂ ⎡∂γ x y
∂γ
y z
∂γ ⎤
z x
∂ ε
y
+ − = 2 .
∂y ⎢ z x y ⎥
⎣ ∂ ∂ ∂ ⎦ ∂z ∂x
Ezek az egyenletek azt fejezik ki, hogy az alakváltozások függvényei között szigorú
matematikai kapcsolat létezik. Ha például egy háromdimenziós testnél az alakváltozások
meghatározása során a gondolatban végtelen sok kis elemi hasábra felosztott tartománynál a
hat alakváltozási komponenst egymástól függetlenül határozzuk meg, akkor az egyes (ezen
alakváltozások hatására deformálódott) hasábokból nem tudunk „összerakni” egy folytonosan
deformálódott tömör testet, számtalan „hézag” vagy éppen „átfedés” fog jelentkezni a
csatlakozó felületek között. A kompatibilitási egyenletek éppen ennek az ellentmondásnak a
kiküszöbölésére születtek.
Megjegyezzük, hogy a gyakorlatban ezeket az egyenleteket elsősorban a különböző
mechanikai megoldási technikák (erőmódszer, feszültségfüggvényes eljárások) bemutatásakor
fogjuk majd használni.
Alakváltozás-tenzorok előállítása hengerkoordináta-rendszerben
Írjuk fel először a Green-Lagrange-féle változatot, majd utána a kicsiny alakváltozásokhoz
tartozó tenzort.
A számításhoz használt hengerkoordináta-rendszert láthatjuk a 3.1-es ábrán. Az egyes
változók közötti kapcsolat:
r = R + u, ϑ = θ + α , z = Z + w, (3.26)
ahol u az R irányban, w pedig a Z irányban létrejövő eltolódás, α pedig a szög változása.
10.06.20. 37