MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
∂u 1 ∂v u 1 ∂v u cotg θ
ε
r
= , ε
θ
= + , ε
α
= + + w ,
∂r r ∂θ r r sin θ ∂α r r
1 ⎛ 1 ∂u v ∂v ⎞ 1 ⎛ 1 ∂u w ∂w
⎞
ε
r α
= ⎜ − + ⎟, ε
r θ
= ⎜ − + ⎟,
2 ⎝ r sin θ ∂α r ∂r ⎠ 2 ⎝ r ∂θ r ∂r
⎠
1 ⎛ 1 ∂v v cotg θ 1 ∂w
⎞
ε
αθ
= ⎜ − + ⎟ .
2 ⎝ r ∂θ r r sin θ ∂α ⎠
(3.47)
Kis alakváltozások számítása általános görbevonalú koordinátarendszerben
Az ábrán látható teljesen általános, görbevonalú (de ortogonális) koordinátarendszerben
felvett s 1
, s 2
, s 3
tengelyeknek megfelelő i i
egységvektorokra is igaz az alábbi állítás:
3.4. ábra: Görbevonalú koordinátarendszer
i
⋅ i = δ . (3.48)
j k j k
Ha ezt a kifejezést deriváljuk, akkor a következő azonosságokat kapjuk:
∂i j
∂i j ∂i
k
⋅ i
j
= 0, ⋅ ik = − ⋅i
j
. (3.49)
∂s ∂s ∂s
m m m
Részletesen felírva az egyes egységvektorok s 1
, s 2
, s 3
irányú deriváltjait, a következőt kapjuk:
⎡i1 ⎤ ⎡i1 ⎤ ⎡i1 ⎤ ⎡i1 ⎤ ⎡i1 ⎤ ⎡i1
⎤
∂ ⎢
i
⎥
2
K
⎢
i
⎥ ∂
1 2
,
⎢
i
⎥
2
K
⎢
i
⎥ ∂
2 2
,
⎢
i
⎥
2
K
⎢
i
⎥
3 2
.
s ⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
1
s ⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
2
s ⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
(3.50)
∂ ∂ ∂
3
⎢⎣ i ⎥
3 ⎦ ⎢⎣ i ⎥
3 ⎦ ⎢⎣ i ⎥ ⎢
3 ⎦ ⎣i ⎥ ⎢
3 ⎦ ⎣i ⎥ ⎢
3 ⎦ ⎣i
⎥
3 ⎦
Az egyes mátrixok a következő elemeket tartalmazzák (az indexekben a vesszők utáni tagok
az adott változók szerinti parciális deriválásokra utalnak):
10.06.20. 42